Post on 25-Jun-2015
Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Persamaan Diferensial Orde I
Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial
Definisi
� Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
� Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa(PDB).
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
2
(PDB).
� Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.
Persamaan Diferensial (2)Persamaan Diferensial (2)
� Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.
� Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut
an(x) yn + an-1(x) y
n-1 + … + a0(x) y = f(x)
dengan an(x) ≠ 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah
koefisien PD.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
3
koefisien PD.
� Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.
� Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB
ContohContoh
dt
dN(1)
(2) y ’ + 2 cos 2x = 0
= kN , N = N(t), orde 1 dimana N peubah tak bebast peubah bebasnya
, orde 1 dimana y peubah tak bebasx peubah bebasnya
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
4
(3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , orde 2
x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , orde 2(4)
SolusiSolusi
� Misal ada suatu persamaan diferensial dimana ysebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.
� Solusi umum dan solusi khusus
Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
5
Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.
ContohContoh
(1) y = cos x + c � solusi umum
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0
Karena
(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
(2) y = cos x + 6 � solusi khusus
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
6
(2) y = cos x + 6 � solusi khusus
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0
Karena
(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
PDB Orde 1PDB Orde 1
� PDB terpisah
� PDB dengan koefisien fungsi homogen
� PDB Linier
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
7
ContohContoh
1. Jawab:
(x ln x) y' = y
ydx
dyxx =ln
dxdy =
( )xcy lnlnln =
( )xcy ln=
Jadi solusi umum PD tersebut
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
9
xx
dx
y
dy
ln=
∫∫ =xx
dx
y
dy
ln
( ) cxy lnlnlnln +=
Jadi solusi umum PD tersebut
adalah
( )xcy ln=
ContohContoh
2. Jawab:
y' = x3 e-y
yexdx
dy −= 3
dxxdy 3=
+= cxy 4
4
1ln
+= c4)2(4
1ln0
Diketahui y(2) = 0, sehingga
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
10
dxxe
dyy
3=−
∫∫ = dxxdye y 3
cxe y += 4
4
1
4
Jadi solusi khusus PD tersebut
adalah
−= 34
1ln 2xy
341 −=→+= cc
LatihanLatihan
2
2
1 y
x
dx
dy
−=
243 2 ++= xxdy 0)0(),1)(1(2' 2 =++= yyxy
)21)(21(' 32 xxyy +++=1.
2.
5.
6.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
11
)1(2
243
−++=
y
xx
dx
dy
)1('
3
2
xy
xy
+=
221' xyyxy +++=
1)0(,21
cos2
=+
= yy
xy
dx
dy
0)0(),1)(1(2' =++= yyxy
1)0(,0)1( ==++ yyedx
dye xx
2.
3.
4.
6.
7.
8.
Fungsi homogenFungsi homogen
� Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika
A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang
� Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !1. A(x,y) = x + y
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
12
1. A(x,y) = x + yA(kx,ky) = kx + ky
= k (x + y) = k A(x,y) A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1
2. A(x,y) = x2 + xyA(kx,ky) = k2x2 + kx ky
= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2
PD dengan koefisien fungsi homogen PD dengan koefisien fungsi homogen
� PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk),(
),('
yxB
yxAy =
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
13
Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
uxuy += ''
dx
dy
dx
du= x + u
dy = x du + u dx
dengan
ContohContoh
Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut
x
yxy
+=11.
Jawab:
x
yx
dx
dy +=
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
14
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
+=x
y
dx
dy1 � u
dx
dxudux +=+1 � ( )dxudxudux +=+ 1 �
dxdux = �x
dxdu = � ∫∫ =
x
dxdu � cxu += ln �
cxx
y += ln � xcxxy += ln
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy += ln
ContohContoh
2.
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
2
2 2
x
xyy
dx
dy +=
+
=⇒x
y
x
y
dx
dy2
2
0xy2ydx
dyx 22 =−− , y(1)=1
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
15
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
uudx
dxudux22 +=+
� ( )dxuudxudux 22 +=+ �
( )dxuudux += 2� x
dx
uu
du =+2 � ∫∫ =
+ x
dx
uu
du2 �
cxuu
dulnln
)1(+=
+∫ � cxduuu
ln1
11 =
+−∫ � ( ) cxuu ln1lnln =+−
Contoh (no.2 lanjutan)Contoh (no.2 lanjutan)
� cxu
uln
1ln =
+ � cx
xy
xy
ln1
ln =
+
� cxxy
ylnln =
+ � cxxy
y =+ �
2)1( cxcxy =−
cx2
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
16
� cx
cxy
−=
1
2
Diketahui y(1) = 1, sehingga
�c
c
−=
11
2
1=c
Jadi solusi khusus PD di atas adalahx
xy
−=
2
2
LatihanLatihan
1.
2.
5.
6.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
xy
yx
dx
dy
2
3 22 +=
2
22
x
yxyx
dx
dy ++=
yx
yx
dx
dy
++−=
2
34
2y dx – x dy = 0
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
17
3.
4.
7.
xydx 2
2
2 2
x
xyy
dx
dy +=
yx
yx
dx
dy
−+= 3
yxdx +2
yx
xy
dx
dy
−−=
2
34
PDB LinierPDB Linier
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
1y + P(x) y = r(x)
disebut PDB linier.
Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral
∫
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
18
∫ dxxPe
)(
∫ dxxPe
)(1y ∫ dxxPe
)( ∫ dxxPe
)(
1)()( ∫ dxxP
ye ∫ dxxPe
)(
+ P(x)y r(x)
= r(x)
Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:
Integralkan kedua ruas
∫= dx + c∫ dx)x(Pye ∫ dxxP
e)(
r(x) Solusi Umum PDB
=
ContohContoh
1. xy’ – 2y = x3 ex
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:
xexyx
y 22' =− (bagi kedua ruas dengan x)
Sehingga diperoleh faktor integrasi:
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
19
Sehingga diperoleh faktor integrasi:
2lnln22
2 −−−===∫ −
xeee xxdx
x
kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:
xeyx
yx
=−32
2'
1�
xeyx
=
1
2
1� cey
xx +=
2
1�
22 xcexy x +=Jadi solusi umumnya adalah
22 xcexy x +=
ContohContoh
2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:
Faktor integrasi dari PD di atas adalah:
xdxee =∫1
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
20
ee =kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:
( )21' +=+ xeyeye xxx� )1()'( 2 += xeye xx
�
∫ += dxxeye xx 2)1( � ( ) ∫ +−+= dxexexye xxx )1(21 2
( ) ( ) xcexxy −+++−+= 2121 2
�
( ) ceexexye xxxx +++−+= 2)1(21 2
sehingga xcexy −++= 12�
Contoh (no. 2 Lanjutan)Contoh (no. 2 Lanjutan)
Diketahui y(0) = 3, sehingga
�c+=13 2=c
Jadi solusi khusus PD di atas adalah xexy −−+= 212
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
21
LatihanLatihan
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
xxyy sectan'.3 =+
xeyy −=+2'.1
1')1(.2 2 −=++ xyyx
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
22
( )211
2'.4 +=
++ xx
yy
xxyy sectan'.3 =+
( ) 0)1(,1.6 1 ==++ − yeyxxy x
22'.5 xyy =+
26
,2sincos2'sin.7 =
=+ πyxxyyx
Trayektori OrtogonalTrayektori Ortogonal
� Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.
� Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:
� Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
23
nyatakan parameter c dalam x dan y.
� Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:
),(
11
yxDfy −=
� Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari
),(
11
yxDfy −=
ContohContoh
2cxy =Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO :
1. Tuliskan2cxy = dalam bentuk 2x
yc =
Kemudian turunkan yaitu:2cxy =
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
24
Kemudian turunkan yaitu:2cxy =
2. TO akan memenuhi PD
cxy 2'= �
=2
2'x
yxy �
x
yy 2'=
y2
x
x/y2
1y1 −=−=
Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)
3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:
y
xy
21 −=
y
x
dx
dy
2−=
∫ ∫−= xdxydy2 cx
y +−=2
22
2cxy =
�
��
�
x
y
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
25
)(2
22
ellipscyx
⇒=+
∫ ∫ 2
Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy =
adalah )(2
22
ellipscyx
⇒=+
LatihanLatihan
Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :
222 cyx =+ cxy +=222 cyx =− 4 x2 + y2 = c
4.
2.
1.
5.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
26
4 x + y = c
y = cx3.
Program Perkuliahan Dasar Umum
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Penggunaan PD Orde IPenggunaan PD Orde I
Penerapan dalam Rangkaian ListrikPenerapan dalam Rangkaian Listrik
Sesuai dengan Hukum Kirchhoff,
rangkaian listrik sederhana (gambar
samping) yang mengandung sebuah
tahanan sebesar R ohm dan sebuah
kumparan sebesar L Henry dalam
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
28
rangkaian seri dengan sumber gaya
elektromotif (sebuah baterai atau
generator) yang menyediakan suatu
voltase E(t) volt pada saat t memenuhi
( ) ( ) ( )tEtIRtIL =+'
Dengan I adalah arus listrik dalam ampere.
ContohContoh
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah
baterai yang menyediakan voltase sebesar E = 12 Volt dan
diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat
t = 0, jika saklar S ditutup).
1.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
29
Jawab
Persamaan diferensialnya adalah
Atau bisa disederhanakan menjadi
126'2 =+ II
63' =+ II
Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi te3
( ) ttt eCCeeI 333 22 −− +=+=
Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = –2
Kita peroleh
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
30
Sehingga,
teI 322 −−=
ContohContoh
Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator
arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan
diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat
t = 0, jika saklar S ditutup).
Jawab
2.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
31
Persamaan diferensialnya adalah
Atau bisa disederhanakan menjadi
tII 9sin126'2 =+
tII 9sin63' =+Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi
te3
( )∫−= dtteeI tt 9sin6 33
Kita peroleh
Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)
( )
+−
+= − CtCostSin
eeI
tt 9993
819
6 33
teCttI 39cos5
39sin
5
1 −+−=
Dengan integral parsial, didapat hasil integralnya adalah
Jadi,
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
32
55
C+−=5
30
5
3=C
tettI 3
5
39cos
5
39sin
5
1 −+−=
Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan
Sehingga,
⇔
LatihanLatihan
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 106 ohm, L = 1 henry dan
sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan
voltase sebesar E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal
arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S
1.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
33
ditutup).
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sumber
gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar
E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya
adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).
2.
LatihanLatihan
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sumber
gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar
E(t) = 120 sin 377 t Volt dan diasumsikan saat awal
arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S
3.
2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II
34
ditutup).
Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu
rangkaian RL dengan R = 1000 ohm, L = 3,5 henry dan
sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan
voltase sebesar E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan
saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika
saklar S ditutup).
4.