Post on 27-Jun-2015
LECTURE NOTES
LOGIKA MATEMATIKA
Disusun Oleh :Dra. D. L. CRISPINA PARDEDE, DEA.
0
UNIVERSITAS GUNADARMAPONDOK CINA, MARET 2003
1
DAFTAR ISI
BAB I HIMPUNAN DAN OPERASI BINER...............................................................2
1.1. OPERASI PADA HIMPUNAN......................................................................................41.2. PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN.............................................................61.3. ALJABAR HIMPUNAN................................................................................................7
BAB II RELASI......................................................................................................................9
2.1. PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI.................................................................92.2. PENYAJIAN RELASI...................................................................................................112.3. RELASI INVERS.........................................................................................................112.4. SIFAT RELASI............................................................................................................132.5. RELASI EKIVALEN....................................................................................................142.6. RELASI PENGURUTAN SEBGAIAN........................................................................15
BAB III FUNGSI.................................................................................................................17
3.1. FUNGSI SATU-SATU DAN FUNGSI PADA.............................................................183.2. INVERS DARI FUNGSI...............................................................................................193.3. KOMPOSISI FUNGSI..................................................................................................20
2
Pertemuan 1
BAB I HIMPUNAN DAN OPERASI BINER
Sebuah himpunan adalah kumpulan obyek atau simbol yang memiliki sifat
yang sama. Anggota himpunan disebut elemen.
Contoh 1.1.
D himpunan nama hari dalam satu minggu.
M himpunan mahasiswa jurusan teknik informatika di Universitas
Gunadarma.
N himpunan bilangan asli.
Sebuah himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk daftar anggota (bentuk
pendaftaran) atau dengan menyebutkan sifat yang dimiliki oleh semua anggota
(bentuk pencirian).
Contoh 1.2.
D = { Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu }
= { x x nama hari dalam satu minggu }
Himpunan P disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan Q, jika setiap
anggota P merupakan anggota Q. Hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis
sebagai P Q. Dengan cara lain, hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis
sebagai Q P dan dibaca Q superset dari P atau P terdapat di dalam Q .
Contoh 1.3.
Mahasiswa tingkat dua dari jurusan teknik informatika di Universitas
Gunadarma merupakan anggota dari himpunan M pada contoh 1.1 di atas.
Jika P merupakan himpunan mahasiswa tingkat dua tersebut, maka P
merupakan himpunan bagian dari himpunan M dan ditulis sebagai P M.
Dapat pula ditulis sebagai M P dan dibaca M superset dari P .
3
Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika mereka tidak memiliki
anggota bersama.
Contoh 1.4.
Himpunan mahasiswa S1 Universitas Gunadarma dan himpunan dosen S1
Universitas Gunadarma merupakan himpunan yang saling lepas.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan
dinyatakan sebagai { } atau .
Contoh 1.5.
A = { x x bilangan asli dan x < 1 } = .
Dalam rangka menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali
dibutuhkan pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta.
Himpunan-himpunan lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari
himpunan semesta tersebut. Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai
himpunan S atau U .
Contoh 1.6.
Himpunan bilangan riil R merupakan semesta dari himpunan bilangan asli N
dan himpunan bilangan bulat Z .
Dua buah himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang
benar-benar sama.
Contoh 1.7.
{ x x + 2 = 4 } = { y 3 y = 6 }.
Diagram Venn biasa digunakan untuk menggambarkan himpunan dan
hubungan antar himpunan. Anggota dari setiap himpunan ditempatkan dalam
4
sebuah bentuk tertutup, biasanya lingkaran. Himpunan semesta didefinisikan harus
mengandung semua himpunan lain dan biasa digambarkan dengan sebuah segi
empat.
Contoh 1.8.
S = himpunan bilangan riil.
Z = himpunan bilangan bulat.
N = himpunan bilangan asli.
1.1. OPERASI PADA HIMPUNAN
Jika S adalah himpunan semesta dan himpunan A S , komplemen dari
A , ditulis A’ , adalah himpunan dari semua anggota S yang bukan merupakan
anggota A .
A’ = { x x A }
Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A B, adalah
sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau
anggota keduanya.
A B = { x x A atau x B }
Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A B, adalah
sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A
dan B.
A B = { x x A dan x B }
Contoh 1.9.
Diketahui
S = { k k Z , 1 k 12 }
A = { x x Z , 1 < x < 10 }.
B = { y y Z , y kelipatan 3 dan 3 y 12 }.
5
SZ
N
Gambarkan diagram Venn yang memperlihatkan hubungan ketiga himpunan
tersebut dan hitung banyaknya anggota A B, A B, A’, B’, A’ B’ .
Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...
Gambar di bawah ini menunjukkan beberapa keadaan yang mungkin terjadi.
Kondisi
OperasiA B A B = B A
A Bdaerah berbayang n(A B) =
n(A) + n(B) – n(A B)n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) = n(A)
A Bdaerah berbayang
n(A B) =n(A) + n(B) – n(A B)
n(A B) = 0 n(A B) = n(B)
Selain ketiga operasi tersebut di atas, pada himpunan berlaku pula operasi selisih
dan operasi selisih simetri.
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B,
adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang
bukan merupakan anggota himpunan B.
A - B = { x x A dan x B }.Jelas bahwa
B - A = { x x B dan x A }.
Selisih simetri (symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B,
ditulis sebagai A B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan
anggota gabungan himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan anggota irisan
himpunan A dan B.
A B = ( A B ) – ( A B )atau
A B = ( A – B ) ( B - A ).
6
1.2. PERHITUNGAN ANGGOTA HIMPUNAN
Banyaknya anggota himpunan D (kardinalitas D) dinyatakan sebagai n(D)
atau D.
Contoh 1.10.
Dari contoh sebelumnya, n(D ) = 7, n(N ) tak hingga.
Contoh 1.11.
Sebuah survei dilakukan terhadap 30 siswa SD dan diperoleh data berikut :
B himpunan siswa yang memiliki sepeda, D himpunan siswa yang memiliki
anjing. n(B)=23 , n(D)=10, n(B D) = 6.
Tentukan :
a). banyaknya anak yang memiliki sepeda dan anjing.
b). banyaknya anak yang tidak memiliki sepeda maupun anjing.
c). banyaknya anak yang memiliki salah satu sepeda atau anjing, tapi tidak
keduanya.
Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...
Soal Latihan 1.1.
1. Sajikan himpunan A = { x x + 2 < 10, x Z+ } dalam bentuk pendaftaran.
2. Tunjukkan bahwa jika A B dan B C , maka A C.
3. Tunjukkan bahwa himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan bagian
dari A B.
4. Tunjukkan bahwa (A B) merupakan himpunan bagian dari himpunan A dan
dari himpunan B.
5. Tunjukkan bahwa jika A dan B adalah himpunan, maka (A – B) (A B).
6. Tunjukkan bahwa jika A B, maka A B = B.
7
Pertemuan 2
1.3. ALJABAR HIMPUNAN
Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan dan komplemen memenuhi
berbagai hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan hukum-hukum yang berlaku
pada operasi himpunan tersebut.
Hukum Asosiatif ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C )
Hukum Komutatif A B = B A A B = B A
Hukum Distributif A ( B C ) = ( A B ) (A C ) A ( B C ) = ( A B ) (A C )
Hukum Involusi (A’) ’ = A
Hukum Idempoten A A = A A A = A
Hukum Identitas A = A A S = A
Hukum Komplemen A A’ = S A A’ =
Hukum de Morgan ( A B ) ‘ = A’ B’ ( A B )’ = A’ B’
Contoh 1.12.
Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan bahwa
( P Q ) ( P’ R )’ = P ( Q’ R )’ .
Jawab :
Pernyataan
( P Q ) ( P’ R )’ = ( P Q ) ( (P’ )’ R’ )
(P’ )’ = P
( P Q ) ( P’ R )’ = ( P Q ) ( P R’ )
( P Q ) ( P R’ ) = P ( Q R’ )
( Q R’ ) = ( Q’ R )’
( P Q ) ( P’ R )’ = P ( Q’ R )’
Alasan
hukum de Morgan
hukum involusi
substitusi
hukum distribusi
hukum de Morgan
substitusi
8
Contoh 1.13.
Jika P, Q dan R adalah himpunan,
tunjukkan bahwa P’ (Q R)’ (P’ Q’ ) = P’ Q’
Jawab : ...diserahkan kepada pembaca....
Soal Latihan 1.2.
1. Buktikan bahwa (A B) (A B’ ) = A.
2. Buktikan bahwa, jika A B = S, maka A’ B. (S = semesta).
3. Buktikan bahwa A (A’ B ) = A B.
9
Pertemuan 3
BAB II RELASI
Anggota sebuah himpunan dapat dihubungkan dengan anggota himpunan lain
atau dengan anggota himpunan yang sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi.
Contoh 2.1.
Misalkan M = { Ami, Budi, Candra, Dita } dan N = { 1, 2, 3 }. Misalkan pula,
Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3 tahun, Candra berusia 2 tahun dan Dita
berusia 1 tahun, maka kita dapat menuliskan sebuah himpunan P = {(Ami, 1),
(Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)} dimana P merupakan himpunan pasangan
terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dengan
himpunan N. Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dengan
himpunan N dan dapat ditulis sebagai P = { (x,y) x berusia y, dimana xM
dan yN }.
2.1. PERKALIAN CARTESIAN DAN RELASI
Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan yang tidak kosong.
Perkalian Cartesian A x B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dimana
xA dan yB.
A x B = { (x,y) | untuk setiap xA dan yB }
Contoh 2.2.
Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.
C x D = { (2,x) , (2,y) , (3,x) , (3,y) , (4,x) , (4,y) }
D x C = { (x,2) , (y,2) , (x,3) , (y,3) , (x,4) , (y,4) }
Banyaknya anggota himpunan hasil perkalian cartesian A x B sama dengan
hasil kali antara banyaknya anggota A dengan banyaknya anggota B .
10
n(A x B ) = n (A ) x n(B ) .
Pada umumnya, A x B B x A . Akan tetapi n(A x B ) = n (B x A ).
Contoh 2.3.
1. Dari contoh 2.2. di atas, diketahui n(C ) = 3 dan n(D) = 2.
Dengan demikian n(C x D ) = 3 x 2 = 6.
2. Dari contoh 2.1. di atas, n(M x N ) = n(N x M ) = 12.
Sebuah relasi R yang memasangkan anggota himpunan A kepada anggota
himpunan B merupakan sebuah himpunan bagian dari perkalian cartesian A x B,
ditulis R : A B .
Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A , maka R A x A dan
ditulis R : A A .
Contoh 2.4.
1. Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D = { x, y }.
Sebuah relasi R1: C D didefinisikan sebagai R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x),
(4,y) }. Jelas bahwa R1 C x D.
2. Relasi R2 : G G didefinisikan pada himpunan G = {5, 7, 11} sebagai
R2 = { (x,y) |x < y, dimana x, yG }. Relasi tersebut dapat dinyatakan
sebagai R2 = {(5,7),(5,11), (7,11)} dan jelas bahwa R2 G x G.
3. Diketahui Q = {w, k} . Tentukan Q x Q dan relasi R3 = { (x,y) | x y, x,
yQ }. Apakah R3 Q x Q ?
Jika A dan B adalah himpunan yang masing-masing memiliki sebanyak n(A)
dan n(B) anggota, maka n(A x B) = n(A) x n(B). Setiap relasi yang memasangkan
anggota A dengan anggota B merupakan himpunan bagian dari perkalian cartesian
A x B . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa dapat didefinisikan
sebanyak ................... relasi yang memasangkan anggota A kepada anggota B .
11
2.2. PENYAJIAN RELASI
Sebuah relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu : himpunan
pasangan terurut dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), himpunan pasangan terurut
dalam bentuk pencirian, diagram panah, diagram koordinat atau grafik relasi, matriks
relasi, bentuk graf berarah (digraf)
Contoh 2.5.
Diketahui C = { 2, 3, 4 }, D = { x, y } dan sebuah relasi yang ditulis dalam
bentuk pendaftaran R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y) }. Relasi tersebut dapat
disajikan dalam bentuk lain, misalnya :
Bentuk diagram panah Bentuk diagram koordinat Bentuk Matriks
2.3. RELASI INVERS
Setiap relasi R dari himpunan A kepada himpunan B memiliki invers yang
dinamakan R-1 dari himpunan B kepada himpunan A, yang ditulis sebagai
R-1 = { ( y , x ) ( x , y ) R }
Dengan kata lain, relasi invers R-1 dari R mengandung pasangan-pasangan
terurut yang bila dibalikkan akan terkandung dalam relasi R .
Contoh 2.6.
Misalkan A = {1, 2, 3}, B = { a, b} dan relasi R = { (1,a) , (2,a) , (2,b) , (3,a) }
merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R adalah relasi
R-1 = { (a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }.
Contoh 2.7.
12
C D
2
3
4
x
y 2 3 4
yx
01M =1011
Misalkan W = {a, b, c}, relasi R = { (a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b) } merupakan
relasi pada W . Invers dari relasi R adalah relasi
R-1 = { (b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c) }
Soal Latihan 2.1.
1. Diketahui G = { 5, 7, 11 }. Tentukan G x G dan n(G x G ).
2. Diketahui himpunan A = {a, b} dan himpunan B = { 9 }. Tentukan semua relasi
R : A B yang dapat didefinisikan dan hitung jumlahnya.
3. Diketahui himpunan C = {x, y}. Tentukan semua relasi R : C C yang dapat
didefinisikan dan hitung jumlahnya.
4. Misalkan D = {1, 3, 5, 9}. Pada himpunan tersebut didefinisikan relasi
a. R 1 = { (x,y) x y }
b. R 2 = { (x,y) x + 2 y }
c. R 3 = { (x,y) x.y 50 }
Sajikan relasi-relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan terurut.
Tentukan invers dari setiap relasi tersebut.
5. Nyatakan invers dari tiap relasi berikut :
a. R = { (x,y) x habis dibagi oleh y, x, y Z }
b. R = { (x,y) x y, x, y Z }
c. R = { (x,y) x – 4 = y, x, y Z }
13
Pertemuan 4
2.4. SIFAT RELASI
Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R
dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap a A berlaku (a,a) R.
Contoh 2.8.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1), (1,2), (2,2),
(2,3) , (3,3) , (3,2) }. Relasi R1 tersebut bersifat refleksif.
Contoh 2.9.
Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R2={(x,y)x kelipatan y,
x,yB }. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat
refleksif.
Contoh 2.10.
Diketahui B = {2,4,5}. Pada B didefinisikan relasi R3 = {(x,y)x + y <10,
x,yA}. Maka R3={(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi R3
tersebut tidak bersifat refleksif.
Relasi R bersifat simetris jika untuk setiap (a,b) R berlaku (b,a) R.
Contoh 2.11.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R4 = { (1,1) , (1,2) ,
(2,2) , (2,1) , (3,3) }. Relasi R4 tersebut bersifat simetris.
Contoh 2.12.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }. Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x
kelipatan y , x,y B } = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R2 tersebut tidak
bersifat simetris karena (4,2) R2 tetapi (2,4) R2.
14
Relasi R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)R dan (b,c)R berlaku (a,c)R.
Contoh 2.13.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi R4 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R4 tersebut bersifat transitif.
Contoh 2.14.
Relasi R1 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2) } yang didefinisikan pada
himpunan A = {1, 2, 3 } tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2) R1
dan (2,3) R1, tetapi (1,3) R1 .
Relasi R dikatakan bersifat antisimetris jika untuk setiap (a,b) R dan (b,a) R
berlaku a = b.
Contoh 2.15.
Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x kelipatan y ,
x,y B }. Dengan demikian R2 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R2 tersebut
bersifat antisimetris.
Contoh 2.16.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)R5 dan
(2,1) R5, tetapi 1 2.
2.5. RELASI EKIVALEN
Relasi R disebut sebagai sebuah relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat
refleksif, simetris dan transitif.
Contoh 2.17.
15
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena itu
relasi R5 merupakan relasi ekivalen.
Contoh 2.18.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }.
Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x kelipatan y , x,y B }.
R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }
Relasi R2 tersebut tidak bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut
bukan relasi ekivalen.
2.6. RELASI PENGURUTAN SEBGAIAN
Relasi R disebut sebagai sebuah relasi pengurutan sebagian (partial
ordering), jika relasi tersebut bersifat refleksif, transitif dan antisimetris.
Contoh 2.19.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut bersifat refleksif dan transitif, tetapi tidak bersifat
antisimetris. Oleh karena itu relasi tersebut bukan merupakan relasi
pengurutan sebagian.
Contoh 2.20.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }.
Pada B didefinisikan relasi R2 = { (x,y) x kelipatan y , x,y B }.
R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5) , (4,2) }
Relasi R2 tersebut bersifat refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu
relasi tersebut merupakan relasi pengurutan sebagian.
Soal Latihan 2.2.
16
1. Diketahui D = { x x garis lurus }
Pada D didefinisikan relasi R = { (x,y) x sejajar y, x D , y D }
Relasi R tersebut bersifat .....................................................
2. Diketahui P = { x x subset dari himpunan A }
Pada P didefinisikan relasi R = { (x,y) x y , x P , y P }
Relasi R tersebut bersifat .....................................................
3. Diketahui D = { x x garis lurus }
Pada D didefinisikan relasi R = { (x,y) x tegak lurus y, x D , y D }
Relasi R tersebut bersifat .....................................................
4. Relasi-relasi berikut didefinisikan pada himpunan B = { 2, 4, 5 }.
a. R = { (2,2) , (4,4) , (5,5) }
b. R = { (2,4) , (4,5) , (2,5) , (5,2) , (2,2) }
c. R = { (5,4) }
d. R = { (x,y) x habis membagi y , x,y B }.
Tentukan sifat yang dimiliki oleh masing-masing relasi tersebut.
5. Relasi-relasi berikut didefinisikan pada himpunan Z (himpunan bilangan bulat).
a. R = { (2,2) , (4,4) , (5,5) }
b. R = { (2,4) , (4,5) , (2,5) , (2,2) }
c. R = { (5,4) }
d. R = { (x,y) x habis membagi y }.
e. R = { (x,y) x y }.
Tentukan sifat yang dimiliki oleh masing-masing relasi tersebut.
6. Diketahui D = { x x garis lurus }. Pada D didefinisikan relasi
a. R = { (x,y) x sejajar y, x D , y D }
b. R = { (x,y) x tegak lurus y, x D , y D }
c. R = { (x,y) x berpotongan dengan y, x D , y D }
Di antara ketiga relasi tersebut, sebutkan relasi yang merupakan relasi ekivalen
dan relasi yang merupakan relasi pengurutan sebagian.
17
Pertemuan 5
BAB III FUNGSI
Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak kosong. Sebuah relasi f
dari A pada B disebut fungsi jika untuk setiap x A terdapat satu dan hanya
satu y B dimana (x ,y ) f .
Contoh 3.1.
Relasi R1 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R1 = {(3,4),(4,4),
(5,3)}. Relasi R1 tersebut merupakan sebuah fungsi.
Relasi R2 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R2 = {(3,4),(3,5),
(4,4), (5,3)}. Relasi R2 tersebut bukan sebuah fungsi.
Relasi R3 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R3 = {(3,4),(3,5),
(5,3)}. Relasi R3 tersebut bukan sebuah fungsi.
Jika f merupakan fungsi yang memasangkan kepada setiap anggota A satu
dan hanya satu anggota B , atau ditulis f : A B, maka A disebut sebagai
domain dan B disebut sebagai co-domain. Jika f(x) = y , maka y disebut image
dari x di bawah f dan x disebut preimage dari y .
Contoh 3.2.
Dari contoh 1, fungsi R1 = {(3,4),(4,4), (5,3)}. Himpunan A = {3, 4, 5}
merupakan domain dan co-domain dari fungsi R1 .
Daerah hasil (range) dari f : A B adalah himpunan image dari semua anggota A
di bawah fungsi f.
18
Contoh 3.3.
• f(a) = X.
• image dari d adalah X.
• domain dari f adalah P = {a, b, c, d}
• co-domain dari f adalah Q = { X, Y, Z }
• f(P) = { X, Y }
• preimage dari Y adalah c
• preimage dari X adalah a, b dan d
• f({c,d}) = {X,Y }
• range dari f adalah {X,Y }
3.1. FUNGSI SATU-SATU DAN FUNGSI PADA
Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A pada himpunan B. Fungsi f
disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injectif jika semua preimage adalah
unik. Dengan kata lain, jika a b maka f(a) f(b) . Fungsi f disebut fungsi
pada (onto) atau surjectif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata
lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f(x) = y .
Fungsi f disebut bijectif, jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada .
Contoh 3.4.
1. Fungsi pada contoh 3.3 di atas bukan merupakan fungsi satu-satu dan
bukan merupakan fungsi pada. Dengan demikian, fungsi tersebut bukan
merupakan fungsi bijektif.
Nyatakan fungsi-fungsi berikut sebagai fungsi satu-satu, fungsi pada atau
fungsi bijektif.
19
a b c d
X
Y
Z
P Qf
Jika terdapat bijeksi antara himpunan A dan himpunan B, maka banyaknya
anggota kedua himpunan tersebut harus sama. Dengan kata lain, kedua himpunan
tersebut harus memiliki kardinalitas yang sama.
3.2. INVERS DARI FUNGSI
Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A pada himpunan B. Invers dari
fungsi f adalah relasi f -1 : B A dimana f -1(B) = { x | f (x) = y , xA, yB }.
Contoh 3.5.
Diketahui fungsi f : P Q
Invers dari fungsi tersebut adalah f -1 : Q P :
Contoh 3.6.
Diketahui fungsi f : PQ , dimana P = { 2,4,6 }, Q = { 1,2,4,9,16,25,36 } dan
f(x) = x2. Invers dari fungsi f adalah f -1(x) = x dimana x Q dan f -1(x)P
Sebuah fungsi disebut sebagai fungsi invers jika invers dari fungsi tersebut
merupakan sebuah fungsi.
Contoh 3.7.
20
a b c d
X
Y
Z
P Qf
a b c d
X
Y
Z
Q Pf-1
Fungsi f dari contoh soal 3.5. di atas bukan fungsi invers, karena f-1 bukan
fungsi.
3.3. KOMPOSISI FUNGSI
Misalkan f : B C dan g : A B adalah fungsi. Komposisi f dengan g ,
ditulis fog adalah fungsi dari A kepada C yang didefinisikan sebagai fog(x) = f(g(x)).
Contoh 3.8.
Jika f (x) = x2 dan g (x) = 2x + 1, maka fog (x) = f(g (x)) = (2x+1)2
dan gof (x) = g (f (x)) = 2x2 + 1.
Contoh 3.9.
fog(a) = r , fog(b) = r , fog(c) = p , fog(d) = r .
Soal Latihan 3.1.
1. Di antara relasi-relasi berikut, relasi manakah yang merupakan fungsi ?
2. Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Tentukan fungsi
yang merupakan fungsi satu-satu, fungsi pada atau fungsi bijektif.
a. f(x) = x
b. f(x) = x2
c. f(x) = x3
d. f(x) = | x |
21
P Q R
a b c d
X
Y
Z
f
p
q
r
g
3. Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil R. Tentukan invers
dari setiap fungsi tersebut dan tentukan fungsi yang merupakan fungsi invers.
a. f(x) = x
b. f(x) = x2
c. f(x) = x3
d. f(x) = | x |
4. Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Tentukan semua fungsi invers yang dapat didefinisikan
untuk memetakan A pada A.
5. Diketahui f(x) = 2 x . Tentukan
a. f(N ) ; N = himpunan bilangan asli.
b. f(Z ) ; Z = himpunan bilangan bulat.
c.c. f(R ) ; R = himpunan bilangan riil.
22