Transcript of nos.jkt-1.neo.idii ii vii Hak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi...
1687Hak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Dilindungi Undang-Undang
MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN
Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan
Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini
disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap
awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup”
yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai
dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari
berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku
ini.
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Matematika: Buku
Guru/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Edisi Revisi.
Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014. xxii, 578
hlm. : ilus. ; 25 cm.
Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X ISBN 978-602-282-494-7 (jilid lengkap)
ISBN 978-602-282-495-4 (jilid 1)
1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan
510
Penelaah : Agung Lukito dan Sisworo. Penyelia Penerbitan : Pusat
Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Cetakan Ke-1, 2013 Cetakan Ke-2, 2014 (Edisi Revisi) Disusun dengan
huruf Times New Roman, 11 pt.
iiiMatematika
Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau
pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan
terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa
gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui
pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin
disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan
mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.
Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan
secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal
matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan.
Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling
efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan
matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan
parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter,
membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan,
membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika,
menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan
nilai abstrak yang diperoleh.
Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun
dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta
didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku
ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan
dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan
abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan
kreatif.
Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya
keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan,
kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran
berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang
metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan
menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan
menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur,
kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.
Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta
didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan
pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik
diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia
dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk
meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan
ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan
kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan
yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.
Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat
tanggapan yang sangat positif dan masukan yang sangat berharga.
Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam
menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran
2014/2015 dan seterusnya. Buku ini merupakan edisi kedua sebagai
penyempurnaan dari edisi pertama. Buku ini sangat terbuka dan terus
dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang
para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan
dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut,
kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang
terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan
generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).
Jakarta, Januari 2014
Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita
lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan,
mereka berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan
berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas
mulia ini cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak
habis-habisnya dari generasi ke generasi.
Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan
menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak
berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan
Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan
tindakan dan menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas
pendidikan matematika di setiap sekolah tempat guru melaksanakan
tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama
dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal
karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerjasama memikirkan
jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang
bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan
karakteristik peserta didik di sekolah Bapak/Ibu ?.
Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran
matematika berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini
didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah
memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap
orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah produk budaya,
yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah
kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran
manusia. Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media
pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran
di kelas.
Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang
relevan dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran
matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis
masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif
dan banyak model pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat
mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber
pembelajaran.
Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara
lain: (1) eksponen dan logaritma, (2) persamaan dan pertidaksamaan
linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4)
matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7)
persamaan dan fungsi kuadrat, (8) geometri, (9) trigoniometri, (10)
statistik, (11) peluang, dan (12) limit fungsi yang tertera dalam
kurikulum 2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalam
matematika ditemukan melalui penyelesaian masalah nyata, media
pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh
materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang
ditetapkan dalam kurikulum matematika 2013. Semua petunjuk yang
diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena
itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan
keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung.
Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas
pendidikan matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah
diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita
persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas,
percayalah kamu akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai.
Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga buku
petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan
proses pembelajaran matematika di sekolah.
Jakarta, Pebruari 2013 Tim Penulis
vMatematika
Surat untuk Guru
.............................................................................................................
iv Daftar Isi
...........................................................................................................................
v Petunjuk Penggunaan Buku Guru
....................................................................................
ix Model Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik Dengan Pendekatan
Scientific Learning
..........................................................................
ix Pedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran
.............................................................. xv
Fase Konstruksi Matematika
...........................................................................................
xviii Contoh Analisis Topik
................................................................................................
xix Peta Konsep Matematika SMP Kelas X
..........................................................................
xx
Bab 1 Eksponen dan Logaritma
...............................................................................
1 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 1 B. Peta Konsep
..............................................................................................
2 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
3 1. Menemukan konsep Eksponen
........................................................... 3 2.
Pangkat Bulat Negatif
.........................................................................
10 3. Pangkat 0
............................................................................................
10 4. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif
.......................................................... 11 5.
Pangkat Pecahan
................................................................................
18 Uji Kompetensi 1.1
............................................................................................
20 6. Bentuk Akar
.........................................................................................
22 7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat
.............................. 24 8. Operasi Pada Bentuk Akar
..................................................................
25 a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
................ 25 b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
.......................... 26 c. Merasionalkan Penyebut Berbentuk
Akar ................................... 27 Uji Kompetensi 1.2
............................................................................................
34 9. Menemukan Konsep Logaritma
.......................................................... 37 10.
Sifat-sifat Logaritma
............................................................................
43 Uji Kompetensi 1.3
............................................................................................
49 Penutup..................
...........................................................................................
52
Bab 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
....................................................... 55 A.
Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 55 B. Peta Konsep
..............................................................................................
56 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
57 1. Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak
............................. 57 2. Persamaan Linear
...............................................................................
65 3. Pertidaksamaan Linear
.......................................................................
74 Uji Kompetensi 2.1
............................................................................................
78 4. Persamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak
................................ 80 5. Pertidaksamaan Linear yang
Melibatkan Nilai Mutlak ........................ 83 Uji Kompetensi
2.2
............................................................................................
92 Penutup
................................................................................................
95
Bab 3 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
.......................................... 97 A. Kompetensi Dasar
dan Pengalaman Belajar
............................................. 97
Diunduh dari BSE.Mahoni.com
vi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
B. Peta konsep
...............................................................................................
98 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
99 1. Menemukan konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
............ 99 Uji Kompetensi 3.1
............................................................................................
112 2. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
........... 113 Uji Kompetensi 3.2
............................................................................................
124 3. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linear
......................................... 126 a. Menentukan
Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua variabel
................................................... 126 b.
Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel .................................................. 135 Uji
Kompetensi 3.3
............................................................................................
142 Kunci Jawaban Soal-Soal Tantangan
............................................................... 147
4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
...................................... 152 Uji kompetensi 3.4
............................................................................................
157 Penutup
................................................................................................
160
Bab 4 Matriks
................................................................................................
163 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 164 B. Peta Konsep
..............................................................................................
165 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
166 1. Menemukan Konsep Matriks
............................................................... 166
2. Jenis-Jenis Matriks
..............................................................................
176 3. Transpos Matriks
.................................................................................
180 4. Kesamaan Dua Matriks
.......................................................................
185 Uji Kompetensi 4.1
............................................................................................
187 5. Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya Dalam
Pemecahan Masalah
............................................................... 191
a. Operasi Hitung pada Matriks
........................................................ 191 Uji
Kompetensi 4.2
............................................................................................
207 Penutup
................................................................................................
210
Bab 5 Relasi dan Fungsi
...........................................................................................
213 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 213 B. Peta Konsep
..............................................................................................
214 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
215 1. Menemukan Konsep Relasi
................................................................
215 2. Sifat-Sifat Relasi
..................................................................................
225 3. Menemukan Konsep Fungsi
............................................................... 230
Uji Kompetensi 5.1
............................................................................................
240 Penutup
................................................................................................
245
Bab 6 Barisan dan Deret
...........................................................................................
247 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 247 B. Peta Konsep
..............................................................................................
248 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
249 1. Menemukan Pola Barisan dan Deret
.................................................. 249 2. Menemukan
Konsep Barisan dan Deret Aritmatika ............................
258 Uji Kompetensi 6.1
............................................................................................
270 3. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri
............................. 272
viiMatematika
a. Barisan Geometri
........................................................................
272 b. Deret Geometri
............................................................................
275 Uji Kompetensi 6.2
............................................................................................
285 Penutup
................................................................................................
287
Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat
....................................................................
289 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
.............................................. 289 B. Peta Konsep
..............................................................................................
290 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
291 1. Persamaan Kuadrat
............................................................................
291 a Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Variabel
............. 291 Uji Kompetensi 7.1
............................................................................................
304 b. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat
................................ 306 c. Menemukan Rumus Untuk
Menentukan Hasil Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
..................................................... 312 d.
Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1 dan x2
....................... 315 Uji Kompetensi 7.2
............................................................................................
316 2. Fungsi Kuadrat
.....................................................................................
318 a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat
........................................... 318 Uji Kompetensi 7.3
............................................................................................
331 b. Grafik Fungsi Kuadrat
..................................................................
332 c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
................... 341 Uji Kompetensi 7.4
............................................................................................
343 Penutup
................................................................................................
344
Bab 8 Trigonometri
................................................................................................
347 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 347 B. Peta Konsep
..............................................................................................
348 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
349 1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)
..................................................... 349 2. Konsep
Dasar Sudut
...........................................................................
352 Uji Kompetensi 8.1
............................................................................................
355 3. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
.......................... 356 Uji Kompetensi 8.2
............................................................................................
365 4. Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran
....................... 367 5. Perbandingan Trigonometri untuk
Sudut 300, 450, dan 600 .................. 373 6. Grafik Fungsi
Trigonometri
..................................................................
386 Uji Kompetensi 8.3
............................................................................................
396 Penutup
................................................................................................
400
Bab 9 Geometri
...............................................................................................
403 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 403 B. Peta Konsep
..............................................................................................
404 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
405 1. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang
........................... 405 a. Kedudukan Titik
............................................................................
405 b. Jarak Antara Titik dan Titik
........................................................... 408 c.
Jarak Titik ke Garis
.......................................................................
412 d. Jarak Titik ke Bidang
....................................................................
416 e. Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang yang Sejajar
................ 423
viii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Uji Kompetensi 9.1
............................................................................................
424 2. Menemukan Konsep Sudut pada Bangun Ruang
............................... 426 a. Sudut antara Dua Garis dalam
ruang ........................................... 430 b. Sudut
antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang .................. 434 c.
Sudut antara Dua Bidang pada Bangun Ruang
........................... 440 Uji Kompetensi 9.2
............................................................................................
443 Penutup
................................................................................................
446
Bab 10 Limit Fungsi
................................................................................................
449 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 449 B. Peta Konsep
..............................................................................................
450 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
451 1. Menemukan Konsep Limit Fungsi
........................................................ 452 2.
Sifat-Sifat Limit Fungsi
........................................................................
446 3. Menentukan Limit Fungsi
....................................................................
484 Uji Kompetensi 10.1
..........................................................................................
493 Penutup
................................................................................................
496
Bab 11 Statistika
................................................................................................
499 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 499 B. Peta Konsep
..............................................................................................
500 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
501 1. Data Tunggal
.......................................................................................
501 a. Penyajian Data Dalam Bentuk Tabel
............................................... 501 b. Penyajian
dalam bentuk Diagram
................................................... 505 2. Data
Kelompok
....................................................................................
513 a. Penyajian data dalam bentuk tabel
................................................. 513 b. Penyajian
dalam bentuk diagram (Histogram) ................................
516 Uji Kompetensi 11.1
..........................................................................................
517 Penutup
................................................................................................
520
Bab 12 Peluang
................................................................................................
521 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
............................................. 521 B. Peta Konsep
..............................................................................................
522 C. Materi Pembelajaran
..................................................................................
523 1. Kemungkinan Suatu Kejadian
............................................................. 523
2. Frekuensi Realtif Suatu Hasil Percobaan
........................................... 529 3. Peluang Suatu
Kejadian
......................................................................
534 Uji Kompetensi 12.1
..........................................................................................
544 Penutup
................................................................................................
546
Petunjuk Teknis Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan
........................................... 548 A. Petunjuk
Pelaksanaan Penilaian
............................................................... 548
1. Penilaian kompetensi pengetahuan
.................................................... 548 2.
Penilaian kompetensi keterampilan
.................................................... 554 3.
Penilaian kompetensi sikap
..................................................................
564 Lembar Partisipasi
.............................................................................................
571 B. Petunjuk Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan
..................................... 574
Daftar Pustaka
..............................................................................................................
577
Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru,
saat guru menggunakan buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan,
antara lain: (1) pentingnya guru memahami model pembelajaran
berbasis konstruktivis dengan pendekatan scientific learning
terkait sintaksis model pembelajaran yang diterapkan, sistem
sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru mengajar di
kelas), sistem pendukung pemeblajaran yang harus dipersiapkan
(berbagai fasilitas, misalnya buku siswa, lembar aktivitas siswa,
media pembelajaran, instrumen penilaian, tugas-tugas yang akan
diberikan), serta dampak intruksional dan dampak pengiring (sikap)
yang harus dicapai melalui proses pembelajaran; (2) mengorganisir
siswa belajar (di dalam dan luar kelas) dalam memberi kesempatan
mengamati data, informasi, dan masalah, kerja kelompok dalam
memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar bagi siswa; (3)
memilih model, strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan
pembelajaran yang efektif; (4) memilih sumber belajar yang
melibatkan partisipasi aktif siswa dalam proses pembelajaran yang
dipicu melalui pengajuan masalah, pemberian tugas produk, projek;
(5) petunjuk penggunaan asesmen otentik untuk mengecek keberhasilan
aspek sikap, pengetahuan dan keterampilan; (6) petunjuk pelaksanaan
remedial dan pemberian pengayaan. Isi buku guru ini, memuat
petunjuk pembelajaran di setiap bab yang berdampingan dengan
aktivitas yang ada di buku siswa. Pertanyaan-pertanyaan kritis dan
latihan memiliki kunci jawaban dan arahan pembelajaran dari guru
untuk pemecahannya. Di samping proses pembelajaran yang tertuang
dalam penjelasan singkat model pembelajaran konstruktivis, tersedi
petunjuk pelaksanaan pembelajaran remedial dan pengayaan serta
pelaksanaan penilaian berbasis proses.
B. MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS KONSTRUKTIVISTIK DENGAN PENDEKATAN
SCIENTIFIC LEARNING
Model pembelejaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori
pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik, seperti
Project-Based Learning, Problem- Based Learning, dan Discovery
Learning dengan pendekatan scientific learning melalui proses
mengamati, menanya, menalar, mencoba, membangun jejaring dan
mengomunikasikan berbagai informasi terkait pemecahan masalah real
world, analisis data, dan menarik kesimpulan. Proses pembelajaran
memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai
masalah real world yang sangat
x Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
mempengaruhi aktifitas dan perkembangan mental siswa selama proses
pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir, tumbuh
dan berkembang dalam matriks sosial tertentu dan telah memiliki
potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang
dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi
sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4)
matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Metode
pembelajaran yang diterapkan, antara lain: metode penemuan,
pemecahan masalah, tanya-jawab, diskusi dalam kelompok heterogen,
pemberian tugas produk, unjuk kerja, dan projek. Pembelajaran
matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelas
adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa
diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi
penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka,
(3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif
dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan
bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi
menggunakan grafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil
kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan
berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang
ditemukan melalui proses pembelajaran. Rancangan model pembelajaran
yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama model
pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.
1. Sintaks Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran,
yaitu:
a. Apersepsi Tahap apersepsi diawali dengan mengimformasikan kepada
siswa kompetensi dasar dan indikator yang akan dicapai siswa
melalui pembelajaran materi yang akan diajarkan. Kemudian guru
menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar pada diri siswa
melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari dalam
penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa
terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika
melalui penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan
lingkungan kehidupan siswa dengan strategi penyelesaian yang
menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan guru. Dengan
demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan,
imformasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam
ingatan siswa, dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap
informasi baru dikaitkan dengan apa yang diketahui siswa dan
menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip matematika
yang dipelajari dalam kehidupan.
xiMatematika
b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah Pada tahap
orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa
mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui
belajar kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip
kooperatif, yakni keheterogenan anggota kelompok dari segi
karakteristik (kemampuan dan jenis kelamin) siswa, berbeda budaya,
berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih bekerjasama,
berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling
memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi
informasi. Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar
Aktivitas Siswa (LAS) dan Asesmen Otentik. Selanjutnya guru
mengajukan permasalahan matematika yang bersumber dari lingkungan
kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis (jujur,
konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar
para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi
dan mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta
mendorong siswa bekerjasama. Selanjutnya, guru memusatkan
pembelajaran pada siswa dalam kelompok belajar untuk menyelesaikan
masalah. Guru meminta siswa memahami masalah secara individu dan
mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan dilanjutkan
berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan
ide-ide, berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar
anggota kelompok saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil
pemikiran teman, mencari ide dan jalan keluar penyelesaian masalah.
Setiap kelompok memadu hasil pemikiran dan menuangkannya dalam
sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota kelompok
mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah
seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan.
Selanjutnya guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian
petunjuk, memberi kemudahan pengerjaan siswa, contoh analogi,
struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa dapat mengambil
alih tugas-tugas penyelesaian masalah.
c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja Pada tahapan ini,
guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil kerjanya di
depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi
tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan
pemikiran. Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji
pemahaman/penguasaan penyaji dan dapat ditanggapi oleh kelompok
lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok yang akan
dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan
jawaban dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi
kelompok yang perlu mendapat perhatian khusus. Dengan demikian
kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama presentasi hasil
kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa
mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft
skill.
xii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil
diskusi dan hasil kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam
penyajiannya, kelompok penyaji akan diuji oleh kelompok lain dan
guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas penyelesaian
masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap-
tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok
lain atau alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga
pertimbangan-pertimbangan secara objektif akan muncul di antara
siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih siswa terampil
menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan umum
(teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut
adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran
berdasarkan masalah, untuk memampukan siswa
berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.
d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru Objek-objek
matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari proses
dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan
abstraksi konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan
mengkonstruksi konsep secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru
melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuan contoh dan bukan
contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswa memberi
alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep.
Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami.
Sesekali guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang
ditemukan, serta melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan
contoh dan bukan contoh konsep. Berdasar konsep yang
ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat dan
aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan
soal-soal tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan
prinsip matematika yang dimiliki.
e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian
Masalah Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok
mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa
dalam proses penemuan konsep dan prinsip. Selanjutnya, guru
melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian kuis atau
meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas dirumah atau
membuat peta materi yang dipelajari.
2. Sistem Sosial Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran
menerapkan pola pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio
kultural di antara siswa dan temannya, guru selalu menanamkan
nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa
xiiiMatematika
dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah,
saling bertanya/ berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang
pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat, guru
tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong
royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati
bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan
berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat
terhadap temannya maupun pada guru.
3. Prinsip Reaksi Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini
dilkamusi teori konstruktivis dan nilai budaya dimana siswa belajar
yang memberi penekanan pembelajaran berpusat pada siswa, sehingga
fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator dalam
pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran
siswa berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam
menyelesaikan masalah harus bersifat mengarahkan, membimbing,
memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa. Untuk
mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan
pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan
terbuka, mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang
diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan
kelemahan atas pemahaman siswa dan memancing mereka menemukan jalan
keluar untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang sesungguhnya.
Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan
penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada
siswa lainnya memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika
keseluruhan siswa mengalami kesulitan, maka guru saatnya memberi
penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk sampai siswa dapat
mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya. Ketika
siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya
diskusi dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha
menyelesaikan tugas-tugasnya.
4. Sistem Pendukung Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana
secara praktis dan efektif, guru diwajibkan membuat suatu rancangan
pembelajaran yang dilkamusi teori pembelajaran konstruktivis dan
nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam setiap
langkah-langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan
fasilitas belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model
yang berisikan teori- teori pendukung dalam melaksanakan
pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan
seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana
pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa,
objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan media
pembelajaran yang diperlukan.
xiv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan Dampak
langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa
merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian
masalah dan terbiasa menyelesaikan masalah nyata di lingkungan
siswa. Pemahaman siswa terhadap obek-objek matematika dibangun
berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman belajar yang telah
dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan
pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer
pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah, berpikir kritis dan
kreatif. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan
siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan
motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa
memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yang
dipamami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi
belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi
matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri
dengan keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah
tetapi bekerja dengan simbol-simbol. Selain dampak di atas, siswa
terbiasa menganalisis secara logis dan kritis memberikan pendapat
atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang
dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan
yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan
kemampuan), serta berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara
siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat
bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses
penemuannya. Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan
model pembelajaran berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu
menemukan kembali berbagai konsep dan aturan matematika dan
menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi kehidupan
sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika
sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil
pemikiran dunia luar tetapi berada pada lingkungan budaya siswa
yang bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di lingkungan
budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan sendirinya rasa
memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan
budayanya. Siswa memkamung bahwa matematika terkait dan inklusif di
dalam budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu
saat diharapkan siswa memiliki cara tersendiri memeliharanya dan
menjadikannya Landasan Makna (Landasan makna dalam hal ini berpihak
pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku,
cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku- pelaku
budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif
keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan
berpikir siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan
masalah-masalah non rutin.
xvMatematika
indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok
bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan
dengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah,
memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan
masalah otentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan
budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu,
berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.
2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan
peta konsep (contoh disajikan di bawah).
3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa
sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu
dilakukan tes kemampuan awal siswa.
4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus
dipersiapkan oleh guru, misalnya: rencana pembelajaran, buku
petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS),
objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari
fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga
jika dibutuhkan.
5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan
tidak harus sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk
tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran
untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk
satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk
semester tersebut.
6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran
antara alain: Produk : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait
dengan materi pokok Proses : Apersepsi budaya, interaksi sosial
dalam penyelesaian
masalah, memodelkan masalah secara matematika, merencanakan
penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta
mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah.
Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir
deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir
kreatif).
xvi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Keterampilan : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan
berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi.
Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan
yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur
mengungkapkan pendapat, berlatih berpikir kritis, kreatif, dan
senang belajar matematika.
Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang
dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model
pembelajaran berbasis konstruktivistik. Sementara, rencana
pembelajaran adalah operasional dari sintaks. Sehingga skenario
pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun
mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks
model pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1)
apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3)
persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek
matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan
mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang
dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai
berikut: 1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara
lain:
a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar. b.
Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya
dan
matematika sebagai hasil konstruksi sosial. c. Menjelaskan pola
interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam
menyelesaikan masalah. d. Memberikan motivasi belajar pada siswa
melalui penanaman nilai matematis,
soft skill dan kebergunaan matematika. e. Memberi kesempatan pada
siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti
pada materi sebelumnya. 2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian
masalah dengan pola interaksi edukatif
antara lain: a. Membentukan kelompok b. Mengajukan masalah yang
bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa c. Meminta siswa
memahami masalah secara individual dan kelompok d. Mendorong siswa
bekerjasama menyelesaikan tugas-tugas e. Membantu siswa merumuskan
hipotesis (dugaan). f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa
menyelesaikan masalah dan
mengerjakan LKS g. Memberikan scaffolding pada kelompok atau
individu yang mengalami
kesulitan
xviiMatematika
i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka j.
Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam
menyelesaikan
masalah dalam pemberian solusi 3. Kegiatan guru pada tahap
persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:
a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil
penyelesaian masalah di depan kelas
b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerja c. Memberi kesempatan
kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja
kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran
Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah
d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan
efektif e. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi f.
Menguji pemahaman siswa
4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan
skemata baru antara lain: a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan
prinsip secara ilmiah b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang
ditemukan melalui pengajuan
contoh dan bukan contoh konsep c. Membantu siswa mendefinisikan dan
mengorganisasikan tugas-tugas belajar
yang berkaitan dengan masalah d. Memberi kesempatan melakukan
konektivitas konsep dan prinsip dalam
mengerjakan soal tantangan e. Memberikan scaffolding
5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses
dan hasil penyelesaian masalah antara lain: a. Membantu siswa
mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah b. Memotivasi siswa untuk
terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif c. Mengevaluasi
materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau
peta materi.
xixMatematika
xxiMatematika
Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar
Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma, siswa
mampu:
1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten,
sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam
perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi
menyelesaikan masalah.
2. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai
dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan
memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.
3. Menyelesaikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa
eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat –
sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.
Melalui pembelajaran materi eksponen dan logaritma, siswa
memperoleh pengalaman belajar: • mengkomunikasikan karakteristik
masalah
otentik yang pemecahannya terkait eksponen dan logaritma.
• merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang
berkaitan dengan eksponen dan logaritma.
• menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi
permasalahan yang diberikan.
• menafsirkan hasil pemecahan masalah. • menuliskan dengan
kata-katanya sendiri
konsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciri- cirinya dituliskan
sebelumnya.
• membuktikan berbagai sifat eksponen dan logaritma.
• menerapkan berbagai sifat eksponen dan logaritma dalam pemecahan
masalah.
• berkolaborasi memecahkan masalah. • berlatih berpikir kritis dan
kreatif
Eksponen dan Logaritma
2 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
B. PETA KONSEP
Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari – hari dapat
diselesaikan dengan menggunakan konsep dan aturan matematika.
Sebagai contoh, konsep eksponen dan logaritma berperan penting
dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aritmatika
sosial, peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain – lain.
Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan –
permasalahan yang diberikan pada bab ini. Di dalam proses pemecahan
masalah-masalah yang diberikan, kamu diminta untuk mencermati
objek-objek yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan
tersebut.
1. Menemukan Konsep Eksponen Pada subbab ini, konsep eksponen
ditemukan dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan
mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya. Tentu saja, kamu
diminta untuk melakukan pemodelan matematika yang melibatkan
eksponen. Dari beberapa model matematika yang diperoleh dari
langkah-langkah penyelesaian masalah, kamu secara individu
menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan
temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep
eksponen dengan pemahamanmu sendiri.
Banyak permasalahan dalam kehidupan yang penyelesaian- nya terkait
dengan konsep dan aturan-aturan dalam matema- tika. Secara khusus
keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip eksponen dan logaritma
dengan permasalahan masalah nyata yang menyatu/ bersumber dari
fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep eksponen dan logaritma
dapat dibangun/ ditemukan di dalam penyelesaian permasalahan yang
kita hadapi. Untuk itu arahkan siswa menyelesaiakan
permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses
penyelesaian masalah-masalah yang diberikan, ajak siswa mencer-
mati objek-objek budaya atau objek lingkungan budaya yang
dilibatkan dalam permasa- lahan yang diberikan. Objek- objek itu
menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang ada konsep
matematika melekat pada objek itu yang tidak disadari dan ternyata
sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian juga siswa
tidak boleh mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan
aturan-aturan matematika
4 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Masalah-1.1 Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang
mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium
mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu, satu bakteri membelah
menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa
jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2
jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri.
Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil
pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam pada akhir 8
jam.
Alternatif Penyelesaian Diketahui: Satu bakteri membelah menjadi r
bakteri untuk setiap jam. Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah
10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000
bakteri.
Ditanya: a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan. b.
Berapa jumlah bakteri dalam pada akhir 8 jam. Sebagai langkah awal
buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam.
Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0. Isilah
tabel berikut!
Pada akhir t jam 0 1 .... .... .... .... Jumlah bakteri (xt) x0 rx0
.... .... .... ....
Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat
hubungan pertumbuhan jumlah bakteri tersebut terhadap perubahan
waktu untuk setiap jam dinyatakan sebagai berikut:
x r r r r xt t
= × × × × ×... faktor
0
yang telah dipelajari sebelum-nya, baik di tingkat Sekolah Dasar,
SMP, bahkan pada materi yang baru saja dipelajari.
Ajukan Masalah 1.1 pada siswa. Minta siswa men- gamati masalah dan
men- uliskan apa yang diketa- hui dan yang ditanyakan. Selanjutnya
dorong siswa memunculkan berbagai pertanyaan terkait ma- salah yang
dipecahkan. Akomodasi berbagai per- tanyaan dan coba mem- beri
petunjuk agar siswa dapat melakukan penal- aran dan mencoba mem-
ecahkan masalah.
Meminta siswa mem- buat tabel laju pertum- buhan bakteri dengan
waktu setiap jam. Arah- kan siswa menemukan model matematika yang
menyatakan hubungan banyak bakteri hasil pem- belahan pada saat
waktu tertentu.
5Matematika
x(t) = rt
x0....................................................................
(1)
dengan t menyatakan banyak jam, x0 adalah jumlah bakteri saat t = 0
dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap
jam. Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat
10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita
substitusikan t = 3 dan t = 5 ke formula (1) di atas, maka
diperoleh x3 = r3x0 = 10.000 dan x5 = r5x0 = 40.000 x x r x r x r
r
5
=
=
= =
.
.
Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2
bakteri setiap 1 jam Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya
atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan r3x0 = 10.000 sehingga
8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250. Subtitusikan x0 = 1.250
ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut
dinyatakan
Dalam Masalah-1.1, ditemukan r2 = 4, dan kemudian r = 2. Apakah r =
–2 tidak berlaku? Berikan alasanmu!
x x
t t=
.
( )( ) .
Jadi, pada akhir setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri
sudah mencapai 320.000 bakteri.
Organisasikan siswa be- lajar dalam kelompok dengan banyak anggota
kelompok 4-5 orang un- tuk mendiskusikan model matematika yang
ditemu- kan secara individu. Guru menjembatani perbedaan hasil
pemikiran antar siswa dalam setiap kelom- pok dan menuliskan hasil
pemikiran bersama pada lembar kerja. Meminta beberapa siswa untuk
memberi pendapat mengapa pada Masalah 1.1
Jika r2 = 4, maka r = 2. Kenapa tidak berlaku r = -2? Alasan: r2 =
4, r ∈ R ⇒ r = 2 atau r = -2. Tetapi dalam Ma- salah 1.1, r
menyatakan banyak pembelahan bak- teri untuk setiap jam. Jadi
bakteri membelah menjadi 2, bukan -2. Guru meminta salah satu
kelompok untuk mempre- sentasikan hasil kerjanya di depan kelas.
Jembatani jika ada cara yang berbe- da hasil kerja di antara ke-
lompok. Beri kesempatan antar kelompok berdebat atas perbedaan
pendapat untuk melatih kemampuan komunikasi siswa.
6 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Masalah-1.2
Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah
kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi
bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan
cara yang sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus
pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak
lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk.
Alternatif Penyelesaian Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan
antara banyak lipatan dengan banyak garis bidang kertas yang
terbentuk.
Banyak Lipatan
Pola Perkalian
1 2 2 = 2 2 4 4 = 2 × 2 3 8 8 = 2 × 2 × 2 4 ... ... ... ... ... n k
...
Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas
yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang kertas menjadi dua
bagian yang sama, n adalah banyak lipatan. k dapat dinyatakan dalam
n, yaitu k(n) =
2n........................................................................
(2)
Coba kamu uji kebenaran persamaan k(n) = 2n dengan mensubtitusikan
nilai n ke persamaan tersebut.
Motivasi siswa belajar dengan memperlihatkan kebergunaan matematika
dalam kehidupan. Ajukan Masalah 1.2 dan mem- fasilitasi siswa
terhadap alat yang dibutuhkan. Arahkan siswa melakukan percobaan
melipat kertas dan menemukan pola dari data yang diperoleh sekai-
tan membangun model matematika terkait ekspo- nen.
Meminta siswa membuat tabel keterkaitan antara banyak lipatan
dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Arahkan siswa menemukan
model matematika yang me- nyatakan hubungan ban- yak lipatan kertas
dan banyak bidang kertas yang terbentuk. Diharap- kan siswa
menuliskan hal seperti tabel di samping.
Selanjutnya guru me- minta siswa mengamati dan mencermati data pada
tabel. Diharapkan siswa menemukan model matematika yang me-
nyatakan hubungan ban- yaknya bidang kertas den- gan banyaknya
lipatan.
7Matematika
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh Dari persamaan (1)
x(t) = r tx0, r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r.
Dari persamaan (2) k(n) = 2n, 2 adalah bilangan pokok dan n adalah
eksponen dari 2. Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali
bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan
berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.1 Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif.
Notasi an menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak
n faktor, dapat ditulis a a a a an
n faktor
a sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai pangkat.
Catatan: 1. Pada Definisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1 cukup
ditulis
a. 2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0
dengan a bilangan real menyatakan 1. Coba tanyakan pada gurumu,
mengapa demikian?
3. Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari a, maka
perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab an = a × a × ... × a
sebanyak n faktor, ini hanya berlaku ketika semesta n∈N.
Perhatikan Masalah-1.3 berikut!
Arahkan siswa mengamati kedua model matematika di samping. Minta
mereka menuliskan ciri-ciri bilan- gan berpangkat dan ber- dasarkan
ciri-ciri tersebut dapat menuliskan penger- tian dari an.
Beri penjelasan pada siswa, tentang pemaha- man unsur-unsur yang
ada pada Definisi 1.1, mengapa n harus bilangan bulat positif.
Minta siswa untuk memegang teguh sifat matematika dalam menetapkan
definisi bi- langan berpangkat; yaitu, matematika bersandar pada
kesepakatan, meng- gunakan variabel-varia- bel yang kosong dari
arti, menganut kebenaran kon- sistensi.
Minta siswa mencermati beberapa catatan penting terkait Definisi
1.1. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 dan n = 0, maka an = 00,
hasilnya taktentu.
8 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Masalah-1.3
Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan
dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan
oleh ginjal. Bila 100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia,
berapa miligram zat itu tersisa dalam darah setelah: 1) 1 jam? 2) 2
jam? 3) 3 jam? 4) Buatlah model matematika pengurangan zat
tersebut dari tubuh melalui ginjal! 5) Gambar pasangan titik
(waktu, jumlah zat) pada
koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan.
Alternatif Penyelesaian Langkah awal isilah tabel berikut:
Waktu (t dalam jam) 1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah zat z(t)
dalam mg 50 25 12,5 ... ... ... ... ...
Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan pasangan
titik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius (coba
sendiri)! Selanjutnya perhatikan grafik fungsi (Gambar-1.2) di
bawah ini. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan
nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.
Ajak siswa untuk menga- mati Masalah 1.3 dan me- mahami tentang
perma- salahan yang ditanyakan pada Masalah 1.3. Beri kebebasan
bagi siswa menggali ide-ide secara bebas terbuka, mengaju- kan
berbagai pertanyaan dalam menganalisis infor- masi yang tersedia
pada Masalah 1.3.
Minta siswa mengisi se- cara lengkap data pada tabel dan mencoba
meng- gambarkan data-data (pasangan titik) tersebut pada sistem
koordinat kartesius!
9Matematika
2
2
4
4
Gambar-1.2: Grafik Fungsi Eksponensial
f(x) = 2x
f(x) = 2-x
f(x) = 2x
f(x) = 3x
f(x) = 3-x
Latihan 1.1
Amati grafik (Gambar-1.2) di atas. Tuliskan sedikitnya 5 (lima)
sifat grafik fungsi tersebut dan disajikan hasilnya di depan kelas.
Dalam paparan jelaskan mengapa kita perlu mengetahui sifat-sifat
tersebut.
Organisasikan siswa bela- jar dalam kelompok. Min- ta siswa diskusi
dengan temannya satu kelompok, bagaimana perilaku grafik ketika x
menuju -∝ dan ke- tika x menuju ∝? Apakah grafik itu sampai berpo-
tongan atau tidak sampai menyinggung sumbu x? Sajikan hasil kerja
kelom- pok di depan kelas.
Untuk menguatkan konsep siswa, minta siswa untuk mencoba
menyelesaikan Latihan 1.1 di samping. Misalnya grafik fungsi f(x) =
2x, x bilangan real. Sifat grafik yang diharap- kan ditemukan
siswa, an- tara lain: 1. Grafik seluruhnya di
atas sumbu-x. 2. Sumbu-x sebagai asim-
tot 3. Memotong sumbu-y
4. Grafik tidak memotong sumbu-x, untuk x menu- ju 0.
5. Untuk nilai x sema- kin besar, maka nilai y semakin besar. Seba-
liknya untuk nilai x se- makin kecil, diperoleh nilai y semakin
kecil
10 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
2. Pangkat Bulat Negatif
Definisi 1.2 Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat
positif, didefinisikan
a a
m m
m m
sebanyyak faktor
...
Contoh 1.1 Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x-3 (y4)
Alternatif Penyelesaian
x y y x
3. Pangkat Nol
Definisi 1.3 Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a0 = 1.
6. Untuk x ∝ menuju ∝, diperoleh y menuju ∝. Untuk x menuju -∝, di-
peroleh y menuju 0.
Ajukan beberapa con- toh yang dipahami siswa tentang perpangkatan
di SMP, dalam membangun pemahaman terhadap Definisi 1.2 di samping.
Misalnya
3 1 3
=
Selanjutnya menga- jak siswa mencermati penjelasan Definisi 1.2
secara deduktif, seperti disajikan disamping.
Untuk lebih memahami Definisi 1.2, minta siswa mencermati Contoh
1.1 di samping. Cek kebenaran hasil kerja siswa mener- apkan
Definisi 1.2, dalam menyelesaikan soal pada Contoh 1.1.
Arahkan siswa memahami Deinisi 1.4 di samping, dengan mengajukan
be- berapa pertanyaan, sep- erti:
11Matematika
Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan pola hasil
pemangkatan bilangan-bilangan berikut. 23 = 8 33 = 27 22 = 4 32 = 9
21 = 2 31 = 3 20 = 1 30 = 1
Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3
dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.
4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif Coba cermati bukti sifat-sifat
bilangan berpangkat bulat positif menggunakan definisi bilangan
berpangkat yang kamu telah pelajari sebelumnya.
Sifat-1 Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka
am × an = am+n
Bukti: a a a a a a a a a am n
m faktor n faktor
m n
= am+n
m faktor
• Bagaimana jika m dan n bukan bilangan bulat positif?
Mengapa batasan bilan- gan real dan . Bagaimana hasil a0, ketika a
= 0. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 maka a0 = 00, hasil- nya
taktentu. Selanjutnya ajak siswa mengamat pola hasil perpangkatan
bilan- gan 2 dan 3 di samping. Untuk meyakinkan siswa bahwa a0 = 1,
a ≠ 0
Minta siswa untuk dapat membuktikan Sifat-1 se- hingga siswa dapat
me- nyimpulkan bahwa sifat tersebut benar untuk m dan n bilangan
bulat posi- tif.
Jelaskan pada siswa bah- wa perpangkatan adalah perkalian berulang.
Si- fat-1, hanya berlaku a bilangan real, m dan n bi- langan bulat
positif. Jika m dan n bukan bilangan bulat positif, Sifat-1 tidak
berlaku, misalnya a = 0 dan m = n = 0, tidak ber- laku
12 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Sifat-2 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka a a
a m
hasil pembagian a a
bertanya ke guru!
Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan
n. Ada 3 (tiga) kemungkinan, yaitu (a) m > n, (b) m = n, dan (c)
m < n.
a) Kasus m > n Jika m dan n bilangan bulat positif dan m > n
maka m
– n > 0. Dengan demikian
n
m
n = am-n, dengan m, n bilangan bulat positif dan m > n
Selanjutnya bimbing siswa agar memaha- mi tentang Sifat-2 dan data
menunjukkan bukti dari sifat tersebut. Beri penjelasan pada siswa
dalam Sifat-2, tidak diiz- inkan a = 0, sebab ben- tuk perpangkatan
pada Sifat-2 adalah bentuk ra- sional. Dalam pecahan penyebutnya
tidak lazim nol.Ketika a = 0 dan m, n bilangan bulat positif, maka
am atau an dimung- kinkan hasilnya 0.Jika hasil am dan an keduanya
nol, maka hasil baginya tak tentu. Jika am = 0 dan an ≠ 0, maka
hasil baginya 0. Tetapi jika am ≠ 0 dan an = 0, maka hasil baginya
tak ter- definisi.
13Matematika
m
Bukti: a
m
= 1 = a0
Latihan 1.2
Buktikan sendiri untuk kasus m < n. Jelaskan perbedaan hasilnya
dengan kasus (a).
Buktikan Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan
bulat
positif, m < n, maka a a
a m
n m n= − .
Bukti: Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m < n. m
< n ⇒ m – n < 0.
a a
n m faktor
( )
( )
(karena m < n, maka m – n < 0)
Agar siswa benar-benar dapat menguasai kon- sep tentang Sifat-2 un-
tuk kasus m < n, sesuai Latihan 1.2. Alternatif jawaban yang
diharap- kan dari siswa sebagai bukti Sifat-1.2 untuk kasus m <
n, dapat dicermati di samping.
14 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Sifat-3 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka (am)n = amn
Bukti: a a a a a
a a a a
n
m
× × × ×
... ...
= × × × ×
×
( ) = ×a am n m n ( )terbukti
Diskusi Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n
bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan Sifat-4. Bagaimana
jika m dan n adalah negatif atau kedua-duanya bilangan
negatif.
Catatan Dalam beberapa definisi, sifat, dan proses pembuktian
sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol yang sering
kita gunakan dijelaskan sebagai berikut. a. Simbol ∀ dibaca untuk
setiap atau untuk semua.
Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x2 ≥ 0 (dibaca, untuk setiap x bilangan
real, maka x kuadrat lebih dari atau sama dengan nol).
b. Simbol p ⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya x = 2 ⇒ x2 =
4
Ajak siswa berdiskusi dalam kelompok belajar, untuk menganalisis
pent- ingnya syarat m dan n bilangan bulat positif un- tuk Sifat-3.
Jika m dan n adalah salah satu negatif dan ketika a = 0,
misalnya
0 0 0 1 0
2 3 2 3 6 6( ) = = =
− − × −
demikian 1 0
1 06 = hasil-
nya tak terdefinisi.
Jelaskan pada siswa catatan penting di sam- ping, tentang
pemanfaatan dan makna simbol logika matematika yang sering
digunakan dalam definisi, sifat, dan proses pembuk- tian.
Selanjutnya minta siswa untuk mencoba mema- hami bukti Sifat-3
dengan memberi bantuan sebagai berikut.
(32)3 = (3 × 3)3
= (9)3 = 9 × 9 × 9
= 729 = 36 = 32×3
Selanjutnya mengarahkan siswa membuktikan Si- fat-3 secara umum,
seper- ti yang tertera pada buku siswa di samping
15Matematika
c. Simbol p ⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila dan
hanya bila q. Misalnya x2 = 4 ⇔ x = 2 atau x = -2
Contoh 1.2 (a) Buktikan jika a ∈ R, a > 1 dan n > m, maka an
> am !
Bukti: Karena a > 1 dan n > m maka n – m > 0 dan an >
0, am
> 0. Akibatnya, berlaku
m n
1 0
(b) Perlukah syarat a > 1? Misalkan kita ambil a bilangan real
yang memenuhi a
< 1 dan n > m. Apakah yang terjadi? Pilih a = –2, dengan n
> m, pilih n = 3 dan m = 2.
Apakah yang terjadi? (–2)3 = (–2) × (–2) × (–2) = –8 (–2)2 = (–2) ×
(–2) = 4 Dengan demikian, an = –8 < 4 = am atau an < am.
Jadi,
tidak benar bahwa an > am bila a < 1 dan n > m. Jadi,
syarat a adalah bilangan real, dengan a > 1 dan n > m
merupakan syarat cukup untuk membuktikan an > am .
Latih siswa berpikir anal- itis dengan mengajukan Contoh 1.2 di
samping. Minta siswa membuktikan masalah yang diberikan dan beri
bantuan, jika siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per-
tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan kosep dan
sifat yang sudah dipela- jari sebelumnya, untuk proses
pembuktian.
Minta siswa memberi con- toh yang lain dengan me- milih nilai a
tertentu, agar pernyataan pada Contoh 1.2 tidak berlaku, apabila a
< 1. Seperti halnya con- toh penyangkal pada buku siswa di
samping.
16 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Diskusi Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis
pernyataan pada Contoh 1.2! • Apa akibatnya bila syarat a > 1
tidak dipenuhi? • Perlukah diperkuat dengan syarat n > m > 0?
Jelaskan! • Bolehkah syarat a > 1 di atas diganti a ≥ 1?
Jelaskan! • Bagaimanakah bila 0 < a < 1 dan a < 0? • Buat
aturan hubungan antara an dan am untuk
bermacam-macam nilai a di atas! • Buat laporan hasil diskusi
kelompokmu.
Contoh 1.3 Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk
menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan pada
contoh. Ujilah kebenaran hasilnya!
1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 5
2 5
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5
5
0
= 25–5 = 25–5
Arahkan siswa diskusi dengan temannya satu kelompok. Minta siswa
menganalisis beberapa pernyataan pada tabel di samping. Jika syarat
a > 1 tidak dipenuhi, maka per- nyataan jika a R , a > 1 dan
n > m, maka an > am, belum tentu benar.
Tidak perlu diperkuat syarat n > m menjadi n > m > 0,
sebab per- nyataan pada Contoh 1.4 berlaku untuk n dan m yang
negatif.
Syarat a > 1 tidak boleh diganti dengan a ≥ 1, se- bab untuk a =
1, an = am.
Arahkan siswa mencer- mati beberapa contoh yang disajikan, agar
lebih mema-hami penggunaan sifat-sifat bilangan ber- pangkat dalam
penyele- saian berbagai soal.Cek pemahaman siswa dengan mengajukan
pertanyaan- pertanyaan terkait peman- faatan sifat tersebut
17Matematika
3.
2
2 2
faktor
4. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3
3
3
3
dengan menggunakan Definisi 1.1
Contoh 1.4 Buktikan bahwa jika a > 1 dan n > m dengan n dan m
bilangan bulat negatif, maka an > am.
Bukti: Karena n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka
–n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m > –n.
Karena a > 1 maka a a
a a
am ).
m > 1 ⇒ an > am (terbukti)
Latih siswa berpikir kri- tis, analitis, dan kreatif dengan
mengajukan Con- toh 1.4 di samping. Minta siswa membuktikan per-
nyataan yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami
kesuli- tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji pemahaman
siswa, dalam pemanfaatan konsep dan sifat yang sudah dipelajari
sebelumnya, untuk proses pembuktian.
Pernyataan pada Contoh 1.4, tidak berlaku untuk a < 1, misalnya
pilih a = –3, n = –2, dan m = –3. a a
n
m = −( ) −( )
18 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Contoh 1.5 Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan
angka satuan dari 71234 tanpa menghitung tuntas. Perhatikan angka
satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?
Perpangkatan 7 Nilai Angka Satuan
71 7 7 72 49 9 73 343 3 74 2401 1 75 16807 7 76 117649 9 77 823543
3 78 5764801 1
Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan angka satuan
71234. Cermati sifat satuan pada tabel di atas. Saat periode ke
berapakah berulang? Selanjutnya manfaatkan sifat-sifat perpangkatan
dan perkalian bilangan berpangkat.
5. Pangkat Pecahan
Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat
positif, maka a m 1
= p adalah bilangan real positif, sehingga pm = a.
Definisi 1.4
Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real
dengan pangkat pecahan.
Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m, n bilangan bulat
positif didefinisikan a a m n n
m
Definisi 1.5
Jelaskan pada siswa me- lalui beberapa contoh yang sudah dipelajari
se- belumnya di SMP untuk membangun pemahaman terhadap Definisi-1.4
dan 1.5. Misalnya,
4 2 4 2
Dalam contoh ini, a = 4, p = 2, dan m = 2.
Beri bantuan siswa melanjutkan langkah pe- nyelesaian Contoh-1.5 di
samping. Alternatif penyelesaiannya adalah Dengan menggunakan si-
fat eksponen, maka kita peroleh: 71234 = 7(4 × 308) × 72. 71234 =
(74)308 × 72. Ingat: amxn = (am)n = (an)m 71234 = (74)308 ×
72
sehingga satuan dari [71234] = satuan dari [(74)308 × 72] Satuan
dari [71234] = satu- an dari [(1)308] × satuan dari [72]. Satuan
dari [71234] = 1 × 9 Satuan dari [71234] = 9 Jadi, angka terakhir
dari 71234 adalah 9.
19Matematika
Sifat-4
m n
dan
adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka a a a m n
p n
= ( )
+
.
Bukti: Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a ≠ 0, m,
n
adalah bilangan bulat positif, maka a a m n n
m
p n n
× × × ×
m p
terbua a a a m n
p n n
Jika a adalah bilangan real dengan a > 0, m n
dan p q
bilangan pecahan q, n ≠ 0, maka a a a m n
p q
m n
p q
Untuk Definisi 1.5 berikan contoh agar siswa lebih memahaminya.
Misalnya
2 2 6 2 3=
= 2 × 2 × 2 = 8
2 2 1 2
1 2
Selanjutnya arahkan siswa membuktikan Sifat-4 menggunakan Definisi
1.5
Arahkan siswa membukti- kan Sifat-5 menggunakan definisi dan sifat
perpang- katan yang sudah dipela- jari. Alaternatif pembuk- tian
dapat dicermati di samping.
20 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Uji Kompetensi 1.1
a. 25 × 29 × 212
b. 25 × 36 × 46
5 5 2
7 3
a. 2x3 × 7x4 × (3x)2
2x y×
273
3
f. 1 2 3
y× × × ( )
g. − ×( ) × −
b a a
× ×
×
×
Minta siswa untuk meny- elesaikan uji kompetensi melalui pemberian
tugas untuk menilai penguasaan siswa terhadap materi yang sudah
dipelajari. Terutama tugas projek yang tersedia. Gunakan rubrik
penilaian projek yang telah tersedia pada bagian akhir dari buku
guru ini.
21Matematika
x y x y
a. −
f. x y x y x y
x y y
4 4 4 4
4 4 4 4
a b a b
a. 2x = 8 b. 4x = 0,125
c. 2 5
8. Misalkan kamu diminta menghitung 764. Berapa banyak perkalian
yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan
jawabanmu dengan temanmu. Pemenang di antara kalian adalah yang
dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit
mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit
perkaliannya untuk menghitung 764. Apakah prosedur tersebut dapat
dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?
9. Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari 71234 +
72341 + 73412 + 74123 tanpa menghitung tuntas!
22 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Projek Bilangan yang terlalu besar atau terlalu kecil sering
dituliskan dalam notasi eksponen yang dituliskan sebagai a E b yang
nilainya adalah a × 10b. Sehingga 0,000052 ditulis sebagai 5,2 E 5.
Cari besaran- besaran fisika, kimia, astronomi, dan ekonomi yang
nilainya dinyatakan dengan notasi eksponen. Misalkan kecepatan
cahaya adalah 300.000 km/det, sehingga dalam notasi eksponen
ditulis sebagai 3 E 8 m/det.
6. Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan
kebalikan dari pemangkatan suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan
notasi ” ”.
Definisi 1.6
adalah bilangan pecahan dengan
q ≠ 0. q ≥ 2. a p q = c, sehingga c = a pq
atau a p q = a pq
10. Tentukan angka satuan dari 6 26 62 ( )( )
berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa menghitung
tuntas.Selanjutnya
lakukan hal tersebut berdasarkan sifat angka 2, 3, 4, 5, 8,
9.
11. Tunjukkan bahwa 12001 + 22001 + 32001 + … + 20012001 adalah
kelipatan 13.
12. Bagaimana cara termudah untuk
mencari 3 10 5 2
5 6 3 2
2008 2013 2012 2011
2012 2010 2009 2008
+ ×( ) + ×( ) .
Tugas proyek diberikan sebagai tugas individu untuk
menginformasikan kepada siswa bahawa be- lajar eksponen sangat di-
perlukan dalam perkem- bangan ilmu dan dalam menyelesaikan perma-
salahan kehidupan.
Berdasarkan penyelesa- ian masalah dan konsep yang sudah dipelajari
se- belumnya arahkan siswa untuk dapat mendefinisi- kan
definisi-definisi beri- kut.
23Matematika
Masalah-1.4
Seorang ahli ekonomi menemukan hubungan antara harga (h) dan banyak
barang (b) yang dinyatakan
dalam persamaan h b= 3 23 . Jika nilai b = 8, maka berapa nilai
h?
Alternatif Penyelesaian
23 23
3
3
Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan
sebagai an , dengan a adalah bilangan pokok/ basis dan n adalah
indeks/eksponen akar. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk
pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus
memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih dahulu.
Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional. Bilangan
rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan
dalam bentuk a b
, dengan a dan b bilangan bulat dan
b ≠ 0. Karena itu, bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat,
bilangan pecahan biasa, dan bilangan pecahan campuran. Sedangkan
bilangan irasional adalah bilangan real yang bukan bilangan
rasional. Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung
pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan
irasional, misalnya 2 = 1,414213562373..., e = 2,718..., dan =
3,141592653…
Selanjutnya minta siswa mengamati masalah 1.4 dan menghimpun
informa- si yang terkandung pada masalah tersebut. Mem- beri
kesempatan kepada siswa menganalisis dan memunculkan ide-ide dan
pertanyaan-pertanyaan sekitar masalah yang dia- jukan sebagai
pengantar kepada siswa tentang kon- sep bentuk akar.
Jelaskan perbedaan bilan- gan rasional dan irasional pada siswa.
Berikan be- berapa contoh untuk me- mahami konsep bilangan rasional
dan irasional.
24 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Bilangan irasional yang menggunakan tanda akar ( ) dinamakan bentuk
akar. Tetapi ingat, tidak semua
bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irasional.
Contoh: 25 dan 64 bukan bentuk akar, karena nilai 25 adalah 5 dan
nilai 64 adalah 8, keduanya bukan bilangan irasional. Agar lebih
jelas, perhatikan contoh berikut. 1. 20 adalah bentuk akar 2. 273
bukan bentuk akar, karena 273 = 3
7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat
Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki
hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat-4, jika
a adalah bilangan real dengan a > 0, p n
dan m n
adalah
bilangan pecahan dengan n ≠ 0, maka a a a m n
p n
1 2
1 2
1 2× =
p p p× = , sehingga dapat disimpulkan p p 1 2 = .
Perhatikan untuk kasus di bawah ini
p p p p 1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3× × =
p p p p3 3 3× × = , sehingga berdasarkan Definisi 1.6
disimpulkan p p 1 3 3= .
Ajak siswa memahami pengertian bentuk akar melalui contoh dan bukan
contoh. Gunakan contoh dan bukan contoh bentuk akar yang tertera
pada buku siswa.
Minta siswa mengamati hubungan bentuk akar dengan bilangan ber-
pangkat menggunakan sifat-sifat yang sudah di- pelajari
sebelumnya.
25Matematika
bahwa p pn n 1
= .
2 3
p 2 3
dapat diubah, p p 2 3 23= .
Secara umum dapat disimpulkan bahwa p p p m n mn n
m = =( )
sebagaimana diberikan pada Definisi-1.6.
8. Operasi pada Bentuk Akar a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Bentuk
Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat
dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah
bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama. Untuk setiap p,
q, dan r adalah bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat-sifat
berikut.
p r q r p q r
p r q r p q r
n n n
n n n
Perhatikan contoh berikut ini!
Minta siswa untuk me- nyelesaikan Latihan 1.3 dengan caranya
sendiri . Jawaban yang diharapkan dari siswa, bahwa per- nyataan
pada Latihan 1.3 berlaku untuk n bilangan bulat positif dan p ≥
0.
Operasi pada bentuk akar yang digunakan dalam pembelajaran ini
adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian.
26 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Contoh 1.6 Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam
bentuk yang sederhana! 1. 3 5 4 5 3 4 5
7 5
karena akarnya tidak senama)
4
− = −( ) =
b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar Pada pangkat pecahan
telah dinyatakan bahwa
a a p q pq= . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar
dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.
Contoh 1.7
1) 8 2 2 2 23 33 3 3 1= = = =
2) 64 2 2 2 26 66 6 6 1= = = =
3) 4 5 2 7 4 2 5 7 8 353 3 3 3× = ×( ) ×( ) =
4) 3 5 5 5 3 5 5 5 15 5 15 55 7 1 5
1 7
3 4
4 5
2 3
3 5
4 4=
Ajak siswa mengerjakan Latihan 1.4. Cek kebena- ran hasil kerja
siswa, dengan meminta beberapa siswa menyajikan hasil kerja di
depan kelas. Ha- sil kerja yang diharapkan dari siswa adalah
Jelaskan beberapa con- toh berikut untuk me- latih siswa menerapkan
berbagai aturan terkait operasi aljabar dalam bentuk akar. Ajukan
ber- bagai pertanyaan pada siswa untuk menguji pemahaman
mereka.
27Matematika
Latihan 1.4
1) Buktikan bahwa jika a bilangan real dan a > 0, maka ann =
a.
2) Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d
> 0, maka a c b d ab cdn n n× = .
3) Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real,
c > 0 dan d > 0, maka a c b d
a b
c d
n n= .
c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Kita tahu bahwa bentuk-bentuk
akar seperti
2 5 3 7 2 6, , ,+ − , dan seterusnya merupakan bilangan irasional.
Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka
dikatakan sebagai penyebut irasional. Penyebut dalam bentuk akar
dapat diubah menjadi bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan
penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri. Akan
tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar
sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut.
1) Merasionalkan bentuk p q
Bentuk p q
(terbukti)
2) a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0
c d a c b d
ab c d
1
(terbukti)
3) a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0
a c b d
1
1
1
(terbukti)
Latih siswa merasion- alkan berbagai bentuk akar mengalikan dengan
bentuk akar sekawannya melalui berbagai contoh yang bervariasi,
antara lain bentuk
28 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Diskusi Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar
harus dirasionalkan?
Mengapa kita harus mengalikan p q
dengan q q
= 1.
q q
r
Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita
pahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan
irasional.
a) Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irasional
maka hasilnya bilangan irasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... =
4, 645751... (bilangan irasional).
b) Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan bilangan irasional
maka hasilnya bilangan irasional atau rasional, Contoh (1) 5 + 7 =
2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... (bilangan irasional), (2)
2 5 + (-2 5 ) = 0 (bilangan rasional). Jika dua bilangan irasional
dikurangkan, bagaimana hasilnya?
c) Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional,
maka hasilnya bilangan rasional atau irasional. Contoh. 0 2× = 0 (0
adalah bilangan
p q
, ,
,
+ −
+ −
Selanjutnya jelaskan Con- toh 1.8 dan Contoh 1.9 yang tersedia pada
buku siswa.
29Matematika
d) Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional,
maka hasilnya dapat bilangan rasional atau bilangan
irasional.
Contoh: • 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25 (25 adalah bilangan rasional) • 3
5 15× = ( 15 adalah bilangan
irasional)
e) an disebut bentuk akar apabila hasil akar pangkat n dari a
adalah bilangan irasional.
Untuk merasionalkan bentuk r p q
r p q+ −
p q− .
dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian (a + b) (a –
b) = a2 – b2, sehingga
p q p q p q p q
p q p q p q p q
+( ) −( ) = ( ) − ( ) = −
+( ) −( ) = − ( ) = −
Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat
merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan real.
r p q
r p q
r p q
r p q
r p q
r p q
Contoh 1.8 Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut.
a. 2 3 2
7 6 7
3 6 3
18 3 3 33
4 7 5
2 7 2 5
Contoh 1.9 Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-
bilangan berikut
1 1 2
1 2 3
1 3 4
1 4 5
1 99 100
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan
penyebut tiap suku; yaitu,
= 1
× − − +
× − − +
Jelaskan cara mera- sionalkan bentuk akar dengan mengalikan ben-
tuk sekawan sesuai penye- but dari bentuk rasional seperti pada
Contoh 1.9. Beri kesempatan pada siswa untuk mencoba menguji
penyelesaian soal pada contoh-contoh yang diberikan.
32 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
1
× − −
+ ... +
× − −
4 5 99 100
Contoh 1.10
P = + +
= +3 1
⇔ P2 – 3P – 1 = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna
diperoleh:
⇔ ( )P − − = 3 2
4
Minta siswa mengamati Contoh 1.10 dan memberi kebebasan berpikir
dalam menganalisis permasala- han yang diberikan. Uji pemahaman
dengan men- gajukan berbagai per- tanyaan serta ingatkan kembali
materi prasyarat yang dibutuhkan dalam pentelesaian soal terse-
but. Bantu siswa memanfaat- kan pemisalan dan ingat- kan kembali
materi persa- maan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, tentang
bentuk kuadrat sempurna, agar siswa dapat melan- jutkan tugas
memahami langkah penyelesaian Contoh 1.10
33Matematika
4 6 2 13
4 6 2 13
4 6 2 13 16+
= +
− −
= − −
. ( )
=
Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai
bentuk khusus; yaitu, bentuk
p q pq+( ) ± 2 . Perhatikan proses berikut ini!
Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu!
a. p q p q+( ) +(