Post on 20-Jun-2019
Persamaan Diferensial Orde 2
Persamaan Diferensial Orde Dua
Bentuk umum persamaan orde dua adalah:
y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x), dengan p(x), q(x) dan r(x) fungsi kontinu.
Jika r(x)=0, p(x) dan q(x) konstan disebut persamaan homogen
Jika r(x)0, disebut persamaan nonhomogen.
Bentuk umum rangkaian orde dua:
dengan fungsi yang menyatakan besaran dalam rangkaian
fungsi yang menyatakan sinyal input
)()()()(212
2
txtykdt
tdykdt
tyd
)(ty
)(tx
Persamaan Diferensial Orde Dua
Persamaan orde dua dengan bentuk
merupakan persamaan nonhomogen.
Bentuk persamaan homogennya adalah
Persamaan diferensial homogen inilah yang memberikarakteristik pada solusi persamaannya.
Bentuk umum solusi persamaan ini akan mengikuti bentukeksponensial karena bentuk tetap dengan derivatifnya.
)()()()(212
2
txtykdt
tdykdt
tyd
0)()()(212
2
tykdt
tdykdt
tyd
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Misalkan solusi persamaan diferensial adalah
Persamaan diferensial homogen menjadi
Akar persamaan
0212
2
ststst
Aekdt
dAekdtAed
stAety )(
0212 stAeksks
0212 ksks
24 2
211
2,1
kkks
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Akar persamaan diferensial homogen telah
Ada 3 (tiga) kemungkinan nilai akar 2
s dua nilai riil berbeda saat
s dua nilai riil sama saat
s dua nilai kompleks yang saling konyugasi saat
24 2
211
2,1
kkks
04 221 kk
04 221 kk
04 221 kk
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Saat s dua nilai riil berbeda dan , solusi umum disebutoverdamped:
Saat s dua nilai kompleks saling konyugasi , solusi umum disebut underdamped:
Saat s dua nilai riil yang sama , solusi umumdisebut critically damped:
Ada dua konstanta A dan B yang harus ditentukan sehinggadiperlukan juga dua syarat batas (boundary condition)
tsts BeAety 21)(
ojs 2,1
tBtAety oot sincos)(
steBAtty )(
1s 2s
sss 21
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif.
Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas.
Syarat batas dikenakan pada solusi bentuk umum Saat dua akar riil berbeda
)0(ydt
dy )0(
BAy )0(tsts BeAety 21)(
tstststs BesAesBeAedtd
dttdy
212121
)(
sehingga
sehingga BsAsdt
dy21
)0(
Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Saat dua akar riil sama
Saat dua akar kompleks
By )0( steBAtty )( sehingga
stst eBsAAeBAtdtd
dttdy
)(
sehingga BAsdt
dy 1)0(
tBtAety oot sincos)( Ay )0(sehingga
tABtBAetBtAedtd
dttdy
oooot
oot sincossincos)(
sehingga oBAdt
dy )0(
Contoh 1
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui y(0)=3 dan y’(0)=1
Jawab:
0)()(5)(4 2
2
tydt
tdydt
tyd
Persamaan diferensial: 0)()(5)(4 2
2
tydt
tdydt
tyd
Bila makastAety )(
Sehingga persamaan menjadi
dan diperoleh dua akar riil:
𝑦 𝑡 𝐴𝑠𝑒 dan 𝑦" 𝑡 𝐴𝑠 𝑒
4𝑠 +5s+1=0
𝑠 1 𝑠dan
Contoh 1 (lanj)
Dengan adanya 2 akar riil ‐1 dan ‐1/4 maka solusi umumnyaberbentuk:
Diketahui y(0)=3 maka
Diketahui juga y’(0)=1 maka
sehingga
Dari pers. (1) dan (2) didapatkan:
Solusi persamaan diferensial:
𝑦 𝑡 𝐴𝑒 +𝐵𝑒
𝑦 0 𝐴 𝐵 3
𝑦 𝑡 𝐴𝑒 𝐵𝑒
𝑦 0 𝐴 𝐵 1
(1)
(2)
𝐴 dan 𝐴
𝑦 𝑡 𝑒 + 𝑒
Contoh 2
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui v(0)=2 dan v’(0)=5
0)(41)()(
2
2
tvdt
tdvdt
tvd
Solusi:
𝑣 𝑡 2𝑒 6𝑡𝑒
Petunjuk: menggunakan rumus dua akar riil sama
Contoh 3
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3
Solusi:
0)()(4)(6 2
2
tidt
tdidt
tid
𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin
Petunjuk: menggunakan rumus dua akar kompleks
Solusi Persamaan Non Homogen
Bila adalah solusi untuk persamaan diferensial homogen
dan adalah solusi tertentu untuk persamaan diferensial
nonhomogen maka kombinasi juga
merupakan solusi persamaan diferensial nonhomogen
Persamaan Nonhomogen
)(2 ty
xykyky 21 ''')()()( 21 tytyty
xykykyykyky 2221212111 ''''''
)()()()(212
2
txtykdt
tdykdt
tyd
xykyky 22212 '''
=0
ataugunakan
maka
)()()( 21 tytyty
y1 solusi persamaan homogen
)(1 ty
Solusi Persamaan Non Homogen
Untuk menentukan solusi persamaan diferensial
nonhomogen tertentu gunakan persamaan yang
menyerupai dengan konstanta bentuk umum.
Misalnya untuk pilih
Masukkan bentuk solusi ke persamaan diferensial danselesaikan untuk konstantanya
)(2 ty
)(tx
ttx 5)( BAtty )(2
Contoh 4
Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut
bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3Jawab:Persamaan diferensial homogennya adalah
Solusi persamaan diferensial homogen ini sudah diperolehpada Contoh 3 yaitu:
ttidt
tdidt
tid 2)()(4)(6 2
2
0)()(4)(6 2
2
tidt
tdidt
tid
𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin
Contoh 4 (lanj)
Mencari solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen
Pilih dan masukkan ke persamaan di atas
sehingga didapat dan
dan diperoleh dan
ttidt
tdidt
tid 2)()(4)(6 2
2
BAtti )(2
tBAtdt
BAtddt
BAtd 2)()(4)(6 2
2
tBAtA 240
𝐴𝑡 4𝐴 𝐵 2𝑡𝐴 2 4𝐴 𝐵 0
𝐴 2, 𝐵 8 𝑖 𝑡 2𝑡 8
Contoh 4
Solusi persamaan diferensial homogen
Solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen
Dengan demikian solusi persamaan diferensial nonhomogen adalah
𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin
𝑖 𝑡 2𝑡 8
𝑖 𝑡 𝑖 𝑡 𝑖 𝑡
𝑖 𝑡 3𝑒 cos 6 2𝑒 sin 2𝑡 8
TABEL SOLUSI PARTIKULAR
PD orde 2: y” + p(x)y’ + q(x)y = r(x)Solusi: y=yh+yp
yh = solusi homogenyp = solusi partikular
LATIHAN
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
SOLUSI PDO 2 NON HOMOGEN METODE VARIASI PARAMETER
LATIHAN