Post on 26-Feb-2018
7/25/2019 Residu Dan Kutub
1/24
N(z0, r)
Z0
r
z0
Compiled By: Pramudjono
Residu dan Kutub
.zo
.z1 .z
3
z2
z4
.
zn
.zi
7/25/2019 Residu Dan Kutub
2/24
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
Sebelum sampai pada Residu kita lihat titik singular
terasing
Deinisi #iti$ &in%ular #erasin%Titik singular terasing z0dari fungsi f(z) adalah
merupakan titik singular terasing jika terdapat r > 0
sehingga f(z) analitik di 0
7/25/2019 Residu Dan Kutub
3/24
1nt1h"21nt1h Titik Singular Terasing3
(&) z 4 0 titik singular terasing dari f(z) 4
(') z 4 5 k6, k k 4 0, &, ', titik singular
terasing dari f(z) 4 se2 z
1nt1h"21nt1h titik singular tak terasing3
(&) 7ungsi f(z) 4 21se2 mempun#ai tak hingga ban#ak titik
singular #aitu z 4 0, z 4 k 4 &, ',
Titik z 4 0 merupakan titik singular tak terasing
f(z),
z 4 merupakan titik singular tak terasing f(z)
(') Titik z 4 0 bukan titik singular terasing
fungsi ln z, bila z0titik singular fungsi f(z) 4 ln z
maka ada r > 0 sehingga f(z) analitik di 0
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
z
1
2
z
k
1
k
1
7/25/2019 Residu Dan Kutub
4/24
jadi f(z) dapat diekspansikan dalam deret 8aurent
sebagai berikut%
untuk 0 < < r
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
+=
=0
0 )()(n
n
n zzazf
= 1 0)(nn
n
zz
b
0zz
7/25/2019 Residu Dan Kutub
5/24
D'()*)&) R'&)D+
9ila z0titik singular fungsi f(z) dan ekspansi 8aurent
fungsi
maka k1efisien dari #aitu b& disebut
residu f dititik singular terasing z0 N1tasi residu f titik singular
terasing z0 adalah Res (f, z0)
:arena dalam deret 8aurent b& 4
dengan lintasan tertutup tunggal arah p1sitif
#ang mengelilingi z0dan berada di daerah
0 < < r maka residu f dititik singular z0
bernilai sama dengan Res (f, z0)
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
+=
=00 )()(
n
n
n zzazf
= 1 0 )(nn
n
zz
b
( ) 10zz
C
dzzfi
)(.2
1
0zz
=C
dzzfi
)(.2
1
7/25/2019 Residu Dan Kutub
6/24
7/25/2019 Residu Dan Kutub
7/24
;isalkan h(z) 4 maka untuk men2ari
residu f dititik singular z 4 ' adalah sebagai berikut3
/kspansikan e"zdalam pangkat (z = '), #aitu
e"z 4 e"'e"(z"')4 e"' sehingga
adi k1efisien adalah
Sehingga Res(h,') 4
,ati!an :
arilah Res (f, 0), bila f(z) 4 sin dan hitunglah
bila % arah p1sitif
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
( )32
z
e z
( ) ( )
=
0 !
21
n
nn
n
z
( )32
z
e z
( ) ( )
=
=0
3
2
!
21
n
nn
nze
( ) 12 z ( ) ( )
!2
21 32
nz
( )
!2
1 2
2
1=
2
1
z
C
dzzf )( 1=z
7/25/2019 Residu Dan Kutub
8/24
#eorema:
9ila di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal ,
fungsi f analitik ke2uali pada titik"titik singular di
dalam #ang ban#akn#a berhingga maka titik"titik
singular tersebut merupakan titik"titik singular
terasing f
9ukti%
.zo
.z1 .z3
z2
z4
.
zn
.zi
#eorema Residu Cau"!y:
ika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
tunggal , ke2uali di titik"titik singular #ang ban#akn#a
berhingga di dalam maka
dimana jumlah semua residu di dalam
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
= sidzzfC
Re2)(
sRe
d d b
7/25/2019 Residu Dan Kutub
9/24
9ukti%
;enurut te1rema titik singular hingga, untuk setiap
singular zk kita dapat membuat lingkaran k dengan
pusat zk dengan arah p1sitif, terletak di dalam
dan tidak saling berp1t1ngan
-enurut #eorema perluasan Cau"!y/oursat
4 '6i Res (f, z0) 5'6i Res (f, z&) 5'6i Res (f, z') 5'6i
Res (f, z)
4 '6i
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
=
Cdzzf )( +
0)( dzzf +
1)( dzzf +
2)( dzzf +
3)( dzzf
3
0
),(Re kzfs
= si Re.2
R id d K b
7/25/2019 Residu Dan Kutub
10/24
Conto! Pen%%unaan #eorema Residu Cau"!y
& 9ila % ? z ? 4 ' arah p1sitif, hitunglah
a@ab%
Titik"titik singular dari f(z) 4 adalah z&4 0
dan z'4 "& keduan#a terletak di dalam , adi%
Antuk titik singular z&4 0
4 (& =z 5 z'
= z
5 )
5 & =z 5 z'= z5
adi Res (f,0) 4 '
Antuk titik singular z'4 "&
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
+
+
C
dz
zz
z
)1(
23
)1(
23
+
+
zz
z
Cdzzf )(
= si Re.2
)1(
23)(
+
+=
zz
zzf )
1
1)(
23(
++=
zz
)
2
3( z+
z
2=
R id d K t b
7/25/2019 Residu Dan Kutub
11/24
'4( & 5 (&5z) 5 (&5z)'5 )
Sehingga f(z) 4
4 ( "'(& 5 (&5z) 5 (&5z)'5 ))
" ' = '(z5&) " B
adi Res (f,"&) 4 &
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
=z
2
)1(1
1
z+
)1(
23
+
+
zz
z)
1
1)(
23(
++=
zz
1
1
+z
1
1
+=z
C dzzf )( = si Re.2 ( )12.2 += i
=C
idzzf .6)(
R id d K t b
7/25/2019 Residu Dan Kutub
12/24
K+#+B
;isalkan z0 titik singular terasing dari fungsi f(z),
/kspansi 8aurent dapat disajikan,
0 < < r, dimana disebut ba%ian
utama un%si pada $itar titi$ sin%ular terasin%
z0 9agian utama fungsi f ini biasa berupa deret tak
hingga, bisa juga berupa deret hingga
0 < < r dengan b
m
C 0 ika m 4 & maka z0
dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
=
=0
0 )(
n
nn zza +
=1 0 )(nn
n
zz
b+
=0
0 )(
n
nn zza
=
1
0 ).(
n
nn zzb
0zz
=
1
0 ).(n
n
n zzb
0zz
R id d K t b
7/25/2019 Residu Dan Kutub
13/24
Deinisi Kutub:
ika bagian utama fungsi f pada kitar titik singular
terasing z0 han#a berupa satu suku saja, maka z0dinamakan $utubfungsi f adi kalau z0kutub fungsi
f maka ekspansi 8aurent fungsi f pada kitar z0,
terdapat m bulat p1sitif sehingga k1efisien 8aurent
bmC 0 dan bj40 untuk semua j > m !alam hal ini z0
dinamakan kutub tingkat m fungsi f !engan
demikian kalau z0 kutub tingkat m fungsi f, maka
terdapat r > 0 sehingga f(z) 4
0 < < r dengan bm C 0 ika m 4 & maka z0
dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
( )+
=
m
m
zz
bzf
0
)(( )
+
1
0
1
m
m
zz
b
( )+
+
0
1...zz
b
=
0
0)(n
n
n zza
0zz
R id d K t b
7/25/2019 Residu Dan Kutub
14/24
Conto!"onto! $utub:
& 9ila f(z) 4 maka ekspansi 8aurent f(z)
adalah f(z) 4
adi titik singular z 4 0 merupakan kutub
tunggal fungsi f(z) 4
' 7ungsi g(z) 4 mempun#ai dua titik
singular #aitu,z 4 & dan z 4 0
/kspansi g di sekitar z 4 &, 0 < < &
adalah ekspansi 8aurent f(z) adalah%
/kspansi g di sekitar z 4 &, 0 < < &
adalah ekspansi 8aurent f(z) adalah%
adi z 4 0 merupakan kutub tingkat dua fungsi g(z)
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
3
cos1
z
z
...!8!6!42
1 53++
zzz
z
3
cos1
z
z
2)1(
1
zz
0zz
=
= p
n
nn zn
zzg
1
1)1(.)1(
1
1)( ...)1(31
1 ++
= zzz
0zz
== =
p
n
nzz
zg
02
1)( ...1
11 22
+++++ zzzz
R id d n K t b
7/25/2019 Residu Dan Kutub
15/24
atatan%
Titik"titik singular terasing f(z) #ang buka merupakan
titik kutub disebut titik singular terasing esensial
Teorema Residu Kutub tingkat m
ika z0 kutub tingkat m fungsi f maka terdapat
sekitar 0 < < r, r > 0 sehingga fungsi f
dapat dituliskan sebagai f(z) dengan
(z) analitik di 0 < < r, (z) C 0 dan
Res (f, z0) 4
Kebalikan Teorema Residu Kutub tingkat mika fungsi f(z) dapat dituliskan sebagai dengan
(z) analitik di z0dan (z) C 0 maka z0 merupakan
kutub tingkat m dari f dan Res (f, z0) 4
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
0zz
0zz
m
zz
z
)(
)(
0
)!1(
)( 0)1(
m
zm
mzz
z
)(
)(
0
)!1(
)( 0)1(
m
zm
Residu dan Kutub
7/25/2019 Residu Dan Kutub
16/24
Pen%%unaan teorema residu$utub dan $ebali$an%
& f(z) 4 dapat ditulis sebagai f(z)4
dengan (z) 4 analitik di z 4 0 dan
(0) 4 maka menurut kebalikan
te1rema residu kutub z 4 0 merupakan kutub
tingkat & atau kutub tunggal fungsi f(z)
' fungsi f(z) dapat juga dituliskan sebagai
dengan analitik di z 4 dan
maka menurut kebalikan te1rema residu kutub
z 4 merupakan kutub tingkat ' dan
Res (f, ) 4
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
2)3(
cos
zz
z
z
z)(
2)3(
cos
z
z
2)3(
1
09
1=
2)3(
)(
z
z
z
zz
cos)( = 0
3
3cos)3( =
9
3cos3sin3
!1
)3(1 +=
Residu dan Kutub
7/25/2019 Residu Dan Kutub
17/24
#eorema Residu Kutub #un%%al
ika z0kutub tunggal fungsi f , maka
Res (f, z0) 4 (z =z0) f(z)
1nt1h $enggunaan Te1rema Residu :utub Tunggal3
& $ada 21nt1h kutub telah ditunjukkan bah@a z 4 &
merupakan kutub tunggal dari g(z) 4
maka Res (g, &) 4 (z =&) 4 4 "&
' $ada 21nt1h penggunaan te1rema residu"kutub telah
ditunjukkan ba@a z 4 0 merupakan kutub tunggal dari
4f(z) maka Res (f, 0) 4
4 4
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
0
limzz
2
)1(
1
zz
1
11
limz 2)1(
1
zz
2)3(coszzz
0limz 2)3(
coszz
2)3(
1
9
1
Residu dan Kutub
7/25/2019 Residu Dan Kutub
18/24
#eorema #iti$ &in%ular (un%si asil Ba%i
0 maka z0ika f dan g analitik di z0dan f(z0)
jika dan han#a jikamerupakan titik singular terasing
g(z0) 4 0
#eorema Kutub #un%%al (un%si asil Ba%i
ika f dan g analitik di z0dan f(z0) 0, g(z0) 4 0dan gD(z0) 0, maka z0adalah kutub tunggal dari
(dan Res , z0)4
#eorema Kutub #in%$at m (un%si asil Ba%i
ika f dan g analitik di z0dan f(z0) 0, g(z0) 4 gD(z0)4
4g(m"&)(z0)4 0,
g(m)(z0) 0, maka z0adalah kutub tingkat m fungsi
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
gf
g
f
)('
)z(
0
0
zg
f
g
f
g
f
Residu dan Kutub
7/25/2019 Residu Dan Kutub
19/24
:husus untuk m 4 ' te1rema di atas mudah dirumuskan
residun#a Seperti te1rema berikut
#eoremaika f dan g analitik di z0dan f(z0) 0, g(z0) 4 gD(z0) 4 0,
tetapi gDD(z0) 0, maka z0adalah kutub tingkat ' fungsi
dan Res ( , z0) 4 "
3. R'&)D+ di #a$ in%%a
z titik singulat di z 4 , jika dipenuhi bah@a,
4(" f( ) ("zf(z) ada, selanjutn#a
(" f( )4
("zf(z) 4 Res(f, )
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
g
f
g
f
)(''
)z('2
0
0
zg
f2
0
0
)3(
0
))(''(3
)z()z(2
zg
gf
1
1
0lim
z
lim
0lim
1
1
zlim
Residu dan Kutub
7/25/2019 Residu Dan Kutub
20/24
Deinisi:
ika fungsi f analitik atau mempun#ai titik singular
terasing di z 4 , dan jika lingkaran besar berpusat
di 0 #ang mengelilingi semua titik singular f #ang terletakpada bagian hingga bidang k1mpleks dan #ang
mempun#ai arah negatif, maka residu fungsi f di z 4
didefinisikan sebagai3
Res(f(z), z 4 ) 4
Dalam deinisi ini lin%$aran C berara! ne%ati.
#eorema
ika suatu fungsi han#a mempun#ai berhingga ban#ak
titik singular, maka jumlah residu di titik"titik singular itu,
termasuk residu di tak hingga adalah n1l
1nt1h%
Eitunglah Res(f, ), jika f(z) 4
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
C
dzzf
i
)(
.2
1
)3)(2)(1(
3
zzz
z
Residu dan Kutub
7/25/2019 Residu Dan Kutub
21/24
$en#elesaian%
Titik"titik singular f pada bagian berhingga bidang
k1mpleks han#alah kutub tunggal di z 4 &, z 4 ', dan z 4
ika z0kutub tunggal menurut te1rema di atas maka
(z=z0)f(z) didapatRes(f,z0) 4
Res(f ,&) 4
Res(f,') 4 "-
Res(f,) 4 &
!ari te1rema terakhir didapat
Res (f, ) 4 (Res(f ,&) 5 Res(f,') 5 Res(f,)) 4 "+
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
0
limzz
2
1
2
1
Residu dan Kutub
7/25/2019 Residu Dan Kutub
22/24
#u%as -in%%u Depan K',-PK
1 satu Kelompo$ -a$simum 3 oran% di$umpul$an
pada saat $uis
& Tentukan Res(f, ) dan Res(h, &) untuk
f(z) 4 dan h(z) 4
' ika z0kutub tunggal f, buktikan
Res(f,z0) 4 (z=z0)f(z)
9uktikan bah@a titik singular masing"masing fungsi di
ba@ah ini adalah kutub Tentukan tingkat masing"
masing kutub dan residu fungsi di kutubn#a
a b 2
d e
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
4
1
4
1
cos
z
z2
3
)2)(1( zz
z
0
limzz
zz
z
+
+2
34
sin
z
zz3
21
z
e z
2
3
)2( z
e z
4
cos
z
z
Residu dan Kutub
7/25/2019 Residu Dan Kutub
23/24
Tentukan residu se2 za dan 21tg z disetiap kutubn#a
* Eitunglah ika lingkaran berarah p1sitif
a b
+ Antuk lingkaran (a) , (b) dan
(2) dengan arah p1sitif tentukan nilai
Eitunglah Res(f, ), jika
a) f(z) 4
b) f(z) 4
Residu dan Kutub
Residu
Kutub
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
a. Deinisi
b. Conto!
". #eorema
d. Conto!
Residu di #a$ !in%%a
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd
+
C zz
dzz
)3()1(
)1(2
2
2=z 22 =z
2=z2
1= iz
21=z
+C
zz
dz
)1( 33
)3)(2)(1(
2
2
izzz
z
++
22
2
)3)(2)((
sin
+ zzz
zz
7/25/2019 Residu Dan Kutub
24/24
Terima :asih, Ftas $erhatian Fnda
$age%
& ' *
+ - . &0
&& &' & & &*
&+ & &- &. '0
'& '' /nd