RING

(GELANGGANG)

TUJUAN

• Mahasiswa akan dapat memberikan contoh ring, subring dan homomorfisma ring

Cakupan

– Ring– Ring komutatif– Ring dengan unsur kesatuan– Ring Tanpa Pembagi Nol– Ring Dengan Pembagi Nol– Karakteristik Ring– Subring– Homomorfisma Ring

DEFINISI

• Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner “+” dan “”, (R,+,), disebut RING, jika:– (R,+) grup komutatif– (R,) semigrup– Berlaku distributif kiri dan kanan

• a(b+c) = ab + ac• (a+b)c = ac + bc, a,b,c R

Beberapa Definisi• Suatu Ring (R,+,) disebut ring komutatif jika

operasi “” bersifat komutatif.• Suatu Ring (R,+,) disebut ring dengan

unkes jika (R,) semigrup dengan unkes (monoid).

• Ring disebut ring tanpa pembagi nol (RTPN) bila berlaku “jika a0 dan b0 maka ab0”.

• Ring disebut ring dengan pembagi nol (RDPN), jika “ada a0 dan b0, tetapi ab=0”.

• Ring (R,+,) dikatakan berkarakteristik n, jika ada bil.bulat terkecil n, sehingga na = 0, untuks setiap aR (0 = unkes aditif).

• Ring (R,+,) dikatakan berkarakteristik tak hingga atau nol, jika tidak ada bilangan bulat n yang tersebut di atas.

Contoh: Periksa apakah ring/bukan, Bila ring, periksa komutatif/bukan, ada unkes/tidak,

RTPN/RDPN, cari karakteristiknya1. (Z,+,), (Q,+,), (Q+,+,), (R,+,), (C,+,) 2. Himpunan bil. Genap bulat dengan

operasi + dan .3. Himpunan bil. Riil berbentuk m+n2, di

mana m dan n adalah bilangan rasional; operasi + dan .

4. Kumpulan bilangan bulat Gaussian berbentuk a+i.b, di mana a dan b bilangan bulat; operasi + dan .

SUB-RING

• Definisi: (R,+,) ring. Jika S R, S , (S, +, ) sendiri merupakan ring, maka S disebut subring dari R.

• Subring trivial (tak sejati) adalah R dan {0}; selain itu disebut subring sejati.

• Syarat perlu dan cukup agar subset tak kosong S merupakan subring dari R adalah: “untuk setiap a,bS berlaku (ab) S dan (ab) S.

• Irisan dua subring adalah subring lagi.

Contoh:1. (Z,+,) ring. Bagaimana (2Z,+,)?2. (Z,+,) ring. Bagaimana dengan himp

bilangan cacah dengan operasi-operasi yang sama? Bagaimana dengan himp bilangan asli?

3. (C,+,) ring. Bagaimana dengan (R,+,)?

HOMOMORFISMA RING• (R,+,) dan (R’,,) adalah ring-ring.

Jika ada pemetaan f:RR’ yang bersifat – f(a+b)=f(a)f(b) dan f(ab)=f(a)f(b),

a,bRmaka dikatakan f adalah homomorfisma dari

R ke R’.• Jika f bersifat 1-1 dan onto, dikatakan R

isomorf dengan R’, ditulis RR’.• Isomorfisma dari R ke R sendiri disebut

automorfisma.

Sifat-sifat Homomorfisma Ring

• Bila 0=unkes aditif di R, 0’=unkes aditif di R’, maka f(0) =0’.

• Bila 1=unkes multiplikatif di R, 1’=unkes multiplikatif di R’, maka f(1) =1’.

• Jika f homomorfis, maka f(x) = f(x).• Peta homomorf dari R merupakan

subring dari R’.

Beberapa ContohPeriksa homomorf/bukan dan bila

homomorf, tentukan jenisnya

1. f:Z2Z yang didefinisikan f(x) = 2x; operasi + dan x.

2. R={m+n2, m,n bulat} dengan operasi + dan x. Pemetaan f:RR sbb f(a+b2)=ab2.

3. R={a,b,c,d} dengan + dan . R’={p,q,r,s} dengan dan . Pemetaan f(a)=r, f(b)=q, f(c)=s, f(d)=p.

Penutup– Ring: himpunan A dengan dua operasi + dan x,

sehingga (A,+) grup Abelian, (A,x) semigrup, operasi x distributif terhadap +

– Ring komutatif: jika operasi x komutatif– Ring dengan unsur kesatuan: jika operasi x punya

unkes– Ring Tanpa Pembagi Nol: tidak ada dua elemen tak

nol yang produknya =0– Ring Dengan Pembagi Nol: ada dua elemen tak nol

yang produknya = 0– Karakteristik Ring: bilangan n, sehingga n.a = 0– Subring: bagian dari ring yang juga merupakan ring– Homomorfisma Ring: homomorfis antara dua ring