Fungsi Peluang Diskrit, Kontinu, dan Bersama

Fungsi Peluang Diskrit, Kontinu, dan BersamaKelompok I :Christian KobaRiskika Fauziah KodriYulin Tipaka Fungsi Peluang DiskritDidapat:

XP(X)012Jumlah1Distribusi Probabilitas DiskritTiap nilai sebuah variabel random memiliki probabilitas tertentu untuk muncul.Contoh:Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar, Angka). Misal didefinisikan variabel randomnya X : banyak G dalam pelemparab tsb. Maka ruang sampelnya:S = {GGG,GGA,GAG,GAA, AGG,AGA,AAG,AAA}x = 0 {AAA} P(X=0) = 0x = 1 {GAA,AGA,AAG} P(X=1) = 3/8x = 2 {GGA,GAG,AGG} P(X=2) = 3/8x = 3 {GGG} P(X=3) = 1/8Distribusi Probabilitas Diskrit

Fungsi Peluang KontinuJika X adalah variabel random dengan peluang pada setiap titik tunggal x sama dengan nol, yakni P (X = x) = 0, maka X dinamakan variabel random kontinyu. Jika X variabel random kontinyu, maka ada fungsi f (x) sehingga peluang variabel random X berada di antara a dan b sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f (x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. Selanjutnya peluang X berada di antara a dan b ditulis P (a < X < b). Fungsi f (x) tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang.Fungsi distribusi kumulatif variabel random kontinyu X , ditulis F (x), didefinisikan sebagai peluang variabel random X bernilai lebih kecil atau sama dengan x atau f(x) = P (X < x)

Distribusi Probabilitas KontinuContoh. Misal kesalahan dalam pencatatan temperature di sebuah percobaan adalah sebuah variabel random X yg memiliki fungsi rapat probabilitas sbb:

Periksalah apakah f(x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat probabilitasBerapakah probabilitas menemukan kesalahan pencatatan antara 0 dan 1?

Jawab.a. b.

Contoh 1. Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam.a) Tentukan fungsi densitas peluang dari X.b) Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.

Peluang Fungsi BersamaMisalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdenisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama (joint pmf ) dari X dan Y adalahP X,Y (x, y) = P (X = x; Y = y)Catatan.Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama{X = x; Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y

Contoh Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. Jika X adalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah fungsi peluang bersama dari X dan Y, p(i,j)=P{X=i,Y=j)Semua kemungkinan pasangan nilai (x,y) yang mungkin adalah (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), dan (3,0)f(0,0) menyatakan peluang terambilnya 0 bola merah dan 0 bola putihBanyaknya cara mengambil 3 bola dari 12 bola adalah =220Banyaknya cara mengambil 0 dari 3 bola merah, 0 dari 4 bola putih dan 3 dari 5 bola biru adalah = 10f(0,0) adalah 10/220

Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1

Sebaran peluang bersama bagi X dan Y untuk contoh ini dapat dinyatakan dalam rumus berikutUntuk X=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0 X+Y 3

p(x,y)xTotal Baris0123y010/22030/22015/2201/22056/220140/22060/22012/220112/220230/22018/22048/22034/2204/220Total Kolom84/220108/22027/2201/220 1

Distribusi Probabilitas Bersama (Joint)Contoh.Sebuah perusahaan permen mendistribusikan kotak-kotak cokelat yang berisi isian jenis: krim, tofi dan kacang. Terdapat dua tipe cokelatnya yaitu : coklat gelap dan putih. Misalkan dipilih acak 1 kotak, dan variabel random X dan Y menyatakan persentase dari coklat putih dan gelap yang berisi krim, dengan fungsi rapat probabilitas bersamanya:

Periksalah apakah integral f(x,y) di seluruh daerah = 1Carilah probabilitas mendapati 0