01 barisan-dan-deret

71
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Barisan dan Deret

Transcript of 01 barisan-dan-deret

Page 1: 01 barisan-dan-deret

Program Perkuliahan Dasar Umum

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Barisan dan Deret

Page 2: 01 barisan-dan-deret

Barisan Barisan � Definisi

Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli.

Notasi: f: N � R

n f(n ) = an

Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

2

Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil {an} dengan an adalah suku ke-n.

� Bentuk penulisan dari barisan :

1. bentuk eksplisit suku ke-n

2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya.

3. bentuk rekursi

an = n

1

...,4

1,

3

1,

2

1,1

n

nn a

aaa

+== + 1

,1 11

Page 3: 01 barisan-dan-deret

Kekonvergenan BarisanKekonvergenan Barisan

� Definisi:Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai

Jika untuk tiap bilangan positif ε, ada bilangan

Lann

=∞→

lim

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

3

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

Jika untuk tiap bilangan positif ε, ada bilangan positif N sehingga untuk

ε<−⇒≥ LaNn n

Page 4: 01 barisan-dan-deret

CatatanCatatan

� Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut.

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.

Lxfx

=∞→

)(limJika Lnfn

=∞→

)(lim, maka

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

4

kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.

Page 5: 01 barisan-dan-deret

Sifat Limit BarisanSifat Limit Barisan

� Sifat dari limit barisan, jika barisan {an} konvergen ke L dan barisan {bn} konvergen ke M, maka

1. ( ) ( ) ( ) MLblimalimbalim nn

nn

nnn

±=±=±∞→∞→∞→

2. ( ) ( ) ( ) M.Lblim.alimb.alim nn

nn

nnn

==∞→∞→∞→

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

5

( ) ( ) ( )nn

nn

nnn ∞→∞→∞→

3. ( )( ) M

L

blim

alim

b

alim

nn

nn

n

n

n==

∞→

∞→

∞→, untuk M≠ 0

� Barisan {an} dikatakan

a. Monoton naik bila an+1 ≥ an b. Monoton turun bila an+1≤ an

Page 6: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

1n2

nan −

=1.

Jawab:Ambil )( = x

xf , Dalam hal ini menurut kaidah

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

6

2

1

12lim)(lim =

−=

∞→∞→ x

xxf

xx

artinya barisan an konvergen menuju ½.

Ambil12

)(−

=x

xxf , Dalam hal ini menurut kaidah

I’Hospital,

2

1

12lim =

−∞→ n

nn

Jadi,

Page 7: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

2.

n

n n

11a

+=

Jawab:Ambil

x

xxf

+= 11)( , Dalam hal ini menurut kaidah

I’Hospital,

+= x

11.limexp

+= x

1

11ln

limexpx

+ 11lim

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

7

eex

xx

==

+=

∞→

1

1limexp

artinya barisan an konvergen menuju e.

en

n

n=

−∞→

11lim

Jadi,

+=∞→ xx

x1.limexp

=∞→

x

xx 1limexp

+

−=

∞→ 2

2

1

1.

1

limexp

x

x

x

xx

x x

+∞→

1lim

Page 8: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

3n2n

1n4a

2

2

n +−+=

1n

2n3a

2

n ++=

n

...

5

4,

4

3,

3

2,

2

1

−−− ...

5,

4,

3,

2,1

an+1 = 2

1 (an +

na

2) , a1=2 1.

2.

9.

8.

7.

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

8

1n

nan +

=

( )n

n

n 4a

π−=

n

)nln(an =

−−− ...

9

5,

7

4,

5

3,

3

2,1

−−−...

4

31

1,

3

21

1,

2

11

1,1

−−−−...

5

15

4,

4

14

3,

3

13

2,

2

12

1an+1 = 1 +

2

1an , a1=1 11.

10.

9.

6.

5.

4.

3.

Page 9: 01 barisan-dan-deret

Deret Tak HinggaDeret Tak Hingga

� Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut:

∑∞

=0nna = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an + …

dengan a adalah suku ke-n.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

9

dengan an adalah suku ke-n.

Page 10: 01 barisan-dan-deret

Barisan Jumlah ParsialBarisan Jumlah Parsial

Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret

, maka∑∞

=0iia

S1 = a1

S2 = a1 + a2

.

.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

10

Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret∑∞

=0iia

Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.

.

.Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an = ∑

=

n

0iia

Page 11: 01 barisan-dan-deret

Kekonvergenan Deret Tak HinggaKekonvergenan Deret Tak Hingga

Deret tak hingga ∑∞

=0iia konvergen dan mempunyai

jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn}

konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn}

divergen maka deret divergen.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

11

Page 12: 01 barisan-dan-deret

Deret GeometriDeret Geometri

� Bentuk umum deret geometri adalah

∑∞

=

1n

1nar = a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...

dengan a ≠ 0.

� Jumlah parsial deret ini adalah

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

12

� Jumlah parsial deret ini adalah

Sn = ∑=

−n

1i

1iar = a +ar +a r2 + ... + a rn-1

dan dapat ditulis sebagai Sn = ( )r1

r1a n

−− , r ≠ 1.

Page 13: 01 barisan-dan-deret

Sifat DeretSifat Deret GeometriGeometri

1. Jikar < 1 maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena

n

nrlim

∞→= 0, maka deretnya konvergen ke

r1

a

−2. Jika maka barisan {rn} divergen karena

maka deretnya juga divergen

r > 1 n

nrlim

∞→= ∞ ,

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

13

maka deretnya juga divergen

Page 14: 01 barisan-dan-deret

Contoh Contoh (Selidiki kekonvergenannya)(Selidiki kekonvergenannya)

...32

1

16

1

8

1

4

1

2

1 +++++1.

Jawab: Kalau kita perhatikan

S1 = 2

1 = 1 -2

1 S2 = 4

1

2

1 + = 4

3 = 1 – (2

1 )2

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

14

2 2 42 4 2

S3 = 8

1

4

1

2

1 ++ =8

7 = 1 – (2

1 )3

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya

Sn = 1 – (2

1 )n Dan

nn

Slim∞→

= ∞→n

lim (1 – (2

1 )n) = 1

Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnyakonvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

Page 15: 01 barisan-dan-deret

Contoh (2)Contoh (2)

∑∞

= +1i )1i(i

12.2.

Jawab: Kalau kita perhatikan

)1i(i

1

+=

i

1 - 1i

1

+

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

(Deret Kolaps)

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

15

Dan

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1,maka deret di atas juga konvergen.

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

Sn =

+−

//++

//−

//+

//−

//+

//−

1n

1

n

1...

4

1

3

1

3

1

2

1

2

11 =

+−

1n

11

nn

Slim∞→

=∞→n

lim

+−

1n

11 = 1

Page 16: 01 barisan-dan-deret

Contoh (3)Contoh (3)

3.3.

Jawab: Dari sini kita dapatkan

∑∞

=1i i

1

Sn = 1 + n

1...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1 ++++++++

11111111

(Deret Harmonik)

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

16

Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk nmenuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga.Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.

Sn = 1 + n

1...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1 ++

++++

++

≥ 1 + n

1...

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

1 ++

++++

++

= 1 + n

1...

2

1

2

1

2

1

2

1 +++++

Page 17: 01 barisan-dan-deret

Uji kedivergenan dengan suku keUji kedivergenan dengan suku ke--nn..

Apabila∑∞

=0nna konvergenmaka n

nalim

∞→= 0, ekivalen

nn

alim∞→

≠ 0 maka deret divergen.

Contoh: Buktikan bahwa∑∞

= ++1n2

2

4n3n3

ndivergen.

Bukti

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

17

Bukti

4n3n3

nlim

2

2

n ++∞→=

2

n

n

4

n

33

1lim

++∞→ 3

1= (Tidak Nol)

Jadi terbukti bahwa divergen.∑∞

= ++1n2

2

4n3n3

n

Page 18: 01 barisan-dan-deret

Masalah Baru Masalah Baru

Dalam banyak kasus bahwa nn

alim∞→

= 0, tetapi dari sini

kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen.

Sebagai contoh deret harmonik,

∑∞ 1

=1 + 1

...1111111 ++++++++ + . . .

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

18

∑=1n

n

1=1 +

n

1...

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1 ++++++++ + . . .

Jelas bahwa nn

alim∞→

= 0, tetapi deret harmonik adalah

deret yang divergen.

Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.

Page 19: 01 barisan-dan-deret

Uji Deret PositifUji Deret Positif

1. Tes Integral

Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,∝)

a. Jika integral tak wajar ∫∞

1dx)x(f konvergen, maka deret

∑∞

)n(f konvergen.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

19

b. Jika integral tak wajar

∑=1n

)n(f konvergen.

divergen, maka deret

∑∞

=1n

)n(f divergen.∫

1dx)x(f

Page 20: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

1. Selidiki kekonvergenan dari ∑∞

=

1n

n2

en

Jawab. Kita ambil2xex)x(f −= , sehingga

dxex2x

1

−∞

∫ dxexlim2x

b

1b

∞→ ∫ ∫ −

∞→

b

1

2x

b)x(delim

2

1 2

b1 11 1

= =

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

20

b

1

x

b

2

elim2

1 −

∞→−

1bb ee

1lim

2

12

−−

∞→ e2

1= = =

Jadi karena dxex2x

1

−∞

∫ konvergen, maka ∑∞

=

1n

n2

en

juga konvergen.

Page 21: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

2. Selidiki kekonvergenan dari

Jawab. Kita ambil , sehingga

∑∞

=2nnlnn

1

xxxf

ln1

)( =

∫∫ ∞→

∞=

b

b xx

dx

xx

dx22 ln

limln ∫

∞→=

2 ln)(ln

limx

xdb

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

21

Jadi karena divergen, maka

juga divergen.

∫∫ ∞→b xxxx 22 lnln ∫∞→=

2 lnlim

xb

( ) ( ) ∞=−=∞→

2lnlnlnlnlim bb

∫∞

2 ln xx

dx∑

=2nnlnn

1

Page 22: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

∑∞ 1

∑∞

= +1n 1n2

1

∑∞ 1

4.1.

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

( )∑∞

= −3n22n

1

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

22

∑=2n

2 nlnn

1 ∑= +1n

2 1n4

1

( )∑

= +1n 2

3n34

1

2. 5.

3.

Page 23: 01 barisan-dan-deret

Uji Deret PositifUji Deret Positif2. Uji Deret -p

Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum

∑∞

=1

1

ipi

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan

1∞tp1x −

1t p1 −−

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

23

dxx

1lim

1 pt ∫∞

∞→=

1

p1

t p1

xlim

∞→ = p1

1tlim

p1

t −−−

∞→

Kalau kita perhatikan, untuk

1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen.

2. p > 1 makap1

ttlim −

∞→= 0, sehingga diperoleh deret

yang konvergen.

Page 24: 01 barisan-dan-deret

Uji Deret PositifUji Deret Positif

3. p < 1 makap1

ttlim −

∞→=∞, sehingga diperoleh deret yang

divergen.

4. p < 0, suku ke-n deret ∑=

n

iPi1

1, yaitu, tidak menuju 0.Pn

1

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

24

Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:

1. Deret-p konvergen apabila p > 12. Deret-p divergen apabila 0 ≤ p ≤ 1

Page 25: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Apakah deret berikut konvergen atau divergen?

1. ∑∞

=1001,1

1

n n

Berdasarkan uji deret-p, deret ∑∞

=1001,1

1

n n konvergen

karena p=1,001 > 1

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

25

karena p=1,001 > 1

2.

Berdasarkan uji deret-p, deret divergen

karena p= ½ < 1

∑∞

=1 21

1

n n

∑∞

=1 21

1

n n

Page 26: 01 barisan-dan-deret

Uji Deret PositifUji Deret Positif

3. Tes Perbandingan dengan deret lain

Andaikan ∑∞

=1̀nna ∑

=1̀nnbdan deret positif, jika an ≤ bn maka

1. Jika konvergen, maka ∞

∑∞

=1̀nnb ∑

=1̀nna konvergen

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

26

∑∞

=1̀nnb

=1̀n

∑∞

=1̀nna

=1̀n

2. Jika divergen, maka divergen

Page 27: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Selidiki Kekonvergenan deret berikut:

1.∑∞

= −3n2 5n

n

Jawab:Akan kita bandingkan deret ini dengan an =

n

1 dan bn= 5n

n2 −

kita tahu bahwa

,

∑∞

n

1adalah deret harmonik dan

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

27

kita tahu bahwa ∑=1n

n adalah deret harmonik dan

5n

n2 − n

1≥ , Sehingga karena ∑∞

=1nn

1

∑∞

= −2n2 5n

n

deret divergen, maka

deret yang divergen.

Page 28: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Jawab:Akan kita bandingkan deret ini dengan bn= dan an=

kita tahu bahwa adalah deret hiperharmonik dengan

2. ∑∞

= +1n2 5n

1

5n

12 +2n

1

∑∞

2n

1

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

28

kita tahu bahwa adalah deret hiperharmonik dengan

≥ , Sehingga karena

konvergen, maka deret yang konvergen.∑∞

= +1n2 5n

1

2n

1

5n

12 +

∑=1n

2n

p = 2 >1 dan ∑∞

=1n2n

1deret

Page 29: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan deret berikut

∑∞

= +1n2 5n

n

∑∞

−2 5n

1

( )∑∞

= −3n22n

1

∑∞

−1n2

12.

4.

5.

1.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

29

∑= −3n

2 5n

∑∞

= +1nn 12

1

∑= −1n 1n2

2. 5.

3.

Page 30: 01 barisan-dan-deret

4. Tes Banding limit

Andaikan an dan bn deret positif dann

n

n b

alim

∞→

Uji Deret PositifUji Deret Positif

= L

1. Jika 0 < L < ∞ maka ∑∞

=1̀nna ∑

= `1nnbdan sama-sama

konvergen atau divergen

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

30

konvergen atau divergen

2. Jika L = 0 dan ∑∞

=1̀nnb ∑

=1̀nnakonvergen maka konvergen.

Page 31: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

∑∞

= +−+

1n23 7n5n

3n21.

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan b =

Jawab:

1

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

31

sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=

n

n

n b

alim

∞→

∑∞

= +−+

1n23 7n5n

3n2konvergen.

= 2

Jadi karena L=2 dan ∑∞

=12

1

n n

21

n

2

23

175

32lim

n

nnn

n

+−+

=∞→ 75

32lim 23

23

+−+=

∞→ nn

nnn

konvergen, maka deret

Page 32: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

2.

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan b =

Jawab:

∑∞

= +1n2 4n

1

1

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

32

sehingga

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=

n

n

n b

alim

∞→

divergen.

= 1

Jadi karena L=1 dan divergen, maka deret

∑∞

= +1n2 4n

1

n1

n1

4n1

lim2

n

+∞→ 4n

nlim

2

2

n +∞→= =

∑∞

=1

1

n n

Page 33: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

∑∞

= ++1n2 3n2n

n∑

= −+

1n3 4n

1n3

∑∞

= +1n 1nn

1 ∑∞

=1n2n

nln2.

4.

5.

1.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

33

∑= +1n 1nn

∑∞

=

+1n

2n

3n2

=1n n2.

3.

Page 34: 01 barisan-dan-deret

5. Tes Hasil Bagi

Uji Deret PositifUji Deret Positif

∑∞

=1kka

ρ=+∞→ k

1k

k a

alim

Diketahui merupakan suatu deret dengan

∑∞

suku-suku yang positif, misalkan

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

34

ρ ∑∞

=1kka1. Jika < 1 maka deret konvergen

ρ ∑∞

=1kka divergen2. Jika > 1 maka deret

ρ = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.3. Jika

Page 35: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

1. ∑∞

=1 !

3

n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah an = !

3

n

n

, maka suku ke-n+1

adalah a 3 1+n

sehingga

Jawab:

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

35

!nadalah an+1= ( )!1

3

+nsehingga

Karena nilai limit r=0 (< 1), maka deret ∑∞

=1 !

3

n

n

nkonvergen

( )1

3lim

+=

∞→ nn0=( )!13

!3lim

1

+=

+

∞→ n

nn

n

n

( )!

3

!13

lim

1

n

nn

n

n

+=

+

∞→n

n

n a

a 1lim +

∞→

Page 36: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

2. ∑∞

=12

3

n

n

n

Misalkan suku ke-n adalah an = 2

3

n

n

, maka suku ke-n+1

adalah a13 +n

sehingga

Jawab:

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

36

nadalah an+1=

( )21

3

+nsehingga

Karena nilai limit r=3 (> 1), maka deret ∑∞

=12

3

n

n

ndivergen

3=( )22

1

3lim

+=

∞→ n

n

n( )221

13

3lim

+=

+

∞→ n

nn

n

n

( )2

2

1

3

13

lim

n

nn

n

n

+=

+

∞→n

n

n a

a 1lim +

∞→

Page 37: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

∑∞

=1

!

nnn

n∑

=

+1 !

5

n n

n

( )∑∞

!2

n

n

n( )∑

=1

3

!2n n

n2.

4.

5.

1.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

37

( )∑=1 !2n n

∑∞

=

+1 !

4

n

n

n

n

( )=1 !2n n2.

3.

Page 38: 01 barisan-dan-deret

Uji Deret PositifUji Deret Positif

6. Tes Akar

∑∞

=1kka

∑∞

Diketahui merupakan suatu deret dengan

suku-suku yang positif, misalkan aakk

k=

∞→lim

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

38

∑∞

=1kka

∑∞

=1kka

1. Jika a < 1 maka deret konvergen

divergen

= 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

2. Jika a > 1 maka deret

3. Jika a

Page 39: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Selidiki kekonvergenan deret

1. ∑∞

=

−+

1 1

22

n

n

n

n

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah an =

n

n

n

−+1

22, maka nilai

limitnya adalah

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

39

n −1limitnya adalah

21

22limlim =

−+=

∞→∞→ n

na

n

nn

n

Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret ∑∞

=

−+

1 1

22

n

n

n

n

divergen

Page 40: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

2. ∑∞

=

−+

1 12

2

n

n

n

n

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah an =

n

n

n

−+

12

2, maka nilai

limitnya adalah

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

40

n −12limitnya adalah

2

1

12

2limlim =

−+=

∞→∞→ n

na

n

nn

n

Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deret∑∞

=

−+

1 1

22

n

n

n

n

konvergen

Page 41: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

∑∞

=

1 ln

1

n

n

n

∑∞

−+

12

23n

n

n∑∞

+ 23

n

n

n

∑∞

=

+1

1

2

1

n

n

n

2. 4.

3.1.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

41

∑=

−1 12n n

∑=

+1 23n n

2. 4.

Page 42: 01 barisan-dan-deret

Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan MutlakMutlak

� Deret Ganti Tanda

Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut

( ) ...aaaaa1 43211n

n1n +−+−=−∑

=

+

dengan an > 0, untuk semua n.

Contoh penting adalah deret harmonik berganti

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

42

Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu

( ) ...4

1

3

1

2

11

n

11

1n

1n +−+−=−∑∞

=

+

Page 43: 01 barisan-dan-deret

Uji Deret Ganti TandaUji Deret Ganti Tanda

Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika

1. an+1< an

0lim =∞→ n

na2.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

43

∞→ nn

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

...4

1

3

1

2

11 +−+−1.

2. ...!4

1

!3

1

!2

11 +−+−

Page 44: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

1. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya an= n

1, dan an+1 =

1

1

+n

tersebut konvergen jika

, deret

a. 11

11

11

1

1

>+=+=+

=+ nn

n

n

na

a

n

n ⇔ an >an+1

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

44

11 ++ nnn

an

b. 01

limlim ==∞→∞→ n

an

nn

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

Page 45: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

2. Jawab (uji ganti tanda)

Dari soal diatas kita punya an= !

1

n, dan an+1 = ( )!1

1

+ntersebut konvergen jika

, deret

a.

( )11

!11

!1

1

>+=+

=+

n

n

n

a

a

n

n ⇔ an >an+1

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

45

( )!11 ++ nan

b. 0!

1limlim ==

∞→∞→ na

nn

n

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

Page 46: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:

( )∑∞

=

+

+−

1

1

13

21

n

n

n( )∑

=

−1 3

1n

nn n

( )∑∞

++−

2

31 n

nn

n ( )∑∞

= +−

1 )1(

11

n

n

nn2.

4.

5.

1.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

46

∑= +1

2n nn

( )∑∞

=

+−1

1

!1

n

nn

n

n

= +1 )1(n nn2.

3.

Page 47: 01 barisan-dan-deret

Konvergen Mutlak dan Konvergen BersyaratKonvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

∑∞

=1nnb

Atau dengan kata lain

dikatakan konvergen mutlak jika ∑∞

=1nnb konvergen.

∑∞

=1nnb divergen,

∑∞

Dan dikatakan konvergen bersyarat jika

mutlak deret tersebut konvergen.

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

47

=1n

∑∞

=1nnb konvergen.tetapi

Page 48: 01 barisan-dan-deret

Pengujian Kekonvergenan MutlakPengujian Kekonvergenan Mutlak

Misalkan∑∞

=1nna dengan an ≠ 0 dan

n

n

n a

a 1lim +

∞→ = r. Maka

1. bila r < 1 maka deret konvergen mutlak2. bila r > 1 maka deret divergen3. bila r = 1 maka tes gagal.Bisa digunakan uji deret positif lainnya

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

48

Bisa digunakan uji deret positif lainnya

Page 49: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen

1. ( )∑∞

=

+−1

1

!

21

n

nn

n

Jawab:

Dari soal diatas kita punya an= ( ) 21 1

nn+− , dan an+1 = ( ) ( )

21

12

+−

++

nn

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

49

( ) ( )( ) ( )!21

!121

limlim1

12

1

n

n

a

ar

nn

nn

nn

n

n +

++

∞→

+

∞→ −

+−== ( )!12

!2lim

1

+=

+

∞→ n

nn

n

n 1

2lim

+=

∞→ nn

Dari soal diatas kita punya an= ( )!

1n

− , dan an+1 = ( ) ( )!11

+−

n

Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak

sehingga

0=

Page 50: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

2. ( )∑∞

=

+−1

1 11

n

n

n

Jawab:

Dengan uji deret ganti tanda deret ( )∑∞

=

+−1

1 11

n

n

n

adalah deret divergen∑ ∑∞ ∞

= 1a

konvergen

(buktikan!!), sedangkan

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

50

( )∑∞

=

+−1

1 11

n

n

n

adalah deret divergen∑ ∑= =

=1 1

1

n nn

na

Jadi deret

(buktikan!!),

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1)

adalah konvergen bersyarat.

sedangkan

Page 51: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

( )∑∞

=

−1 5

1n

n

n n

( ) ( )∑∞

= +−

1 1

11

n

n

nn

∞ +− 1)1( n

1.4.

Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergenbersyarat atau divergen:

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

51

∑∞

=

12

)4(

n

n

n

∑∞

= +−

1 23

)1(

n

n

n

∑∞

=

+−1

1

ln

)1(

n

n

nn

∑∞

=

+

+−

1

1

1

)1(

n

n

nn

2.

3.

5.

6.

Page 52: 01 barisan-dan-deret

Deret PangkatDeret Pangkat

Deret pangkat secara umum ada dua bentuk

1. Deret pangkat dalam x didefinisikan

∑∞

=0n

nn xa = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

52

2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan

( )∑∞

=

−0n

nn bxa = a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen.

Page 53: 01 barisan-dan-deret

Selang KekonvergenanSelang Kekonvergenan

Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagi mutlak sebagai berikut:

Misalkan ( )∑∞

=

−0n

n

n bxa dan nn

nn

n bxa

bxaL

)(

)(lim

11

−−=

++

∞→

1. Jika L < 1, maka deret konvergen.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

53

1. Jika L < 1, maka deret konvergen. 2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan � gunakan

uji deret sebelumnya.

Page 54: 01 barisan-dan-deret

SoalSoal

Tentukan selang kekonvergenan deret

∑∞

= +0 2)1(nn

n

n

x

∑∞

+ !)1(

n

n

x

1.

2.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

54

∑= +

0!)1(

nn

∑∞

=

+0

!)1(n

nxn3.

Page 55: 01 barisan-dan-deret

JawabJawab

1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu

n

n

n

n

n n

x

n

xL

2)1(:

)2(2lim

1

1

++= +

+

∞→ 2

x=)2(

)1(

2lim

++=

∞→ n

nxn

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

55

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu –2 < x < 2

Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitux = 2 atau x = -2 .� Pada x = 2

( ) ( )∑∑∞

=

= +=

+ 11 1

1

21

2

nnn

n

nn

deret ini adalah deret harmonik yang divergen.

Page 56: 01 barisan-dan-deret

JawabJawab

� Pada x = –2

deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen.

( )( )

( )( )∑∑

=

= +−=

+−

11 1

1

21

2

n

n

nn

n

nn

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

56

Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 ≤ x < 2

Page 57: 01 barisan-dan-deret

Jawab(2)Jawab(2)

2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

( ) ( )!1:

!2lim

1

++=

+

∞→ n

x

n

xL

nn

n0=( )2

lim+

=∞→ n

xn

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

57

Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuksemua nilai x.

Jadi selang kekonvergenannya adalah (-∞,∞)

Page 58: 01 barisan-dan-deret

Jawab(3)Jawab(3)

3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

( )( ) n

n

n xn

xnL

!1

!2lim

1

++=

+

∞→( )xn

n2lim +=

∞→

≠∞=

=0,

0,0

xjika

xjika

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

58

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.

( )n xn !1+∞→ n ∞→ ≠∞ 0, xjika

Page 59: 01 barisan-dan-deret

Teorema 1Teorema 1

Himpunan kekonvergenan deret pangkat ∑∞

=0n

nn xa

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:

1. satu titik x = 02. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau

keduanya titik ujungnya.

berbentuk

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

59

keduanya titik ujungnya.3. seluruh himpunan bilangan riil

Page 60: 01 barisan-dan-deret

Teorema 2Teorema 2

Himpunan kekonvergenan deret pangkat ∑∞

=−

0n

nn )bx(a

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketigajenis berikut :

1. satu titik x = b2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

60

2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya.

3. seluruh himpunan bilangan riil

Page 61: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:

( )∑∞

= +−

021

)1(

n

n

n

x

( ) ( ) ( )...

81.4

4ln2

27.3

3ln2

9.2

2ln2

3

2 432

++++++++ xxxx

1.

2.

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

61

...81.427.39.23

++++

( ) ( ) ( )...

!3

2

!2

22

32

++++++ xxx3.

Page 62: 01 barisan-dan-deret

Operasi deret pangkatOperasi deret pangkat

Dalam pasal sebelumnya untuk 11 <<− x deret

x

aax

n

n

−=∑

= 11

Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di

∑∞

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

62

∑∞

=1n

naxatas (misal S(x)= )

didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.

misalkan bagaimana jika S(x)

Page 63: 01 barisan-dan-deret

TeoremaTeorema

� Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I; jadi

S(x)= ∑∞

=0n

nn xa = a0 + a1 x + a2 x

2 + a3 x3+ . . .

[ ]∑∞

nn xaD

Maka1. S’(x) = = D[a + a x + a x2 + a x3+ . . .]

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

63

[ ]∑=0n

n xaD

∑∞

=

1

1

n

nn xna

∫x

dttS0

)( ∑∫∞

=00

n

xn

n dtta

∑∞

=

+

+0

1

1n

nn xn

a2

13

14

1

1. S’(x) = = D[a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3+ . . .]

=

=

= a0x + a1 x2 + a2 x3 + a3 x4+ . . .2.

= a1 + 2a2 x + 3a3 x2+ . . .

=

Page 64: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Sesuai teorema di atas

x−1

1= 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1< x <1, tentukan

a. ( )21

1

x−b. ln(1 – x)

Jawab:

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

64

Jawab:

a. ( )21

1

x−

Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh

( )21

1

1

1

xxDx −

=

− = 1 + 2x + 3x2 + 4 x3 + . . .

, -1< x <1 1

1

−∞

=∑= n

n

xn

Page 65: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

a. ln (1 – x)

Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku,kita peroleh juga

∫∫ ++++=−

=−xx

dttttdtt

x0

32

0

...11

1)1ln(

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

65

− t 00 1

...4

1

3

1

2

1...

4

1

3

1

2

1 432

0

432 ++++=++++= xxxxttttx

, -1< x <1 n

n

xn∑

=

=1

1

Page 66: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

xxf

+=

1

1)(

+−=

x

xxf

1

1ln)(

( )21

1)(

xxf

+=

1.

6.2.

5. f(x)=tan-1(x)

Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

66

xx

x

xxf

+=

+=

1

1

1)( 2

2

3. ( )xxf

32

1)(

+=7.

21

1)(

xxf

+=4.

Page 67: 01 barisan-dan-deret

Deret Taylor dan Deret MaclurinDeret Taylor dan Deret Maclurin

Deret Taylor

� Definisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x=b. Maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk

( )∑∞

−)( )( n

n

bxbf

f(x) = = f(b) + f ’(b)(x-b)+ + . . .)()('' 2bxbf −

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

67

!2

)0(" 2xf

( )∑=

−0

!n

bxnf(x) = = f(b) + f ’(b)(x-b)+ + . . .

deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b.

Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu

( )∑∞

=0

)(

!

)0(

n

nn

xn

ff(x) = = f(0) + f ’(0)(x)+ + . . .

!2

Page 68: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:

1. f(x)= sin x

Jawab:

f(x) = sin x

f ’(x) = cos x � f’(0) = 1

� f(0) = 0

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

68

f ’(x) = cos x

f ’’(x) = - sin x � f’’(0) = 0

� f’(0) = 1

f ’’’(x) = - cos x � f’’’(0) = -1

f lV (x) = sin x � f lV(0) = 0

Sehingga,

...!7!5!3

sin)(753

+−+−== xxxxxxf ( ) ( )∑

=

+

+−=

0

12

!121

n

nn

n

x

Page 69: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

2. f(x)= ex

Jawab:

f(x) = ex

f ’(x) = ex

f ’’(x) = ex � f’’(0) = 1

� f’(0) = 1

� f(0) = 1

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

69

� f’’(0) = 1

f ’’’(x) = ex � f’’’(0) = 1

f lV (x) = ex � f lV(0) = 1

Sehingga,

...!4!3!2

1)(432

+++++== xxxxexf x

∑∞

=

=0 !n

n

n

x

Page 70: 01 barisan-dan-deret

ContohContoh

3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat di x=1

Jawab:

f(x) = ex

f ’(x) = ex

f ’’(x) = ex� f’(1) = e

� f(1) = e

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

70

f ’’(x) = ex � f’’(1) = e

f ’’’(x) = ex � f’’’(1) = e

f lV (x) = ex � f lV(1) = e

Sehingga,

( ) ( )...

!3

1

!2

1)1()(

32

+−+−+−+== xe

xexeeexf x ( )

∑∞

=

−=0 !

1

n

n

n

xe

Page 71: 01 barisan-dan-deret

LatihanLatihan

1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin

a. f(x) = cos x

b. f(x) = cos x2

c. f(x) = cos2 x

f. f(x) = sec x

e. f(x) = sin2 x

g. f(x) = tan x

2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II

71

a. f(x) = ex, a = 2a. f(x) = cos x, a = π/3

b. f(x) = sin x, a = π/3

d. f(x) = ex+ sin x h. f(x) = sec x

2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan pusat x = a