03. Mek - Gerak Dalam Dua Dan Tiga Dimensi

• Besaran Fisis• Gerak 1D & 2DA

• Hukum GerakNewton

• Aplikasi HukumNewton

B

• Kerja & Energi• Kekekalan

EnergiC

• Momentum• Gerak RotasiD

• Gravitasi• Gerak PeriodikE

• MekanikaFluida

• Gelombang & Bunyi

F

Vektor Posisi dan Kecepatan. Vektor Percepatan. Gerak Bola. Gerak Melingkar Beraturan. Kecepatan Relatif

Subtopik

• Besaran Fisis• Gerak 1D & 2DA

• Hukum GerakNewton

• Aplikasi HukumNewton

B

• Kerja & Energi• Kekekalan

EnergiC

• Momentum• Gerak RotasiD

• Gravitasi• Gerak PeriodikE

• MekanikaFluida

• Gelombang & Bunyi

F

Menentukan posisi benda dalam ruang dua dan tigadimensi dengan menggunakan vektor.

Menentukan vektor kecepatan benda dari informasiposisi.

Menentukan vektor percepatan . Menganalisis mengapa benda dapat mengalami

percepatan saat laju konstan. Menginterpretasi komponen percepatan pada arah

tegak lurus dan searah gerak benda. Menganalisis bentuk kurva gerak peluru. Menjelaskan prinsip utama gerak melingkar dengan

laju konstan dan tidak konstan. Menjelaskan hubungan antara kecepatan benda

bergerak dipandang dari dua kerangka acuan yangberbeda

Tujuan Instruksional Khusus

Contoh Aktif

•Vektor Posisi dan Kecepatan

A

•VektorPercepatanB

•Gerak BolaC

•GerakMelingkarBeraturan

D

•Kecepatan RelatifE

Perburuan Harta Karun: Menentukan Arah dan Besar langkah menuju lokai harta karun

Berapa besar dan kemana arah perpindahan total pada perburuanharta karun yang diilustrasikan pada gambar di slide berikut?Asumsikan panjang tiap langkah 0,750 m.

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Penjumlahan beberapa vektorMemburu harta karun yang terletak 5 langkah ke utara (A), kemudian 4langkah ke timur (B), dan diakhiri dengan 4 langkah ke tenggara (C) daripohon sycamore. Perpindahan total dari pohon ke harta karun adalahD = A + B + C.

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Solusi (Uji pemahaman anda dengan mengerjakan perhitunganseperti yang diindikasikan pada setiap langkah.)

Untuk mendefinisikan notasi yang biasa, mari representasikan 5langkah pertama dengan A, langkah berikutnya dengan B, dan 4langkah terakhir dengan C. Jadi, perpindahan total adalah D=A+B+C.1. Cari komponen-komponen A: Ax = 0, Ay = 3,75m2. Cari komponen-komponen B: Bx = 2,25 m, By = 03. Cari komponen-komponen C: Cx = 2,12 m, Cy = -2,12m4. Jumlahkan komponen-komponen A, B, Dx = 4,37 m, Dy = 1,63 mdan C untuk mencari komponen D:5. Tentukan D dan θ: D = 4,66 m, θ = 20,5o

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Giliran AndaJika panjang masing-masing langkah berkurang dengan faktor dua,menjadi 0,375 m, dengan faktor berapa kamu harapkan D dan θberubah? Buktikan jawaban anda secara perhitungan numerik.

Posisi, kecepatan, dan percepatan sebuah partikel dalam 3 dimensi dapat dituliskan sbb:

r = x i + y j + z kv = vx i + vy j + vz k (i , j , k unit vectors )a = ax i + ay j + az k

Persamaan kinematika 1 dimensi adalah:

8

Kinematika 3-D

2

2

dtxd

dtdv

a ==dtdx

v =)(txx =


A


•Gerak BolaC


D


Untuk 3-D, persamaan 1-D disederhanakan untuk setiap komponen

Ketika digabungkan akan menjadi persamaan vektor

r = r(t) v = dr / dt a = d2r / dt2

9

Kinematika 3-D

2

2

dtxd

ax =

dtdx

vx =

)(txx =

2

2

dtyd

ay =

dtdy

v y =

)(tyy =

2

2

dtzd

az =

dtdz

vz =

)(tzz =


A

•Vektor PercepatanB

•Gerak BolaC

•Gerak Melingkar Beraturan

D


Untuk kasus percepatan konstan, diperoleh melaluiproses integrasi:

a = konstan

v = v0 + a t

r = r0 + v0 t + 1/2 a t2

(dengan a, v, v0, r, r0, adalah vektor)

10

Kinematika 3-D


A


•Gerak BolaC


D


Banyak kasus 3-D yang dapat direduksi (hinggaketelitian tertentu) menjadi kasus 2-D denganpercepatan konstan

Contoh: Lemparan baseball (hambatan udaradiabaikan)

Percepatan konstan (gravitasi)

Pilih sumbu y sepanjang sumbu percepatan

Sumbu y ke atas : ay = -g

Pilih sumbu x sejajar permukaan tanah padabidang lintasan bola

11

Kinematika 2-D


A


•Gerak BolaC


D


Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Hitunglah Percepatan Rerata

Sebuah mobil berjalan ke arah barat laut dengan laju 9,00 m/s.Delapan menit kemudian mobil ini telah berubah arah sehinggamobil bergerak ke utara dengan laju 15,0 m/s. Berapakah besar danke mana arah percepatan rata-ratanya selama 8,00 detik tersebut?Kita buat konvensi bahwa x positif ke arah timur, dan y positif ke arahutara.

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Solusi (Uji pemahaman anda dengan mengerjakan perhitungan sepertiyang diindikasikan pada setiap langkah.)

1. Tulislah :

2. Tulislah :

3. Hitunglah :

4. Carilah :

5. Tentukan aav dan θ: aav = 1,34 m/s2, θ = 53,6o timur laut

iv yxvi ˆ)m/s36,6(ˆ)m/s36,6( +−=

fv

v∆

ava

yv f ˆ)m/s0,15(=

yxv ˆ)m/s64,8(ˆ)m/s36,6( +=∆

yxaav ˆ)m/s08,1(ˆ)m/s795,0( 22 +=

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Giliran AndaCarilah besar dan arah percepatan rerata jika perubahan kecepatanyang sama terjadi dalam 4,00 s, bukannya 8,00 s.

Pada jatuh bebas bendadipercepat secara konstanmenuju bumi pada kisaran g.

Benda bergerak ke atasdiperlambat sampaikemudian arahnya berubahdan kemudian dipercepat kebawah.

Pada puncak lintasan bendadiam sesaat (laju samadengan nol).

15

Lintasan Bola ke Atas


A


•Gerak BolaC


D


Berapa lama di puncak? Hanya sesaat. Percepatan konstan bermaknamerubah arah gerak

Laju hanya berharga nol dipuncak lintasan.

16

Lintasan Bola ke Atas


A


•Gerak BolaC


D


Menjatuhkan bola:

Awalnya diam, mendapatkan laju ke bawah

Menempuh jarak yang terus bertambah setiapdetik

Melempar bola ke atas:

Mencapai ketinggian tertentu

Berhenti dalam waktu singkat

Mulai menurun seperti kasus menjatuhkan bola

17

Pengamatan Lintasan Bola


A


•Gerak BolaC


D


18

Lintasan Bola: Bergerak Naik


A


•Gerak BolaC


D


19

Lintasan Bola

Bergerak naik, kemudian turun, dengan komponen kecepatan horizontal konstan


A


•Gerak BolaC


D


Ada dua bola pejaldijatuhkan bebas disaat yang sama.

Bola merahdijatuhkan tegaklurus ke bawahsehingga bergeraklurus ke bawah.

Bola kuning diberikankecepatan pada arahhorizontal pada saatdilepaskan.

20

Lintasan Bola Jatuh


A


•Gerak BolaC


D


Garis horizontal menunjukkan keduabola menempuh jarakyang sama pada arahvertikal.

Mengapa?

Kedua bola mempunyaipercepatan sama, g, kebawah, dan keduabola dijatuhkandengan laju sama padaarah ke bawah.

21

Lintasan Bola Jatuh


A


•Gerak BolaC


D


Laju bola kuning padaarah horizontal tidakdipengaruhi gravitasiyang hanya bekerjapada arah vertikal.

22

Lintasan Bola Jatuh


A


•Gerak BolaC


D


Cannonballs yang ditembakkan mendatar dengankecepatan yang berbeda-beda dari kapal akan jatuhpada jarak yang berbeda-beda dari kapal

Setiap cannonball tiba di ketinggian yang samadalam rentang waktu yang sama, karena percepatanvertikal sama untuk semua bola

23

Cannonballs


A


•Gerak BolaC


D


Awalnya paket mempunyai kecepatan horizontal yang sama dengan pesawat. Ketika hambatan udara diabaikan, paket tetap mempunyai kecepatan horizontal yang sama saat jatuh, sehingga tetap berada di bawah pesawat.

24

Menjatuhkan Paket


A


•Gerak BolaC


D


Seorang mahasiswa melempar bola ke atas di dalamkereta.

Pandang dari dua kerangka referensi:

25

Komponen Gerak “x” dan “y” Independen

Di kereta

yang bergerak.

Di tanah.


A


•Gerak BolaC


D


Mark McGwire memukul bola ke arah tengahlapangan. Bola dipukul di ketinggian 1 m (yo ) di atastanah, dan kecepatan awalnya adalah 36.5 m/s (v ) dengan sudut 30o (θ) terhadap horizontal. Sebuahdinding terletak di pinggir lapangan sejauh 113 m (D) dari pemukul dan tingginya (h) 3 m.

Berapa lama waktu yang diperlukan bola untukmencapai sasaran?

Apakah Mark bisa membuat home run?

26

Contoh Kasus

θ

vh

D

y0


A


•Gerak BolaC


D


Pilih sumbu y ke atas. Piluh sumbu x sepanjang tanah searah dengan arah

gerak bola. Pilih titik asal (0,0) pada tanah posisi pemukul. Bola dipukul pada saat t = 0, x = x0 = 0

Persamaan gerak adalah:

vx = v0x vy = v0y - gt

x = vxt y = y0 + v0y t - 1/ 2 gt2

27

Contoh Kasus …


A


•Gerak BolaC


D


Gunakan geometri untuk menggambar v0x dan v0y :

28

Contoh Kasus…

y

x

g

θv

v0x

v0y

Carilah v0x = |v| cos θ.

Dan v0y = |v| sin θ.

y0


A


•Gerak BolaC


D


Waktu bola mencapai dinding: t = D / vx (mudah!)

Persamaan gerak pada arah vertikaly(t) = y0 + v0y t + a t2/ 2

Maka kita perlu memasukkan t ke dalampersamaan:

Carilah

vox = 36,5 cos(30) m/s = 31,6 m/s

voy = 36,5 sin(30) m/s = 18,25 m/s

t = (113 m) / (31,6 m/s) = 3,58 s

29

Contoh Kasus…


A


•Gerak BolaC


D


Maka

y(t) = (1,0 m) + (18,25 m/s)(3,58 s) - (0,5)(9,8 m/s2)(3,58 s)2

= (1,0 + 65,3 - 62,8) m = 3,5 m

Ketika tinggi dinding 3 m, Mark menjadi homer!!

30

Contoh Kasus…


A


•Gerak BolaC


D


31

Conceptual Checkpoint


A


•Gerak BolaC


D


Bandingkan Laju Saat Masuk ke AirDua anak muda terjun bebas dari bibir tebing ke danau. Penerjun 1terjun langsung ke bawah, penerjun 2 meninggalkan tebing denganlaju horizontal awal v0. Apakah laju penerjun 2 saat masuk ke air(a) lebih besar dari, (b) kurang dari, atau (c) sama dengan lajupenerjun 1 saat masuk ke air?

32



A


•Gerak BolaC


D


Alasan dan PembahasanIngatlah, bahwa kedua penerjun ini tidak mempunyai komponen ykecepatan awal dan keduanya jatuh dengan percepatan vertikal yangsama, percepatan karena gaya tarik bumi. Karena itu, kedua penerjunjatuh selama selang waktu yang sama, dan komponen y kecepatankeduanya saat masuk ke air juga sama. Karena penerjun kedua jugamempunyai konponen x kecepatan yang tidak nol, berbeda denganpenerjun 1, laju penerjun 2 lebih besar.

33



A


•Gerak BolaC


D


Jawaban(a) Laju penerjun 2 lebih besar dari penerjun 1.

34



A


•Gerak BolaC


D


Laju MinimumSeorang pendaki gunung menjumpai sebuah jurang (crevasse) disebuah padang es. Bibir tebing di seberang jurang lebih rendah 2,75m lebih rendah dari tebing tempat pendaki berada. Kedua tebingterpisah sejauh 4,10 m. Pendaki harus berlari dengan laju tertentuagas bisa menyeberangi jurang ini.

Jika ketinggian jurang h ditambahtetapi lebar jurang w tetap sama,apakah laju minimum yangdiperlukan untuk menyeberangijurang (crevasse) (a) bertambah,(b) berkurang, atau (c) tetapsama?

35



A


•Gerak BolaC


D


Alasan dan PembahasanJika ketinggian lebih besar, selang waktu saat jatuh juga lebih besar.Karena pemanjat berada di udara untuk waktu yang lebih panjang,jarak horizontal yang ia tempuh untuk suatu kecepatan awal tertentujuga lebih besar. Dengan demikian, jika lebar “crevasse” tetap sama,maka “crevasse” dapat diseberangi dengan aman dengan laju awalyang lebih rendah.

36



A


•Gerak BolaC


D


Jawaban(b) Laju minimum berkurang.

37



A


•Gerak BolaC


D


Menbandingkan Laju Saat MendaratAnda dan seorang teman berdiri di atas atap yang tertutup salju. Andaberdua melemparkan bola salju dengan laju awal yang sama, tapi kearah yang berbeda. Anda melemparkan bola salju ke bawah,membentuk sudut 40O dengan bidang horizontal; temanmu melemparbola salju ke atas, membentuk sudut 40O dengan bidang horizontal.Ketika bola salju mendarat di tanah, apakah laju bola saljumu (a) lebihbesar dari , (b) lebih kecil dari, atau (c) sama dengan laju bola saljutemanmu?

38



A


•Gerak BolaC


D


Alasan dan PembahasanSatu konsekuensi dari simetri pada gerak peluru adalah ketika bola saljutemanmu kembali ke ketinggian saat dilempar, laju bola tersebut samadengan laju awal. Tambahan pula, bola tersebut juga bergerak turundengan membentuk sudut 40O terhadap horizontal. Mulai titik ini, iabergerak sama seperti boal saljumu; sehingga mendarat dengankecepatan yang sama.Bagaimana kalau bola saljumu dileparkan secara horinzontal? Ataukamu lemparkan bola tersebut tegak lurus ke bawah? Dalam kasus yangmanapun juga, laju akhir tetap tak berubah! Kenyataannya, untuk suatulaju awal, laju saat mendarat sungguh tidak bergantung pada arah bolasaat dilemparkan. Kita akan kembali ke masalah ini di Bab. 7 saatmendiskusikan energi potensial dan kekekalan energi.

39



A


•Gerak BolaC


D


Jawaban(c) Bola-bola salju mempunyai laju yang sama.

40

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Lapangan Hijau

Seorang pegolf memukul bola sehingga bola bergerak dengankecepatan awal 30,0 m/s dan sudut awal 50,0o di atas horizontal. Bolamendarat di lapangan rumput 5,00 m di atas ketinggian awal.a. Berapa lama bola di udara?b. Berapa jauh bola bergerak di arah mendatar ketika bola mendarat?c. Berapa laju dan kemana arah bola sesaat sebelum ia mendarat?

41

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Solusi (Uji pemahaman anda dengan mengerjakan perhitunganseperti yang diindikasikan pada setiap langkah.)

Bagian (a)1. Gunakan dan dapatkan t:

2. Ketika : bola bergerak ke atas;ketika bola bergerak ke bawah.Ambil waktu yang terpanjang:

m00,521)sin( 2

0 =−= gttvy θ

s46,4,s229,0=ts,229,0=t

s,46,4=ts,46,4=t

Bagian (b)3. Substitusikan pada :s46,4=t tvx )cos( 0 θ= m0,86=xBagian (c)4. Gunakan untuk menghitung :

5. Substitusikan padauntuk mendapatkan :

6. Hitunglah dan :

θcos0vvx = xv m/s3,19=xv

s46,4=t gtvvy −= θsin0

yv m/s8,20−=yv

v θ o1,47m/s,4,28 −== θv

42

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Giliran AndaBerapa lamakah bola berada di udara jika lapangan hijau berada 5,00m di bawah tingkat di mana bola dipukul.

43

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Tentukan Laju Awal

Sebuah pertandingan bola kaki dimulai dengan tendangan pembukayang menyebabkan bola bergerak horizontal sejauh 45 yard danmendarat di tanah. Jika bola ditendang dengan sudut 40,0o di atashorizontal, berapakah laju awal?

44

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Solusi (Uji pemahaman anda dengan mengerjakan perhitungan sepertiyang diindikasikan pada setiap langkah.)

1. Selesaikan persamaan untuk laju awal :

2. Ubah ukuran jarak ke meter:

3. Substitusikan nilai numerik:

0v θ2sin/0 gRv =

m/s41=R

m/s200 =v

45

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


InsightIngatlah bahwa kita memilih nilai positif dari akar kuadrat padalangkah 1 karena kita tertarik hanya pada laju bola, yang mana selalupositif.

46

Contoh Aktif


A


•Gerak BolaC


D


Giliran AndaAnggaplah laju awal ditingkatkan sebesar 10 %, menjadi 22 m/s.Berapa persenkah pertambahan jarak tempuh horizontal bola?

Gerakan melingkar dengan:

Jari-jari konstan R

laju konstan v = |v|

Gerak Melingkar Beraturan ?

R

v

x

y

(x,y)


A


•Gerak BolaC


D


Ada dua model koordinat yang dapat digunakan: Kartesian: ▪ (x,y) [posisi]▪ (vx ,vy) [kecepatan]

Polar:▪ (R,θ) [posisi]▪ (vR ,ω) [kecepatan]

GMB: R konstan(maka vR = 0, searah jejari). ω (kecepatan angular) juga konstan. Koordinat Polar cara alamiah mendeskripsikan

GMB!

Mendeskripsikan GMB ?


A


•Gerak BolaC


D


Panjang busur s (jarak sepanjang lingkaran) dihubungkan dengan sudut sebagai:

s = Rθ, dengan θ perpindahan angular.

Satuan θ disebut radian.

Koordinat Polar

R

v

x

y

(x,y)

θ S


A


•Gerak BolaC


D


Untu satu revolusi penuh

2πR = Rθc

θc = 2π (satu revolusi)

θ mempunyai periode 2π.

Koordinat Polar

1 revolusi = 2π radians


A


•Gerak BolaC


D


Koordinat Polar...

x = R cos θy = R sin θ

π/2 π 3 π /2 2 π

-1

1

0

sincos

R

v

x

y

(x,y)

θ S


A


•Gerak BolaC


D


Dalam koordinat kartesian, kecepatan adalah

dx/dt = v. (Gantikan x dengan y untuk arah y)

x = vt Dalam koordinat polar, kecepatan angular adalah

dθ/dt = ω θ = ωt

ω mempunyai satuan radian/detik

Perpindahan s = vt.dengan s = Rθ = Rωt, maka:

Koordinat Polar...

v = ωR


A


•Gerak BolaC


D


Ingat !! 1 revolusi = 2π radian frekuensi (f) = revolusi / detik (a)

Kecepatan angular (ω) = radian/detik (b) Dengan menggabungkan (a) dan (b)

ω = 2π f Sehingga :

periode (T) = detik/revolusi

Maka T = 1 / f = 2π/ω

Periode and Frekuensi

ω = 2π / T = 2πf

ωR

v

x

y

(x,y)

S


A


•Gerak BolaC


D


Disebut sebagai Percepatan Sentripetal. Besarnya adalah

Percepatan dalam GMB

v2

v1v2

∆v

R v1∆R

RR

vv ∆

=∆

Segitiga sebangun:

Tetapi ∆R = v∆t untuk ∆t yang kecil

Maka:Rv

tv 2

=∆∆

Rtv

vv ∆

=∆

Rv

a2

=


A


•Gerak BolaC


D


GMB menghasilkan percepatan:

Besar: a = v2 / R

Arah:

Percepatan Sentripetal

lingkaran) pusat (menuju r̂ -

aR

ω


A


•Gerak BolaC


D


Penulisan Alternatif

Kita tahu bahwa v = ωR

Subsitusi dengan v didapatkan:

a = ω2R

danRv

a2

=

( )RR

a2ω

=


A


•Gerak BolaC


D


Seorang pilot pesawat tempur yang melakukanmanuver melingkar akan pingsan jika percepatansentripetal yang dirasakan lebih dari 9 kalipercepatan gravitasi g. Jika F18 bergerak denganlaju 300 m/s, berapakan diameter putaran terkecilyang dapat dilakukan agar pilot tersebut tidakpingsan?

Contoh: F18 Berputar Melingkar


A


•Gerak BolaC


D


Contoh: F18 Berputar Melingkar

gRv

a 92

==2

2

2

2

81.99

90000

9sm

sm

gv

R×

==

mmR 100081.9

10000≈= mRD 20002 ≈=

2 km


A


•Gerak BolaC


D


Kecepatan Relatif


A


•Gerak BolaC


D


Kecepatan partikelterhadap sistemkoordinat B

Kecepatan partikelterhadap sistemkoordinat A

Kecepatan sistemkoordiant A terhadap sistemkoordinat B

contoh Terhadap keretaTerhadap tanah

Gerak Relatif


A


•Gerak BolaC


D


Kecepatan orangterhadap tanah

Kecepatan orangterhadap kereta

Kecepatan keretaterhadap tanah

Contoh


A


•Gerak BolaC


D


Kecepatan udaraterhadap tanah

Kecepatan pesawatterhadap udara

Kecepatan pesawatterhadap tanah

°=

===

7,26

45,0km/h200

km/h90sin

θ

θpa

ag

vv

03. Mek - Gerak Dalam Dua Dan Tiga Dimensi

Documents

Transcript of 03. Mek - Gerak Dalam Dua Dan Tiga Dimensi