060 Peluang Diskrit
-
Upload
artha-rajasa -
Category
Documents
-
view
289 -
download
20
description
Transcript of 060 Peluang Diskrit
Discrete Probability 1II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Discrete Probability 2II - 2012/2013
Peluang DiskritCounting menjadi landasan bagi perhitungan peluang berlangsungnya suatu kejadian.
Discrete Probability 3II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Abad 17: Pascal menentukan kemungkinan untuk memenangkan suatu taruhan yang didasarkan pada keluaran dari dua buah dadu yang dilemparkan berulang-ulang.
Discrete Probability 4II - 2012/2013
Abad 18: Laplace mempelajari perjudian dan mendefinisikan peluang suatu kejadian.
Discrete Probability 5II - 2012/2013
Peluang HinggaSegala hal yang telah dipelajari dari teori pencacahan (counting) melandasi perhitungan peluang terjadinya suatu peristiwa.
Dalam pembahasan berikut, istilah percobaan kita pakai untuk menyatakan prosedur yang menghasilkan satu dari sekumpulan kejadian yang mungkin.
Himpunan kejadian yang mungkin ini disebut sebagai ruang sampel (ruang terok/sample space) dari percobaan.
Suatu peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel ini.
Discrete Probability 6II - 2012/2013
Peluang HinggaJika semua peristiwa di ruang sampel memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi, maka berlakulah definisi berikut:
Kemungkinan peristiwa E terjadi, yg merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S dimana setiap peristiwa didalamnya memiliki peluang yang sama untuk terjadi, diberikan oleh p(E) = |E|/|S|.
Peluang mempunyai rentang nilai dari 0 (untuk peristiwa yang tidak pernah terjadi) sampai dengan 1 (untuk peristiwa yang selalu terjadi jika percobaan dilakukan).
Discrete Probability 7II - 2012/2013
Peluang Hingga
Contoh I:
Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Berapakah peluang terpilihnya sebuah bola berwarna biru yang diambil dari kotak tersebut?
Solution:
Ada sembilan kemungkinan hasil yang muncul, dan empat diantaranya adalah peristiwa “bola biru terpilih”. Maka, peluang peristiwa ini adalah 4/9 atau sekitar 44.44%.
Discrete Probability 8II - 2012/2013
Peluang Hingga
Contoh II:
Berapakah peluang memenangkan lotre 6/49, yaitu pengambilan 6 bilangan dari kumpulan 49 bilangan secara benar.
Jawaban:
Terdapat C(49, 6) kemungkinan hasil yang muncul. Hanya satu yang dapat memenangkan lotre.
p(E) = 1/C(49, 6) = 1/13,983,816
Discrete Probability 9II - 2012/2013
Peluang HinggaContoh III.
Suatu kuis dengan soal benar/salah memiliki sepuluh pertanyaan. Jika anda menjawab setiap pertanyaan secara random, berapakah peluang bahwa nilai anda minimal 70 (dari skala 100)?
Discrete Probability 10II - 2012/2013
Peluang HinggaJawab.
Untuk mendapat nilai minimal 70, anda perlu menjawab 7, 8, 9, atau 10 pertanyaan dengan benar dan terdapat: C(10,10)=1 cara untuk menjawab 10 pertanyaan
dengan benar, C(10,9)=10 cara untuk menjawab 9 pertanyaan dengan
benar, C(10,8)=45 cara untuk menjawab 8 pertanyaan dengan
benar, C(10,7)=120 cara untuk menjawab 7 pertanyaan
dengan benar,
Discrete Probability 11II - 2012/2013
Peluang Hingga Jadi, peluang untuk menjawab minimal 7 pertanyaan
dengan benar adalah: p(min 7 benar) = p(10 benar) + p(9 benar) + p(8
benar) + p(7 benar)
= 1/210 + 10/210 + 45/210 + 120/210
= 176/1024 0,172
Discrete Probability 12II - 2012/2013
Peluang HinggaContoh IV.
Berapakah peluang bahwa bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 (dalam urutan tersebut) terpilih dari suatu wadah yang memuat 50 bola bernomor 1, 2, …, 50 jika
a) bola yang telah terpilih tidak dikembalikan ke dalam wadah sebelum pemilihan bola berikut
b) bola yang telah terpilih dikembalikan ke dalam wadah sebelum pemilihan bola berikut
Discrete Probability 13II - 2012/2013
Peluang HinggaJawab.
a) sampling dengan penggantian
Ada 50 49 48 47 46 cara memilih bola.
Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah 1/(59 49 48 47 46)
b) sampling tanpa penggantian
Ada (50)5 cara memilih bola.
Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah 1/(50)5
Discrete Probability 14II - 2012/2013
Peristiwa Komplementer
Misal E peristiwa dalam ruang sampel S. Peluang dari peristiwa –E, peristiwa komplementer, diberikan oleh
p(–E) = 1 – p(E).
Hal ini dapat ditunjukkan sbb:
p(–E) = (|S| |E|)/|S| = 1 – |E|/|S| = 1 – p(E).
Kaidah ini berguna jika penentuan peluang peristiwa komplementer lebih mudah dari peristiwa itu sendiri.
Discrete Probability 15II - 2012/2013
Peristiwa Komplementer
Contoh I:
Deretan 10 bit dibangkitkan secara acak. Berapakah peluang satu dari bit ini adalah nol ?
Jawaban:
Terdapat 210 = 1024 kemungkinan membangkitkan deretan 10 bit. Peristiwa –E, “tidak ada satupun bit nol”, hanya terjadi sekali yaitu pada deretan 1111111111.
Maka, p(–E) = 1/1024.
Sekarang p(E) dapat dihitung secara mudahp(E) = 1 – p(–E) = 1 – 1/1024 = 1023/1024.
Discrete Probability 16II - 2012/2013
Peristiwa Komplementer
Contoh II:
Berapakah nilai peluang bahwa sedikitnya dua dari 36 orang memiliki hari ulang tahun (dilahirkan pada tanggal dan bulan) yang sama ?
Jawaban:
Ruang sampel S berisikan semua kemungkinan hari ulang tahun ke 36 orang tsb, jadi |S| = 36536.
Discrete Probability 17II - 2012/2013
Peristiwa Komplementer
Tinjau peristiwa –E (“tidak ada dua dari 36 orang itu yang memiliki hari ulang tahun yang sama”).
–E mengandung C(365, 36) kejadian.
Maka p(–E) = C(365, 36)/36536 = 0,168.
Jadi p(E) = 0,832 atau 83,2%.
Discrete Probability 18II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Misalkan E1 dan E2 peristiwa dalam ruang sampel S.
Maka:
p(E1 E2) = p(E1) + p(E2) p(E1 E2)
Apakah ini mengingatkan kita pada … ?
Tentu saja, prinsip inklusi-eksklusi.
Discrete Probability 19II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Contoh:
Berapakah peluang suatu bilangan positif terpilih secara acak dari sekumpulan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 100 dan dapat dibagi 2 atau 5 tapi tidak sekaligus keduanya?
Jawab:
E2: “bilangan bulat dapat dibagi 2”
E5: “bilangan bulat dapat dibagi 5”
Discrete Probability 20II - 2012/2013
Peluang Diskrit
E2 = {2, 4, 6, …, 100}; |E2| = 50; p(E2) = 0,5.
E5 = {5, 10, 15, …, 100}; |E5| = 20; p(E5) = 0,2.
E2 E5 = {10, 20, 30, …, 100}; |E2 E5| = 10; p(E2 E5) = 0,1.
p(E2 E5) = p(E2) + p(E5) – p(E2 E5)
p(E2 E5) = 0,5 + 0,2 – 0,1 = 0,6.
Discrete Probability 21II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Apa yang terjadi seandainya hasil dari percobaan tidak berpeluang sama?
Dalam kasus tsb,kita hitung peluang p(s) untuk setiap hasil sS, dimana S ruang sampel.
Dua kondisi harus dipenuhi:
(1) 0 p(s) 1 untuk setiap s S, dan
(2) sS p(s) = 1
Discrete Probability 22II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Ini berarti, spt yang telah kita ketahui, bahwa (1) setiap peluang harus bernilai antara 0 dan 1, dan (2) jumlahan seluruh probabilitas sama dengan 1, karena satu dari hasil dijamin akan muncul.
Discrete Probability 23II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Bagaimana cara menghitung peluang p(s)?
Peluang p(s) dari hasil s sama dengan limit banyaknya muncul s dibagi dengan banyaknya percobaan dilakukan.
Sekali kita tahu peluang p(s), kita dapat menghitung peluang peristiwa E sbb:
p(E) = sE p(s).
Discrete Probability 24II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Contoh I:
Suatu dadu mengalami bias sehingga angka 3 muncul dua kali lebih sering dibandingkan angka lainnya.
Berapakah nilai peluang dari masing-masing mata dadu ?
Discrete Probability 25II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Jawab:
Ada 6 kemungkinan hasil s1, …, s6.
p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6), p(s3) = 2p(s1).
Karena jumlahan peluang harus bernilai 1, maka:
5p(s1) + 2p(s1) = 1
7p(s1) = 1
p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6) = 1/7, p(s3) = 2/7.
Discrete Probability 26II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Contoh II:
Berapakah peluang munculnya angka ganjil dari pelemparan dadu bias pada Contoh I?
Jawab:
Eganjil = {s1, s3, s5}
Ingat rumus p(E) = sE p(s).
p(Eganjil) = sEganjil p(s) = p(s1) + p(s3) + p(s5)
p(Eganjil) = 1/7 + 2/7 + 1/7 = 4/7 = 57,14%.
Discrete Probability 27II - 2012/2013
Peluang Bersyarat
Suatu uang logam memiliki dua muka: depan (H) dan belakang (T).
Jika uang logam tsb dilempar tiga kali, berapakah peluang munculnya T dalam jumlah ganjil (peristiwa E), jika diketahui bahwa lemparan pertama menghasilkan T (peristiwa F) ?
Jika lemparan pertama menghasilkan T, deretan yang mungkin muncul adalah TTT, TTH, THT, and THH.
Discrete Probability 28II - 2012/2013
Peluang Bersyarat
Dua diantara empat kasus memiliki T ganjil.
Maka, peluang E, dengan syarat bahwa F muncul adalah 0,5.
Kita menyebut ini sebagai peluang bersyarat.
Discrete Probability 29II - 2012/2013
Peluang Bersyarat
Untuk menghitung peluang E jika diberikan F, kita pakai F sebagai ruang sampel.
Peristiwa munculnya E dengan syarat F juga muncul, juga harus berada didalam E F.
Discrete Probability 30II - 2012/2013
Peluang Bersyarat
Definisi
Misalkan E dan F peristiwa dimana p(F) > 0.
Peluang bersyarat dari E jika diberikan F, ditulis sebagai p(E | F), didefinisikan sebagai
p(E | F) = p(E F)/p(F).
Discrete Probability 31II - 2012/2013
Peluang Bersyarat
Contoh
Berapakah peluang bit string acak dengan panjang empat mengandung sedikitnya dua nol berurutan, jika bit pertamanya nol ?
Jawab
E: “bit string dengan sedikitnya dua nol berurutan”.
F: “bit pertama dari string adalah 0”.
Kita tahu rumus p(E | F) = p(E F)/p(F).
Discrete Probability 32II - 2012/2013
Peluang Bersyarat
E F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100}.
p(E F) = 5/16.
p(F) = 8/16 = 1/2.
p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0,625.
Discrete Probability 33II - 2012/2013
Contoh
Misalkan himpunan S = {1, 2, …, 20}. Anda memilih sebuah subhimpunan T S dengan 3 anggota.
(a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap.
(b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima.
(c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai jumlah lebih kecil dari 9.
(d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu bilangan genap.
(e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau 20.
Discrete Probability 34II - 2012/2013
Terdapat C(20,3) subhimpunan dengan kardinalitas 3 dan memilih satu di antaranya memiliki kemungkinan yang sama.
(a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap.
Terdapat 10 bilangan ganjil dan 10 bilangan genap di S. Jadi,
p(T memuat 2 ganjil & 1 genap) = )3,20(
)1,10()2,10(
C
CC
Discrete Probability 35II - 2012/2013
(b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima.
Terdapat 8 bilangan prima dalam S, maka
p(T memuat 3 prima) = )3,20(
)3,8(
C
C
Discrete Probability 36II - 2012/2013
(c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai jumlah lebih kecil dari 9.
Terdapat 4 cara sehingga 3 bilangan mempunyai jumlah lebih kecil dari 9: 1,2,3; 1,2,4; 1,2,5; dan 1,3,4. Akibatnya
p(jumlah anggota T < 9) = )3,20(
)3,4(
C
C
Discrete Probability 37II - 2012/2013
(d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu bilangan genap.
Akan lebih mudah jika digunakan aturan peluang kejadian komplementer.
Misalkan E: kejadian T memuat paling sedikit satu bilangan genap, maka Ē: kejadian T memuat bilangan ganjil saja.
Akibatnya p(E) = 1 – p(Ē) = 1 )3,20(
)3,10(
C
C
Discrete Probability 38II - 2012/2013
(e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau 20.
Digunakan aturan peluang dari gabungan dua kejadian, dengan E: kejadian 10 T dan F: kejadian 20 T,
p(E F) = p(E) + p(F) p(E F)
Banyaknya cara untuk memilih bilangan 10 di antara 3 bilangan adalah C(19,2) karena kita harus memilih 2 bilangan dari 19 bilangan yang tersisa.
Demikian pula, terdapat C(19,2) cara untuk memilih bilangan 20 dan 2 bilangan lainnya; serta C(18,1) untuk memilih bilangan 10 dan 20 dan 1 bilangan lainnya. Maka,
)3,20(
)1,18()2,19(2)(
C
CCFEp
Discrete Probability 39II - 2012/2013
Contoh Soal
Suatu keluarga memiliki dua anak. Anda mengetuk pintu rumah keluarga tadi dan seorang anak perempuan membuka pintu. Berapakah peluang bahwa anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan?
(Asumsikan bahwa mereka bukan anak kembar, kelahiran anak laki-laki dan perempuan adalah kejadian yang saling bebas, dan peluang kelahiran seorang anak perempuan adalah ½.)
Discrete Probability 40II - 2012/2013
Jika anda berpikir bahwa jawabannya adalah ½, maka anda salah.
Kesalahannya adalah dalam menentukan ruang sampel yang kemungkinan tiap keluarannya sama.
Jika kita memilih ruang sampel {1 P dan 1L, 2 P}, maka kemungkinan tiap keluarannya tidaklah sama.
Kemungkinan mempunyai 1 P dan 1L adalah dua kali mempunyai 2 P.
Karena ruang sampelnya adalah {PP,PL,LP,LL}, dgn setiap pasang menyatakan sulung dan bungsu.
Discrete Probability 41II - 2012/2013
Karena keluarga memiliki paling sedikit satu perempuan, maka LL dihapus sehingga ruang sampel menjadi {PP,PL,LP}.
Setiap keluaran mempunyai peluang 1/3, sehingga p(anak yg lain P) = 1/3.
Misalkan, kita mempunyai informasi tambahan bahwa anak tertualah yang menjawab pintu.
Dalam hal ini, ruang sampel berubah menjadi {PP,PL}.
Jadi, peluang anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan adalah ½.
Discrete Probability 42II - 2012/2013
Contoh
Dalam kuis “Super Deal 2 Milyar”, Nico Siahaan menyilahkan pemain untuk memilih tiga angka, dari 24 angka yang tersedia (angka 1 s/d 24).
Berapakah peluang pemain tersebut memenangkan hadiah utama?
Discrete Probability 43II - 2012/2013
Solusi
Terdapat C(24, 3) keluaran yang mungkin.
Hanya satu dari keluaran ini yang menjadikan seseorang pemenang hadiah utama.
p(E) = 1/C(24, 3) = 1/2024
Discrete Probability 44II - 2012/2013
Teori Peluang Diskrit
Discrete Probability 45II - 2012/2013
Peluang Diskrit
Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu eksperimen tidak memiliki peluang yang sama?
Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan setiap keluaran s S, di mana S adalah ruang sampel, yang memenuhi dua syarat:
(1) 0 p(s) 1 untuk setiap s S, dan
(2) sS p(s) = 1
Discrete Probability 46II - 2012/2013
Artinya, bahwa
(1) setiap peluang bernilai antara 0 dan 1, dan
(2) jika peluang dari semua keluaran yang mungkin dijumlahkan akan sama dengan 1, karena pada saat eksperimen dilakukan, satu dari keluaran tersebut dijamin akan terjadi.
Fungsi p: S [0, 1] dinamakan distribusi peluang.
Discrete Probability 47II - 2012/2013
Bagaimana peluang p(s) diperoleh?
Peluang p(s) dari suatu kejadian s sama dengan
Setelah kita mengetahui p(s) untuk setiap s, peluang dari suatu kejadian E dapat dihitung sebagai berikut.
p(E) = sE p(s)
eksperimenbanyaknya
kemunculanjumlahlimeksperimen banyaknya
s
Discrete Probability 48II - 2012/2013
Contoh
Suatu dadu dimodifikasi sehingga angka tiga muncul dua kali lebih sering dari angka-angka lainnya.
(a) Berapakah peluang dari semua keluaran yang mungkin?
(b) Berapakah peluang bahwa angka ganjil akan muncul ketika dadu tersebut digulingkan?
Solusi.
(a) Terdapat 6 kemungkinan keluaran s1, …, s6.
p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6)
p(s3) = 2p(s1)
Discrete Probability 49II - 2012/2013
Karena jumlah semua peluang tersebut haruslah sama dengan 1, maka 5p(s1) + 2p(s1) = 1 dan 7p(s1) = 1.
Jadi, p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6) = 1/7, p(s3) = 2/7.
(b) Eganjil = {s1, s3, s5}
Ingat rumus p(E) = sE p(s).
Maka,
p(Eganjil) = sEganjil p(s) = p(s1) + p(s3) + p(s5)
= 1/7 + 2/7 + 1/7
= 4/7
Discrete Probability 50II - 2012/2013
Distribusi Uniform
Misalkan S himpunan dengan n anggota.
Distribusi uniform memadankan peluang 1/n pada setiap anggota S.
Note: sama dengan definisi Laplace.
Eksperimen yang memilih anggota dari suatu ruang sampel S dengan menggunakan distribusi uniform dikatakan sebagai memilih anggota dari S secara acak.
Discrete Probability 51II - 2012/2013
Kombinasi Kejadian
Teorema.
Jika E1, E2, … adalah barisan kejadian yang saling bebas
dalam ruang sampel S, maka
i i
ii EpEp )()(
Discrete Probability 52II - 2012/2013
Peluang Kondisional
Jika suatu uang logam dilemparkan tiga kali, dan kedelapan keluaran memiliki kemungkinan yang sama.
Misalkan kita tahu bahwa kejadian F, yaitu pelemparan pertama menghasilkan muka, terjadi.
Berapakah peluang kejadian E, yaitu bagian muka akan muncul sejumlah ganjil?
Discrete Probability 53II - 2012/2013
Karena hasil pelemparan pertama adalah muka, maka keluaran yang mungkin adalah
MMM, MMB, MBM, dan MBB.
Kemunculan muka dalam jumlah ganjil terjadi sebanyak dua kali.
Maka, peluang E, dengan syarat F terjadi, adalah 0.5.
Ini dinamakan peluang kondisional.
Discrete Probability 54II - 2012/2013
Untuk memperoleh peluang kondisional dari kejadian E diberikan F, digunakan
(a) F sebagai ruang sampel, dan
(b) setiap keluaran dari E yang muncul harus juga berada dalam E F.
Discrete Probability 55II - 2012/2013
Definisi.
Misalkan E dan F kejadian dengan p(F) > 0. Peluang kondisional dari E diberikan F, dinotasikan oleh p(E | F), didefinisikan sebagai
p(E | F) = p(E F)/p(F)
Discrete Probability 56II - 2012/2013
Contoh
Suatu string bit dengan panjang 4 dibangun secara acak sehingga setiap 16 string dengan panjang 4 memiliki kemungkinan yang sama.
Berapakah peluang string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan, diberikan bahwa bit pertamanya adalah 0 ?
Discrete Probability 57II - 2012/2013
Solusi.
Misalkan
E: kejadian bahwa string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan.
F: kejadian bahwa bit pertama dari string adalah 0.
E F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100}
p(E F) = 5/16
p(F) = 8/16 = 1/2
p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0.625
Discrete Probability 58II - 2012/2013
Contoh
Anda menarik 23 kartu satu per satu tanpa ada penggantian, secara acak dari satu set yang terdiri dari 52 kartu. Carilah
(a) p(kartu kedua Jack | kartu pertama Jack).
(b) p(kartu kedua merah | kartu pertama hitam).
Solusi.
(a) Jika kartu pertama Jack, maka terdapat tiga kartu Jack lainnya dalam sisa 51 kartu. Jadi peluangnya adalah 3/51.
(b) Jika kartu pertama hitam, maka tetap terdapat 26 kartu merah dari 51 kartu yang tersisa. Jadi peluangnya adalah 26/51.
Discrete Probability 59II - 2012/2013
Independensi
Kembali ke contoh koin yang dilemparkan tiga kali.
Apakah peluang kejadian E (muka muncul sejumlah ganjil) bergantung pada kemunculan kejadian F (pada pelemparan pertama muncul muka) ?
Dengan kata lain, apakah p(E | F) = p(E)?
Ternyata p(E | F) = 0.5 and p(E) = 0.5.
Dalam hal ini, E dan F dikatakan sebagai kejadian yang saling bebas.
Discrete Probability 60II - 2012/2013
Karena p(E | F) = p(E F)/p(F),
p(E | F) = p(E) p(E F) = p(E)p(F).
Definisi.
Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas jika dan hanya jika p(E F) = p(E)p(F).
Jelas, definisi ini simetris untuk E dan F.
Jika p(E F) = p(E)p(F), maka p(F | E) = p(F).
Discrete Probability 61II - 2012/2013
Contoh
Suatu string biner dengan panjang empat dibangun secara random.
Misalkan
E: kejadian string biner tersebut diawali dengan 1
F: kejadian string biner tersebut mengandung sejumlah genap 0.
Apakah E dan F saling bebas?
Discrete Probability 62II - 2012/2013
Solusi.
Jelas, p(E) = p(F) = 0.5.
E F = {1111, 1001, 1010, 1100}
p(E F) = 0.25, sehingga p(E F) = p(E)p(F)
Jadi, E dan F saling bebas.
Discrete Probability 63II - 2012/2013
Contoh
Misalkan
E: kejadian di mana suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai anak laki-laki dan perempuan dan
F: kejadian di mana suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai paling banyak 1 anak laki-laki.
Apakah E dan F saling bebas?
Asumsikan bahwa kedelapan cara suatu keluarga memiliki 3 anak mempunyai peluang kejadian yang sama.
Discrete Probability 64II - 2012/2013
Solusi.
Dari asumsi, LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, dan PPP masing-masing mempunyai peluang terjadi 1/8.
Karena E = {LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL},
F = {LPP,PLP,PPL,PPP}, dan E F = {LPP,PLP,PPL}, maka
p(E) = 6/8, p(F) = 4/8, dan p(E F) = 3/8.
Akibatnya, p(E F) = p(E)p(F)
Jadi, E dan F saling bebas.
Discrete Probability 65II - 2012/2013
Contoh
Anda menulis string dengan panjang tiga dari alfabet, di mana tidak diperbolehkan pengulangan huruf.
Misalkan,
E1 adalah kejadian bahwa string dimulai dengan vokal, dan
E2 adalah kejadian bahwa string diakhiri dengan vokal.
Tentukan apakah E1 dan E2 saling bebas.
Discrete Probability 66II - 2012/2013
Solusi
Ruang sampel berukuran 262524.
Kejadian E1 memuat semua string dengan tempat pertama
diisi oleh vokal, maka |E1|= 5.25.24
Dengan cara yang sama, |E2|= 25.24.5
Jadi,
26
5
26
5
242526
52425
242526
24255)()( 21
EpEp
Discrete Probability 67II - 2012/2013
E1 E2 memuat semua string dengan panjang tiga dengan
tempat pertama dan terakhir diisi dengan vokal, maka |E1 E2|= 5 24 4
Akibatnya,
Jadi, kejadian-kejadian tersebut tidak saling bebas.
65
2
242526
4245)( 21
EEp
Discrete Probability 68II - 2012/2013
Percobaan Bernoulli
Misalkan suatu eksperimen hanya memiliki dua keluaran yang mungkin.
Contoh; pelemparan sebuah koin.
Setiap pelaksanaan suatu eksperimen yang demikian disebut percobaan Bernoulli.
Secara umum, kedua keluaran yang mungkin tadi disebut kesuksesan atau kegagalan.
Jika p adalah peluang sukses dan q peluang gagal, jelas
p + q = 1.
Discrete Probability 69II - 2012/2013
Sering kali kita ingin tahu peluang terjadinya tepat k sukses ketika suatu eksperimen terdiri dari n percobaan Bernoulli yang saling bebas.
Contoh. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah 2/3. Apakah peluang dari tepat empat kepala muncul ketika suatu koin dilemparkan sebanyak tujuh kali?
Discrete Probability 70II - 2012/2013
Solusi.
Terdapat 27 = 128 keluaran yang mungkin.
Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka di antara tujuh pelemparan adalah C(7, 4).
Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah (2/3)4(1/3)3.
Akibatnya, peluang kemunculan tepat empat muka adalah
C(7, 4)(2/3)4(1/3)3 = 560/2187.
Discrete Probability 71II - 2012/2013
Teorema Bernoulli
Peluang k sukses dalam n percobaan Bernoulli yang saling bebas, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p, adalah
C(n, k) pk qn-k.
Ini dinotasikan dengan b(k; n, p).
Jika b dipandang sebagai fungsi dari k, maka b dikatakan sebagai distribusi binomial.
Discrete Probability 72II - 2012/2013
Ilustrasi dari bukti Teorema
Misalkan ‘S’: sukses dan ‘F’: gagal, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p.
Berapakah peluang dari dua sukses dalam lima percobaan Bernoulli yang saling bebas?
Lihat salah satu barisan keluaran yang mungkin:
SSFFF
Berapakah peluang kita akan membangun barisan ini?
Discrete Probability 73II - 2012/2013
Barisan:
Peluang:
S
p
S
p
F F F
q q q = p2q3
Suatu barisan lain yang mungkin:
Barisan:
Peluang:
F
q
S
p
S F
q p q = p2q3
Setiap barisan dengan dua sukses dalam dua percobaan terjadi dengan peluang p2q3.
F
Discrete Probability 74II - 2012/2013
Sekarang, ada berapa banyak barisan yang mungkin?
Dengan kata lain, ada berapa cara untuk memilih dua obyek dari daftar yang berisi lima obyek?
Ada C(5, 2) = 10 cara, sehingga terdapat 10 barisan yang mungkin, setiap barisan terjadi dengan peluang p2q3.
Maka, peluang salah satu dari barisan tersebut muncul pada saat melakukan lima percobaan Bernoulli adalah C(5, 2) p2q3.
Secara umum, untuk k sukses dalam n percobaan Bernoulli, kita memiliki peluang C(n,k) pk qn-k.
Discrete Probability 75II - 2012/2013
Contoh.
Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut-turut. Carilah
(a) p(muncul tepat empat angka 1).
(b) p(tidak ada angka 6 yang muncul).
Discrete Probability 76II - 2012/2013
Jawab.
(a) Ini adalah contoh dari suatu barisan dengan enam percobaan Bernoulli yang saling bebas, di mana peluang sukses adalah 1/6 dan peluang gagal 5/6.
Karena itu, peluang muncul tepat empat angka 1 pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah
008,06
5
6
1)4,6(
24
C
Discrete Probability 77II - 2012/2013
(b) Dalam kasus ini sukses adalah kemunculan angka selain 6, yang memiliki peluang 5/6 dan gagal adalah kemunculan angka 6, yang peluangnya 1/6.
Maka peluang tidak ada angka 6 yang muncul pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah
335,06
1
6
5)6,6(
06
C
Discrete Probability 78II - 2012/2013
Variabel acak
Dalam banyak eksperimen, kita ingin memadankan nilai numerik pada setiap keluaran yang mungkin untuk memungkinkan analisa matematis dari eksperimen tersebut.
Untuk tujuan ini, diperkenalkan variabel acak.
Definisi.
Suatu variabel acak adalah fungsi dari ruang sampel dari suatu eksperimen ke himpunan bilangan real. Yaitu, variabel acak memadankan suatu bilangan real tertentu pada setiap keluaran yang mungkin.
Discrete Probability 79II - 2012/2013
Catatan.
Variabel acak adalah fungsi, bukan variabel.
Variabel acak tidak dilakukan secara acak, tetapi memetakan hasil eksperimen yang acak ke bilangan real secara terdefinisi dengan baik.
Discrete Probability 80II - 2012/2013
Contoh
Misalkan X adalah hasil permainan “suit”.Jika pemain A memilih jari a dan pemain B memilih jari b, maka
menang B jika1,-
sama yang jarimemilih Bdan A jika0,
menangA jika,1
),( baX
Discrete Probability 81II - 2012/2013
X(ibujari,ibujari) =
X(ibujari,kelingking) =
X(ibujari,telunjuk) =
X(kelingking,ibujari) =
X(kelingking,kelingking) =
X(kelingking,telunjuk) =
X(telunjuk,ibujari) =
X(telunjuk,kelingking) =
X(telunjuk,telunjuk) =
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Discrete Probability 82II - 2012/2013
The Birthday Problem
Berapa jumlah minimum orang yang diperlukan sehingga peluang bahwa sedikitnya dua di antara mereka mempunyai tanggal ulang tahun yang sama adalah lebih besar dari ½?
Discrete Probability 83II - 2012/2013
n: jumlah orang
pn: peluang bahwa setiap orang mempunyai tanggal ulang
tahun yang berbeda.
Maka
Dan
1 – pn ≥ 0,5 jika n ≥ 23
366
367
366
363
366
364
366
365 npn
366
367
366
363
366
364
366
36511
npn