repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/28615/2/005214016_Full[1].pdf · DISTRIBUSI SUHU KEADAAN...
Transcript of repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/28615/2/005214016_Full[1].pdf · DISTRIBUSI SUHU KEADAAN...
DISTRIBUSI SUHU KEADAAN TAK TUNAK
PADA BENDA PADAT KOMPOSIT DUA DIMENSI
DENGAN SALAH SATU DARI DUA BAHANNYA
BERBANGKIT ENERGI
TUGAS AKHIR
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik
Jurusan Teknik Mesin
DISUSUN OLEH :
LISTA KURNIA NIM : 005214016
PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN
JURUSAN TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2006
UNSTEADY – STATE TEMPERTURE DISTRIBUTIONS OF TWO - DIMENSIONAL COMPOSITE SOLID
WITH ENERGY GENERATING AT ONE OF IT’S TWO MATERIALS
FINAL PROJECT
As Partial Fulfilment of Requirements to Obtain the Sarjana Teknik Degree
In Mechanical Engineering
By:
LISTA KURNIA NIM : 005214016
MECHANICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM MECHANICAL DEPARTMENT
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
2006
HALAMAN PERSEMBAHAN
KUPERSEMBAHKAN TULISAN INI KEPADA :
TUHAN YESUS, MAMAK, BAPAK, MARINA, RIO, MONIKA,
DAN DINA.
Perkataan ini deras menembus relung hatiku: Tuhan takkan terlambat juga takkan lebih cepat. Semuanya itu, Dia jadikan
indah pada waktu-Nya.(Pengkhotbah 3:1-15)
Sebab rancanganKu bukanlah rancanganmu dan jalanKu bukanlah jalanmu.
Seperti tingginya langit dari bumi demikianlah tingginya jalanKu dari jalanmu
dan rancanganKu dari rancanganmu. (Yesaya 55:8-9)
Bagi kemuliaan Tuhan.
Pernyataan Keaslian Karya
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang telah dinyatakan dalam kutipan dan daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, Desember 2006
Penulis
KATA PENGANTAR
Atas berkat dan karunia dari Allah Bapa di surga maka sudah terlaksana
penulis menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul Distribusi Suhu Keadaan Tak
Tunak Pada Benda Padat Komposit Dua Dimensi Dengan Salah Satu Dari Dua
Bahannya Berbangkit Energi.
Tugas Akhir ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
pada Jurusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih pada :
1. Tuhan yang telah menyertai dan memberi kekuatan selama penulis menyelesaikan
Tugas Akhir.
2. Bapak Ir. PK. Purwadi. M.T. , pembimbing Tugas Akhir, yang telah dengan sabar
membimbing dan membantu menyelesaikan Tugas Akhir dari awal hingga akhir.
3. Bapak Ir. YB. Lukiyanto. M.T. , pembimbing akademik, yang juga mendorong
untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini.
4. Romo Ir. Gregorius Heliarko, SJ, S.S., B.S.T, M.A., M.Sc., selaku dekan fakultas
Teknik.
5. Bapak Yosef Agung Cahyanto, S.T., M.T., selaku ketua jurusan Teknik Mesin.
6. Bapak dosen pengajar yang telah memberikan teori-teori sebagai dasar pembuatan
Tugas Akhir ini.
7. Bapak dan mamak yang selalu memberikan dukungan baik material maupun
spiritual dan yang selalu berdoa untuk penulis.
8. Marina, Rio dan Monika yang selalu mendukung dan berdoa untuk penulis.
9. Semua teman-teman, serta semua pihak yang telah memberikan dukungan penuh
hingga selesainya Tugas Akhir ini.
10. Mbah kakung, mbah putri dan semua saudara yang telah mendukung dan selalu
mendoakan penulis.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan Tugas Akhir ini masih banyak
kekurangan sehingga jauh dari sempurna. Dengan demikian kritik dan saran
diharapkan penulis guna menyempurnakan tulisan ini.
Akhir kata penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat berguna dan
bermanfaat bagi pembaca.
` Penulis
ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui (1) pengaruh perubahan nilai
koefisien perpindahan panas konveksi (h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi (2) pengaruh perubahan
nilai energi pembangkitan (•
q ) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi (3) pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit energi. Penelitian dilakukan dengan metode komputasi numerik, dengan memakai metode beda hingga cara eksplisit. Di analisis dalam dua dimensi.
Penelitian dilakukan pada benda padat komposit. Benda uji berbentuk balok dengan lebar 14 cm (0,14 m), tinggi 14 cm (0,14 m) dan panjang 1 m. Kondisi awal benda merata. Suhu awal benda Ti = 100 oC. Penelitian dilakukan dengan memvariasikan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h), nilai energi
pembangkitan (•
q ) dan bahan yang di luar. Hasil penelitian yang pada kasus ditinjau menunjukkan bahwa semakin besar
nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi (proses pemanasan) dan suhu semakin cepat menyesuaikan dengan
lingkungan sekitar. Semakin besar nilai energi pembangkitan (•
q ) maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konduksi (k) pada bahan di bagian luar maka distribusi suhu di dalam benda semakin tinggi.
DAFTAR ISI
Halaman Judul …………………………………………………………………... i
Halaman Persetujuan ……………………………………………………………. ii
Halaman Pengesahan ……………………………………………………………. iii
Halaman Persembahan …………………………………………………………... iv
Pernyataan Keaslian Karya ……………………………………………………… v
Kata Pengantar …………………………………………………………………... vi
Abstrak …………………………………………………………………………... viii
Daftar Isi ………………………………………………………………………… x
Daftar Gambar …………………………………………………………………… xiii
Daftar Tabel ……………………………………………………………………... xvi
BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang ………………………………………………………... 1
1.2. Batasan Masalah ……………………………………………………… 2
1.3. Perumusan Masalah …………………………………………………... 2
1.4. Tujuan ………………………………………………………………… 7
1.5. Manfaat ……………………………………………………………….. 8
BAB II DASAR TEORI
2.1. Perpindahan Panas ……………………………………………………. 9
2.1.1. Perpindahan Panas Konduksi …………………………………… 9
2.1.2. Perpindahan Panas Konduksi ……….………………………….. 12
2.2. Metode Beda Hingga …………………………………………………. 21
2.2.1. Beda Maju ………………………………………………………. 22
2.2.2. Beda Mundur …………………………………………………… 23
2.2.3 Beda Tengah …………………………………………………….. 24
BAB III PERSAMAAN PADA SETIAP TITIK
3.1. Model Matematika ……………………………………………………. 26
3.2. Persamaan Pada Setiap Titik …………………………………………... 28
3.2.1. Kasus 1 ………………………………………………………….. 31
3.2.2. Kasus 2 ………………………………………………………….. 32
3.2.3. Kasus 3 ………………………………………………………….. 34
3.2.4. Kasus 4 ………………………………………………………….. 36
3.2.5. Kasus 5 ………………………………………………………….. 38
3.2.6. Kasus 6 ………………………………………………………….. 40
BAB IV HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN
4.1. Hasil Perhitungan ……………………………………………………... 42
4.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h Yang Divariasikan …….. 42
4.1.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 1000 W/m2oC …. 43
4.1.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 2000 W/m2oC …. 46
4.1.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 5000 W/m2oC …. 47
4.1.1.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 10000 W/m2oC … 48
4.1.1.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 20000 W/m2oC … 49
4.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q Yang Divariasikan …….. 51
4.1.2.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 20 MW/m3 …….. 51
4.1.2.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 50 MW/m3 …….. 52
4.1.2.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 75 MW/m3 …….. 53
4.1.2.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 100 MW/m3 …… 54
4.1.2.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 125 MW/m3 …… 55
4.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan 1 Divariasikan ……. 58
4.1.3.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Baja
Karbon 0,5% C …………………………………………… 58
4.1.3.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Nikel ……….. 59
4.1.3.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Seng ………... 60
4.1.3.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Tembaga …… 61
4.1.3.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Perak …….………… 62
4.2. Pembahasan …………………………………………………………… 65
4.2.1. Distribusi Suhu Dengan Variasi h ………………………………. 65
4.2.2. Distribusi Suhu Dengan Variasi •
q ……………………………… 66
4.2.3. Distribusi Suhu Dengan Variasi Bahan Pada Bagian Luar ……... 67
BAB V PENUTUP
5.1. Kesimpulan …………………………………………………………… 69
5.2. Saran …………………………………………………………………… 69
DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………… 70
LAMPIRAN ……………………………………………………………………... 71
DAFTAR GAMBAR
1. Gambar 1.1. Benda padat komposit dengan energi pembangkitan pada
benda bagian dalam ……………………………………………………… 3
2. Gambar 2.1. Sketsa yang melukiskan perjanjian tentang tanda untuk
aliran panas konduksi ……………………………………………………. 10
3. Gambar 2.2. Perpindahan panas konduksi ………………………………. 10
4. Gambar 2.3. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat padat terhadap
suhu ……………………………………………………………………… 11
5. Gambar 2.4. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat cair terhadap
suhu ……………………………………………………………………… 11
6. Gambar 2.5. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat gas terhadap
suhu ……………………………………………………………………… 12
7. Gambar 2.6. Perpindahan panas konveksi ………………………………. 13
8. Gambar 2.7. Sketsa batas aliran laminar, transisi, dan turbulen pada
bidang datar ……………………………………………………………… 17
9. Gambar 3.1. Sketsa yang melukiskan koordinat untuk penurunan
persamaan konduksi panas umum dalam koordinat Cartesius …………… 27
10. Gambar 3.2. Gambar titik-titik pada benda uji …………………………… 30
11. Gambar 3.3. Volume kontrol pada kasus 1 ……………………………… 31
12. Gambar 3.4. Volume kontrol pada kasus 2 ……………………………… 32
13. Gambar 3.5. Volume kontrol pada kasus 3 ……………………………… 34
14. Gambar 3.6. Volume kontrol pada kasus 4 ……………………………… 36
15. Gambar 3.7. Volume kontrol pada kasus 5 ……………………………… 38
16. Gambar 3.8. Volume kontrol pada kasus 6 ……………………………… 40
17. Gambar 4.1. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk h = 1000 W/m2oC ………………………………… 45
18. Gambar 4.2. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk h = 2000 W/m2oC ………………………………… 46
19. Gambar 4.3. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk h = 5000 W/m2oC ………………………………… 47
20. Gambar 4.4. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk h = 10000 W/m2oC ..……………………………… 48
21. Gambar 4.5. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk h = 20000 W/m2oC ..……………………………… 49
22. Gambar 4.6. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk semua harga h pada saat t = 15 s ………………… 50
23. Gambar 4.7. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk •
q = 20 MW/m3 …………………………………... 52
24. Gambar 4.8. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk •
q = 50 MW/m3 …………………………………... 53
25. Gambar 4.9. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk •
q = 75 MW/m3 …………………………………... 54
26. Gambar 4.10. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk •
q = 100 MW/m3 ………………………………….. 55
27. Gambar 4.11. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk •
q = 125 MW/m3 ………………………………….. 56
28. Gambar 4.12. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk semua •
q pada saat t = 7s ………………………... 57
29. Gambar 4.13. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk besi .............................................................… 59
30. Gambar 4.14. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk nikel ……………………………………………... 60
31. Gambar 4.15. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk seng ………….…………………………………... 61
32. Gambar 4.16. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk magnesium. …..…………………………………... 62
33. Gambar 4.17. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk aluminium . …..…………………………………... 63
34. Gambar 4.18. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari
waktu ke waktu untuk semua bahan pada saat t = 15 s …………………. 64
DAFTAR TABEL
1. Tabel 2.1. Bilangan Nusselt untuk dinding vertikal ……………………... 14
2. Tabel 2.2. Konstanta persamaan permukaan isotermal ………………….. 16
3. Tabel 2.3. Nilai – nilai koefisien perpindahan panas konveksi untuk
berbagai keadaan ………………………………………………………… 19
4. Tabel 2.4. Konstanta C dan n untuk perpindahan panas dari silinder ……. 20
5. Tabel 2.5. Konstanta C dan n untuk perpindahan panas dari silinder tak
Bundar …………………………………………………………………… 20
6. Tabel 4.1. Nilai sifat-sifat logam ………………………………………… 41
7. Tabel 4.2. Hasil perhitungan dengan nilai h = 1000 W/m2oC …………… 45
8. Tabel 4.3. Hasil perhitungan dengan nilai h = 2000 W/m2oC …………… 46
9. Tabel 4.4. Hasil perhitungan dengan nilai h = 5000 W/m2oC …………… 47
10. Tabel 4.5. Hasil perhitungan dengan nilai h = 10000 W/m2oC ………….. 48
11. Tabel 4.6. Hasil perhitungan dengan nilai h = 20000 W/m2oC …………. 49
12. Tabel 4.7. Hasil perhitungan dengan nilai •
q = 20 MW/m3 ……………… 51
13. Tabel 4.8. Hasil perhitungan dengan nilai •
q = 50 MW/m3 ……………… 52
14. Tabel 4.9. Hasil perhitungan dengan nilai •
q = 75 MW/m3 ……………… 53
15. Tabel 4.10. Hasil perhitungan dengan nilai •
q = 100 MW/m3 …………… 54
16. Tabel 4.11. Hasil perhitungan dengan nilai •
q = 125 MW/m3 …………… 55
17. Tabel 4.12. Hasil perhitungan untuk bagian luar : besi …………………. 58
18. Tabel 4.13. Hasil perhitungan untuk bagian luar : nikel ………………… 59
19. Tabel 4.14. Hasil perhitungan untuk bagian luar : seng …………………. 60
20. Tabel 4.15. Hasil perhitungan untuk bagian luar : magnesium ………. 61
21. Tabel 4.16. Hasil perhitungan untuk bagian luar : aluminium ………….. 62
22. Tabel 4.17. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik,
suhu titik di sudut benda mencapai 100oC , komposisi bahan seng –
baja karbon 0,5%C, dan •
q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC ……... 65
23. Tabel 4.18. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC,
komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan •
q = 20 MW/m3,
Ti = 30oC, ∞T = 100oC ……………………………….…………………… 66
24. Tabel 4.19. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 7 detik,
suhu titik di sudut benda mencapai 100oC, komposisi bahan seng –
baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m2oC, Ti = 30oC, ∞T = 100oC …….. 66
25. Tabel 4.20. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC,
komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m2oC,
Ti = 30oC, ∞T = 100oC …………………………………………………… 67
26. Tabel 4.21. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik,
suhu titik di sudut benda mencapai 100oC, h = 5000W/m2oC, dan
•
q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC ………………………………….. 68
27. Tabel 4.22. waktu yang diperlukan node sudut benda mencapai 100oC,
h = 5000W/m2oC, dan •
q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC …………. 68
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Perpindahan panas dapat kita jumpai baik dalam kehidupan sehari-hari atau
dalam industri. Pada kehidupan sehari-hari perpindahan panas dapat kita jumpai pada
heater, setrika listrik, panci yang dipanaskan, dan lain-lain. Sedangkan pada industri
dapat kita jumpai pada pengolahan logam.
Benda berbangkit energi adalah benda yang mampu memberikan atau
membangkitkan energi. Contohnya : kawat berarus listrik, elemen pemanas air
(heater), elemen setrika listrik, kompor listrik, dan lain-lain.
Di kehidupan sehari-hari sering kita jumpai suatu benda terdiri dari dua atau
lebih bahan, contoh kabel terdiri dari kawat dan isolator, heater terdiri dari elemen
dan isolator, atau tembok yang terdiri dari batubata dan semen, dan lain-lain.
Untuk mengetahui distribusi suhu pada suatu benda dapat dilakukan dengan
beberapa cara, seperti eksperimen atau dengan metode analisis. Pada penelitian ini
digunakan metode komputasi numerik, untuk kasus tertentu sesuai dengan persoalan
yang ditinjau.
1.2. Batasan Masalah
Menghitung dan menganalisa perubahan suhu dari waktu ke waktu pada benda
padat komposit 2 dimensi dengan energi pembangkitan pada bahan yang di dalam,
keadaan tak tunak. Benda padat komposit tersusun dari dua bahan yang berbeda.
Pada analisis ini diambil beberapa titik tertentu dan titik pusat sebagai wakil
untuk dianalisis. Nilai h selama proses berlangsung (pada keadaan tak tunak)
dianggap bernilai tetap dan merata. Penyelesaian dilakukan dengan metode
komputasi numerik, cara beda hingga dengan metode eksplisit.
1.3. Perumusan Masalah
Benda uji yaitu benda dengan bahan komposit (dua bahan) yang memiliki suhu
mula-mula merata T =Ti, kemudian secara tiba-tiba dicelupkan pada fluida yang
bergerak yang mempunyai suhu T = ∞T yang tetap dipertahankan selama proses tak
tunak berlangsung, dengan nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h yang nilainya
tetap. Energi pembangkitan dihidupkan tepat pada saat benda uji dicelupkan pada
fluida (pada bahan yang didalam). Pencarian distribusi suhu dari waktu ke waktu
diselesaikan dengan model matematik yang sesuai.
a. Model matematika
• t
tyxTkq
ytyxT
xtyxT
BB ∂∂
=+∂
∂+
∂∂
•
),,(1),,(),,(2
2
2
2
α, (1.1)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−<<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
22baaxba , t > 0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−<<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
22baayba ,
••
• t
tyxTy
tyxTx
tyxT
A ∂∂
=∂
∂+
∂∂ ),,(1),,(),,(
2
2
2
2
α, (1.2)
0 < x < a, t > 0
0 < y < a
kecuali pada ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−<<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
22baaxba ,
dan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−<<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
22baayba ,
y
(0,a) ∞T 2 , h (a,a)
kA, α A
kB, α B
∞T 1, h A B •
q b a ∞T 3, h
b
(0,0) a (a,0) x
∞T 4 , h
Gambar 1.1. Benda padat komposit, dengan ada energi pembangkitan
pada benda bagian dalam.
Keterangan :
A : bahan 1, bahan dengan nilai kA, ukuran luar a x a dengan lubang di tengah b x b
B : bahan 2, bahan dengan nilai kB, ukuran b x b
∞T 1 = ∞T 2 = ∞T 3 = ∞T 4 = ∞T = suhu fluida sekitar benda uji (oC).
h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m2 oC)
kA = α A x ρ A x cA , koefisien perpindahan panas konduksi bahan 1 (W/moC)
kB = α B x ρ B x cB , koefisien perpindahan panas konduksi bahan 2 (W/moC)
•
q = energi pembangkitan (W/m3)
α A = difusivitas termal bahan 1 (m2/s).
ρ A = kerapatan (density) bahan 1(kg/m3)
cA = panas jenis bahan1 (J/kg oC)
α B = difusivitas termal bahan 2 (m2/s).
ρ B = kerapatan (density) bahan 2 (kg/m3)
cB = panas jenis bahan 2 (J/kg oC)
b. Kondisi awal
T(x,y,0) = Ti , ≤≤ x0 a, ≤≤ y0 a, t = 0 (1.3)
c. Kondisi batas
1. Kondisi batas dinding permukaan samping kiri
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
+∂
∂+
−−∂
∂−
∂+=
∞=
xtyxTAk
ytyxTAk
TtyxThAy
tyxTAk
yyy
yy
),,(2
),,(2
)),,((),,(2 1
t
tyxTVc∂
∂=
),,(2
ρ (1.4)
x = 0, 0 < y < a, t > 0
2. Kondisi batas dinding permukaan atas
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂
∂+
−+∂
∂−
∂+=
∞=
ytyxTAk
xtyxTAk
tyxTThAx
tyxTAk
xxx
xx
),,(2
),,(2
)),,((),,(2 2
t
tyxTVc∂
∂=
),,(2
ρ (1.5)
y = a, 0 < x < a, t > 0
3. Kondisi batas dinding permukaan samping kanan
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂
∂−
−+∂
∂
∂+=
∞=
xtyxTAk
ytyxTAk
tyxTThAy
tyxTAk
yyy
yy
),,(2
),,(2
)),,((),,(2 3
t
tyxTVc∂
∂=
),,(2
ρ (1.6)
x = a, 0 < y < a, t > 0
4. Kondisi batas dinding permukaan atas
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
+∂
∂−
−−∂
∂
∂+=
∞=
ytyxTAk
xtyxTAk
TtyxThAx
tyxTAk
xxx
xx
),,(2
),,(2
)),,((),,(2 4
t
tyxTVc∂
∂=
),,(2
ρ (1.7)
y = 0, 0 < y < a, t > 0
5. Kondisi batas sudut kiri atas permukaan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂
∂+
−+−− ∞∞
ytyxTAk
xtyxTAk
tyxTTAhTtyxTAh
),,(2
),,(2
)),,((2
)),,((2 21
t
tyxTVc∂
∂=
),,(4
ρ (1.8)
x = 0, y = a, t > 0
6. Kondisi batas sudut kanan atas permukaan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂
∂−
−+− ∞∞
ytyxTAk
xtyxTAk
tyxTTAhtyxTTAh
),,(2
),,(2
)),,((2
)),,((2 32
t
tyxTVc∂
∂=
),,(4
ρ (1.9)
x = a, y = a, t > 0
7. Kondisi batas sudut kanan bawah permukaan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
+∂
∂−
−−− ∞∞
ytyxTAk
xtyxTAk
TtyxTAhtyxTTAh
),,(2
),,(2
)),,((2
)),,((2 43
t
tyxTVc∂
∂=
),,(4
ρ (1.10)
x = a, y = 0, t > 0
8. Kondisi batas sudut kiri bawah permukaan
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
+∂
∂+
−−−− ∞∞
ytyxTAk
xtyxTAk
TtyxTAhTtyxTAh
),,(2
),,(2
)),,((2
)),,((2 14
t
tyxTVc∂
∂=
),,(4
ρ (1.11)
x = 0, y = 0, t > 0
Keterangan
α = k / ρ c , difusivitas termal (m2/s).
ρ = kerapatan (density) (kg/m3)
c = panas jenis (J/kg oC)
h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m2 oC).
k = koefisien perpindahan panas konduksi (W/m oC)
t = waktu (s)
A = luas volume kontrol (m2)
Dilakukan variasi pada :
1. Nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h).
2. Nilai energi pembangkitan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ •
q .
3. Bahan yang tidak berbangkit energi (bahan yang di luar).
Dengan asumsi :
1. Sifat-sifat bahan tetap ( ρ ,c,k : tetap) atau tidak berubah terhadap perubahan
suhu.
2. Sifat bahan merata, atau tidak merupakan fungsi posisi.
3. Benda dianggap tidak mengalami perubahan bentuk dan volume.
4. Besar energi pembangkitan: q, bersifat merata dan tetap (tidak berubah
terhadap waktu) untuk benda di bagian dalam.
5. Benda uji merupakan benda padat komposit dua dimensi.
1.4. Tujuan
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah :
1. Mendapatkan pengaruh perubahan nilai koefisien perpindahan panas
konveksi (h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak
dengan salah satu bahan berbangkit energi.
2. Mendapatkan pengaruh perubahan nilai energi pembangkitan (q) terhadap
suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan
berbangkit energi.
3. Mendapatkan pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda
komposit pada keadaan tak tunak dengan salah satu bahan berbangkit
energi.
1.5. Manfaat
Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah :
1. Mengetahui pengaruh perubahan nilai koefisien perpindahan panas konveksi
(h) terhadap suhu pada benda komposit pada keadaan tak tunak.
2. Mengetahui pengaruh perubahan nilai energi pembangkitan (q) terhadap suhu
pada benda komposit pada keadaan tak tunak.
3. Mengetahui pengaruh perubahan bahan terhadap suhu pada benda komposit
pada keadaan tak tunak.
4. Mengetahui dan dapat memilih bahan yang sesuai saat merancang atau
membuat suatu benda.
BAB II
DASAR TEORI
2.1. Perpindahan Panas
Perpindahan panas atau kalor yaitu berpindahnya energi dari satu daerah ke
daerah yang lain akibat dari adanya perbedaan suhu antara daerah-daerah tersebut.
Panas berpindah dari suhu yang tinggi ke suhu yang lebih rendah. Perpindahan panas
ada tiga macam yaitu konduksi, konveksi, dan radiasi.
2.1.1. Perpindahan Panas Konduksi
Hubungan dasar untuk perpindahan panas dengan cara konduksi diusulkan oleh
ilmuan Perancis, J.B.J. Fourier,pada tahun 1882. Hubungan ini menyatakan bahwa q
yaitu laju aliran panas dengan cara konduksi dalam suatu bahan, sama dengan
hasilkali dari tiga buah besaran berikut :
1. k adalah konduktivitas termal bahan.
2. A adalah luas penampang melalui mana panas mengalir dengan cara
konduksi, yang harus diukur tegak lurus terhadap arah aliran panas.
3. dT/dx adalah gradien suhu pada penampang tersebut, yaitu laju perubahan
suhu T terhadap jarak dalam arah aliran panas x.
Menurut hukum kedua termodinamika panas mengalir dari titik yang bersuhu lebih
tinggi ke titik yang lebih rendah, maka aliran panas akan menjadi positif bila grdien
suhu negatif (Gambar 2.1).
Gambar 2.1. Sketsa yang melukiskan perjanjian tentang tanda
untuk aliran panas konduksi
(F. kreith, Prinsip – prinsip perpindahan panas, Halaman: 8)
A k
q
T1 T2
x∆
Gambar 2.2. Perpindahan panas konduksi
Dari beberapa hal diatas, dapat ditulis persamaan :
dxdTkAq −= (2-1)
Dengan :
q = laju aliran panas (W)
A = Luas perpindahan panas (m2)
k = konduktivitas termal benda (W/moC)
dxdT = gradien suhu (oC/m)
Gambar 2.3. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat padat terhadap suhu.
(Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 105)
Gambar 2.4. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat cair terhadap suhu.
(J.P. Holman, Heat Transfer, Halaman: 9)
Gambar 2.5. Perubahan konduktivitas termal berbagai zat gas terhadap suhu.
(J.P. Holman, Heat Transfer, Halaman: 8)
2.1.2. Perpindahan Panas Konveksi
Hubungan dasar untuk perpindahan panas dengan cara konveksi diusulkan oleh ilmuan Inggris, Isaac Newton, pada tahun 1701. Laju perpindahan panas dengan cara konveksi antara suatu permukaan dan suatu fluida dapat dihitung dengan hubungan :
)( ∞−= TThAq w (2-2)
∞T
h q
A Tw
Gambar 2.6. Perpindahan panas konveksi
Dengan
q = laju aliran panas (W)
A = Luas perpindahan panas (m2)
h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m2oC)
∞T = suhu benda (oC)
Tw = suhu fluida (oC)
Cara mendapatkan nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h)
1. Perpindahan panas konveksi bebas
Perpindahan panas konveksi bebas ditandai dengan adanya fluida yang bergerak
yang dikarenakan beda massa jenisnya. Jadi pergerakan aliran fluida tidak disebabkan
adanya alat bantu pergerakan (seperti : fan, kipas angin, pompa, blower, dan lain-
lain). Untuk mencari nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) dapat dicari dari
Bilangan Nusselt. Bilangan Nusselt merupakan fungsi dari bilangan Rayleigh (Ra),
maka bilangan Ra dicari dulu.
Rayleigh number (Ra)
Bilangan Rayleigh dinyatakan dengan persamaan :
Ra = Gr Pr = Pr)(2
3
vTTg s δβ ∞− (2.3)
fT1
=β dengan 2
∞+=
TTT sf
dengan
g = Percepatan gravitasi (9,8 m/s2)
δ = Panjang karakteristik (δ = L), m
Ts = Suhu dinding, K
∞T = Suhu fluida, K
Tf = Suhu film, K
v = Viskositas kinematik, m2/s
Pr = Bilangan Prandtl
Gr = Bilangan Grashof
Bilangan Nusselt (Nu)
Tabel 2.1. Bilangan Nusselt untuk dinding vertikal:
Geometri Panjang Karakteristik
Ra Nusselt (Nu)
104 s.d 109
Nu = 0,59Ra1/4
104 s.d 109
Nu = 0,1Ra1/3
Ts
L=δ Untuk semua Ra ( )[ ]
2
27/816/9
6/1
Pr/492,01
387,0825,0⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++=
RaNu
* kompleks, tetapi lebih akurat (Sumber: Diktat Praktikum Perpindahan Kalor)
Dari bilangan Nusselt dapat diperoleh nilai koefisien perpindahan panas konveksi :
khNu δ
= atau δ
kNuh .= (2.4)
dengan
h = Koefisien perpindahan panas konveksi, W/m2 oC.
δ = Panjang karakteristik, m.
k = Koefisien perpindahan panas konduksi dari fluida, W/m oC.
2. Perpindahan panas konveksi bebas melewati permukaan
Perpindahan panas konveksi bebas melewati permukaan seperti pada permukaan
silinder vertikal, silinder horizontal dan bola.
Koefisien perpindahan panas konveksi bebas rata-rata untuk berbagai situasi, dapat
dinyatakan sebagai berikut:
Nuf = C (Grf Prf)m (2.5)
Di mana subskrip f menunjukkan bahwa sifat-sifat untuk gugus tak berdimensi
dievaluasikan pada suhu film
2w
fTT
T+
= ∞ (2.6)
Perkalian antara angka Grashof dan angka Prandtl disebut angka Rayleigh:
Ra = Gr Pr (2.7)
a. Konveksi bebas melewati silinder vertikal
Rumus yang berlaku
Nu1/2 =( )[ ] 27/816/9
6/1
Pr/492,01
387,0825,0+
+Ra 10-1 < RaL < 1012 (2.8)
Tabel 2.2. Konstanta persamaan permukaan isotermal
(Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 304) b. Konveksi bebas melewati silinder horisontal
Rumus yang berlaku
Nu1/2 = ( )[ ]
6/1
9/1616/9Pr/559,01
Pr387,060,0⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++
Gr 10-5 < Gr Pr < 1012 (2.9)
c. Konveksi bebas melewati bola
Rumus yang berlaku
• bola dengan udara
Nuf = 2 + 0,392 Grf1/4 1 < Grf < 105
Nuf = 2 + 0,43 (Grf Prf)1/4 (2.10)
• bola dengan air
Nuf = 2 + 0,50 (Grf Prf)1/4 3 x 105 < GrPr < 8 x 108 (2.11)
3. Perpindahan panas konveksi paksa
Proses perpindahan panas konveksi paksa ditandai dengan adanya fluida yang
bergerak yang dikarenakan adanya alat bantu. Untuk mencari nilai koefisien
perpindahan panas konveksi (h) dapat dicari dari bilangan Nusselt. Bilangan Nusselt
yang dipilih harus sesuai dengan kasusnya, karena setiap kasus mempunyai bilangan
Nusselt sendiri.
Ada dua bilangan Nusselt yaitu bilangan Nusselt lokal dan bilangan Nusselt rata-
rata. Bilangan Nusselt lokal untuk mencari nilai h pada jarak x yang ditinjau.
Sedangkan bilangan Nusselt rata-rata untuk menghitung nilai h rata-rata dari x = 0
sampai dengan jarak x yang ditinjau.
Bilangan Nusselt (Nu) untuk bidang datar
Gambar 2.7. Sketsa batas aliran laminar, transisi, dan turbulen pada bidang datar
(Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 353)
Untuk aliran laminar
Syarat aliran laminar Rex< 100000, Bilangan Reynold dirumuskan sebagai berikut:
Rex = µ
ρ xU∞ (2.12)
Berlaku persamaan Nusselt Lokal Nu pada jarak x, untuk Pr > 0,6
Nux = f
x
kxh = (0,332) 3
121
PrRex (2.13)
Berlaku persamaan Nusselt rata-rata untuk x = 0 sampai dengan x = L
Nu = fk
hL = (0,664) 31
21
PrReL (2.14)
Dengan
Re = Bilangan Reynold
ρ = Massa jenis fluida, kg/m3
∞U = Kecepatan fluida, m/s
Nu = Bilangan Nusselt
µ = Viskositas, m2/s
kf = Koefisien perpindahan panas konduksi fluida, W/m oC
h = Koefisien perpindahan panas konveksi, W/m2 oC
Pr = Bilangan Prandtl
L = Panjang dinding, m
Untuk turbulen
Syarat aliran turbulen : 500000 < Re < 107
Berlaku persamaan Nusselt Lokal Nu pada jarak x, untuk 60Pr6,0 ≤≤
Nux = f
x
kxh = (0,0296) 3
154
PrRex (2.15)
Berlaku persamaan Nusselt rata-rata untuk x = 0 sampai dengan x = L
Nu = fk
hL = (0,037) 31
54
PrReL (2.16)
Untuk kombinasi laminar dan turbulen
Berlaku persamaan Nusselt rata-rata untuk x = 0 sampai dengan x = L
Nu = fk
hL = 31
54
Pr)871Re037,0( −L (2.17)
Dengan syarat 60Pr6,0 ≤≤
Tabel 2.3. Nilai-nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) untuk berbagai keadaan.
No Tipe konveksi Nilai kisaran h, W/m2oC Konveksi bebas
• untuk fluida gas 2 –25 1
• untuk fluida cairan 1 – 1000 Konveksi paksa
• untuk fluida gas 25 – 250 2
• untuk fluida cairan 50 – 20.000 Konveksi dengan perubahan fase 3
• untuk proses pendidihan dan pengembunan 2500 – 100.000 (Sumber: Yunus A. Cengel, Heat Transfer A Practical Approach, Halaman: 30)
4. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan benda
Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan seperti pada permukaan
silinder dan bola.
a. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan silinder
Koefisien perpindahan panas konveksi paksa rata-rata untuk gas dan zat cair, dapat
dinyatakan sebagai berikut:
Nu = 3/1Prn
ff vduC
khd
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∞ (2.18)
Tabel 2.4. Konstanta C dan n untuk Perpindahan panas dari silinder
Redf C n
0,4 - 4
4 – 40
40 – 4000
4000 – 40.000
40.000 – 400.000
0,989
0,911
0,683
0,193
0,0266
0,330
0,385
0,466
0,618
0,805
(Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 268)
2. Perpindahan panas konveksi paksa melewati permukaan silinder tak bundar
Nu = 3/1Prn
ff vduC
khd
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∞ (2.19)
Tabel 2.5. Konstanta C dan n untuk Perpindahan panas dari silinder tak bundar
(Sumber: J.P. Holman, Perpindahan Kalor, Halaman: 271)
5. Benda berbangkit energi
Benda berbangkit energi adalah benda yang mampu memberikan/
membangkitkan energi. Contoh benda berbangkit energi yaitu kawat berarus listrik,
elemen pemanas air, elemen setrika listrik, reaktor nuklir dan lain-lain.
Besar energi pembangkitan pada alat pemanas dapat dihitung dengan persamaan:
LDVI
vPq
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
•
4
2π (2.20)
Dengan
•
q = energi pembangkitan (W/m3)
P = Daya alat pemanas (W)
v = volume alat pemanas (m3)
V = tegangan (volt)
I = arus (A)
D = diameter alat pemanas (m)
L = panjang alat pemanas (m)
2.2. Metode Beda Hingga
Metode beda hingga merupakan salah satu metode komputasi numeric yang
dapat menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Banyak cara dari metode
komputasi numeric yng mampu menyelesaikan, tetapi hasil yang didapat dari masing-
masing metode itu tidak begitu jauh berbeda. Pada umumnya perbedaan itu terletak
pada akurasi dan waktu penyelesaian. Untuk permasalahan ini menggunakan metode
beda hingga cara eksplisit.
Pendekatan secara numerik dengan metode beda hingga untuk derivatif suatu
fungsi terhadap variable bebasnya menggunakan persamaan dari deret Taylor. Untuk
mendapatkan derivatif pertama dari suatu fungsi, pendekatan dilakukan dengan cara
pemotongan deret ketiga dan keempat, dan seterusnya dari deret Taylor, yang
harganya dapat diabaikan. Pendekatan dapat dilakukan dengan cara beda maju, beda
mundur, atau beda tengah.
2.2.1. Beda Maju
Bila fungsi f(x) analitik, maka f(x + x∆ ) dapat dinyatakan dengan deret Taylor
sebagai berikut :
...!3)(
!2)()()()( 3
33
2
22
+∂∂∆
+∂∂∆
+∂∂
∆+=∆+xfx
xfx
xfxxfxxf (2.21)
atau dapat ditulis,
∑∞
= ∂∂∆
+∂∂
∆+=∆+2 !
)()()()(n
n
nn
xf
nx
xfxxfxxf (2.22)
dari persamaan (2.22) diperoleh,
∑∞
= ∂∂∆
−∆
−∆+=
∂∂
2 !)()()(
nn
nn
xf
nx
xxfxxf
xf (2.23)
atau dapat ditulis,
)(0)()( xx
xfxxfxf
∆+∆
−∆+=
∂∂ (2.24)
atau dapat dinyatakan dalam bentuk,
)(01 xx
ffxf ii
i
∆+∆−
=∂∂ + (2.25)
Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x,
dilakukan langkah-langkah sebagai berikut,
...!3)(
!2)()()()( 3
33
2
22
+∂∂∆
+∂∂∆
+∂∂
∆+=∆+xfx
xfx
xfxxfxxf (2.26)
bila f(x + 2∆ x) diekspansikan dengan deret Taylor, menghasilkan persamaan berikut,
...!3)2(
!2)2()2()()2( 3
33
2
22
+∂∂∆
+∂∂∆
+∂∂
∆+=∆+x
fxx
fxxfxxfxxf (2.27)
bila f(x + 2∆ x) - 2f(x + ∆x) menghasilkan,
...)()()()(2)2( 3
33
2
22 +
∂∂
∆+∂∂
∆+−=∆+−∆+x
fxx
fxxfxxfxxf (2.28)
dari persamaan (2.18) dapat diperoleh,
)(0)(
)()(2)2(22
2
xx
xfxxfxxfx
f∆+
∆−∆+−∆+
=∂∂ (2.29)
atau dapat dinyatakan dengan,
)(0)(
2212
2
2
xx
fffx
f iii
i
∆+∆
−−=
∂∂ ++ (2.30)
2.2.2. Beda Mundur
Bila fungsi f(x) analitik, maka f(x- x∆ ) dapat dinyatakan dengan deret Taylor
terhadap x sebagai berikut :
...!3)(
!2)()()()( 3
33
2
22
+∂∂∆
−∂∂∆
+∂∂
∆−=∆−x
fxx
fxxfxxfxxf (2.31)
atau dapat ditulis,
∑∞
= ∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆±+
∂∂
∆−=∆−2 !
)()()()(n
n
nn
xf
nx
xfxxfxxf , (2.32)
bila n genap : +, bila n ganjil : -
dari persamaan (2.32) diperoleh,
)(0)()( xx
xxfxfxf
∆+∆
∆−−=
∂∂ (2.33)
atau dapat dinyatakan dalam bentuk,
)(01 xxff
xf ii
i
∆+∆−
=∂∂ − (2.34)
Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x,
dapat dilakukan dengan menggunakan ekspansi deret Taylor fungsi f(x- x∆ ) dan bila
f(x-2∆ x).
...!3)(
!2)()()()( 3
33
2
22
+∂∂∆
−∂∂∆
+∂∂
∆−=∆−x
fxx
fxxfxxfxxf (2.35)
...!3)2(
!2)2()2()()2( 3
33
2
22
+∂∂∆
−∂∂∆
+∂∂
∆−=∆−x
fxx
fxxfxxfxxf (2.36)
bila f(x-2 x∆ ) - 2f(x-∆x), diperoleh turunan kedua dari fungsi f terhadap x, yang
dapat dinyatakan dengan persamaan berikut,
)(0)(
)2()(2)(22
2
xx
xxfxxfxfx
f∆+
∆∆−+∆−−
=∂∂ (2.37)
atau dapat dinyatakan dengan,
)(0)(
22
212
2
xx
fffx
f iii
i
∆+∆
+−=
∂∂ −− (2.38)
2.2.3. Beda Tengah
Dengan memanfaatkan ekspansi dari fungsi f(x+ x∆ ) dan f(x- x∆ ), dapat
diperoleh turunan pertama f terhadap x dengan cara beda tengah :
∑∞
= ∂∂∆
+∂∂
∆+=∆+2 !
)()()()(n
n
nn
xf
nx
xfxxfxxf (2.39)
∑∞
= ∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ∆±+
∂∂
∆−=∆−2 !
)()()()(n
n
nn
xf
nx
xfxxfxxf (2.40)
bila f(x+ x∆ ) - f(x- x∆ ), diperoleh,
...!3)(22)()( 3
33
+∂∂∆
+∂∂
∆=∆−−∆+x
fxxfxxxfxxf (2.41)
dari persamaan (2.41), didapat,
2)(02
)()( xx
xxfxxfxf
∆+∆
∆−−∆+=
∂∂ (2.42)
atau dapat dinyatakan dalam bentuk,
211 )(02
xxff
xf ii
i
∆+∆−
=∂∂ −+ (2.43)
Untuk mendapatkan harga pendekatan turunan kedua dari fungsi f terhadap x, dapat
dilakukan dengan menambahkan persamaan f(x+ x∆ ) dengan f(x- x∆ ).
...!3)(
!2)()()()( 3
33
2
22
+∂∂∆
+∂∂∆
+∂∂
∆+=∆+x
fxx
fxxfxxfxxf (2.44)
...!3)(
!2)()()()( 3
33
2
22
+∂∂∆
−∂∂∆
+∂∂
∆−=∆−x
fxx
fxxfxxfxxf (2.45)
bila f(x+ x∆ ) + f(x- x∆ ), menghasilkan persamaan yang dapat dinyatakan dengan
persamaan berikut :
222
2
)(0)(
)()(2)2( xx
xxfxfxxfx
f∆+
∆∆−−−∆+
=∂∂ (2.46)
atau dapat dinyatakan dengan,
22
112
2
)(0)(
2x
xfff
xf iii
i
∆+∆
−−=
∂∂ −+ (2.47)
BAB III
PERSAMAAN PADA SETIAP TITIK
Pada penelitian ini menggunakan metode numerik, dengan memilih metode beda hingga cara eksplisit
3.1. Model Matematika
Untuk mendapatkan model matematika dari persoalan yang sesuai dengan
permasalahan didapat dari kesetimbangan energi pada volume kontrol yang
dinyatakan sebagai berikut :
Untuk 3 dimensi keadaan tak tunak
Seluruh energi Energi yang Seluruh energi yang masuk dibangkitkan yang keluar Perubahan ke dalam + di dalam = dari dalam + energi dalam volume kontrol volume kontrol volume kontrol selama t∆ selama t∆ selama t∆ selama t∆
Atau secara aljabar
tTdxdydzcqqqdxdydzqqqq dzzdyydxxzyx ∂∂
+++=+++ +++
•
)()()()( ρ (3.1)
Energi yang masuk ke dalam volume kontrol
dydzxTkqx ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=
dxdzyTkqy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−= ( 3.2)
dxdyzTkqz ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=
Gambar 3.1. Sketsa yang melukiskan koordinat untuk penurunan persamaan
konduksi panas umum dalam koordinat Cartesius
(F. Kreith, Prinsip - Prinsip Perpindahan Panas, Halaman: 78)
Energi yang keluar dari dalam volume kontrol
dydzdxxTk
xxTkq dxx ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=+
dxdzdyyTk
yyTkq dyy ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−=+ (3.3)
dxdydzzTk
zzTkq dzz ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−=+
Kurangkan energi yang masuk ke volume kontrol dengan energi yang keluar dari
volume kontrol, kita memperoleh
dxdydzx
xTk
qq dxxx ∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂=− +
dxdydzy
yTk
qq dyyy ∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂=− + (3.4)
dxdydzz
zTk
qq dzzz ∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂=− +
Masukkan rumus-rumus ini ke dalam kesetimbangan energi dan bagilah tiap suku
dengan dx dy dz, maka akan diperoleh
tTcq
zT
zk
yT
yk
xT
xk
∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂ •
ρ (3.5)
jika sistemnya homogen dan panas jenis (specific heat) c serta kerapatan (density) ρ
tidak tergantung pada suhu. Jika k dianggap konstan dan persamaan (3.5) dibagi k,
maka persamaannya menjadi
tT
kq
zT
yT
xT
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
•
α1
2
2
2
2
2
2
(3.6)
di mana konstanta ρα ck /= disebut difusivitas termal dengan satuan m2/s.
Untuk kasus 2 dimensi keadaan tak tunak seperti kasus dalam penelitian ini, maka
persamaannya adalah
tT
kq
yT
xT
∂∂
=+∂∂
+∂∂
•
α1
2
2
2
2
(3.7)
3.2. Persamaan Pada Setiap Titik
Penyelesaian dilakukan metode beda hingga cara eksplisit. Oleh karena itu
diperlukan persamaan numerik pada setiap node. Pada kasus yang ditnjau, ada enam
persamaan utama :
1. Titik di sudut benda A
Yaitu titik 0, 14, 210 dan 224.
2. Titik di permukaan benda A
Yaitu titik 1 sampai 13, 15, 29, 30, 44, 45, 59, 60, 74, 75, 89, 90, 104, 105,
119, 120, 134, 135, 149, 150, 164, 165, 179, 180, 194, 195, 209 dan 211
sampai 223.
3. Titik di dalam benda A
Yaitu titik 16 sampai 28, 31 sampai 43, 46 sampai 58, 61 sampai 63, 71
sampai 73, 76 sampai 78, 86 sampai 88, 91 sampai 93, 101 sampai 103, 106
sampai 108, 116 sampai 118, 121 sampai 123, 131 sampai 133, 136 sampai
138, 146 sampai 148, 151 sampai 153, 161 sampai 163, 166 sampai 178,
181 sampai 193 dan 196 sampai 208.
4. Titik di sudut antara benda A dengan benda B
Yaitu titik 64, 70, 154 dan 160.
5. Titik di permukaan antara benda A dengan benda B
Yaitu titik 65 sampai 69, 79, 85, 94, 100, 109, 115, 124, 130, 139, 145 dan
155 sampai 159.
6. Titik di dalam benda B
Yaitu titik 80 sampai 84, 95 sampai 99, 110 sampai 114, 125 sampai 129 dan
140 sampai 144.
210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224
195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209
180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194
165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164
135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14
Gambar 3.2. Gambar titik – titik pada benda uji
3.2.1. Kasus 1 (Titik di sudut benda A, misal titik 0)
qc2, ∞T , h
Ti,j Ti+1,j
∞T , h qc1 qk1 y∆
Ti,j-1 qk2
x∆
Gambar 3.3. Volume kontrol pada kasus 1
= volume kontrol
q = energi yang masuk ke volume kontrol
[ qc1 + qc2 + qk1 + qk2 ] + [ •
q V ] = tTcV∂∂ρ (3.8)
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆ −+
∞∞ yTTxk
xTTykTTxhTTyh
nji
nji
nji
njin
jinji
,1,,,1,, 1
21
21
21
2
= ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆
+
tTTyxc
nji
nji ,
1,1
22ρ (3.9)
lyx =∆=∆
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=−+−+−+−
+
−+∞∞ tTTclTTkTTkTThlTThl n
jinjin
jinji
nji
nji
nji
nji
,1
,2
,1,,,1,, 42222ρ (3.10
)
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=−+−+−
+
−+∞ tTTclTTkTTkTThl
nji
njin
jinji
nji
nji
nji
,1
,2
,1,,,1, 422ρ (3.11)
Persamaan (3.11) dikali k4 , maka
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=−+−+−
+
−+∞ tTT
lkcTTTTTT
khl n
jinjin
jinji
nji
nji
nji
,1
,2,1,,,1, 224 ρ (3.12)
Bila c
kρ
α = maka persamaan (3.12) menjadi
( )nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TT
tlTTTTT
khlT
khl
,1
,
2
,1,,,1, 222244−
∆=−+−+− +
−+∞ α (3.13)
2)( xtFo ∆
∆=
α , maka diperoleh
( )nji
nji
o
nji
nji
nji
nji TT
FTTTT
khlT
khl
,1
,,1,,1,142244
−=−++− +−+∞ (3.14)
nji
nji
njio
njio
njio
nji
oo TTTFTFTFTk
hlFT
khlF
,1
,,1,,1, 42244
−=−++− +−+∞ (3.15)
1,,,,1,,1
44)2(2 +
∞−+ =−−+++ nji
nji
onjio
nji
nji
njio TT
khlF
TFTTkhlTTF (3.16)
nji
oo
nji
njio
nji T
khlF
FTkhlTTFT ,1,,1
1,
441)2(2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+++= ∞−+
+ (3.17)
Dengan syarat stabilitas
04
41 ≥−−k
hlFF o
o
)1(41
BiFo +
≤
( ))1(4
2
Bixt+
∆≤∆
α (3.18)
3.2.2. Kasus 2 (Titik di permukaan benda A, misal titik 1)
qc, ∞T , h
njiT ,1− n
jiT , njiT ,1+
qk3 qk1 y∆
qk2
Ti,j-1
x∆
Gambar 3.4. Volume kontrol kasus 2
= volume kontrol
q = energi yang masuk ke volume kontrol
[qc + qk1 + qk2 + qk3 ] + ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
2Vq =
tTcV∂∂ρ (3.19)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+−∆ −−+
∞ xTTyk
yTT
xkx
TTykTTxhnji
nji
nji
nji
nji
njin
ji,,1,1,,,1
, 12
1)(12
1)(
= ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆∆
+
tTTyxc
nji
nji ,
1,1
2)(ρ (3.20)
lyx =∆=∆
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=−+−+−+−
+
−−+∞ tTTclTTkTTkTTkTThl
nji
njin
jin
jinji
nji
nji
nji
nji
,1
,2
,,1,1,,,1, 2)(
22ρ (3.21
Persamaan (3.21) dikali k2 , maka
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=−+−+−+−
+
−−+∞ tTT
lkcTTTTTTTT
khl n
jinjin
jin
jinji
nji
nji
nji
nji
,1
,2,,1,1,,,1, )(22 ρ (3.22)
Bila c
kρ
α = maka persamaan (3.22) menjadi
( )nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TT
tlTTTTTTT
khlT
khl
,1
,
2
,,1,1,,,1, 2222−
∆=−+−+−+− +
−−+∞ α (3.23)
2)( xtFo ∆
∆=
α , maka diperoleh
( )nji
nji
o
nji
nji
nji
nji
nji TT
FTTTTT
khlT
khl
,1
,,,11,,1,14222
−=−+++− +−−+∞ (3.24)
nji
nji
njio
njio
njio
njio
nji
oo TTTFTFTFTFTk
hlFT
khlF
,1
,,,11,,1, 4222
−=−+++− +−−+∞ (3.25)
1,,,,,11,,1
24)22( +
∞−−+ =−−++++ nji
nji
onjio
nji
nji
nji
njio TT
khlF
TFTTkhlTTTF (3.26)
nji
oo
nji
nji
njio
nji T
khlF
FTkhlTTTFT ,,11,,1
1,
241)22( ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−++++= ∞−−+
+ (3.27)
Dengan syarat stabilitas
02
41 ≥−−k
hlFF o
o ⇒ )2(2
1Bi
Fo +≤ ⇒
)2(2)( 2
Bixt+
∆≤∆
α (3.28)
3.2.3. Kasus 3 (Titik di dalam benda A, misal Titik 17)
Ti,j+1
qk2
Ti-1,j qk1 Ti,,j qk3 Ti+1,j
y∆
qk4
Ti,j-1
x∆
Gambar 3.5. Volume kontrol pada kasus 3
= volume kontrol
q = energi yang masuk ke volume kontrol
[qk1 + qk2 + qk3 + qk4 ] + [ ]qV = tTcV∂∂ρ (3.29)
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆ −++−
yTT
xkx
TTyk
yTT
xkx
TTyk
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji ,1,,,1,1,,,1 11)(11)(
= ( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆∆
+
tTT
yxcnji
nji ,
1,1)(ρ (3.30)
lyx =∆=∆
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=−+−+−+−
+
−++− tTT
clTTkTTkTTkTTknji
njin
jinji
nji
nji
nji
nji
njiji
,1
,2,1,,,1,1,,.1 )( ρ (3.31)
Persamaan (3.31) dikali k1 , maka
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=−+−+−+−
+
−++− tTT
lkcTTTTTTTT
nji
njin
jinji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
,1
,2,1,,,1,1,,,1 )( ρ (3.32)
Bila c
kρ
α = maka persamaan (3.32) menjadi
( )nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TT
tlTTTTTTTT ,
1,
2
,1,,,1,1,,,1 −∆
=−+−+−+− +−++− α
(3.33)
2)( xtFo ∆
∆=
α , maka diperoleh
( )nji
nji
o
nji
nji
nji
nji
nji TT
FTTTTT ,
1,,1,,11,,1
14 −=−+++ +−++− (3.34)
nji
nji
njio
njio
njio
njio
njio TTTFTFTFTFTF ,
1,,1,,11,,1 4 −=−+++ +
−++− (3.35)
1,,,1,,11,,1 4)( +
−++− =−++++ nji
njio
nji
nji
nji
nji
njio TTFTTTTTF (3.36)
( ) njio
nji
nji
nji
njio
nji TFTTTTFT ,1,,11,,1
1, 41)( −++++= −++−+ (3.37)
Dengan syarat stabilitas
041 ≥− oF
41
≤oF
α4)( 2xt ∆
≤∆ (3.38)
3.2.4. Kasus 4 (Titik di sudut antara benda A dengan benda B, misal titik 64)
Ti,j+1
k1 qk2
qk3
Ti-1,j qk1 Ti,j Ti+1,j
q qk4 y∆
qk6 qk5 k2
Ti,j-1
x∆
Gambar 3.6. Volume kontrol pada kasus 4
= volume kontrol
q = energi yang masuk ke volume kontrol
[qk1 + qk2 + qk3 + qk4 + qk5 + qk6 ] + ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
4Vq =
tTcV∂∂ρ (3.39)
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆ +++−
xTTyk
xTTyk
yTT
xkx
TTyk
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji ,,1
2,,1
1,1,
1,,1
1 12
12
)1)((1)(
( ) ( ) )1(22
12
12
,1,1
,1,2 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+ −− yxq
yTTxk
yTTxk
nji
nji
nji
nji
= ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆−∆∆
++
tTTyxc
tTTyxyxc
nji
nji
nji
nji ,
1,
22,
1,
11 )1(22
122
))(( ρρ (3.40)
lyx =∆=∆
( ) ( ) )(2
)(22
)( ,1,2
,,12
,,11
,1,1,,11nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TTkTTkTTkTTkTTk −+−+−+−+− −+++−
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+=+−+
+
− tTT
cclqlTTk nji
njin
jinji
,1
,2211
22
,1,1 3
44)(
2ρρ (3.41)
Persamaan (3.41) dikali 4, maka ( ) ( ) )(2)(22)(44 ,1,2,,12,,11,1,1,,11
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TTkTTkTTkTTkTTk −+−+−+−+− −+++−
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+=+−+
+
− tTT
cclqlTTknji
njin
jinji
,1
,2211
22,1,1 3)(2 ρρ (3.42)
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TkTkTkTkTkTkTkTkTk 1,2,2,12,1,11,11,1,1,11 222224444 −+++− +−+−+−+−
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+=+−+−
+
− tTT
cclqlTkTkTknji
njin
jinji
nji
,1
,2211
22,11,1,2 3222 ρρ (3.43)
2,211,21,1211,1,11 )412()(2)(244 qlTkkTkkTkkTkTk nji
nji
nji
nji
nji ++−+++++ −++−
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+=
+
tTT
cclnji
nji ,
1,
22112 3 ρρ (3.44)
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TT
lccTkk
tlcc
qlTkkTkkTkTkt ,
1,2
211
,212
2211
21,21,1211,1,11
)3()412(
)3()(2)(244
−=+
+∆−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++++++∆ +−++−
ρρρρ (3.45)
1,2
211
,21,2
2211
21,21,1211,1,11
)3()412(
)3()(2)(244 +−++− =
+
+∆−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++++++∆ n
ji
njin
ji
nji
nji
nji
nji T
lccTkk
tTlcc
qlTkkTkkTkTkt
ρρρρ (3.46)
nji
nji
nji
nji
njin
ji Tlcc
kktlcc
qlTkkTkkTkTktT ,2
2211
212
2211
21,21,1211,1,111
, )3()3(41
)3()(2)(244
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+∆−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++++++∆= −++−+
ρρρρ (3.47) Dengan syarat stabilitas
0)3()3(41 2
2211
21 ≥+
+∆−
lcckkt
ρρ
22211
21
)3()3(41lcc
kktρρ ++∆
≥ (3.48)
221
22211
)3(4)3(
lkklcct
++
≤∆ρρ
3.2.5.Kasus 5(Titik dipermukaan antara benda A dengan benda B,misal titik 65)
Ti,j+1
k1 qk1
qk6 qk2
Ti-1,j Ti,j Ti+1,j
qk5 q qk3 y∆
k2
Ti,j-1 x∆
Gambar 3.7. Volume kontrol pada kasus 5
= volume kontrol
q = energi yang masuk ke volume kontrol
[qk1 + qk2 + qk3 + qk4 + qk5 + qk6 ] + ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
2Vq =
tTcV∂∂ρ (3.49)
( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆ −+++
yTT
xkx
TTykx
TTyky
TTxk
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji ,1,
2,,1
2,,1
1,1,
1 112
)1(2
1)(
( ) ( ) ( ) )1(2
12
12
,,11
,,12 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆+ −− yxq
xTTyk
xTTyk
nji
nji
nji
nji
= ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆∆
++
tTTyxc
tTTyxc
nji
nji
nji
nji ,
1,
22,
1,
11 )1(2
12
ρρ (3.50)
lyx =∆=∆
( ) ( ) )(2
)(2
)(2 ,,1
2,1,2,,1
2,,1
1,1,1
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TTkTTkTTkTTkTTk −+−+−+−+− −−+++
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+=+−+
+
− tTT
cclqlTTk nji
njin
jin
ji,
1,
2211
22
,,11
22)(
2ρρ (3.51)
Persamaan (3.51) dikali 2,maka
( ) ( ) )()(2)(2 ,,12,1,2,,12,,11,1,1nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TTkTTkTTkTTkTTk −+−+−+−+− −−+++
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+=+−+
+
− tTT
cclqlTTknji
njin
jin
ji,
1,
221122
,,11 )( ρρ (3.52)
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TkTkTkTkTkTkTkTkTk ,12,21,2,2,12,1,11,11,1 2222 −−+++ +−+−+−+−
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+=+−+−
+
− tTT
cclqlTkTkTknji
njin
jin
jinji
,1
,2211
22,1,11,2 ρρ (3.53)
2,21,1211,2,1211,1 )44()(2)(2 qlTkkTkkTkTkkTk nji
nji
nji
nji
nji ++−++++++ −−++
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+=
+
tTT
cclnji
nji ,
1,
22112 ρρ (3.54)
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TT
lccTkk
tlcc
qlTkkTkTkkTkt ,
1,2
211
,212
2211
2,1211,2,1211,1
)()44(
)()(2)(2
−=+
+∆−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++++++∆ +−−++
ρρρρ (3.55)
1,2
211
,21,2
2211
2,1211,2,1211,1
)()44(
)()(2)(2 +−−++ =
+
+∆−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++++++∆ n
ji
njin
ji
nji
nji
nji
nji T
lccTkk
tTlcc
qlTkkTkTkkTkt
ρρρρ (3.56)
nji
nji
nji
nji
njin
ji Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT ,2
2211
212
2211
2,1211,2,1211,11
, )()(41
)()(2)(2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+∆−+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
++++++∆= −−+++
ρρρρ (3.57) Dengan syarat stabilitas
0)()(41 2
2211
21 ≥+
+∆−
lcckkt
ρρ
22211
21
)()(41lcc
kktρρ ++∆
≥ (3.58)
)(4)(
21
22211
kklcct
++
≤∆ρρ
3.2.6. Kasus 6 (Titik di dalam benda B, misal titik 80)
Ti,j+1
qk1
Ti-1,j qk4 Ti,j qk2 Ti+1,j
q y∆
qk3
Ti,j-1 x∆
Gambar 3.8. Volume kontrol pada kasus 6
= volume kontrol
q = energi yang masuk ke volume kontrol
[qk1 + qk2 + qk3 + qk4 ] + [ ]qV = tTcV∂∂ρ (3.59)
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆ −++−
yTT
xkx
TTyk
yTT
xkx
TTyk
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji ,1,,,1,1,,,1 11)(11)(
)1)()(( yxq ∆∆+ = ( )( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−∆∆
+
tTT
yxcnji
nji ,
1,1)(ρ (3.60)
lyx =∆=∆
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=+−+−+−+−
+
−++− tTT
clqlTTkTTkTTkTTknji
njin
jinji
nji
nji
nji
nji
njiji
,1
,22,1,,,1,1,,.1 )( ρ
(3.61)
Persamaan (3.61) dikali k1 , maka
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=+−+−+−+−
+
−++− tTT
lkc
kqlTTTTTTTT
nji
njin
jinji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
,1
,22
,1,,,1,1,,,1 )( ρ (3.62)
Bila c
kρ
α = maka persamaan (3.62) menjadi
( )nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji TT
tl
kqlTTTTTTTT ,
1,
22
,1,,,1,1,,,1 −∆
=+−+−+−+− +−++− α
(3.63)
2)( xtFo ∆
∆=
α , maka diperoleh
( )nji
nji
o
nji
nji
nji
nji
nji TT
FT
kqlTTTT ,
1,,
2
1,,11,,114 −=−++++ +
−++− (3.64)
nji
nji
njioo
njio
njio
njio
njio TTTFF
kqlTFTFTFTF ,
1,,
2
1,,11,,1 4 −=−++++ +−++− (3.65)
1,,,
2
1,,11,,1 4 +−++− =−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++ n
jinjio
nji
nji
nji
nji
njio TTFT
kqlTTTTF (3.66)
( ) njio
nji
nji
nji
njio
nji TF
kqlTTTTFT ,
2
1,,11,,11
, 41−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++= −++−
+ (3.67)
Dengan syarat stabilitas
041 ≥− oF
41
≤oF
α4)( 2xt ∆
≤∆ (3.68)
BAB IV
HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN
4.1. Hasil Perhitungan
Untuk penganalisaan, grafik yang akan dianalisis adalah perjalanan suhu titik
yang terletak pada satu baris (diambil titik 105 sampai dengan 119). Hal ini
dimaksudkan agar pada grafik yang akan dibuat dan dianalisis dapat terlihat jelas
perjalanan suhunya sampai dengan keadaan yang telah ditentukan (suhu pada tepi
mencapai 100oC), sekaligus waktu yang dibutuhkan benda untuk mencapai keadaan
tersebut (karena diantara titik 105 – 119 terdapat titik 112 yang merupakan titik pusat
dari benda).
4.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h Yang Bervariasi
Fluida yang berada disekeliling benda memiliki h tertentu, harga h tersebut
divariasikan. Dengan nilai energi pembangkitan •
q = 20 MW/m3. Bahan A pada benda
adalah seng, sedangkan bahan B adalah baja karbon 0,5% C. Sifat-sifat logam yang
perlu diketahui dapa dilihat pada tabel 4.1.
Tabel 4.1. Nilai sifat-sifat logam Logam ρ
kg/m3
cp
kJ/kg.oC
k
W/m.oC
α
m2/s
Baja karbon 0,5%C
Aluminium
Nikel
Magnesium
Seng
Besi
7833
2707
8906
1746
7144
7897
0,465
0,896
0,4459
1,013
0,3843
0,452
54
204
90
171
112,2
73
1,474 x 10-5
8,418 x 10-5
2,266 x 10-5
9,708 x 10-5
4,106 x 10-5
2,034 x 10-5
Sumber : J.P. Holman, Perpindahan Kalor, halaman 581
4.1.1.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 1000W/m2oC
Kondisi awal : Suhu awal benda merata, sebesar Ti = 30oC, dinyatakan dalam model matematik :
T(x,y,0) = Ti = 30oC , ≤≤ x0 a, ≤≤ y0 a, t = 0
Kondisi batas
Pada kondisi batas, pada saat t > 0, terdapat fluida yang memiliki suhu
∞T 1 = ∞T 2 = ∞T 3 = ∞T 4 = ∞T = 100oC. Harga h = 1000W/m2oC
1.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
+∂
∂+
−−∂
∂−
∂+=
∞=
xtyxTAk
ytyxTAk
TtyxThAy
tyxTAk
yyy
yy
),,(2
),,(2
)),,((),,(2 1
t
tyxTVc∂
∂=
),,(2
ρ (4.1)
x = 0, 0 < y < a, t > 0
2.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂
∂+
−+∂
∂−
∂+=
∞=
ytyxTAk
xtyxTAk
tyxTThAx
tyxTAk
xxx
xx
),,(2
),,(2
)),,((),,(2 2
t
tyxTVc∂
∂=
),,(2
ρ (4.2)
y = a, 0 < x < a, t > 0
3.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂
∂−
−+∂
∂
∂+=
∞=
xtyxTAk
ytyxTAk
tyxTThAy
tyxTAk
yyy
yy
),,(2
),,(2
)),,((),,(2 3
t
tyxTVc∂
∂=
),,(2
ρ (4.3)
x = a, 0 < y < a, t > 0
4.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
+∂
∂−
−−∂
∂
∂+=
∞=
ytyxTAk
xtyxTAk
TtyxThAx
tyxTAk
xxx
xx
),,(2
),,(2
)),,((),,(2 4
t
tyxTVc∂
∂=
),,(2
ρ (4.4)
y = 0, 0 < y < a, t > 0
5.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂
∂+
−+−− ∞∞
ytyxTAk
xtyxTAk
tyxTTAhTtyxTAh
),,(2
),,(2
)),,((2
)),,((2 21
t
tyxTVc∂
∂=
),,(4
ρ (4.5)
x = 0, y = a, t > 0
6.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂
∂−
−+− ∞∞
ytyxTAk
xtyxTAk
tyxTTAhtyxTTAh
),,(2
),,(2
)),,((2
)),,((2 32
t
tyxTVc∂
∂=
),,(4
ρ (4.6)
x = a, y = a, t > 0
7.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
+∂
∂−
−−− ∞∞
ytyxTAk
xtyxTAk
TtyxTAhtyxTTAh
),,(2
),,(2
)),,((2
)),,((2 43
t
tyxTVc∂
∂=
),,(4
ρ (4.7)
x = a, y = 0, t > 0
8.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
+∂
∂+
−−−− ∞∞
ytyxTAk
xtyxTAk
TtyxTAhTtyxTAh
),,(2
),,(2
)),,((2
)),,((2 14
t
tyxTVc∂
∂=
),,(4
ρ (4.8)
x = 0, y = 0, t > 0
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.2. Perjalanan
suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Tabel 4.2. Hasil perhitungan dengan nilai h = 1000 W/m2oC Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 26,75 det
1 105 30 52,234 66,120 78,691 104,679
2 106 30 48,619 63,719 77,452 105,872
3 107 30 46,428 62,715 77,714 108,838
4 108 30 45,868 63,395 79,807 113,997
5 109 30 47,235 66,194 84,249 122,031
6 110 30 54,549 76,752 97,570 141,246
7 111 30 56,603 81,043 103,617 150,770
8 112 30 56,966 82,128 105,309 153,617
9 113 30 56,603 81,043 103,617 150,770
10 114 30 54,549 76,752 97,570 141,246
11 115 30 47,235 66,194 84,249 122,031
12 116 30 45,868 63,395 79,807 113,997
13 117 30 46,428 62,715 77,714 108,838
14 118 30 48,619 63,719 77,452 105,872
15 119 30 52,234 66,120 78,691 104,679
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
020406080
100120140160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suhu
(o C)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 26,75 s
Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3
Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 1000 W/m2oC
Gambar 4.1. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 2000W/m2oC Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.3. Perjalanan
suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Tabel 4.3. Hasil perhitungan dengan nilai h = 2000 W/m2oC Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 23,6 det
1 105 30 63,345 76,933 87,791 103,123
2 106 30 57,419 73,293 86,110 104,266
3 107 30 52,925 70,802 85,644 106,855
4 108 30 50,093 69,757 86,740 111,330
5 109 30 49,214 70,586 89,898 118,339
6 110 30 54,947 78,512 100,778 134,975
7 111 30 56,676 81,746 105,479 142,704
8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922
9 113 30 56,676 81,746 105,479 142,704
10 114 30 54,947 78,512 100,778 134,975
11 115 30 49,214 70,586 89,898 118,339
12 116 30 50,093 69,757 86,740 111,330
13 117 30 52,925 70,802 85,644 106,855
14 118 30 57,419 73,293 86,110 104,266
15 119 30 63,345 76,933 87,791 103,123
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suhu
(o C)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t =23,6 s
Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3
Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 2000 W/m2oC
Gambar 4.2. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 5000W/m2oC Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.4. Perjalanan
suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.3.
Tabel 4.4. Hasil perhitungan dengan nilai h = 5000 W/m2oC Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 20,1 det
1 105 30 79,448 89,125 95,948 103,504
2 106 30 70,697 84,538 94,431 102,516
3 107 30 63,110 80,723 93,779 104,553
4 108 30 57,007 77,998 94,368 108,077
5 109 30 52,751 76,778 96,687 113,695
6 110 30 55,715 81,267 105,118 126,866
7 111 30 56,825 82,933 108,215 132,229
8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922
9 113 30 56,825 82,933 108,215 132,229
10 114 30 55,715 81,267 105,118 126,866
11 115 30 52,751 76,778 96,687 113,695
12 116 30 57,007 77,998 94,368 108,077
13 117 30 63,110 80,723 93,779 104,553
14 118 30 70,697 84,538 94,431 102,516
15 119 30 79,448 89,125 95,948 103,504
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suhu
(o C)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 20,1 s
Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3
Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC
Gambar 4.3. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.1.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 10000W/m2oC Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.5. Perjalanan
suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.4.
Tabel 4.5. Hasil perhitungan dengan nilai h = 10000 W/m2oC Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 18,3 det
1 105 30 88,563 94,522 98,589 100,756
2 106 30 78,596 89,785 97,508 101,633
3 107 30 69,480 85,616 97,109 103,298
4 108 30 61,596 82,342 97,798 106,225
5 109 30 55,384 80,365 100,064 110,996
6 110 30 56,352 83,068 107,579 122,110
7 111 30 56,958 83,783 109,910 126,109
8 112 30 57,108 83,945 110,402 127,052
9 113 30 56,958 83,783 109,910 126,109
10 114 30 56,352 83,068 107,579 122,110
11 115 30 55,384 80,365 100,064 110,996
12 116 30 61,596 82,342 97,798 106,225
13 117 30 69,480 85,616 97,109 103,298
14 118 30 78,596 89,785 97,508 101,633
15 119 30 88,563 94,522 98,589 100,756
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suhu
(o C)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 18,3 s
Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3
Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 10000 W/m2oC
Gambar 4.4. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.1.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan h = 20000W/m2oC Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.6. Perjalanan
suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.5.
Tabel 4.6. Hasil perhitungan dengan nilai h = 20000 W/m2oC Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 17,25 det
1 105 30 94,030 97,325 99,561 100,385
2 106 30 83,499 92,636 98,880 101,182
3 107 30 73,592 88,395 98,768 102,618
4 108 30 64,716 84,934 99,651 105,173
5 109 30 57,355 82,646 102,028 109,414
6 110 30 56,877 84,320 109,146 119,226
7 111 30 57,076 84,415 111,055 122,369
8 112 30 57,160 84,394 111,385 123,027
9 113 30 57,076 84,415 111,055 122,369
10 114 30 56,877 84,320 109,146 119,226
11 115 30 57,355 82,646 102,028 109,414
12 116 30 64,716 84,934 99,651 105,173
13 117 30 73,592 88,395 98,768 102,618
14 118 30 83,499 92,636 98,880 101,182
15 119 30 94,030 97,325 99,561 100,385
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
020406080
100120140160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suhu
(o C)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 17,25 s
Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3
Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 20000 W/m2oC
Gambar 4.5. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat
t = 15 detik dapat dilihat pada Gambar 4.6.
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
20
40
60
80
100
120
140
160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
h = 1000 W/m h = 2000 W/m h = 5000 W/mh = 10000 W/m h = 20000 W/m
Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3
Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, t = 15 s
Gambar 4.6. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q Yang Bervariasi
Harga energi pembangkitan pada benda 2 (benda di dalam) divariasi. Dengan
nilai koefisien perpindahan panas konveksi h = 5000 W/m2oC. Bahan A pada benda
adalah seng, sedangkan bahan B adalah baja karbon 0,5%C.
4.1.2.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 20 MW/m3
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.7. Perjalanan
suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.7.
Tabel 4.7. Hasil perhitungan dengan nilai •
q = 20 MW/m3
Suhu (oC) No Titik
t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 20,1 det
1 105 30 68,578 79,448 83,894 101,504
2 106 30 55,827 70,697 77,010 102,516
3 107 30 46,400 63,110 70,988 104,553
4 108 30 40,404 57,007 66,141 108,077
5 109 30 37,407 52,751 62,113 113,695
6 110 30 40,415 55,715 66,023 126,866
7 111 30 40,866 56,825 67,321 132,229
8 112 30 40,906 57,053 67,644 133,632
9 113 30 40,866 56,825 67,321 132,229
10 114 30 40,415 55,715 66,023 126,866
11 115 30 37,407 52,751 62,113 113,695
12 116 30 40,404 57,007 66,141 108,077
13 117 30 46,400 63,110 70,988 104,553
14 118 30 55,827 70,697 77,010 102,516
15 119 30 68,578 79,448 83,894 101,504
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 20,1 s
Ti = 30oC, T~ = 100oC, h = 5000 W/m2oCBahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 20 MW/m3
Gambar 4.7.Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu
4.1.2.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 50 MW/m3
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.8. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.8.
Tabel 4.8. Hasil perhitungan dengan nilai q = 50 MW/m3
Suhu (oC) No Titik
t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 12,05 det
1 105 30 69,229 83,103 89,850 103,836
2 106 30 56,986 76,390 86,098 106,406
3 107 30 48,765 72,077 84,647 111,563
4 108 30 45,116 71,053 86,460 120,466
5 109 30 46,221 74,390 92,762 134,645
6 110 30 55,879 91,747 114,508 167,881
7 111 30 57,157 96,592 121,782 181,350
8 112 30 57,264 97,450 123,339 184,828
9 113 30 57,157 96,592 121,782 181,350
10 114 30 55,879 91,747 114,508 167,881
11 115 30 46,221 74,390 92,762 134,645
12 116 30 45,116 71,053 86,460 120,466
13 117 30 48,765 72,077 84,647 111,563
14 118 30 56,986 76,390 86,098 106,406
15 119 30 69,229 83,103 89,850 103,836
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
020406080
100120140160180200
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 12,05 s
Ti = 30oC, T~ = 100oC, h = 5000 W/m2oCBahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 50 MW/m3
Gambar 4.8 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu
4.1.2.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 75 MW/m3
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.9. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.9.
Tabel 4.9. Hasil perhitungan dengan nilai q = 75 MW/m3
Suhu (oC) No Titik
t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 9,8 det
1 105 30 69,771 86,148 94,814 105,651
2 106 30 57,951 81,134 93,672 109,434
3 107 30 50,735 79,550 96,030 117,019
4 108 30 49,042 82,759 103,392 130,099
5 109 30 53,566 92,422 117,669 150,881
6 110 30 68,765 121,773 154,912 198,675
7 111 30 70,733 129,731 167,167 216,895
8 112 30 70,896 131,114 169,753 221,324
9 113 30 70,733 129,731 167,167 216,895
10 114 30 68,765 121,773 154,912 198,675
11 115 30 53,566 92,422 117,669 150,881
12 116 30 49,042 82,759 103,392 130,099
13 117 30 50,735 79,550 96,030 117,019
14 118 30 57,951 81,134 93,672 109,434
15 119 30 69,771 86,148 94,814 105,651
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
50
100
150
200
250
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 9,8 s
Ti = 30oC, T~ = 100oC, h = 5000 W/m2oCBahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 75 MW/m3
Gambar 4.9 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu
4.1.2.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 100 MW/m3
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.10. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.10.
Tabel 4.10. Hasil perhitungan dengan nilai q = 100 MW/m3
Suhu (oC) No Titik
t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 8,5 det
1 105 30 70,314 89,194 99,777 107,183
2 106 30 58,917 85,877 101,246 112,031
3 107 30 52,706 87,022 107,413 121,828
4 108 30 52,969 94,464 120,324 138,769
5 109 30 60,910 110,455 142,576 165,679
6 110 30 81,652 151,800 195,316 226,474
7 111 30 84,309 162,870 212,551 248,308
8 112 30 84,527 164,778 216,166 253,320
9 113 30 84,309 162,870 212,551 248,308
10 114 30 81,652 151,800 195,316 226,474
11 115 30 60,910 110,455 142,576 165,679
12 116 30 52,969 94,464 120,324 138,769
13 117 30 52,706 87,022 107,413 121,828
14 118 30 58,917 85,877 101,246 112,031
15 119 30 70,314 89,194 99,777 107,183
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
200
240
280
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 8,5 s
Ti = 30oC, T~ = 100oC, h = 5000 W/m2oCBahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 100 MW/m3
Gambar 4.10 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu
4.1.2.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan •
q = 125 MW/m3
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.11. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.11.
Tabel 4.11. Hasil perhitungan dengan nilai q = 125 MW/m3
Suhu (oC) No Titik
t = 0 det t = 2 det t = 5 det t = 7 det t = 7,65 det
1 105 30 70,856 92,239 104,741 108,627
2 106 30 59,883 90,621 108,819 114,486
3 107 30 54,676 94,495 118,795 126,393
4 108 30 56,895 106,170 137,257 147,021
5 109 30 68,255 128,487 167,484 179,784
6 110 30 94,538 181,826 235,721 252,596
7 111 30 97,884 196,010 257,936 277,419
8 112 30 98,159 198,442 262,579 282,841
9 113 30 97,884 196,010 257,936 277,419
10 114 30 94,538 181,826 235,721 252,596
11 115 30 68,255 128,487 167,484 179,784
12 116 30 56,895 106,170 137,257 147,021
13 117 30 54,676 94,495 118,795 126,393
14 118 30 59,883 90,621 108,819 114,486
15 119 30 70,856 92,239 104,741 108,627
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
50
100
150
200
250
300
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
t = 0 s t = 2 s t = 5 s t = 7 s t = 7,65 s
Ti = 30oC, T~ = 100oC, h = 5000 W/m2oCBahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, q = 125 MW/m3
Gambar 4.11 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu
Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat t = 7 detik
dapat dilihat pada Gambar 4.12.
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
50
100
150
200
250
300
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
q = 20 MW/m3 q = 50 MW/m3 q = 75 MW/m3q = 100 MW/m3 q = 125 MW/m3
Ti = 30oC, T~ = 100oC, h = 5000 W/m2oC,Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, t = 7 s
Gambar 4.12 Perjalanan suhu pada beberapa titik yang di tinjau dari waktu ke waktu
4.1.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan 1 Bervariasi
Bahan pada benda 2 (benda di dalam) harganya divariasi. Dengan nilai
koefisien perpindahan panas konveksi h = 5000 W/m2oC dan energi pembangkitannya
•
q = 20 MW/m3. Bahan B pada benda adalah baja karbon 0,5%C sedangkan bahan A
divariasi.
4.1.3.1. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Besi
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.12. Perjalanan
suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.13.
Tabel 4.12. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : Besi Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 24,5 det
1 105 30 84,416 90,047 94,299 100,974
2 106 30 73,917 83,310 90,518 101,871
3 107 30 63,997 76,868 87,182 103,577
4 108 30 54,898 70,952 84,583 106,563
5 109 30 46,991 65,971 83,158 111,457
6 110 30 50,501 70,632 90,056 123,690
7 111 30 51,528 72,390 92,702 128,919
8 112 30 51,702 72,818 93,374 130,334
9 113 30 51,528 72,390 92,702 128,919
10 114 30 50,501 70,632 90,056 123,690
11 115 30 46,991 65,971 83,158 111,457
12 116 30 54,898 70,952 84,583 106,563
13 117 30 63,997 76,868 87,182 103,577
14 118 30 73,917 83,310 90,518 101,871
15 119 30 84,416 90,047 94,299 100,974
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 24,5 s
Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3
Bahan A = Besi, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC
Gambar 4.13. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.3.2. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Nikel
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.13. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.14.
Tabel 4.13. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : nikel Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 23,05det
1 105 30 81,862 89,014 94,302 101,212
2 106 30 72,042 83,050 91,320 102,162
3 107 30 63,007 77,549 88,942 104,017
4 108 30 55,030 72,783 87,503 107,256
5 109 30 48,482 69,184 87,480 112,532
6 110 30 52,772 74,988 96,145 126,747
7 111 30 54,108 77,249 99,581 132,929
8 112 30 54,350 79,819 100,474 134,624
9 113 30 54,108 77,249 99,581 132,929
10 114 30 52,772 74,988 96,145 126,747
11 115 30 48,482 69,184 87,480 112,532
12 116 30 55,030 72,783 87,503 107,256
13 117 30 63,007 77,549 88,942 104,017
14 118 30 72,042 83,050 91,320 102,162
15 119 30 81,862 89,014 94,302 101,212
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
Titik
Suhu
(o C)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 23,05
Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3
Bahan A = Nikel, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC
Gambar 4.14. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.3.3. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Seng
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.14. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.15.
Tabel 4.14. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : seng Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 20,1 det
1 105 30 79,448 89,125 95,948 103,504
2 106 30 70,697 84,538 94,431 102,516
3 107 30 63,110 80,723 93,779 104,553
4 108 30 57,007 77,998 94,368 108,077
5 109 30 52,751 76,778 96,687 113,695
6 110 30 55,715 81,267 105,118 126,866
7 111 30 56,825 82,933 108,215 132,229
8 112 30 56,994 82,576 106,765 144,922
9 113 30 56,825 82,933 108,215 132,229
10 114 30 55,715 81,267 105,118 126,866
11 115 30 52,751 76,778 96,687 113,695
12 116 30 57,007 77,998 94,368 108,077
13 117 30 63,110 80,723 93,779 104,553
14 118 30 70,697 84,538 94,431 102,516
15 119 30 79,448 89,125 95,948 103,504
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
Titik
Suhu
(o C)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 20,1 s
Ti = 30 oC, T = 100 oC, q = 20 MW/ m3
Bahan A = Seng, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC
Gambar 4.15. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.3.4. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Magnesium
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.15. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.16.
Tabel 4.15. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : magnesium Suhu (oC)
No Titik t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 17,85 det
1 105 30 74,419 88,724 98,097 102,162
2 106 30 67,660 85,915 97,992 103,250
3 107 30 62,740 84,383 99,084 105,553
4 108 30 60,007 84,465 101,746 109,474
5 109 30 59,761 86,523 106,432 115,530
6 110 30 59,629 89,233 115,475 128,394
7 111 30 59,834 89,715 118,315 133,081
8 112 30 59,907 89,780 118,911 134,197
9 113 30 59,834 89,715 118,315 133,081
10 114 30 59,629 89,233 115,475 128,394
11 115 30 59,761 86,523 106,432 115,530
12 116 30 60,007 84,465 101,746 109,474
13 117 30 62,740 84,383 99,084 105,553
14 118 30 67,660 85,915 97,992 103,250
15 119 30 74,419 88,724 98,097 102,162
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
40
80
120
160
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 17,85 s
Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3
Bahan A = Magnesium, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC
Gambar 4.16. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.1.3.5. Distribusi Suhu Pada Benda Dengan Bahan Aluminium
Hasil perhitungan yang diperoleh, ditunjukkan pada Tabel 4.16. Perjalanan suhu pada titik 105 sampai 119 dapat dilihat pada Gambar 4.17.
Tabel 4.16. Hasil perhitungan untuk bahan bagian luar : aluminium
Suhu (oC) No Titik
t = 0 det t = 5 det t = 10 det t = 15 det t = 15,45det
1 105 30 72,425 90,525 103,170 104,104
2 106 30 66,663 89,052 104,723 105,881
3 107 30 63,446 89,775 108,297 109,665
4 108 30 63,514 93,431 114,609 116,175
5 109 30 67,961 101,145 124,774 126,523
6 110 30 114,785 150,224 175,330 177,188
7 111 30 139,574 176,450 202,469 204,396
8 112 30 142,285 184,655 210,983 212,933
9 113 30 139,574 176,450 202,469 204,396
10 114 30 114,785 150,224 175,330 177,188
11 115 30 67,961 101,145 124,774 126,523
12 116 30 63,514 93,431 114,609 116,175
13 117 30 63,446 89,775 108,297 109,665
14 118 30 66,663 89,052 104,723 105,881
15 119 30 72,425 90,525 103,170 104,104
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
50
100
150
200
250
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
t = 0 s t = 5 s t = 10 s t = 15 s t = 15,45 s
Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3
Bahan A = Aluminium, Bahan B = Baja karbon 0,5%C, h = 5000 W/m2oC
Gambar 4.17. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
Perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada titik 105 sampai 119 pada saat t =
15 detik dapat dilihat pada Gambar 4.18
Grafik Nilai Suhu dari Waktu ke Waktu pada Beberapa Titik
0
50
100
150
200
250
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Titik
Suh
u (o C
)
Besi - Baja karbon 0,5%C Nikel - Baja karbon 0,5%CSeng - Baja karbon 0,5%C Magnesium - Baja karbon 0,5%CAluminium - Baja karbon 0,5%C
Ti = 30oC, T~ = 100oC, q = 20 MW/m3, h = 5000 W/m2oC, t = 15 s
Gambar 4.18. Perjalanan suhu pada beberapa titik yang ditinjau dari waktu ke waktu
4.2. Pembahasan
4.2.1. Distribusi Suhu Dengan Variasi Nilai h
Dari Gambar 4.6. dapat dilihat perjalanan suhu pada beberapa titik
(titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan nilai koefisien perpindahan
panas konveksi (h) yang berbeda. Untuk nilai h yang lebih besar, suhu yang
dihasilkan lebih tinggi daripada suhu dengan nilai h yang lebih kecil. Semakin
besar nilai h maka suhu semakin tinggi dan suhu semakin cepat menyesuaikan
lingkungan di sekitarnya (pada proses pemanasan). Hal ini dapat di lihat dalam
tabel 4.17. dan 4.18.
Tabel 4.17. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100oC , komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan •
q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC Suhu (oC)
Titik h = 1000 W/m2oC
h = 2000 W/m2oC
h = 5000 W/m2oC
h = 10000 W/m2oC
h = 20000 W/m2oC
105 78,691 87,791 95,948 98,589 99,561
106 77,452 86,110 94,431 97,508 98,880
107 77,714 85,644 93,779 97,109 98,768
108 79,807 86,740 94,368 97,798 99,651
109 84,249 89,898 96,687 100,064 102,028
110 97,570 100,778 105,118 107,579 109,146
111 103,617 105,479 108,215 109,910 111,055
112 105,309 106,765 106,765 110,402 111,385
113 103,617 105,479 108,215 109,910 111,055
114 97,570 100,778 105,118 107,579 109,146
115 84,249 89,898 96,687 100,064 102,028
116 79,807 86,740 94,368 97,798 99,651
117 77,714 85,644 93,779 97,109 98,768
118 77,452 86,110 94,431 97,508 98,880
119 78,691 87,791 95,948 98,589 99,561
Tabel 4.18. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC, komposisi
bahan seng – baja karb0n 0,5%C, dan •
q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC No h (W/m2oC) Waktu (detik) 1 1000 26,75 2 2000 23,6 3 5000 20,1 4 10000 18,3 5 20000 17,25
4.2.2. Distribusi Suhu Dengan Variasi Nilai •
q Dari Gambar 4.12. kita dapat melihat perjalanan suhu pada beberapa titik
(titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan energi pembangkitan (•
q ) yang
berbeda. Untuk nilai •
q yang lebih besar, suhu yang dihasilkan lebih tinggi daripada
suhu dengan nilai •
q yang lebih kecil. Semakin besar nilai •
q maka suhu yang dihasilkan semakin tinggi. Hal ini dapat di lihat dalam tabel 4.19.dan 4.20. Tabel 4.19. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 7 detik, suhu titik di sudut benda mencapai 100oC, komposisi bahan seng – baja karbon 0,5%C, dan h = 5000 W/m2oC, Ti = 30oC, ∞T = 100oC
Suhu (oC) Titik •
q = 20 MW/m3
•
q = 50 MW/m3
•
q = 75 MW/m3
•
q = 100 MW/m3
•
q = 125 MW/m3
105 83,894 89,850 94,814 99,777 104,741
106 77,010 86,098 93,672 101,246 108,819
107 70,988 84,647 96,030 107,413 118,795
108 66,141 86,460 103,392 120,324 137,257
109 62,113 92,762 117,669 142,576 167,484
110 66,023 114,508 154,912 195,316 235,721
111 67,321 121,782 167,167 212,551 257,936
112 67,644 123,339 169,753 216,166 262,579
113 67,321 121,782 167,167 212,551 257,936
114 66,023 114,508 154,912 195,316 235,721
115 62,113 92,762 117,669 142,576 167,484
116 66,141 86,460 103,392 120,324 137,257
117 70,988 84,647 96,030 107,413 118,795
118 77,010 86,098 93,672 101,246 108,819
119 83,894 88,332 94,814 99,777 104,741
Tabel 4.20. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC, komposisi bahan seng - aluminium, dan h = 5000 W/m2oC, Ti = 30oC, ∞T = 100oC
No •
q (MW/m3) Waktu (detik) 1 20 20,1 2 50 12,05 3 75 9,8 4 100 8,5 5 125 765
4.2.3. Distribusi Suhu Dengan Variasi Bahan Pada Bagian Luar
Dari Gambar 4.18. kita dapat melihat perjalanan suhu pada beberapa titik
(titik 105 sampai 119) dari waktu ke waktu dengan koefisien perpindahan panas
konduksi (k) yang berbeda. Untuk nilai k (bahan yang di bagian luar) yang lebih
besar, suhu yang dihasilkan lebih tinggi daripada suhu dengan nilai k yang lebih
kecil. Semakin besar nilai k maka suhu semakin tinggi. Hal ini dapat di lihat
dalam tabel 4.21. dan 4.22.
Tabel 4.21. perjalanan suhu dari waktu ke waktu pada saat t = 15 detik, suhu titik di
sudut benda mencapai 100oC, h = 5000W/m2oC, dan •
q = 20 MW/m3, Ti = 30oC,
∞T = 100oC Suhu (oC)
Titik Besi – Baja karbon
0,5% C
Nikel – Baja karbon
0,5% C
Seng – Baja karbon
0,5% C
Magnesium- Baja karbon
0,5% C
Aluminium- Baja karbon 0,5% C
105 94,299 94,302 95,948 98,097 103,170
106 90,518 91,320 94,431 97,992 104,723
107 87,182 88,942 93,779 99,084 108,297
108 84,583 87,503 94,368 101,746 114,609
109 83,158 87,480 96,687 106,432 124,774
110 90,056 96,145 105,118 115,475 175,330
111 92,702 99,581 108,215 118,315 202,469
112 93,374 100,474 106,765 118,911 210,983
113 92,702 99,581 108,215 118,315 202,469
114 90,056 96,145 105,118 115,475 175,330
115 83,158 87,480 96,687 106,432 124,774
116 84,583 87,503 94,368 101,746 114,609
117 87,182 88,942 93,779 99,084 108,297
118 90,518 91,320 94,431 97,992 104,723
119 94,299 94,302 95,948 98,097 103,170
Tabel 4.22. waktu yang diperlukan titik sudut benda mencapai 100oC,
h = 5000W/m2oC, dan •
q = 20 MW/m3, Ti = 30oC, ∞T = 100oC No Bahan Waktu (detik) 1 Besi - Baja karbon 0,5%C 24,5 2 Nikel – Baja karbon 0,5%C 23,05 3 Seng – Baja karbon 0,5%C 20,1 4 Magnesium – Baja karbon 0,5%C 17,85 5 Aluminium - Baja karbon 0,5%C 15,45
BAB V
PENUTUP
5.1. KESIMPULAN
Dari hasil perhitungan untuk beberapa kasus yang ditinjau ,diperoleh kesimpulan :
1. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konveksi (h) maka suhu di
dalam benda semakin tinggi (proses pemanasan) dan suhu semakin cepat
menyesuaikan dengan lingkungan sekitar.
2. Semakin besar nilai energi pembangkitan (•
q ) maka suhu di dalam benda
semakin tinggi.
3. Semakin besar nilai koefisien perpindahan panas konduksi (k) pada bahan di
bagian luar maka suhu di dalam benda semakin tinggi.
5.2. SARAN
Untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat dapat dilakukan dengan
memperbanyak node ( x∆ diperkecil )
DAFTAR PUSTAKA
Cangel, Yunus A. 1998. Heat Transfer A Practical Approach. USA. McGraw-Hill Companies.
Holman, J.P. 1988. Perpindahan Kalor. Jakarta. Erlangga.
Kreith, F. 1986. Prinsip-Prinsip Perpindahan Panas. Jakarta. Erlangga.
1. ( ) noo
nno
n TBiFFBiTTTFT 01151
0 441)2(2 −−+++= ∞+
2. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 121601
1 241)22( −−++++= ∞+
3. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 231711
2 241)22( −−++++= ∞+
4. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 341821
3 241)22( −−++++= ∞+
5. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 451931
4 241)22( −−++++= ∞+
6. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 562041
5 241)22( −−++++= ∞+
7. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 672151
6 241)22( −−++++= ∞+
8. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 782261
7 241)22( −−++++= ∞+
9. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 892371
8 241)22( −−++++= ∞+
10. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 9102481
9 241)22( −−++++= ∞+
11. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 10112591
10 241)22( −−++++= ∞+
12. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 111226101
11 241)22( −−++++= ∞+
13. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 12226111
12 241)22( −−++++= ∞+
14. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 131428121
13 241)22( −−++++= ∞+
15. ( ) noo
nno
n TBiFFBiTTTFT 1413291
14 441)2(2 −−+++= ∞+
16. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 15301601
15 241)22( −−++++= ∞+
17. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1617311511
16 41)( −++++=+
18. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1718321621
17 41)( −++++=+
19. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1819331731
18 41)( −++++=+
20. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1920341841
19 41)( −++++=+
21. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2021351951
20 41)( −++++=+
22. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2122362061
21 41)( −++++=+
23. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2223372171
22 41)( −++++=+
24. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2324382281
23 41)( −++++=+
25. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2425392391
24 41)( −++++=+
26. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 25264024101
24 41)( −++++=+
27. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 26274125111
25 41)( −++++=+
28. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 27284226121
27 41)( −++++=+
29. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 28294327131
28 41)( −++++=+
30. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 294428141
29 241)22( −−++++= ∞+
31. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 304546151
30 241)22( −−++++= ∞+
32. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 31324630161
31 41)( −++++=+
33. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 32334731171
32 41)( −++++=+
34. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 33344832181
33 41)( −++++=+
35. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 34354933191
34 41)( −++++=+
36. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 35365034201
35 41)( −++++=+
37. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 36375135211
36 41)( −++++=+
38. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 37385236221
37 41)( −++++=+
39. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 38395337231
38 41)( −++++=+
40. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 39405438241
39 41)( −++++=+
41. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 40415539251
40 41)( −++++=+
42. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 41425640261
41 41)( −++++=+
43. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 42435741271
42 41)( −++++=+
44. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 43445842281
43 41)( −++++=+
45. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 445943291
44 241)22( −−++++= ∞+
46. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 456046301
45 241)22( −−++++= ∞+
47. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 46476145311
46 41)( −++++=+
48. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 47486246321
47 41)( −++++=+
49. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 48496347331
48 41)( −++++=+
50. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 49506448341
49 41)( −++++=+
51. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 50516549351
50 41)( −++++=+
52. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 51526650361
51 41)( −++++=+
53. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 52536751371
52 41)( −++++=+
54. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 53546852381
53 41)( −++++=+
55. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 54556953391
54 41)( −++++=+
56. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 55567054401
55 41)( −++++=+
57. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 56577155411
56 41)( −++++=+
58. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 57587256421
57 41)( −++++=+
59. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 58597357431
58 41)( −++++=+
60. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 597458441
59 241)22( −−++++= ∞+
61. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 607561451
60 241)22( −−++++= ∞+
62. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 61627660461
61 41)( −++++=+
63. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 62637761471
62 41)( −++++=+
64. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 63647862481
63 41)( −++++=+
65. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkkTkTktT 642
2211
212
2211
2792165214916311
64 )3()3(4
1)3(
)(2)(244⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
66. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 652
2211
212
2211
2662180264215011
65 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
67. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 662
2211
212
2211
2672181265215111
66 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
68. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 672
2211
212
2211
2682182266215211
67 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
69. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 682
2211
212
2211
2692183267215311
68 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
70. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 692
2211
212
2211
2702184268215411
69 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
71. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkkTkTktT 702
2211
212
2211
2712185216915511
70 )3()3(4
1)3(
)(2)(244⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
72. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 71728670561
71 41)( −++++=+
73. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 72738771571
72 41)( −++++=+
74. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 73748872581
73 41)( −++++=+
75. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 748988591
74 241)22( −−++++= ∞+
76. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 759076601
75 241)22( −−++++= ∞+
77. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 76779175611
76 41)( −++++=+
78. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 77789276621
77 41)( −++++=+
79. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 78799377631
78 41)( −++++=+
80. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 792
2211
212
2211
2942180264217811
79 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
81. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 80
2
2
819579651
80 41)( −+++++=+
82. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 81
2
2
829680661
81 41)( −+++++=+
83. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 82
2
2
839781671
82 41)( −+++++=+
84. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 83
2
2
849882681
83 41)( −+++++=+
85. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 84
2
2
859983691
84 41)( −+++++=+
86. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 852
2211
212
2211
21002184270218611
85 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
87. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 868710185711
86 41)( −++++=+ 88. ( ) n
onnnn
on TFTTTTFT 87881028672
187 41)( −++++=+
89. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 888910387731
88 41)( −++++=+
90. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 8910488741
89 241)22( −−++++= ∞+
91. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 9010591751
90 241)22( −−++++= ∞+
92. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 919210690761
91 41)( −++++=+
93. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 929310791771
92 41)( −++++=+
94. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 939410892781
93 41)( −++++=+
95. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 942
2211
212
2211
21092195279219311
94 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
96. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 95
2
2
1109680941
95 41)( −+++++=+
97. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 96
2
2
1119781951
96 41)( −+++++=+
98. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 97
2
2
1129882961
97 41)( −+++++=+
99. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 98
2
2
1139983971
98 41)( −+++++=+
100. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 99
2
2
11410084981
99 41)( −+++++=+
101. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1002
2211
212
2211
211521992852110111
100 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ 102. ( ) n
onnnn
on TFTTTTFT 10110211610086
1101 41)( −++++=+
103. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 102103117101871
102 41)( −++++=+
104. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 103104118102881
103 41)( −++++=+
105. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 104119103891
104 241)22( −−++++= ∞+
106. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 105120106901
105 241)22( −−++++= ∞+
107. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 106107121105911
106 41)( −++++=+
108. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 107108122106921
107 41)( −++++=+
109. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 108109123107931
108 41)( −++++=+
110. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1092
2211
212
2211
2124211102942110811
109 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
111. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 110
2
2
111125109951
110 41)( −+++++=+
112. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 111
2
2
112126110961
111 41)( −+++++=+
113. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 112
2
2
113127111971
112 41)( −+++++=+
114. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 113
2
2
114128112981
113 41)( −+++++=+
115. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 114
2
2
115129113991
114 41)( −+++++=+
116. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1152
2211
212
2211
21302111421002111611
115 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ 117. ( ) n
onnnn
on TFTTTTFT 116117131115101
1116 41)( −++++=+
118. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1171181321161021
117 41)( −++++=+
119. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1181191331171031
118 41)( −++++=+
120. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1191341181041
119 241)22( −−++++= ∞+
121. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1201351211051
120 241)22( −−++++= ∞+
122. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1211221361201061
121 41)( −++++=+
123. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1221231371211071
122 41)( −++++=+
124. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1231241381221081
123 41)( −++++=+
125. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1242
2211
212
2211
21392112521092112311
124 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
126. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 125
2
2
1261401241101
125 41)( −+++++=+
127. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 126
2
2
1271411251111
126 41)( −+++++=+
128. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 127
2
2
1281421261121
127 41)( −+++++=+
129. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 128
2
2
1291431271131
128 41)( −+++++=+
130. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 129
2
2
1301441281141
129 41)( −+++++=+
131. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1302
2211
212
2211
21452112921152113111
130 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ 132. ( ) n
onnnn
on TFTTTTFT 131132146130116
1131 41)( −++++=+
133. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1321331471311171
132 41)( −++++=+
134. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1331341481321181
133 41)( −++++=+
135. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1341491331191
134 241)22( −−++++= ∞+
136. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1351501361201
135 241)22( −−++++= ∞+
137. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1361371511351211
136 41)( −++++=+
138. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1371381521361221
137 41)( −++++=+
139. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1381391531371231
138 41)( −++++=+
140. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1392
2211
212
2211
21542114021242113811
139 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
141. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 140
2
2
1411551391251
140 41)( −+++++=+
142. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 141
2
2
1421561401261
141 41)( −+++++=+
143. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 142
2
2
1431571411271
142 41)( −+++++=+
144. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 143
2
2
1441581421281
143 41)( −+++++=+
145. ( ) no
nnnno
n TFkqlTTTTFT 144
2
2
1451591431291
144 41)( −+++++=+
146. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1452
2211
212
2211
21602114421302114611
145 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ 147. ( ) n
onnnn
on TFTTTTFT 146147161145131
1146 41)( −++++=+
148. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1471481621461321
147 41)( −++++=+
149. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1481491631471331
148 41)( −++++=+
150. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1491641481341
149 241)22( −−++++= ∞+
151. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1501651511351
150 241)22( −−++++= ∞+
152. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1511521661501361
151 41)( −++++=+
153. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1521531671511371
152 41)( −++++=+
154. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1531541681521381
153 41)( −++++=+
155. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkkTkTktT 1542
2211
212
2211
21552113921169115311
154 )3()3(4
1)3(
)(2)(244⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
156. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1552
2211
212
2211
21562114021542117011
155 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
157. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1562
2211
212
2211
21572114121552117111
156 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
158. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1572
2211
212
2211
21582114221562117211
157 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
159. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1582
2211
212
2211
21592114321572117311
158 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
160. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkTkkTktT 1592
2211
212
2211
21602114421582117411
159 )()(4
1)(
)(2)(2⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ
161. nnnnn
n Tlcc
kktlcc
qlTkkTkkTkTktT 1602
2211
212
2211
21592114521175116111
160 )3()3(4
1)3(
)(2)(244⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++∆
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+++++++
∆=+
ρρρρ 162. ( ) n
onnnn
on TFTTTTFT 161162176160146
1161 41)( −++++=+
163. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1621631771611471
162 41)( −++++=+
164. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1631641781621481
163 41)( −++++=+
165. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1641791631491
164 241)22( −−++++= ∞+
166. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1651801661501
165 241)22( −−++++= ∞+
167. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1661671811651511
166 41)( −++++=+
168. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1671681821661521
167 41)( −++++=+
169. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1681691831671531
168 41)( −++++=+
170. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1691701841681541
169 41)( −++++=+
171. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1701711851691551
170 41)( −++++=+
172. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1711721861701561
171 41)( −++++=+
173. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1721731871711571
172 41)( −++++=+
174. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1731741881721581
173 41)( −++++=+
175. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1741751891731591
174 41)( −++++=+
176. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1751761901741601
175 41)( −++++=+
177. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1761771911751611
176 41)( −++++=+
178. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1771781921761621
177 41)( −++++=+
179. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1781791931771631
178 41)( −++++=+
180. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1791941781641
179 241)22( −−++++= ∞+
181. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1801951811651
180 241)22( −−++++= ∞+
182. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1811821961801661
181 41)( −++++=+
183. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1821831971811671
182 41)( −++++=+
184. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1831841981821681
183 41)( −++++=+
185. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1841851991831691
184 41)( −++++=+
186. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1851862001841701
185 41)( −++++=+
187. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1861872011851711
186 41)( −++++=+
188. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1871882021861721
187 41)( −++++=+
189. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1881892031871731
188 41)( −++++=+
190. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1891902041881741
189 41)( −++++=+
191. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1901912051891751
190 41)( −++++=+
192. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1911922061901761
191 41)( −++++=+
193. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1921932071911771
192 41)( −++++=+
194. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1931942081921781
193 41)( −++++=+
195. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1942091931791
194 241)22( −−++++= ∞+
196. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 1952101961801
195 241)22( −−++++= ∞+
197. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1961972111951811
196 41)( −++++=+
198. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1971982121961821
197 41)( −++++=+
199. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1981992131971831
198 41)( −++++=+
200. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 1992002141981841
199 41)( −++++=+
201. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2002012151991851
200 41)( −++++=+
202. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2012022162001861
201 41)( −++++=+
203. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2022032172011871
202 41)( −++++=+
204. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2032042182021881
203 41)( −++++=+
205. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2042052192031891
204 41)( −++++=+
206. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2052062202041901
205 41)( −++++=+
207. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2062072212051911
206 41)( −++++=+
208. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2072082222061921
207 41)( −++++=+
209. ( ) no
nnnno
n TFTTTTFT 2082092232071931
208 41)( −++++=+
210. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2092242081941
209 241)22( −−++++= ∞+
211. ( ) noo
nno
n TBiFFBiTTTFT 2102111951
210 441)2(2 −−+++= ∞+
212. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2112121962101
211 241)22( −−++++= ∞+
213. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2122131972111
212 241)22( −−++++= ∞+
214. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2132141982121
213 241)22( −−++++= ∞+
215. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2142151992131
214 241)22( −−++++= ∞+
216. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2152162002141
215 241)22( −−++++= ∞+
217. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2162172012151
216 241)22( −−++++= ∞+
218. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2172182022161
217 241)22( −−++++= ∞+
219. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2182192032171
218 241)22( −−++++= ∞+
220. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2192202042181
219 241)22( −−++++= ∞+
221. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2202212052191
220 241)22( −−++++= ∞+
222. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2212222062201
221 241)22( −−++++= ∞+
223. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2222232072211
222 241)22( −−++++= ∞+
224. ( ) noo
nnno
n TBiFFBiTTTTFT 2232242082221
223 241)22( −−++++= ∞+
225. ( ) noo
nno
n TBiFFBiTTTFT 2242232091
224 441)2(2 −−+++= ∞+