HAMPIRAN NUMERIK FUNGSI(PENGEPASAN KURVA)

PERTEMUAN 6

Matakuliah : METODE NUMERIK ITahun : 2008

Bina Nusantara

Hampiran numerik fungsi Hampiran numerik fungsi (Interpolasi dan Regressi)(Interpolasi dan Regressi)

Pengepasan Kurva (Curva Fitting)Pengepasan Kurva (Curva Fitting)

Tujuan: Tujuan: • Mencari pola hubungan variabel x dan Mencari pola hubungan variabel x dan

variabel y berupa kurva mulus y=f(x) yang variabel y berupa kurva mulus y=f(x) yang paling tepatpaling tepat

• Memperkirakan nilai y* jika ditentukan x* Memperkirakan nilai y* jika ditentukan x* sebagai pasangan dari y* sebagai pasangan dari y*

Bina Nusantara

Metode Pengepasan Kurva

Bina Nusantara

Interpolasi Linier. Mencari interpolasi antara dua titik xi dan xi+1 dibuat

sebuah garis lurus di antara kedua titik tersebut seperti pada gambar berikut

Bentuk Umum polinomial derajat n adalah f(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + a2xn

Bina Nusantara

Persamaan garis ditentukan dengan formula berikut:

Contoh:Persamaan garis yang melalui titik P(1,2) dan Q (4,4) adalah

atau y = 2/3x + 4/3

iiiii

i yyyxx

xxy

)()(

)(1

1

2)24()14(

)1(

x

y

Bina Nusantara

Menentukan polinomial melalui 3 titikContoh:Tentukan persamaan garis melalui

Bentuk 3 polinomial f(x) menggunakan polinomial derajat 2

2,5 = a0 + a1 (1,0) + a2 (1,0)

10 = a0 + a1 (2,0) + a2 (2,0)

25 = a0 + a1 (3,0) + a2 (3,0)

x 1,0 2,0 3,0

f(x) 2,5 10 25

a0, a1 dan a2 tidak diketahui

SPL dengan 3 persamaan

Bina Nusantara

Selesaikan SPL

Dalam bentuk matrik

Menggunakan salah satu metode yang adaDiperoleh persamaan f(x) = 2,5 - 3,75X +

3,75X2

Bina Nusantara

Bina Nusantara

Interpolasi Lagrange

Dibentuk fungsi

dimana

Bina Nusantara

Menggunakan data sebelumnya diperoleh persamaan polinomial lagrange

Bina Nusantara

Bina Nusantara

Bina Nusantara

Bina Nusantara

Bina Nusantara

Bentuk Umum: y(x)=f(xi)= a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn

Koefisien a0, a1, a2, …,an dapat dihitung dengan menentukan

dimana,...0,0,0210

a

J

a

J

a

J

Bina Nusantara

Sehingga SPL berikut dapat diselesaikan untuk mendapatkan

koefisien a0, a1, a2, dst

imim

mi

mi

mi

mi

iimmiiii

immiii

yxaxaxaxax

yxaxaxaxax

yaxaxaxna

)(...)()()(

.....................

.....................

.....................

)(...)()()(

)(...)()(

23

21

10

13

31

20

22

10

Bina Nusantara

Contoh : Nyatakan y sebagai fungsi dari x dari data-data berikut ini

Bina Nusantara

Bina Nusantara

Bina Nusantara

y2 = a0 + a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1)

))((

)(

))((

)(

1202

0201

0102

1202

021022 xxxx

xxxxyy

yy

xxxx

xxaaya

Koefisien diperoleh dari data

Hitung ak menggunakan tabel Divided Difference

Polynomial Newton

Bina Nusantara

Tabel Divided Differencex0 y0 a0

a1

x1 y1 a2

x2 y2 a3

x3 y3

01

010 xx

yyF

12

121 xx

yyF

23

232 xx

yyF

02

010 xx

FFS

13

121 xx

FFS

03

010 xx

SST

Bina Nusantara

Contoh Divided Difference0 0 a0

a1

10 10 a2

20 40 a3

30 100

1010

0100

F

31020

10401

F

62030

401002

F

1.020

130

S

15.1030

361

S

600

1

030

15.2.0

T

Bina Nusantara

Contoh Divided Difference• Divided difference table gives a0 = 0, a1 = 1, a2

= .1, and a3 = 1/600

• Polynomial p(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2) = 0 + 1(x – 0) + 0.1(x – 0)(x – 10) + (1/600)(x – 0)(x – 10)(x – 20) = x + 0.1x(x – 10) + (1/600)x(x – 10)(x – 20)

• Check p(30) = 30 + .1(30)(20) + (1/600) (30)(20)(10) = 30 + 60 + 10 = 100 (correct)

Bina Nusantara

Constant Step Size

• Divided differences work for equal or unequal step size in x

• If x = h is a constant we have simpler results

– Fk = Dyk/h = (yk+1 – yk)/h– Sk = D2yk/h2 = (yk+2 – 2yk-1 + yk)/h2

– Tk = D3yk/h3 = (yk+3 – 3yk+2 + 3yk+1 – yk)/h3

– Dnyk is called the nth forward difference– Can also define backwards and central differences

Bina Nusantara

Newton Interpolating Polynomial

-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

X Values

Y V

alues

Polynomial

Data

Bina Nusantara

Soal Latihan