6. LINGKARAN

LINGKARAN

Disusun(Text ,Gambar dan Animation)

Oleh : R.SITIO

I. UNSUR-UNSUR LINGKARAN.(i). Unsur lingkaran yang berbentuk titik dan garis• Titik pusat : setiap lingkaran memiliki 1 titik pusat (titik P)• Keliling Lingkaran (lingkarannya)• Garis Tengah (Diameter) = d (misalnya Garis AB , Grs CD , dsb)• Jari-jari (Radius) = r (misalnya Garis AP , Garis EP , dsb)• Busur (misalnya Garis lengkung AD , dll)• Tali busur (misalnya Garis lurus AD , garis Lurus AC , dll)

A B

C

D

E

rP

rCatatan :1. Diameter selalu dua kali

panjang Jari-jari :

d = 2r2. PF saling tegak lurus dengan

tali busur AD, maka AG = GDF

G

(ii). Unsur Lingkaran yang berbentuk Daerah dan Sudut.• Juring Lingkaran (misalnya : daerah yang diarsir BPC , dll)• Tembereng (misalnya daerah yang dibatasi Busur AC dan Tali Busur AB , dll)• Sudut Pusat : misalnya Sudut BPE , dll• Sudut Keliling : misalnya Sudut ACP , dll

A B

D

C

Juring Lingkaran

Tembereng

P

E

Pendekatan nilai π (pi)Pi (π) adalah bilangan yang nilainya tertentu. Berapa nilainya? Kita akan bahas seperti berikut ini!Lingkaran dengan jari-jari 2 cm atau diameter = 4 cm ,digelindingkan satu kali berputar. Jarak yang ditempuhkurang lebih 12,57 cm , sebagai berikut ini :

±12,57 cmr = 2

Maka keliling lingkaran itu adalah sekitar 12,57 cmDengan demikian : Keliling lingkaran

diameternya12,57 cm

4 cm= = 3,1425

Keliling lingkaran dibagi diameternya = 3,1425

Nilai tersebut mendekati nilai sebenarnya , yaitu :

= 3,1415926535897932384626433832795 ….

Pada kehidupan sehari-hari nilai yang dipakai adalah

pembulatan sampai 2 desimal.

Jadi : = • Pada perhitungan yang kita akan gunakan nilai = 3,14 atau = 22

7

Keliling LingkaranDiameternya

II. KELILING DAN LUAS LINGKARANA. KELILING LINGKARANKita telah mengetahui bahwa : =

Maka Keliling Lingkaran = x diameternya.Dengan demikian rumus untuk menghitung Keliling lingkaran adalah :

K = d atau K = 2r

Keterangan : K = Keliling Lingkarand = diameter lingkaran tersebutr = Jari-jari lingkaran

= 3,14 atau =227

Keliling LingkaranDiameternya

Contoh 1 :Hitunglah keliling lingkaran dengan jari-jari :a. 15 cm b. 28 cmJawab :a. K = 2 r

K = 2 x 3,14 x 15 cmK = 94,2 cm

Jadi Keliling = 94,2 cm

b. K = 2 rK = 2 x 22/7 x 28 cmK = 176 cm

Jadi Keliling = 176 cm

Contoh 2 :Diketahui taman berbentuk lingkaran dengan keliling = 282,6 m. Tentukanlah panjang diameternya!( = 3,14)

Penyelesaian :

Dik. : K = 282,6 m , = 3,14Dit. : d = …?

Jawab : K = d

282,6 m = 3,14d d = 282,6 m : 3,14 = 90 m

Maka Diameternya = 90 m

Contoh 3 :

Sebuah roda dengan diameter 65 cm digelindingkandilantai. Jika roda itu berputar sebanyak 8 kali , tentukan panjang lintasannya.

Penyelesaian :Dik. : Roda dengan d = 65 cm

banyak putaran = 8 kaliDit. : Panjang lintasan = …?

Jawab :Panjang lintasan = 8 x K

= 8 x d = 8 x 3,14 x 65 cm= 1632,8 cm

Maka Lintasan Roda itu = 1632,8 cm = 16,328 m

Contoh 4 :Perhatikan gambar di kanan ini!Panjang Radius = r = 63 cm ,∠AOB = 1200. Tentukan Panjang Busur pandek AB!

Penyelesaian :Dik. : r = 63 cm

Sudut Pusat = 1200

Dit. : Panjang busur pendek AB = … cm?Jawab :Panjang busur pendek AB =

= 1/3 x 2 r

= 1/3 x 2 x 22/7 x 63

= 132 cm

1200

OA

B

63 cm

Busur pendek AB

1200

3600 x KJadi Panjang Busur Pendek AB = 132 cm

Contoh 5 :Pada gambar di kanan ini ,diketahui diameter roda kecil (i) = 30 cm dan diameter roda besar (ii) = 50 cm.Jika Roda kecil berputar 20 kali , berapa kali putaran roda besar?

Penyelesaian :Dik. : r(i) = 30 cm , r(ii) = 50 cm dan Roda (i) berputar = 20 kaliDit. : Roda (ii) berputar = … kali ?

Jawab :Misalkan roda (ii) berputar = n kali , maka :

nK(ii) = 20K(i)

n x 157 = 20 x 94,2n x 157 = 1884n = 1884 : 157 = 12

K(i) = d = 3,14 x 30 = 94,2

K(ii) = 3,14 x 50 = 157

(i) (ii)

Jadi roda besar (roda (ii) berputar 12 kali

B. LUAS LINGKARAN• Luas Lingkaran dan Luas Persegi panjang.

Luas Lingkaran = Luas Persegi Panjang ABCD = Panjang x Lebar= 1/2K x r= r x r = r2

Panjang = ½K

Leba

r =

r

r

A B

CD

Untuk setiap lingkaran luasnya dapat dihitungdengan rumus :

L = r2 L = Luas Lingkaran

r = Jari-jari (radius) lingkaran = 1/2diameter = 3,14 atau = 22/7

Contoh 1 :

Hitunglah Luas lingkaran jika diameternya :

a. 20 cm

b. 42 dm

Penyelesaian Contoh 1 :

a. Dik. : d = 20 cm

↔ r = 10 cm

Dit. : L = …?

Jawab :

L = r2

L = 3,14 x (10 cm)2

= 3,14 x 100 cm2

= 314 cm2

b. Dik. : d = 42 dm

↔ r = 21 dm

Dit. : L = …?

Jawab :

L = r2

L = 22/7 x (21 dm)2

= 22/7 x 441 dm2

= 1386 cm2

Contoh 2 :Keliling suatu lingkaran = 62,8 cm. Hitunglah luas lingkaran tersebut!Penyelesaian :Dik. : K = 62,8 cmDit. : L = …?Jawab : L = r2

L = 3,14 x (10cm)2

L = 3,14 x 100 cm2

L = 314 cm2

Contoh 3 :Gambar dikanan ini adalah suatu daun pintu yang terbentuk dari setengah lingkaran dan persegi.Tentukan : a. Keliling daun pintu itu!

b. Luas daun pintu tersebut! 98 cmK L

N M

K = 2r62,8 = 2 x 3,14 x r62,8 = 6,28 x r

r = 62,8 : 6,28 = 10

Penyelesaian :

Dik. : Daun Pintu = setengah lingkaran + persegi KL = KN = NM = diameter = 98 cm

Dit. : a. K. daun pintu = …? b. L. daun pintu = …?

Jawab :a. K. Daun pintu = NK + KL + LM + busur MN = 3 KL + ½ K.lingkaran

= 3 x 98 + ½ x 22/7 x 98 = 294 + 154 = 448

b. L. Daun pintu = Luas KLMN + L. ½ lingkaran= 98 x 98 + ½ x 22/7 x 492

= 9604 + 3773 = 13377

98 cmK L

N M

Jadi Luas daun pintu = 13377 cm2

Jadi :Keliling daun pintu = 448 cm

r = 98/2 = 49

Contoh 4 :

Perhatikan gambar di kiri ini. Garis lengkung

AC adalah busur lingkaran yang berpusat di D

Hitunglah luas daerah yang diarsir!

Penyelesaian :Dik. : AD = AB = r = 20 cmDit. : Luas yang diarsir = …?Jawab :(dihalaman berikut)

20

cm

A B

CD

Jawab 4 :

LYang diarsir = LABCD – Llingkaran

LYg diarsir = s2 –

= (20 cm)2 – .3,14. (20 cm)2

= 400 cm2 – .3,14. 400 cm2

= 400 cm2 – 314 cm2

= 86 cm2

Jadi Luas yang diarsiradalah 86 cm2

20

cm

A B

CD 41

41

s

s

14 r2

14 r2

14

III. GARIS SINGGUNG

A. PENGERTIAN GARIS SINGGUNG LINGKARANPada setiap lingkaran ada banyak Garis Singgung, sbb. :

• Garis singgung ialah garis lurus yang memotong lingkaran pada satu titik.

• Titik potong garis singgungdengan lingkaran disebuttitik singgung.

• Setiap garis singgung saling tegak lurus dengan Jari-jari di titik singgung.

P

L

KTitik SinggungGaris Singgung

Contoh 1 :

Pada gambar diatas , garis LM

adalah garis singgung

lingkaran yang berpusat di P.

Bila ∆PKM adalah sama sisi ,

tentukanlah besar∠KLM.

Jawab :

Pada ∆PKM :

PK = PM = KM , maka

∠KPM = ∠PKM = ∠PMK = 600

∠KLM = 1800 – (∠KPM + ∠PML)

= 1800 – (600 + 900)

= 300

Catatan : ∠PML = sudut yang dibentuk jari-jari dan garis

singgung = 900.

KL

M

P

Contoh 2 :

Pada gambar dikanan ini

PA = 9 cm dan AB = 6 cm.

Tentukanlah panjang BC !

Jawab :

Pada segitiga BCP , siku-siku di C , maka :

BC2 = BP2 – PC2

= (15 cm)2 – (9 cm)2

= 225 cm2 – 81 cm2

= 144 cm2

↔BC = √144 cm2

= 12 cm

A B

C

P

PC = PA = r = 9 cm

PB = PA + AB = 9 cm + 6 cm= 15 cm

9cm

9cm

6cm

Contoh 3 :

Segi-4 PQRS adalah Layang-

layang garis singgung.

Jika PS = 15 cm dan

PR = 25 cm , hitunglah Luas

layang-layang tersebut!

Jawab :Pada ∆PRS :

SR2 = PR2 – PS2

= 252 – 152

= 625 – 225= 400

↔ SR = √400 = 20 cm

Maka :

L PQRS = 2 x L∆PRS

= 2 x ½ PS x SR= PS X SR= 15 cm x 20 cm= 300 cm2

Jadi Luas Layang-layang PQRS adalah 300 cm2

P

S

R

Q

B. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

(i). Pengertian Garis Singgung Persekutuan

Sebuah garis disebut Garis Singgung Persekutuan dua lingkaran , jika garis tersebut merupakan garis singgung untuk kedua lingkaran tesebut.

Garis singgung persekutuan dua lingkaran terdiri dari dua jenis, yaitu :

1). Garis singgung persekutuan luar.Pada gbr : Garis AB dan Garis CB

2). Garis singgung persekutuan dalam. Pada gbr : garis KL dan garis MN

O P

AB

CDK

LM

N

Pada Kertas Buram :GAMBAR DUA LINGKARAN SEPERTI DIBAWAH INI!LALU GAMBARKAN SEMUA GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN KEDUA LINGKARAN TESEBUT !

Kerja Kelompok1. Gambar dua buah lingkaran sedemikian

rupa sehingga garis singgung persekutuannya hanya 3 buah.

2. Gambar dua lingkaran sehingga garis singgung persekutuannya hanya 2 buah

3. Gambar dua buah lingkaran dengan syarat garis singgung persekutuannya hanya 1 buah.

O P

B

(ii). Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar (GSPL)

Jika OP = 17 cm , OA = 11 cm dan PB = 3 cm , a. Tentukanlah panjang AB!.b. Bagaimanakah

rumusnya?

Garis AB = Garis Singgung Persekutuan Luar (GSPL) padalingkaran O dan lingkaran P.Garis OP = jarak titik pusat kedualingkaran itu.

Garis OA = r1 = jari-jari lingkaran pertama.

Garis PB = r2 = jari-jari lingkaran kedua.

Pada ∆OPC , ∠C = 900 , OC = r1 – r2 dan CP = AB. Maka Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar dapat ditentukan dengan rumus :

C

GSPL. AB = OP2 – (r1 – r2)2

A

Jawaban :a. CP2 = 172 - 82

= 289 -64= 225

Maka CP = √225 = 15 Jadi AB = CP = 15 cm a. Rumusnya , sbb :

Contoh 1 :

Diketahui lingkaran I berpusat di O dan jari-jari = r1 = 15 cm ,

lingkaran II berpusat di P dan jari-jarinya = r2 = 5 cm.Jika jarak titik pusat = OP = 26 cm , tentukanlah panjang garis singgung persekutuan luarnya (GSPL).

Pernyelesaian :

Dik. : r1 = 15 cm , r2 = 5 cm dan OP = 26 cm

Dit. : GSPL = …?

Jawab :

GSPL = OP2 – (r1 – r2)2

262 – (15 – 5)2=676 – 100=576 = = 24

Jadi Panjang Garis

Singgung Persekutuan

Luar = 24 cm

Contoh 2 :

Diketahui dua lingkaran dengan r1 = 2 cm dan r2 = 11 cm.

Jika panjang garis singgung persekutuan luar = 12 cm ,

tentukanlah jarak titik pusat kedua lingkaran itu!

Penyelesaian :

Misalkan Pusat lingkaran O dan P

Dik. : r1 = 2 cm , r2 = 11 cm

Gspl = 12 cm

Dit. : OP = …?

Jawab : Gspl = OP2 – (r1 – r2)2

(Gspl)2 = OP2 – (r1 – r2)2

(12)2 = OP2 – (2 – 11)2

144 = OP2 – (–9)2

OP2 =144 + 81 = 225 OP2 – 81 144 =

OP = 225 = 15

Jadi Jarak Titik Pusat OP = 15 cm

Contoh 3 :Pada sebuah mesin dijumpai

dua roda yang dihubungkan dengan

tali seperti gambar dikiri ini.

Sehingga Bila satu roda diputar yang

satu lagi ikut berputar.

Jika panjang jari-jari kedua roda itu

sama paanjang 5 cm dan jarak titik

pusatnya = 13 cm tentukanlah

panjang tali tersebut!

Penyelesaian :

Dik. : r1 = r2 = 5 cm

Jarak titik pusat = 13 cm

Dit. : Panjang Tali penghubung = PTp = …?

Jawab :

PTp = 2 x Panjang Gspl + 2 x ½ K

= 2 x Panjang Gspl + K

= 2 x 13 cm + 31,4 cm

= 26 cm + 31,4 cm

= 57,4 cm

Jadi Panjang tali itu = 57,4 cm

Gspl = OP2 – (r1 – r2)2

Gspl = 132 – (5 – 5)2

Gspl = 169 – 02

Gspl = 169 = 13

K = 2rK = 2 x 3,14 x 5 = 31,4

(iii). Menentukan Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD).

Dengan memperhatikan proses gambar berikut ini , tentukanlah rumus untuk menentukan panjang Garis Singgung Persekutuan

Dalam (GSPD). Dengan catatan Jari-jari lingkaran besar = r1 dan

jari-jari lingkaran kecil = r2 dan GSPD-nya = KL

Pada ∆OPM , ∠M = 900 ,

KL = MP dan OM = r1 + r2

Maka rumus untuk

menentukan panjang GSPD

adalah :

K

L

M

PO

Gspd. KL = OP2 - (r1 + r2)2

Contoh 1 :

Diketahui dua lingkaran dengan r1 = 3 cm , r2 = 5 cm dan jarak titik pusatnya = OP = 17 cm. Tentukanlah panjang salah satu garis singgung persekutuan dalam (Gspd)! Penyelesaian :

Dik. : r1 = 3 cm , r2 = 5 cm dan KL = 17 cm

Dit. : Gspd = …?

Contoh 2 :Pada gambar dikanan ini KL adalahgaris singgung persekutuan dalam. Jika OK = PL = 4 cm dan AB = 18 cm, tentukanlah panjang KL

OP2 - (r1 + r2)2

= 172 - (3 + 5)2

= 289 - 64

=

Jawab :Gspd =

225 = 15 cm

Jadi Panjang Garis singgung kedua lingkaran itu = 15 cm

O PA B

L

K4

4

Penyelesaian :

Dik. : OK = r1 = 4 cm ,

PL = r2 = 4 cm , AB = 18 cm

Dit. : Panjang Gspd = KL = … ?

Jawab :

O PA B

L

K4

4

Gspd. KL = OP2 – (r1 + r2)2 OP = AB – AO – PB OP = AB – OK – PL OP = 18 – 4 – 4OP = 10

Gspd. KL = 102 – (4 + 4)2

Gspd. KL = 100 – 64

Gspd. KL = 36 = 6

Jadi panjang KL (garis singgung persekutuan dalam)adalah = 6 cm

Contoh 3 :Pada Gbr. dikanan ini OP = 39 cm ,OK = 9,5 cm dan PM = 5,5 cm.Jika pada ∆OPQ , ∠Q = 900 , tentukanlah :a. Panjang MQ !b. Luas ∆OPQ !

Penyelesaian :Dik. : OP = 39 cm

OK = r1 = 9,5 cmPM = r2 = 5,5 cm

Dit. : a. MQ = …?b. L ∆OPQ = ...?

Jawab : a. MQ = PQ – PM MQ = KL – r2

O P

Q

M

L

K

KL = OP2 – (r1 + r2)2

392 – (9,5 + 5,5)2KL =1521 – 225 KL =1296 = 36KL =

MQ = KL – r2

MQ = 36 – 5,5MQ = 30,5Jadi Panjang MQ = 30,5 cm

b. L ∆OPQ = OQ x PQ2

L ∆OPQ = 15 x 362

L ∆OPQ = 270 Jadi Luas ∆OPQ = 270 cm2

OQ = OK + KQ = 9,5 + 5,5 = 15

IV. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING

A. BUSUR SEBAGAI SUDUT• Busur sebagai sudut adalah sama dengan sudut pusat

yang menghadap busur tersebut.

Sudut APB = 500

Maka :besar busur AB = Besar AB = 500

500500P

A

B

Catatan :Besar Busur : Dinyatakan dalam Sudut (derajat)Panjang Busur : Dinyatakan dalam Satuan Panjang.Besar Busur satu lingkaran = 3600

Contoh 1 :Jika Sudut POQ = 750 , tentukanlah besar :a. Busur PQb. Busur RS c. Busur PS

Jawab :

a. Busur PQ = ∠POQ= 750

b. Busur RS = ∠ROS = 750

c. Busur PS = ∠POS = 1800 – 750

= 1050

P

Q

R

S

O 750

P

Q

R

S

O 750

750

7501050

Satu PutaranPenuh = 3600

Jadi ∠ APB = 3600

PBA

• Satu Putaran Penuh = Perputaran dari awal sampai kembali keposisi semula , sbb. :

B. SUDUT SEBAGAI JARAK PUTAR

• Setengah Putaran Penuh (Sudut Lurus)

½ PutaranPenuh = ½ x 3600 = 1800 = Sudut Lurus

Jadi ∠ APB = 1800

(Garis AB = Garis lurus)

Jawab : 360 = 36/360 putaran penuh = 1/10 putaran penuh

360

PB A

P

B

A

Contoh 1 :Berapa putaran penuh sudut 360 ?

1800

Contoh 2 :

Hitunglah besar sudut :

a. ¾ putaran

b. ⅛ putaran

c. ⅔ putaran

d. ⅝ putaran

e. 0,4 putaran

Jawab :

a. ¾ putaran = ¾ x 3600 = 2700

b. ⅛ putaran = ⅛ x 3600 = 450

c. ⅔ putaran = ⅔ x 3600 = 2400

d. ⅝ putaran = ⅝ x 3600 = 2250

e. 0,4 putaran = 0,4 x 3600 = 1440

Contoh 3 :

Berapa putarankah sudut berikut ini ?

a. 800 b. 600 c. 150 d. 960

Jawab :

a. 800 = 800

3600 putaran = 29 putaran

b. 600 = 600


c. 150 = 150


d. 960 = 960


KESIMPULAN :• Satu putaran penuh adalah perputaran dari awal sampai

kembali keposisi semula.• Satu putaran penuh = 3600

• Setengah putaran penuh = ½ x 3600 = 1800 = Sudut Lurus.

• Sudut n0 =

PBA

ab putaran penuh =

3600 x ab

n0

3600putaran penuh

PB A.

C. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING(i). Pengertian Sudut Pusat dan Sudut Keliling.

Pada setiap Lingkaran :

• Sudut Pusat ialah Sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari.Titik sudutnya = Titik pusat lingkaran

• Sudut Keliling ialah Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur.

Titik sudut setiap sudut keliling terletak pada keliling lingkaran

p0 = ∠ pusat

O

p0

AB

k0

M

O

K

L

k0 = ∠ keliling

(ii). Hubungan Sudut Pusat Dan Sudut Keliling

Soal pengantar.Pada masing-masing gambar berikut ini tentukanlah x0 !

Jawab :1. x0 = 600 + 550 = 1150

2. x0 = 630 + 630 = 1260

3. x0 = 410 + 410 = 820

600

550

x0

1. 2.630

x0 x0

3.

410

x0 = a0 + b0

a0

b0

x0

Kesimpulan :

P

Pada gbr dibawah ini :

∠APC = ∠Pusat∠ABC = ∠Keliling

Ditarik garis bantu BD.

1) Pada ∆PAB , AP = BP = Jari-jari= r ,

maka : ∠PAB = ∠PBA = m0

Sehingga ∠APD = m0 + m0 = 2m0… (1)

2) Pada ∆PBC , BP = CP = Jari-jari= r ,

maka : ∠PBC = ∠PCB = n0

Sehingga ∠CPD = n0 + n0 = 2n0 ….. (2)

∠APC = ∠APD + ∠CPD …(1) dan (2) = 2m + 2n

= 2(m0 + n0)

∠APC = 2 ∠ABC

A

B

C

rrm0 m

0

n0

n0

2m0

2n0

D∠ABC = m0 + n0

Jadi : ∠Pusat = 2∠Keliling

Kesimpulan :

Pada setiap lingkaran apabila Sudut Pusat dan Sudut Keliling menghadap busur yang Sama panjang maka :Sudut Pusat = 2 x Sudut Keliling.

Pada Gambar disamping ini :

Sudut Pusat = Sudut APC = p0 dan

Sudut Keliling = Sudut ABC = k0

Kedua sudut itu sama-sama

menghadap Busur AC.

Maka p0 = 2 x k0

CP

A

B

p0

k0

Contoh 1 :Pada masing-masing gambar berikut ini tentukanlah x0 dan y0 !

Jawab :

a. x0 = 2 . 670

= 1340

b. y0 = ½ .sudut siku-siku = ½ .900

= 450

c. x0 = ∠EDF = ½ . 480 = 240

y0 = 2 . 240

= 480

AB

C

O x0670a.

K

L

M

Oy0

b.

P

480

x0

y0D

E

F

G H

I

240c.

O

Contoh 2 :

Pada gambar di kanan ini , titik O adalahpusat lingkaran dan AB = diameter.Tentukanlah k0 !

Jawab :

∠AOB = Sudut Pusat = 1800

Maka : k0 = 1800 : 2 = 900

Sudut keliling yang menghadap busur setengah lingkaran atau yang menghadap diameter besarnya selalu 900 (Siku-siku)

Pada Gbr di kiri ini sudut C = 900

A

C C C

C

C

B

O

k0

A B

C

Contoh 3 :

Pada Gambar dikanan ini titik O adalahpusat lingkaran. Jika ∠ACB = 460 , tentukanlah besar busur AB!

Jawab :Besar Busur AB = 2 x 460

= 920

Contoh 4 :

Lihat gambar di kiri ini!Titik pusat Lingkaran adalah titik P.Jika besar busur DF = 370 , tentukanlah ∠DEF !Jawab :Besar busur ∠DEF = 370 : 2 = 18,50

460

A B

C

920

920

370

D

F

E

P

Contoh 4 :

Tentukanlah gambar disamping ini titik O pusat lingkaran dan BD garis tengah.a. Jika besar Busur AD = 620 ,

tentukanlah x0 !b. Bila ∆PBC adalah sama sisi ,

hitunglah y0 !

Jawab :

a. x0 = ½ busur AB = ½ (1800 – 620) = ½ x 1180 = 590

b. y0 = 900 – 600

= 300

B

x0

y0

O

AC

D620

(i). ∠BCD = 900 , sebab ∠DEF = sudutkeliling yang menghadap diameter.

600

(ii). ∠DCO = ∠DOC = ∠CDO = 600 , sebab ∆PBC sama sisi

Contoh 5 :

Pada gambar dibawah ini O titik pusat lingkaran KM = diameter ,sudut KJL = 1170 , dan sudut KML = 480.

Tentukanlah : a. Besar busur LM b. Besar ao

c. Besar b0 d. Besar busur KNJawab :a. Besar busur LM = 1800 – bs. KL

= 1800 – (2x48)= 1800 – 960

= 840

b. Besar ao = sudut KML = 480

c. Besar b0 = 1170 – 480 = 690

d. Besar busur KN = 1800 – (2x690)= 1800 – 1380

= 420

O

KN

L

M

48 o

117

o

J

bo

ao

VI. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSURA. PENGERTIAN.

Pada sebuah lingkaran , jika kita menggambar dua tali busuryang tidak sejajar , maka ada dua kemungkinan , yaitu :1). Mungkin berpotongan didalam lingkaran.2). Mungkin berpotongan diluar lingkaran.

Misalnya :(i). Gbr. kanan : Dua tali busur yang

berpotongan didalam lingkaran.

(ii).OA

B

CD

P

OA B

C

D

PGbr. Kiri : Dua tali busur yang Berpotongan diluar lingkaran

B. MENENTUKAN BESAR SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR

(i). Besar Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.

Pada gbr. dikanan ini AC dan BD adalah tali busur yang berpotongan di P. Maka ada 4 buah sudut yang terbentuk , yaitu : ∠APD , ∠BPC , ∠APB dan

∠DPC.∠APD =∠BPC , dan ∠APB = ∠DPC.

Pertanyaan :Jika Bs. AB = 1180 , Bs. CD = 126 , maka :1). ∠ADP = …0 dan ∠BPC = …0

2). n0 = …0

O

A

B

C

D

P

1260

1140

n0

n0

Pada gambar dikanan ini salah satu Sudutantara tali busur adalah : ∠DPC = n0

Besar ∠DPC = ∠ADP + ∠DAP Besar ∠DPC = ½ bs.AB + ½ bs.CDBesar ∠DPC = ½ (bs.AB + bs.CD)Jadi n0 = ½ (114 + 126)

= 1200

Untuk dua tali busur yang berpotongan didalam lingkaran berlaku rumus sbb :

O

A

B

C

D

P

1260

1140

n0

O

D

B

C

A n0

x0P ∠APB =

Jlh 2 busur dihadapan ∠APB 2

Misalnya pada Gbr dikanan ini :

n0 = bs. AB + bs. DC2

dan x0 =bs. AD + bs. BC

2

Contoh 1 :Lihat gambar dikanan ini!Tentukanlah :a. m0 b. n0

Jawab :a. m0 = ½ (71 + 87)0 = 790

b. n0 = 1800 – 790 = 1010

Contoh 2 :

Pada gambar di kiri ini , SQ tali busur

yang melalui pusat lingkaran (jadi SQ

adalah diameter).

Jika besar bs. PQ = a0 , ∠QTR = 700 dan besar bs. QR = 790, tentukanlah a0 !

870

A

B

C

D

m0n0

710

P

Q

R

S700

T

790

a0

Jawab :

a0 = 1800 – bs. SP

a0 = 1800 – 690

a0 = 1110

Jadi a0 = 1110

Pada gambar dikiri ini AC = diameter. Jika bs.AD = x0 , bs.AB = 3x0 , bs.BC = y0

dan bs. CD = 2y , tentukanlah :a. Nilai x b. Nilai yc. n0

Tn0

3x0

y0

2y0

x0 A

B

C

D

P

Q

R

S700T

790

a0

bs.RQ + bs.SP= 1400

790 + bs. SP= 1400

bs. SP = 1400 – 790 = 690

½(bs.RQ + bs.SP) = 700

Contoh 3 :

690

Bs. SP + bs. PQ = 1800

(busur ½ lingkaran)

…

Jawab :a. Pada Gambar , didapat :

3x + y = 180 x + 2y = 180

b. x = 36↔ 3x + y = 180↔ 3.36 + y = 180↔ 108 + y = 180↔ y = 180 – 108 = 72

Jadi y0 = 720

Tn0

3x0

y0

2y0

x0 A

B

C

D

x 1x 2 6x + 2y = 360

1x + 2y = 1805x + 0 = 1805x = 180x = 180 : 5 = 36

Jadi x0 = 360

c. n = bs. AB + bs. DC2

n = 108 + 1442

Bs. AB = 3x = 3. 36= 108

Bs. DC = 2y = 2. 72= 144

n = 126

Maka : n0 = 1260

(ii). Besar Sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran

Soal pengantar :1). Pada gbr. (1) dikanan ini , jika m0 = 630

dan n0 = 250 , tentukanlah p0!

2). Pada gbr. (2) nilai m0 dan n0 seperti gbr. (1) , tentukanlah :a. bs. AD b. bs. BC

Jawab :1). m0 = n0 + p0

630 = 250 + p0

p0 = 630 – 250

p0 = 380

A B

C

D

L

O

po

mo

no

no po

mo

Gbr. (1)

Gbr. (2)

2). a. bs. AD = 2 x m0

= 2 x 630

= 1260

b. bs. AD = 2 x n0

= 2 x 250

= 500

Dari pengalaman pada penyelesaian diatas :(i). AB dan CD adalah Tali busur , setelah diperpanjang berpotongan di L , diluar

lingkaran dengan sudut p0 = ∠BLC.

(ii). Sudut p0 adalah sudut antara dua tali busur.

(iii). Busur dihadapan p0 adalah Busur AD dan busur BC

Jadi : ∠BLC = p0 = m0 – n0

A B

C

D

L

O mo

no pono po

mo

Rumus untuk besar sudut antara 2 tali busur yang berpotongan diluar lingkaran adalah sbb.:

∠BLC = Selisih dua busur dihadapan ∠BLC

2

∠BLC = p0 = Bs. AD – bs. BC

2 atau

p0 = ½ bs. AD – ½ bs. BC

Contoh 1 :Diketahui busur KM = 470 , busur

JN = 1350 (lihat gambar dikiri ini!)

Tentukanlah besar ∠KLM !

Jawab :

∠KLM =

1350

J

L

M

K

O

470

N

bs. JN – bs. KM2

153 – 47 2=

106 2=

= 530

Jadi besar ∠KLM = 530

530

Contoh 2 :Lihat gambar dibawah ini! Titik O pusat lingkaran , ∆OMN adalah sama sisi dan sudut JON = 360.Tentukanlah a0 !

Penyelesaian :

Dik. : ∆OMN = sama sisi (sudut besar)

∠JON = 360

Dit. : a0 = … ?JL

M

KO

360

N

ao

Jawab :

a0 = bs. KM – bs. JN2

840 – 362a0 =

a0 = 48 2 = 240

bs. JN = ∠JON = 360 bs. KM = ∠KOM

= 1800 – (∠MON + 360) = 1800 – (600 + 360) = 840

Contoh 3 :

Pada gambar dibawah ini , EH = diameter , bs. DH = 850.

Jika ∠P = 300 , tentukanlah besar bs. FG!

Penyelesaian :

Dik. : EH = diameter , bs. DH = 850 ,∠P = 300

Dit. : bs. FG = … ?

Jawab : ∠P = ½ (bs. DE – bs.FG)↔ 300 = ½ (1800 – 850 – bs. FG)↔ 600 = 950 – bs.FG↔ bs. FG = 950 – 600

↔ bs. FG = 350

Jadi besar bs. FG = 350

DE

GF

O

30o

H

850

P

VII. SEGI-n TALI BUSURA. SEGI EMPAT TALIBUSUR

Soal Pengantar :

Pada gambar di sebelah ini , KM dan LN adalah diameter!1). Hitunglah besar ∠KLM +

∠KNM!2). Hitunglah besar ∠LKN + ∠LMN!

Jawab :

1). ∠KLM + ∠KNM = 900 + 900 = 1800

2). ∠LKN + ∠LMN = 900 + 900 = 1800

Sebab : ∠KLM , ∠KNM , ∠LKN dan ∠LMN adalah ∠Keliling yang menghadap diameter

OK

L

M

N

Pada Soal pengantar : Garis KL , LM , MN dan KN adalahtalibusur , sehingga segi-empat KLMN disebut segi-4 tali busur.

Pada segi-4 KLMN :1). ∠KLM berhadapan dengan ∠KNM

dan jumlah kedua sudut itu = 1800

2). ∠LKN berhadapan dengan ∠LMNdan jumlah kedua sudut itu = 1800

Apakah pada setiap segi-4 tali busur , dua sudut berhadapan selalu berjumlah 1800?

Pada halaman berikut kita akan membahasnya!

OK

L

M

N

• Sifat-sifat segi-4 talibusur Pada gambar dikanan ini :ABCD adalah segi-4 talibusur.Sudut ABC = Sudut Keliling = k0 , dan p0

sudut pusatnya , maka : k0 = ½ p0

Sudut ADC = Sudut keliling = n0 , dan m0

sudut pusatnya , maka : n0 = ½ m0

Sehingga : k0 + n0 = ½ p0 + ½ m0

= ½(p0 + m0)= ½ x 3600

= 1800

Jadi : k0 + n0 = 1800 atau ∠ABC + ∠ADC = 1800

Dengan cara yang samadapat ditunjukkan bahwa : ∠BAD + ∠BCD = 1800

O

A

B

C

D

k0

p0n0

m0

Kesimpulan.

Pada setiap Segi-4 talibusur lingkaran , dua

sudut berhadapan selalu berjumlah 1800

Contoh 1 :

Perhatikan gambar di kanan ini!ABCD adalah segi-4 tali busur. Jika ∠ADC = 820 dan ∠BCD = 760 , tentukanlah : a. k0 b. t0

Jawab :

a. k0 + 820 = 1800

k0 = 1800 – 820

k0 = 980

O

A

B

C

D

k0

t0

820

760

b. t0 + 760 = 1800

t0 = 1800 – 760

t0 = 1040

Contoh 2 :

Pada gambar dikanan ini , ∠E = 540.Jika AE = BE , tentukanlah : a. s0 b. t0

Penyelesaian :

Dik. : ∠E = 540 dan AE = BEDit. : a. s0 = …?

b. t0 = …?

Jawab :a. Pada ∆ABE , AE = BE , maka s0 = ∠ABE

s0 +∠ABE = s0 + s0 = 2s0 = 1800 – 540 = 1260

⇔ s0 = 1260 : 2 = 630

b. s0 + t0 = 1800

630 + t0 = 1800 ⇔ t0 = 1800 – 630 = 1170

A

B

E

C

O

t0

D

540

s0

Contoh 3 :Lihat gambar di kanan ini! Tentukanlah :a. x0

b. y0

c. Besar masing-masing sudut segi-4 tali busur itu! Buat gambarnya

Jawab :

a. x0 + x0 = 1800

⇔ 2x0 = 1800

⇔ x0 = 1800 : 2 x0 = 900

b. 5y0 + 3y0 = 1800

⇔ 8y0 = 1800

⇔ y0 = 1800 : 8 y0 = 22,50

c. Sudut-sudutnya :

x0 = 900

3y0 = 3 . 22,50

= 67,50

5y0 = 5 . 22,50

= 112,50

O

3y0

x0

5y0

x0

O

67,50

900

112,50

900

Gambarnya :

B. SEGI-n BERATURANIngat bahwa :

1. Sudut satu putaran penuh = sudut pusat satu lingkaran = 3600 , seperti gambar di sebelah kiri ini. Pusat lingkaran = titik O

2. Sitiap segitiga jumlah besar ketiga sudutnya selalu 1800

3. Pada segitiga sama kaki selalu ada duasudut sama besar.Perhatikan gbr ∆ABC di kanan ini , sisinyaadalah AB , AC dan BC. Panjang AC = Panjang BC , maka :

∠BAC = ∠ABC atau ∠A = ∠B dan

3600O

A B

C

710 710

380

∠A + ∠B + ∠C = 1800

Contoh 1 :

Pada gambar di atas titik O adalah pusat lingkaran dan ABCDE = segi-5 beraturan.Tentukanlah :a. Besar sudut AOB b. Besar sudut OABc. Besar sudut ABC

Jawab :

a. Besar ∠AOB =

A B

C

D

EO

3600

5 = 720

b. Pada ∆ABC :

∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 1800

c.

∠OAB = ∠OBA ,sebab AO = BO = Jari-jari lingkaran.

720 + ∠OAB + ∠OAB = 1800

∠OAB + ∠OAB = 1800 – 720

10802∠OAB = ∠OAB = 1080 : 2 = 540

Jadi ∠OAB = 540

∠ABC =∠OBA + ∠OAB∠AOB = ∠OAB = ∠OBA = 540

Jadi ∠OAB = 1080

= 540 + 540 = 1080

• Pada Segi-5 berturan ABCDE :

(i). ∠AOB = salah satu ∠ pusat

(ii). ∠BCD = salah satu ∠ keliling

• Pada setiap segi-n beraturan berlaku rumus :3600

n

3600

n

1). Besar sudut pusat =

2). Besar sudut keliling = 1800 –

A B

C

D

EO

Contoh 2 :Gambar dikanan ini adalah segi-8 beraturan dengan pusat titik P.Tentukanlah : a. x0 b. y0

Jawab :

a. ∠ pusat = x0 = 3600 : 8 = 450

b. ∠keliling = y0 = 1800 – 450 = 1350

Contoh 3 :Pada segi-24 beraturan , tentukanlah :a. Besar masing-masing sudut pusatnya!b. Besar masing-masing sudut kelilingnya!

Jawab :a. Besar masing-masing sudut pusat = 3600 : 24 = 150

b. Besar masing-masing sudut keliling = 1800 – 150 = 1450

P

y0

x0

VII. LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA

A. PENGERTIAN

1). Lingkaran Dalam adalah Lingkaran yang dibuat didalam segitiga sedemikian sehingga sisi-sisi segitiga merupakan garis singgung padalingkaran (segitiga itu merupakan segitiga garis singgung)

2). Lingkaran Luar adalah Lingkaran yang dibuatdi luar segitiga sedemikian sehingga sisi-sisi seditiga itu merupakan tali busurpada lingkaran( segitiga itu merupakansegitiga tali busur)

(i). Cara melukis Lingkaran Dalam

A B

C

Kita akan melukis Lingkaran dalam ∆ABC , dengan cara menentukan titik pusat lingkaran terlebih dahulu , sbb. : (langsung diikuti siswa dengan alat Penggaris dan jangka)

K

L

M

N

P:A P:B

P: L

P:KP:M

P:N

Langkah-langkahnya : (1). Gambar segitiga ABC

(2). Gbr. Lingkaran Pusat A (P:A)(3). Tandai titik K dan L

T

U (4). Gbr. Lingkaran P: K(5). Gbr. Lingkaran P: L(6). Tandai titik T(7). Tarik garis ATx

xLakukan langkah (2) sd (7) , dari sudut B

Pusat lingkaran = titik potong garis bagi AT dan BU

(ii). Cara Melukis Lingkaran LuarLangkah-langkahnya :

(1). Gambar segitiga DEF(2). Gambar Lingkaran P:D

D E

F

P:D

(3). Gambar Lingkaran P:E

P:E

(4). Tandai Titik Potong P:D dan P:E , lalu hubungkan dengan garis lurus (garis itu merupakan sumbu sisi DE)

Dengan melakukan langkah 2 sd 4Gambarkan sumbu sisi DF

Titik perpotongan sumbu sisi DE dan sumbu sisi DF adalah pusat lingkaran luar tersebut

P:D

P:F

B. JARI-JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA

1). 2L.∆OAB = AB x r

2). 2L.∆OAC = AC x r

3). 2L.∆OBC = BC x r

2L.∆ABC = (ABxr) + (ACxr) + (BCxr)

= r (AB + AC + BC)

D

E

F

o

A B

C

t=r

t=r t=r

r =2L.∆ABC

AB + AC + BC

Untuk setiap segitiga dengan sisi I = S1 , Sisi II = S2 , Sisi III = S3 dan Luas = L , maka Jari-jari (r) Lingkaran Dalam dapat ditentukan dengan rumus :

r = 2LS1 + S2 + S3

Contoh :

Diketahui sebuah segitiga dengan panjang sisi : s1 = 13 cm ,

s2 = 14 cm dan s3 = 15 cm. Tentukanlah panjang jari-jari lingkaran dalamnya!

Penyelesaian :Dik. : Segitiga : s1 = 13 cm , s2 = 14 cm dan s3 = 15 cm. Dit. : Lingkaran dalam : r = …?Jawab :

r = 2L

s1 + s2 + s3K = s1 + s2 + s3

K = 13 + 14 + 15 = 42½ K = 21L = √ 21 ( 21 – 13 )( 21–14)( 21 – 15 )L = √ 21 . 8 . 7 . 6 L = 84

r = 2 . 8413 + 14 + 15

r = 16842 = 4

Jadi Jari-jari lingkaran dalam = 4 cm

C. JARI-JARI LINGKARAN LUAR SEGITIGAPada gambar dikanan ini , Lingkaran luar ∆ABCadalah berpusat di P. Dibuat diameter CD ,garis bantu DB dan tinggi CE.∠CAB = ∠CDB , sebab sama-sama menghadap busur BC dan ∠AEC = ∠DBC = 900 , maka ∆AECsebangun dengan ∆DBC , maka :AC : CD = CE : BC D

EA B

C

P

CE = AC x BCCD

… (1)

2 x Luas ∆ABC = AB x CE

2 x Luas ∆ABC AB

CE = … (2)

2 x Luas ∆ABC AB

AC x BCCD

… (1) (2)=

CD = AB x AC x BC 2 x Luas ∆ABC

2r = AB x AC x BC 2 x Luas ∆ABC

r = AB x AC x BC 4 x Luas ∆ABC

Jadi pada setiap segitiga dengan Sisi I = S1 , sisi II = S2 ,

sisi III = S3 dan Luasnya = L , maka Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga itu dapat ditentukan dengan Rumus :

Contoh 1 :Sebuah segitiga panjang sisinya adalah 6 cm , 8 cm dan 10 cm.Tentukanlah panjang jari-jari lingkaran luarnya!Jawab :

r = S1 x S2 x S3

4 x L

r =S1 x S2 x S3

4 x L

r =

L = 24 cm2

6 cm x 8 cm x 10 cm4 x 24 cm2 = 480 cm3

96 cm2 = 5 cm

Jadi Jari-jari lingkaran luar segitiga itu adalah = 5 cm

I. Unsur-unsur lingkaranII. Keliling dan Luas

Nilai piIII. Garis singgung : Persekutuan Luar/DalamIV. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut sebagai jarak putar : Busur sebagai SudutV. Sudut antara talibusurVI. Segi-4 Talibusur

Segi-n beraturanVII. Lingkaran Luar dan dalam segitiga

A B

C

D

A B

D

C

E

P

±12,57 cmr = 2

1200

300 300300

P

K L

MN

Berikut beberapa Konstanta yang dibulatkan sampai 4 desimal dan Rumus Luas Segi-n Beraturan dengan panjang sisi = S

Segi-n Konstanta Rumus Luas

Segi-n beraturan

3 0,4330 L = 0,4330 S2

4 1,0000 L = 1,0000 S2

5 1,7205 L = 1,7205 S2

6 2,5981 L = 2,5981 S2

7 3,6339 L = 3,6339 S2

8 4,8284 L = 4,8284 S2

9 6,1818 L = 6,1818 S2

10 7,6942 L = 7,6942 S2

11 9,3656 L = 9,3656 S2

12 11,1962 L = 11,1962 S2

13 13,1858 L = 13,1858 S2

Segi-n Konstanta Rumus Luas

Segi-n beraturan

14 15,3345 L = 15,3345 S2

15 17,6424 L = 17,6424 S2

16 20,1094 L = 20,1094 S2

17 22,7355 L = 22,7355 S2

18 25,5208 L = 25,5208 S2

19 28,4652 L = 28,4652 S2

20 31,5688 L = 31,5688 S2

21 34,8315 L = 34,8315 S2

22 38,2533 L = 38,2533 S2

23 41,8344 L = 41,8344 S2

24 45,5745 L = 45,5745 S2

V. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR

AB

CD

E

O

960850

m0n0

x0 y0

z0

s0

6. LINGKARAN

Documents

Transcript of 6. LINGKARAN