Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

5 5 Momen dan Pusat Massa5.5 Momen dan Pusat Massa

‐Menghitung momen dan menentukan pusatmassa dari suatu distribusi massa pada garismassa dari suatu distribusi massa pada garisdan bidang.

M k T P k‐Menggunakan Teorema Pappus untuk meng‐hitung volume benda putar (yang diperolehd d h dik h idengan memutar suatu daerah yang diketahuipusat massanya terhadap suatu sumbu putar).

5.5 MOMEN DAN PUSAT MASSA‐Menghitung momen dan menentukan pusatmassa pada garis dan bidang.‐Menggunakan Teorema Pappus untuk meng‐hitung volume benda putar.

Distribusi Massa Diskrit pada GarisDistribusi Massa Diskrit pada Garisd1 d2

Jungkit di atas seimbang bila d1m1 = d2m2 … (*). Bila kita letakkan jungkit tsb pada garis bilangan real

m1 m2

Bila kita letakkan jungkit tsb pada garis bilangan real sehingga titik tumpunya berimpit dengan 0, makapersamaan (*) menjadi: 

x1m1 + x2m2 = 0                         … (#).Hasil kali massa dari suatu partikel dan jaraknya(berarah) dari s at titik ac an diseb tmomen(berarah) dari suatu titik acuan disebutmomenpartikel terhadap titik acuan tsb.Persamaan (#) menyatakan bahwamomen totalPersamaan (#) menyatakan bahwamomen total terhadap titik tumpunya sama dengan 0.

MomenMomen

Situasi tadi dapat diperumum sbb. Sistem massaS tuas tad dapat d pe u u sbb. S ste assam1, … , mn yang tersebar di posisi x1, … , xn padagaris bilangan real mempunyai momen (total)

M = ∑i ximi.

Sistem tsb akan seimbang di titik tumpunya (yang berimpit dengan 0) bila M = 0.S i k i bSecara umum, suatu sistem massa akan seimbangdi suatu titik, tidak harus di 0. Tetapi bagaimanamencari titik keseimbangan tsb?mencari titik keseimbangan tsb? 

Pusat MassaPusat Massa

Misalkan titik pusat massa‐nya adalah x*. Maka, sa a t t pusat assa ya ada a . a a,momen total terhadap x* haruslah sama dengan 0, yakni:

∑i (xi – x*)mi = 0.Dari sini kita dapatkan bahwa:

∑i ximi = x*∑i mi,sehingga mestilah

x* = ∑i ximi /∑i mi = M/m,dengan M = momen total terhadap 0 dan m = massa total. 

Distribusi Massa Kontinu pada GarisDistribusi Massa Kontinu pada Garis

Sekarang misalkan kita mempunyai seutas kawatSekarang misalkan kita mempunyai seutas kawatlurus yang menempati selang [a, b] pada garisbilangan real. 

Bila rapat massanya (δ) konstan maka massaa b

δ

Bila rapat massanya (δ) konstan, maka massakawat tsb mudah dihitung – kita hanya perlumengalikan rapat massa kawat tsb denganmengalikan rapat massa kawat tsb denganpanjangnya:   m = δ(b – a). Bagaimana bila rapat massanya tidak konstan?Bagaimana bila rapat massanya tidak konstan?

Distribusi Massa Kontinu pada GarisDistribusi Massa Kontinu pada Garis

Bila rapat massanya tidak konstan, δ = δ(x),Bila rapat massanya tidak konstan, δ  δ(x), maka kita perlu mengintegralkannya:

Massa irisan: ∆m ≈ δ(x)∆xa b

δ

Massa irisan:   ∆m ≈ δ(x)∆x.Momen irisan (thd 0): ∆M ≈ x δ(x)∆x.

b

Jadi, massa kawat:    m =

d ( hd 0) M

a

dxx .)(

b

dan momen (thd 0):    M =  a

dxxx .)(

Pusat MassaPusat Massa

Jadi pusat massa kawat tsb terletak diJadi, pusat massa kawat tsb terletak di

)(b

dxxx.

)(

)(*

b

a

dxxmMx

)(a

dxx

ContohContohDiketahui kawat sepanjang 25 cm mempunyai rapatmassa δ(x) = √x (gr/cm) dengan x = jarak dari titikmassa δ(x) = √x (gr/cm), dengan x = jarak dari titikujung kiri kawat tsb. Tentukan massa dan pusatmassa kawat tsbmassa kawat tsb.

Jawab: Misal titik ujung kiri = 0 . Massa kawat tsbadalah 2525adalah

.3

25032 25

0

25

0

grxxdxxm Momen kawat tsb terhadap 0 adalah

00

12502 252

25

cmgrxxdxxxM ..12505 00

cmgrxxdxxxM

Contoh (berlanjut)Contoh (berlanjut)

Jadi pusat massanya ada di

cmMx 151250*

d k k k b

cmm

x 153/250

dari titik ujung kiri kawat tsb.

LatihanLatihan

Diketahui kawat sepanjang 10 cm mempunyaiDiketahui kawat sepanjang 10 cm mempunyairapat massa δ(x) = x (gr/cm), dengan x = jarakdari titik ujung kiri kawat tsb Tentukan massadari titik ujung kiri kawat tsb. Tentukan massadan pusat massa kawat tsb.

MOMEN DAN PUSAT MASSALAMINA PADA BIDANG &LAMINA PADA BIDANG & TEOREMA PAPPUS

Distribusi Massa (Kontinu) d dpada Bidang

Misal kita mempunyai y=f(x)Misal kita mempunyaisebuah lamina (kepingdatar) dengan rapat massa ●datar) dengan rapat massaδ konstan, yang menempatidaerah pada bidang yang

y=g(x)

daerah pada bidang yang dibatasi oleh garis x = a danx = b serta kurva y = f(x) danx   b serta kurva y   f(x) dany = g(x) dengan f(x) ≥ g(x)pada [a b]

∆m ≈ δ[f(x) – g(x)].∆x

∆My ≈ δx[f(x) – g(x)].∆xpada [a, b].∆Mx ≈ ½δ[f(x)2 – g(x)2].∆x

Momen dan Pusat Massa LaminaMomen dan Pusat Massa Lamina

Dari taksiran irisan tadi, kita peroleh

Massa: )]()([ dxxgxfmb

a

Momen thd sb‐y: )]()([ dxxgxfxMb

y

a

Momen thd sb‐x: )]()([ 22 dxxgxfMb

ay

Momen thd sb x: )]()([2

MM

dxxgxfM

y

ax

Pusat massa: .*;*m

Mym

x xy

ContohContoh

Tentukan pusat massa lamina yang dibatasi olehTentukan pusat massa lamina yang dibatasi olehkurva y = √x, sumbu‐x, dan garis x = 4. [Gambarterlebih dahulu daerah lamina tsb ]terlebih dahulu daerah lamina tsb.] 

Teorema PappusTeorema Pappus

Jika suatu daerah R padaJika suatu daerah R padabidang diputar mengelilingisebuah garis pada bidang tsbsebuah garis pada bidang tsbyang tidak memotong R, maka volume benda putar

●maka volume benda putaryang terbentuk sama denganluas daerah R kali kelilingluas daerah R kali kelilinglingkaran yang ditempuh olehpusat massa Rpusat massa R.

Mengapa Teorema Pappus BerlakuMengapa Teorema Pappus Berlaku

Perhatikan gambar di b

dhV )(2Perhatikan gambar dibawah. Dengan metodekulit tabung kita peroleh:

ba

dxxxhV )(2

kulit tabung, kita peroleh:

b

a

dxxxhx

)(*

y = h(x) b

a

dxxhx

)(

xa b b

a

dxxhxV .)(2 * a

)(

ContohContoh

Daerah yang dibatasi oleh kurva y = √x sumbu‐xDaerah yang dibatasi oleh kurva y = √x, sumbu x, dan garis x = 4 diputar mengelilingi garis y = 3. Tentukan volume bendar putar yang terbentukTentukan volume bendar putar yang terbentuk.

LatihanLatihan

1 Tentukan pusat massa lamina yang dibatasi1. Tentukan pusat massa lamina yang dibatasioleh kurva y = x2 dan y = √x.

2 Menggunakan Teorema Pappus tentukan2. Menggunakan Teorema Pappus, tentukanvolume benda putar yang terbentuk biladaerah pada Soal 1 diputar mengelilingidaerah pada Soal 1 diputar mengelilingigaris y = ‐x.