A Matematika Tanitasa 2012-4

TANTSAMDSZERTANI FOLYIRAT

AM

ATE

MA

TIK

A

XX. VFOLYAM 20124MZAIK

www.mozaik.info.hu

Nhny feladat a diofantikusegyenletek krbl

(Dr. Urbn Jnos)

Nhny sszegzsi feladat(Dr. Molnr Istvn)

Mi fr bele a tananyagbaprojektv geometribl?

(Molnr Zoltn)

A paralelogrammattel(Dr. Darvasi Gyula)

A MATEMATIKA TANTSA 2012. december

2 MOZAIK KIAD

A MATEMATIKATANTSAmdszertani folyirat

Szerkesztsg:Fszerkeszt:

Dr. Kosztolnyi Jzsef

Szerkesztsg cme:6723 Szeged, Debreceni u. 3/BTel.: (62) 470-101,FAX: (62) 554-666

Kiad:MOZAIK Kiad Kft.Felels kiad:

Trk ZoltnTrdelszerkeszt:

Kovcs AttilaBortterv:

Dek Ferenc

Megrendelhet:MOZAIK Kiad6701 Szeged, Pf. 301.

ves elfizetsi dj: 1800 FtMegjelenik vente 4 alkalommal.A lap megvsrolhat a

MOZAIK Knyvesboltban:Budapest VIII., lli t 70.

A Matematika Tantsban meg-jelen valamennyi cikket szer-zi jog vdi. Msolsuk brmi-lyen formban kizrlaga kiad elzetes rsbeli enge-dlyvel trtnhet.

ISSN 1216-6650

Kszltaz Innovariant Kft.-ben, SzegedenFelels vezet: Drgn Gyrgy

Kzlsi felttelek:A kzlsre sznt kziratokat e-mailen a [email protected]

cmre kldjk meg. A kziratok lehetleg ne haladjk meg a 6-8oldalt (oldalanknt 30 sorban 66 lets).

A rajzokat, brkat, tblzatokat s fnykpeket kln fj-lokban is krjk mellkelni. (A szvegrszben pedig zrjelbenutaljanak r.)

Krjk, hogy a szvegbeli idzsek nv- s vszmjellsseltrtnjenek, mg a tanulmnyok vgn a felsorolt irodalmak al-fabetikus sorrendben kszljenek.

Krjk szerztrsainkat, hogy a kziratok bekldsvel egyi-dejleg szveskedjenek kzlni pontos cmket, munkahely-ket s beosztsukat.

TARTALOMDr. Urbn Jnos (19392012)

Dr. Kosztolnyi Jzsefegyetemi docens, Szeged

Olh Gyrgy (19402012)Tarics Pter

jsgr, Komrom

Nhny feladat a diofantikus egyenletek krblDr. Urbn Jnos

tanr, Berzsenyi Dniel Gimnzium, Budapest

Nhny sszegzsi feladatDr. Molnr Istvn

adjunktus, Bkscsaba

Mi fr bele a tananyagba projektv geometribl?Molnr Zoltntanr, Budapest

A paralelogrammattelDr. Darvasi Gyula

fiskolai docens, Nyregyhza

Beszmol a 41. Orszgos Kalmr LszlMatematikaverseny dntjrl

Dr. Kiss Sndorfiskolai docens, Nyregyhza

Dr. Urbn Jnostanr, Budapest

Kiss Sndor: Analitikus geometriai mdszerekkomparatv vizsglata cm knyvnek

rvid ismertetseCsete Lajostanr, Gyr

Feladatrovat tanroknak

2012. december A MATEMATIKA TANTSA

MOZAIK KIAD 3

Nem hisznk a hallnak, brmilyen nagyhitet is. Nem hisznk neki, mert nem akarunkhinni; sem a magunknak, sem a msoknak.

Ha megrint, ha megvacogtat, ha tfj israjtunk elszele: flelmnk s kpzeletnk

mindenestl az let.(Csori Sndor)

012. jnius 11-n, letnek 73. vbengygythatatlan betegsg kvetkeztbenelhunyt kollgnk, dr. Urbn Jnos, la-

punk fszerkesztje, a Berzsenyi Dniel Gimn-zium tanra.

A gyerekkorrl, a matematika s a tanriplya irnti elktelezettsgnek kialakulsrlaz let s Tudomny 2002. jlius 5-i szmbangy vallott Hornyi Gbornak:

Igazbl a tanrsg csaldi indttats. Anyais apai gon ddszleim s nagyszleim kztttbben voltak pedaggusok, falusi tantk. des-anym matematikatanr, desapm ugyan jo-gsz, de a nevelanym is tanr volt. Faluhelyennttem fel, nehz krlmnyek kztt, kzvet-len a msodik vilghbor utn desanymmeghalt. A kzpiskolban reztem r a tanulszre s a matematikra. Szerencsmre, elssgimnazista koromban nagyon j tanrt kaptam,Lng Hugnak hvtk (...). biztatott, hogydolgozzak a Kzpiskolai Matematikai Lapok-ban, induljak az Arany Dniel Matematikaver-senyen. Jl szerepeltem a versenyeken, a K-MaL-ban megjelent a nevem, s ez nekem, a ti-zent ves gyereknek nagyon komoly sikerl-mnyt jelentett. (...) Magtl rtetden ad-dott, hogy negyedikes koromban az ELTE ma-tematika-fizika tanri szakra jelentkezzem. Sz-vesen jelentkeztem volna matematikamagyar-ra is, de akkor ilyen vlasztsi lehetsg nemvolt.

A fizika szakot ksbb filozfira vltotta, s1963-ban kitn eredmnnyel vgzett az ELTEmatematika-filozfia szakn. Harmadves ko-rtl kezdve vezetett demonstrtorknt gyakor-latokat, elbb algebrbl s szmelmletbl,majd elemi matematikbl. A vgzstl 1976-igaz Analzis I. tanszk tanrsegdje, majd adjunk-tusa volt. 1969-ben kitntetses summa cumlaude doktorlt matematikai logikbl. 1976 s1990 kztt az Orszgos Pedaggiai Intzetmatematikai osztlynak munkatrsa, majd osz-tlyvezetje volt. Az intzet talakulsa utnmg egy vig, 1991-ig dolgozott az OrszgosKzoktatsi Intzetben. Hivatali vei alatt is ta-ntott, 3 vig a Fazekas Mihly Fvrosi Gya-korl Gimnziumban, s 1981-tl hallig a Ber-

Dr. Urbn Jnos (19392012)

2


4 MOZAIK KIAD

zsenyi Dniel Gimnziumban, fleg specilismatematika tagozatos osztlyokban. Tantvnyaikzl sokan rtek el kimagasl eredmnyt a kor-osztlyos hazai s nemzetkzi matematikaver-senyeken. A mr emltett 2002-es interjbangy fogalmazta meg tanri ars poetica-jt:

Rendkvl fontosnak tartom, hogy az rnminden dik jl rezze magt, teht ne szoron-g flelemmel vegyen rszt a foglalkozsokon,mert a flelem lebnt. Szeretnm, ha mindentantvnyom gy gondolna vissza a matemati-karimra, hogy ott valami j trtnt, a tehet-sgesek ugyangy, mint a kevsb sikeresek.(...) Nagyon vigyzok arra, hogy soha ne sz-gyentsek meg senkit. Aki nem kszlt, azt ter-mszetesen megszidom, de soha nem szgye-ntem meg. A tantvnyaimat partnerknt pr-blom kezelni.

Aktvan kivette rszt a matematikai kz-letbl s a matematika npszerstsbl is.1974-tl a TIT matematikai vlasztmnynaktitkra, a Kis Matematikusok Barti Kre verse-nyeinek, majd a Kalmr Lszl Orszgos Ma-tematikai Versenynek az egyik f szervezje sfeladatsorainak sszelltja volt. Tbb ven ke-

resztl az MTV Aki mer, az nyer, majd Kr-mnfontol nev matematikai vetlkedinekzsrielnkeknt npszerstette a matematikt.vtizedeken keresztl tagja volt a Felvteli Fel-adatokat sszellt Bizottsgnak, valamint azOKTV II. kategria bizottsgnak. Dolgozott azArany Dniel Orszgos Matematika Verseny bi-zottsgban is, s elnke volt a TanrkpzFiskolk Pter Rzsa Matematika Versenye bi-zottsgnak. Nagyon fontos szerepe volt az1992-ben indult Nemzetkzi Magyar Matemati-ka Verseny ltrehozsban s szervezsben,15 vig volt a magyarorszgi rgi vezetje.Hallig tagja volt a Bolyai Jnos MatematikaiTrsulat Oktatsi Bizottsgnak. A Trsulat ltalvente megszervezett Rtz Lszl Vndorgyl-sen tbb alkalommal tartott emlkezetes, kivleladst. A matematika tantst s npszer-stst szolglta igen jelents publikcis sszerkeszti tevkenysgvel is, tantervek, tan-


MOZAIK KIAD 5

knyvek, feladatgyjtemnyek, npszerst stehetsggondoz kiadvnyok, mdszertani cik-kek s tanulmnyok szerzjeknt s trsszerz-jeknt. Hatsa a magyarorszgi matematika ta-ntsra s a matematikai tehetsggondozsrafelbecslhetetlen.

Tevkenysgnek elismerseknt szmosrangos djban rszeslt: a Bolyai Jnos Mate-matikai Trsulat Beke Man Emlkdja; ApczaiCsere Jnos-dj (1994); Rtz Tanr r letm-dj (2001); Nmeth Lszl-dj (2010); a fvrosBrczy Istvn-dja (2011).

A nekrolg rja itt, ezen a ponton, az lettrvid ismertetse utn szemlyesebb hangot fogmegtni. Ennek oka, hogy Urbn Tanr urategyik mesternek tekinti, akitl nagyon sok em-beri, tanri s szakmai finomsgot tanult.

Szemlyesen 1987-ben ismerkedtnk meg,amikor a szegedi Radnti Mikls Gimnziumkezd, lelkes, m tapasztalatlan tanraknt MikeJnos s Vincze Istvn kollgmmal nekilttunka hatosztlyos specilis matematika tagozat meg-szervezsnek, beindtsnak. Segtsget krtnks kaptunk orszgosan ismert s elismert szak-tekintlyektl, Psa Lajostl s Urbn Jnostl.s k nemcsak tancsokkal segtettek bennn-ket, hanem az els lpseknl jelen is voltak.A felkszt tborokban, az els felvteli fel-adatsorok sszelltsban s rtkelsben ottvoltak mellettnk. Jnos is jtt, htvgjt szn-ta r, hogy velnk egytt javtsa a tagozatraplyz tanulk dolgozatait. s a kzs munkakzben tantott. Szinte szrevtlenl, szeretettel,szelden, alzattal. Aztn lektorunk volt az elstehetsggondozsra sznt feladatgyjtemnynksszelltsnl. Vlemnye mrtket, rltst,szemlletet adott. Szk egy vtizeddel ksbbkzsen kezdtnk tanknyvsorozatot rni a k-zpiskolk szmra. Bmulatosan, s mindenkiszmra megnyugtat mdon tudta feloldania szerzi csapat tagjai kztti szakmai vitkat.Szerencsm volt, mert tbb berzsenyis rjt islthattam. Igazi matematikai mhelymunka folytezeken az rkon, s minden egyes alkalommal

ltszott a tanulkon, hogy jl rzik magukat, l-vezik a kzs matematizlst. Tbb egykori gim-nziumi tantvnyval beszlgettem ksbb, segynteten nyilatkoztak Jnosrl, nagyon sze-rettk s tiszteltk, nagyon sokat tanultak tle.Sokszor tallkoztunk klnbz szakmai ren-dezvnyeken, ahol felesgvel, Gizivel (ForrGizella, 49 vig hsges s szakmai munkj-ban is segt trsa) harmnit, bkessget sszeretet sugroztak. Igaz volt ez azokban azesetekben is, amikor klnbz szakmai s pe-daggiai vlemnyek feszltek egymsnak. J-nos mindig szintn, pontosan, korrekt mdons j rtelemben vett alzattal rvelt. ltalbanis jellemz volt r ez a j rtelemben vett alzat,alzat a tantvnyok, a kollgk, a szakma, a ma-tematika irnt.

Nagyon nehz lesz megszoknunk azt, hogyJnos fldi, fizikai valjban mr nincs kztnk.Velnk marad viszont mve, szellemisge, ta-ntsa. Sokszor fogjuk mg feltenni magunknaka krdst: Vajon Jnos mit mondana erre, ho-gyan vlekedne errl?. grjk, hogy szellemihagyatkt megrizzk s treksznk arra, hogyjl sfrkodjunk vele.

Dr. Kosztolnyi Jzsef


6 MOZAIK KIAD

etvenkt ves korban, 2012. jnius 30-n vratlanul elhunyt a Felvidken s azegsz Krpt-medencben nagyon np-

szer s szeretett Olh Gyrgy, komromi k-zpiskolai matematikatanr. Hallnak helysz-ne s mdja stlusos, ha lehet gy fogalmazni:a fonydi matematikatborban adta vissza lel-kt a Teremtjnek, tanrtrsai mellett, szeretet-ben, bkessgben, azon szakmai-lelki trsak tr-sasgban, akikkel vtizedeken keresztl egyttdolgozott a tehetsggondozs s a matematika-oktats terletn.

Olh Gyrgy 1940. mjus 10-n szletettKomromszentpteren (Felvidk). 1957-ben rett-sgizett a komromi magyar gimnziumban,majd 1961-ben a pozsonyi Pedaggiai Fisko-ln matematikatanri oklevelet szerzett. Pedag-gusi plyafutst Ekecsen kezdte, majd 1964-tl 1970-ig a komromi magyar gimnzium ta-

nra volt. 1970 s 1978 kztt a Nyitrai Peda-ggiai Fiskola adjunktusaknt dolgozott. 1978-ban a Komromi Ipari Kzpiskola tanra lett,ahol 2000-ig nyugdjba vonulsig tantott.Ezt kveten meghvtk t a komromi Mari-num Egyhzi Gimnziumba, ahol hrom vigmkdtt tanrknt.

Az elmlt vtizedekben felbecslhetetlen r-tk munkt vgzett a magyar matematikai te-hetsgek felkutatsban, gondozsban. Szak-kri tevkenysge is rendkvl jelents volt, ta-ntvnyai szp eredmnyeket rtek el a hazai snemzetkzi matematikaversenyeken. Tbb, minttven tanulmnyt rt, szmos tanknyvvel, pl-datrral, tanri segdknyvvel, fordtssal s re-cenzival jrult hozz a matematikai ismeretekbvtshez s npszerstshez. Tbbszr pub-liklt A Matematika Tantsa-ban, s jnhny-szor tztt ki feladatot a lap feladatrovatba is.Nemzetkzi magyar rendezvnyek s matema-tikaversenyek kezdemnyezje, alaptja volt.Ezek kzl taln a legjelentsebb a Nagy KrolyMatematikai Diktallkoz, melynek hsz vent volt a fszervezje. 1991-ben a szegedi RtzLszl Vndorgylsen egy ktetlen barti be-szlgets sorn Bencze Mihly brassi matema-tikatanrral egytt kitalltk a NemzetkziMagyar Matematikaversenyt, amelyet els al-kalommal szervezett meg Komromban, sveken keresztl volt a felvidki csapat veze-tje. szerkesztette az 1999-ben, a budapestiTYPOTEX Kiad gondozsban megjelentHatron tli matematikaversenyek cm k-tetet. Tbb ven keresztl tantvnyaival ha-vonta utazott Budapestre, ahol bekapcsolta keta Kzpiskolai Matematikai s Fizikai Lapok(KMaL) feladatmegold versenybe, s rend-

Olh Gyrgy (19402012)

H


MOZAIK KIAD 7

szeresen elvitte ket a Kossuth Klubba is. Tbbalkalommal tartott eladst Magyarorszgon,termszetesen a tehetsggondozssal kapcso-latban. Megbecslt szakemberr vlt a magyar-orszgi szakma keretein bell is.

A matematika tantst mindig gondosansszekttte a magyarsgtudat erstsvel. Aztvallotta: Nem ltezhetnk az anyaorszgbl r-kez egyetemes magyar gondolkods s kultratiszta forrsai nlkl. gy is lt. Egyszemlyesintzmny mondtk rla bartai a Krpt-medencben. Hatkonyan polta a szlfalu-jbl, Komromszentpterrl szrmaz felvidkimagyar klt, tanr, Kossnyi Jzsef hagyom-nyait, letmvt. Komoly szakmai munkt vg-zett a Csemadokban, a Szlovkiai Magyar Pe-daggusok Szvetsgben, a komromi Mze-umbartok Krben, a komromi regdikokBarti Krben, a Szchenyi Istvn Polgri Tr-sulsban. Jelentsebb kitntetsei a Beke Man-dj els s msodik fokozata, Komrom vrosPolgrmesteri Dja, a Felvidki Magyar Peda-ggus-dj.

Emlkezetes marad nagy mondsa: A ma-gyar knyv gy kell, mint a kenyr. Mindiga knyv, a knyvek bvletben lt, soha kinem hagyott egy knyvhetet sem Budapesten.Sajt knyvtra is rendkvl gazdag, ami egy-rtelmen a felvidki magyarsg legjelentsebbknyvgyjtemnyei kz tartozik. Lankadatlanhvvel, szenvedllyel, hittel s akarattal szervez-te a klnbz matematikai tallkozkat, ahola Krpt-medence matematikatanrai s azokdikjai vettek rszt. Sokat jrt Erdlybe, ahon-nan komoly szellemi tpllkot hozott haza a Fel-vidkre. Rendszeresen jrt Budapestre, a Pano-rma Vilgklub rendezvnyeire, ahol szerettk,s ahol szmos bartot szerzett.

Mindig komolyan vette Plya Gyrgy sza-vait, s eszerint is lt: Ha egy tanrnak nincsszemlyes tapasztalata az alkot munka valami-

lyen formjval, akkor bajosan vrhat, hogy maga sztnzze, vezesse, vagy akr felismerjehallgati alkot tevkenysgt. Arra a krds-re, hogy szerinte milyen a j tanr, azt mondtaaz egyik vele ksztett interjban: Mindenek-eltt az, aki a dikjt munkatrsnak tekinti, smunkatrsknt lehetsget ad tantvnyainakaz egyre bvl, egyre magasabb szint tudsmegszerzsre. Ezen fell pedig az rdekldsta knyvtr irnyba tereli.

radt retorikjbl a dikszeretet. Hogy mivolt ennek az oka? Errl gy nyilatkozott jelenmegemlkez sorok szerzjnek a vele ksztettutols interjban, kt httel halla eltt: A szent-pteri iskolai vek alatt kitn osztlykzss-get alkottunk. Olyan pedaggusok tantottak sszerettettk meg velem a matematikt, akiknekaz letmvt gy reztem tovbb kell vin-nem. Nem volt nehz, hiszen Imre btym itttantott a komromi gimnziumban, lttam, mi-knt kszl az rkra. Magval ragadott. Aza tudat, hogy a felvidki magyar dikoknak tbb-lettudst kell adni, annak rdekben is, hogyidegen nyelv fiskolkon is meglljk a hely-ket, meghatroz tnyez volt. Ezekkel a tant-vnyaimmal sokkal emberibb, kzvetlenebb kap-csolatot alaktottam ki. Nemcsak a matematik-rl, a szakmrl beszlgettnk, hanem az letnagy dolgairl is. A foglalkozsok nagy hatstgyakoroltak rjuk s rm egyarnt. Sokat jr-tam velk Erdlybe s a trtnelmi Magyaror-szg tbb vidkre, ott is matematikztunk, be-szlgettnk. Egy tanrnak elssorban ezrt r-demes lnie.

Csodlatos rzkkel mutatott r az egyete-mes magyar kulturlis rtkekre. Vonzdott a ma-gyar kultrhoz, tmogatta, npszerstette azt.Tette ezt mly magyarsgtudatval, hazaszere-tetvel, a szlfld, a Felvidk s Komromirnti hsgvel.

Tarics Pter, jsgr, tantvny, bart


8 MOZAIK KIAD

z itt kvetkez oldalakon olyan pld-kat mutatunk be, amelyek egy rszea 9., 10. osztlyban trgyalhat, de

a 11. osztlyban mr mindegyik feldolgozhat.Rendes tanrn kiegszt anyagknt, esetlegszakkrn rdemes ezekkel foglalkozni.

A tmakr gyakran elfordul versenyeken,a KMal pontversenyein is.

A feladatok tbbsge nmagban is rde-kes, a bemutatott megoldsok sorn j alkalomnylik azonos talaktsok gyakorlsra, kln-bz algebrai tletek megismertetsre.

Nhny feladatrl az elejn mg nem lt-szik, csak megolds kzben derl ki, hogy azegsz szmok krben kell megoldanunk egyegyenletet.

Lssuk a feladatokat s a vzlatos megold-sokat.

1. Egy egsz hosszsg ngyzetet feldara-boltunk 15 darab 1 1-es ngyzetre s egy na-gyobb ngyzetre. Mekkora volt az eredeti ngy-zet oldala?

Megolds:Jellje x az eredeti ngyzet oldalnak hosszt, ya darabols utn kapott nem 1 1-es ngyzetoldalnak hosszt (x > y > 1), x, y egszek.A felttel szerint x2 = y2 + 15, azaz

x2 - y2 = 15,(x - y)(x + y) = 15.

Mivel x, y pozitv egszek, 0 < x - y < x + y isegszek, a 15-t teht fel kell bontani kt pozitvegsz szm szorzatra: 15 = 1 15 = 3 5 (msnincs). gy a szba jhet megoldsok:

(1) x - y = 1, s (2) x - y = 3, x + y = 15, x + y = 5.

Az (1) es egyenletrendszerbl x = 8, y = 7, te-ht az eredeti ngyzet oldala 8 egysg, a 15 da-rab 1 1-es ngyzet levgsa utn megmaradtngyzet oldala 7 egysg.A (2)-es egyenletrendszerbl x = 4, y = 1, aminem j megolds, mivel a megmarad ngyzetoldala is 1 egysg.

2. Oldjuk meg az egsz szmok halmazna kvetkez egyenleteket:

a) x2 + 2xy - 3y2 = 20;b) 6x2 - xy - 12y2 = 14.

Megolds:a) Alaktsuk szorzatt az egyenlet bal oldaln

ll kifejezst:

(x + y)2 - (2y)2 = (x - y)(x + 3y) = 20.

A 20-at kell kt azonos parits tnyezszorzatra bontani, hiszen (x - y) + (x + 3y) == 2x + 2y = 2(x + y) pros szm, teht a kttnyez azonos parits.Mivel a 20 brmely szorzatt bontsbanlegalbb az egyik tnyez pros, ezrt mind-kt tnyez csak pros lehet. gy a 2 10s a (-2) (-10) felbontsok jhetnek sz-ba. Ezekbl a kvetkez ngy megoldstkapjuk: (4; 2), (-4; -2), (8; -2), (-8; 2).

b) Itt is szorzat alakban rjuk fel a bal oldalonll kifejezst:

6x2 - xy - 12y2 = (2x - 3y)(3x + 4y) = 14.

A lehetsges szorzatfelbontsokat vgig-prblva azt talljuk, hogy

(1) 2x - 3y = 7, s (2) 2x - 3y = -7,3x + 4y = 2; 3x + 4y = -2

ad megoldst, mghozz (2; -1) s (-2; 1)lesz a kapott kt szmpr.

Dr. Urbn Jnosra emlkezve jra kzljka lap 2010. szeptemberi szmban megjelent cikkt.

Dr. Urbn Jnos

Nhny feladat a diofantikus egyenletekkrbl

A


MOZAIK KIAD 9

3. Oldjuk meg az egsz szmok halmazna kvetkez egyenletet:

2xy + 3y2 = 24.

Megolds:Itt is szorzatt rdemes alaktani a bal oldalonll kifejezst.

y(2x + 3y) = 24.

Ha y pratlan, akkor 2x + 3y is pratlan. Ilyenmegolds nincs, mert kt pratlan szm szorzatanem lehet pros.Az y teht 24-nek egy pros osztja lehet: 2, 4,6, 8, 12, 24, -2, -4, -6, -8, -12, -24 va-lamelyike. Sorra nzve az egyes eseteket, 8megoldsprt kapunk x-re s y-ra.

4. Oldjuk meg a pozitv egsz szmok hal-mazn :

a) x(y + 1)2 = 243y;b) x2 - xy + 2x - 3y = 11.

Megolds:a) Mivel (y; y + 1) = 1, (y + 1)2 osztja 243 =

= 35-nek, teht (y + 1 2), (y + 1)2 = 32,vagy (y + 1)2 = 34, azaz y + 1 = 3, y1 = 2vagy y + 1 = 9, y2 = 8, s gy x1 = 54,x2 = 24.

b) Fejezzk ki y-t az egyenletbl:

2 2 11,

3x x

yx+ = +

hiszen x + 3 > 0. Ebbl

2 2 3 8 81 .

3 3x x

y xx x

+ = = + +y csak akkor lehet egsz, ha x + 3 osztja8-nak, azaz x + 3 lehet 1, 2, 4 s 8, mivelx > 0, x + 3 4. Ha x + 3 = 4, azaz x = 1,akkor y < 0, ez nem j megolds. gyx + 3 = 8 lehet csak, azaz x = 5, s y = 3 azegyetlen megoldspr a pozitv egsz sz-mok krben.

5. Oldjuk meg az egsz szmok halmazna kvetkez egyenleteket:

a) x(x + 1) = 4y(y + 1);b) x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y2.

Megolds:a) Azonos talaktsokat s szorzatt alaktst

clszer vgezni:

4x2 + 4x + 1 = 4(4y2 + 4y + 1) - 3,

ahonnan ezt kapjuk:

(2(2y + 1))2 - (2x + 1)2 = 3.

A 3 csak a kvetkezkppen rhat fel ktngyzetszm klnbsgeknt: 22 - 12 = 3.Teht |2y + 1| = 1 s |2x + 1| = 1. Ezek-bl a lehetsges megolds prok: (0; 0),(-1; 0), (0; -1), (-1; -1).

b) Szorozzuk ssze a bal oldali kifejezsben azels s utols, valamint a kt kzps t-nyezt

(x2 + 8x)(x2 + 8x + 7) = y2.

Legyen x2 + 8x = z, gy az egyenlet a k-vetkez alakot lti: z(z + 7) = y2. Alaktsukt a kapott egyenletet gy:

4z2 + 28z + 49 - 4y2 = 49,azaz

(2z + 7)2 - (2y)2 = 49.

A bal oldalt szorzatt alaktva:

(2z + 7 + 2y)(2z + 7 - 2y) = 49.

Mindkt tnyez pratlan, gy 49 brmelykt tnyezs szorzat ellltsa szba jhet.A kvetkez megoldsokat kapjuk (y; z)-re: (12; 9), (-12; 9), (0; 0), (0; -7),(12; -16), (-12; -16).Vgl (x; y)-ra a kvetkez tz megoldsaddik: (1; 12), (1; -12) (-9; 12),(-9; -12), (0; 0), (-1; 0), (-8; 0), ( - 7; 0),(-4; 12), (-4; -12).

6. Oldjuk meg a pozitv egsz szmok kr-ben a kvetkez egyenletrendszert:

x + yz = 19,x + y + z = 14.

Megolds:Az egyenletrendszerbl y, z-re a kvetkez egyen-letet kapjuk:

yz - z - y = 5, azaz (y - 1)(z - 1) = 6.

Az x, y, z > 0 egszek, gy e felttel miatt y - 1,z - 1 0. Kvetkezskppen 6-nak a kvetkez


10 MOZAIK KIAD

szorzat alakjai jhetnek szba: 1 6, 2 3,3 2, 6 1. Ezeknek megfelelen (x; y; z)-rea kvetkez szmhrmasokat kapjuk: (5; 2; 7),(5; 7; 2), (7; 3; 4), (7; 4; 3).

7. Hny megoldsa van az egsz szmokkrben a kvetkez egyenletnek?

x2 - y2 = 2100

Megolds:Az egyenlet bal oldalt alaktsuk szorzatt:

x2 - y2 = (x - y)(x + y) = 2100.

Mivel x - y s x + y sszege pros, a kt szmazonos parits, teht mindkett pros. gy ak-kor kapunk megoldst, ha

x - y = 2k, x + y = 2100 - k,vagy

x - y = -2k, x + y = -2100 - k,

0 < k < 100.Teht sszesen 2 99 = 198 megolds lesz azegsz szmok halmazn.

8. Oldjuk meg a pozitv egsz szmok hal-mazn:

3x - 2y = 1.

Megolds:Rendezzk t az egyenletet s a bal oldalon ka-pott kifejezst alaktsuk szorzatt:

3x - 1 = 2y.2(3x - 1 + 3x - 2 + + 3 + 1) = 2y.

Ha x = y = 1, akkor teljesl az egyenlsg, tehtez j megolds.Ha y - 1 > 0, akkor

3x - 1 + 3x - 2 + + 3 + 1 = 2y-1,

a jobb oldal pros, teht x > 0 pros, x = 2z,ahol z > 0, egsz szm.A 32z - 1 = 2y egyenlet bal oldaln ll kifeje-zst szorzatt alaktjuk:

(32 - 1)(32z - 2 + 32z - 4 + + 32 + 1) = 2y.

Ez akkor teljesl, ha y 3, az x = 2, y = 3 jmegolds.A kt oldalt 8-cal osztva ezt kapjuk:

32z - 2 + 32z - 4 + + 32 + 1 = 2y - 3.

Ha y > 3, akkor z pros, z = 2u, teht x = 4u.Az eredeti egyenlet ekkor 34u - 1 = 2y alak.A bal oldalt szorzatt alaktva

(34 - 1)(81u - 1 + + 1) = 2y.

Mivel 34 - 1 = 80 oszthat 5-tel, de 2y nemoszthat 5-tel, ez nem teljeslhet. Teht tbbmegolds nincs.

9. Kt szomszdos pozitv egsz szm kb-nek klnbsge n2 (n > 0, egsz). Igazoljuk, hogyn kt ngyzetszm sszege. (Pldul: 83 - 73 == 512 - 343 = 169 = 132, 13 = 22 + 32.)

Megolds:A feltevs szerint

(k + 1)3 - k3 = 3k2 + 3k + 1 == 3k(k + 1) + 1 = n2, (1)

ahol k > 0 egsz szm. Mivel 3k(k + 1) pros,n2 pratlan, gy n is pratlan szm.(1)-bl azonos talaktssal ezt kapjuk:

4(3k2 + 3k + 1) = 3(4k2 + 4k + 1) + 1 == 3(2k + 1)2 + 1 = (2n)2,

teht

3(2k + 1)2 = (2n)2 - 1 = (2n + 1)(2n - 1).

Mivel 2n + 1 s 2n - 1 relatv prmek, s szor-zatuk egy ngyzetszm hromszorosa, ezrtvagy 2n + 1, vagy 2n - 1 is ngyzetszm.Ha 2n + 1 = (2l - 1)2 = 4l2 - 4l + 1, akkorn = 2l2 - 2l pros szm, ami nem lehet.Teht 2n - 1 = (2l - 1)2 = 4l2 - 4l + 1, amiblez kvetkezik: n = 2l2 - 2l + 1 = l2 + (l - 1)2,ahol l > 0 egsz, s ezt kellett igazolni.

10. Vizsgljuk egyszerre a kvetkez ktegyenlet megoldsait az egsz szmok halma-zn:

x2 - 2y2 = 1,-x2 - 2y2 = -1.

Igazoljuk, hogy ha (a; b) megoldsa az egyikegyenletnek, akkor (a + 2b; a + b) megoldsaa msik egyenletnek s fordtva.Mutassuk meg ennek alapjn, hogy mindktegyenletnek vgtelen sok megoldsa van.


MOZAIK KIAD 11

Megolds:Tegyk fel, hogy az (a; b) egsz szmprra va-lamelyik egyenlet teljesl, azaz

a2 - 2b2 = 1.Ekkor

(a + 2b)2 - 2(a + b)2 = -a2 + 2b2 = 1is teljesl. Teht valban megoldsai a msikegyenletnek. Az a = 1, b = 0 szmpr kielgti azx2 - 2y2 = 1 egyenletet, ebbl mr vgtelen sokmegoldst kaphatunk. Ezek kzl nhny:

x: 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, ...y: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, ...

x2 - 2y2: 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...

11. Mutassuk meg, hogy az x2 - 2y2 = -1egyenletnek vgtelen sok olyan megoldsa vanaz egsz szmok halmazn, ahol x s y is p-ratlan szm.

Megolds:Akr az elz 10. feladat alapjn mondhatjuk,hogy az llts nyilvn igaz. Kzvetlenl gy lt-hat be: (1; 1) megoldsa az egyenletnek, s ha(a; b) megolds, akkor (3a + 4b; 2a + 3b) ismegolds, mert ha a2 - 2b2 = -1, akkor

(3a + 4b)2 - 2(2a + 3b)2 = a2 - 2b2 = -1

is teljesl.

12. Igazoljuk, hogy vgtelen sok olyan de-rkszg hromszg van, amelynek oldalhosz-szait egsz szmokkal lehet megadni, s a ktbefog hossza kt szomszdos egsz szm.

Megolds:Ismert, hogy a 3, 4, 5 egysgoldal derksz-g hromszg ilyen tulajdonsg (32 + 42 = 52).Azt kell igazolni, hogy az x2 + (x + 1)2 = y2

egyenletnek a pozitv egsz szmok krbenvgtelen sok megoldsa van.Azonos talaktsokat vgznk:

2x2 + 2x + 1 = y2,2-4x2 + 4x + 2 = 2y2,-

(2x + 1)2 - 2y2 = -1.y2

Azt kell igazolni, hogy a z = 2x + 1 jellssel a

z2 - 2y2 = -1

egyenletnek vgtelen sok olyan megoldsa van,ahol z pozitv pratlan egsz szm. Nyilvn y is

pratlan egsz, ezt pedig az elz 11. feladatmegoldsbl tudjuk.Nhny plda megoldsokra:

z: 7, 41, 239, y: 5, 29, 169, x: 3, 20, 119, .

13. A kvetkez kt egyenlsg nyilvn igaz:1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 + + 13 + 14 = 105 == 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20.Adjunk meg vgtelen sok olyan n-et, amelyreteljesl, hogy az els n pozitv egsz szm sz-szege egyenl a kvetkez nhny egsz szmsszegvel.

Megolds:Legyenek k > n > 0 egszek, s oldjuk meg az

1 + 2 + + n = n + 1 + n + 2 + + k

egyenletet. Az ismert sszegkpletek szerint azegyenlet gy rhat:

( 1) ( 1) ( 1),

2 2 2n n k k n n+ + +=

azonos talaktsokkal2

2

2 2

2 2

2 2

,2

8 8 4 4 ,

2(2 1) 2 (2 1) 1,

(2 1) 2(2 1) 1.

k kn n

n n k k

n k

k n

++ =+ = +

+ = + + + =

Legyen x = 2k + 1, y = 2n + 1, ekkor

x2 - 2y2 = -1.

A 11. feladat megoldsbl tudjuk, hogy azegyenletnek vgtelen sok olyan megoldsa van,ahol x s y is pratlan pozitv egsz szm.Nhny megolds:

2k + 1: 7, 41, 239, 2n + 1: 5, 29, 169,

k: 3, 20, 119, n: 2, 14, 084, .

14. Igazoljuk, hogy az

x2 - xy - y2 = 1

egyenleteknek vgtelen sok megoldsa van anemnegatv egsz szmok halmazn. (Mutassukmeg, hogy (0; 1) megolds, s ha (a; b) megol-ds, akkor (a + b; a) is megolds.)


12 MOZAIK KIAD

Megolds:A (0; 1) szmpr nyilvn megolds: 0 - 0 - 1 == -1. Tegyk fel, hogy (a; b) megolds, azaza2 - ab - b2 = 1.Helyettestsk az egyenletbe az (a + b; a) szm-prt:

(a + b)2 - (a + b)a - a2 = -a2 + ab + b2 = 1,

teht ez is megolds. rjuk fel az els tz megol-dsprt:

x: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,

y: 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21,

x2 - xy - y2: -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1,1, .

Ha a kapott x rtkekre bevezetjk az f0 = 0,f1 = 1, fn + 2 = fn + fn + 1 jellst, akkor vilgos,hogy ezek a Fibonacci sorozat elemei. Az y r-tkek egy temmel ksbb szintn a Fibo-nacci sorozat elemei. Az egyenlet vgtelen sokmegoldst adjk teht a kvetkez szmok:(fn + 1; fn), n = 0, 1, 2, .(Az is igazolhat kiss hosszadalmasabban ,hogy a nemnegatv egszek krben nincs msmegolds.)

15. rjuk fel a Pascal hromszg 14. s 15.

sort, s figyeljk meg, hogy 15 14

.5 6

= Mutassuk meg, hogy vgtelen sok olyan x, y > 0egsz szm van, amelyre teljesl, hogy

1.

1x x

y y =

Megolds:rjuk fel a Pascal hromszg 14. sornak els 8elemt:

1, 14, 91, 364, 1001, 2002, 3003, 3432,

majd a 15 sor elejt:

1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, .

A definci alapjn alaktsuk t az1

1x x

y y = egyenletet:

! ( 1)!,

( 1)!( 1)! !( 1 )!( 1)( ).

x xy x y y x y

xy x y x y

= + = + (1)

Tegyk fel, hogy x, y > 0 egszek, s megold-sai az egyenletnek. Ekkor x = a d, y = b dalakba rhat, ahol (a; b) = 1. Ezeket (1)-behelyettestve, s d-vel egyszerstve ezt kapjuk:

abd = (ad - bd + 1)(a - b).

Mivel (ab; a - b) = 1 s (ad - bd + 1; d) = 1,csak a kvetkez lehetsg maradt:

a - b = d s ab = ad - bd + 1.

Az els egyenletbl a = b + d, ezt a msodikegyenletbe helyettestve s rendezve:

(b + d)b = (b + d)d - bd + 1,b2 + bd - d2 = 1, d2 - bd - b2 = -1. (2)

Az elz, 14. feladat megoldsa alapjn tudjuk,hogy a kapott (2) egyenletnek vgtelen sokmegoldsa van, ezek gy rhatk:

d = f2k, b = f2k - 1, k = 1, 2, 3, .

Ekkor a = d + b = f2k + 1, teht

x = f2k f2k + 1, y = f2k f2k - 1.

Igazolhat az f22k - f2k + 1 f2k - 1 = -1 azonossgfelhasznlsval, hogy ezek valban megold-sok. (Tovbbi meggondolssal az is igazolhat,hogy a nemnegatv egszek krben ms meg-olds nincs.)A tallt megoldsok kzl az els nhny:

d: 1, 03, 008, 021, 0055, b: 1, 02, 005, 013, 0034, a: 2, 05, 013, 034, 0089, x: 2, 15, 104, 714, 4895, y: 1, 06, 040, 273, 1870, .

Irodalom[1] A. V. Szpivak (2008): Aritmetika 2. A Kvant

kisknyvtra, 109. ktet

[2] Dr. Srkzi Andrs: Szmelmlet. MszakiKiad


MOZAIK KIAD 13

n azt mondom, hogy nem az a feladataa matematiknak, hogy bemagoltassonaz emberrel bizonyos dolgokat, hanem

hogy gondolkodsra prbljon nevelni.Dr. Urbn Jnos

A kvetkezkben nhny sszegzsi felada-ton keresztl rdekes sszefggseket mutatunkbe a pozitv egsz szmok krben.

I. Egy rdekes szablyszersg figyelhetmeg a pozitv egsz szmok esetn, nevezetesen:

1 2 34 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 22 23 24

+ =+ + = +

+ + + = + ++ + + + = + + +

#Tegyk fel a krdst ltalnosan:

1. Igaz-e, hogy brmely pozitv egsz n esetnltezik 2n + 1 darab egymst kvet pozitv egszszm gy, hogy az els n + 1 darab szm ssze-ge egyenl az utols n darab szm sszegvel?

MegoldsLegyen a 2n + 1 darab egymst kvet pozitvegsz szm:

x; x + 1; x + 2; ...; x + n; x + n + 1; ...;x + 2n - 1; x + 2n, ahol x Z+.

Teljeslnie kell az albbi sszefggsnek:x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + n) =

= (x + n + 1) + ... + (x + 2n - 1) + (x + 2n)trendezve:

x + n = (x + 2n) - x + (x + 2n - 1) - (x + 1) ++ ... + (x + n + 1) - (x + n - 1)x + n = 2n + (2n - 2) + ... + 2

x + n = 2 (n + n - 1 + ... + 2 + 1) =2( 1)2

2n n

n n+= = +

Innen x = n2.

Teht a keresett 2n + 1 szm, brmely n Z+esetn: n2; n2 + 1; n2 + 2; ...; n2 + 2n, azaz l-talnosan

n2 + (n2 + 1) + (n2 + 2) + ... + (n2 + n) == (n2 + n + 1) + (n2 + n + 2) + ... + (n2 + 2n).

MegjegyzsMivel az n-edik sor utols eleme n2 + 2n sa kvetkez termszetes szm az n2 + 2n + 1 == (n + 1)2, pp az (n + 1)-edik sor els eleme,gy az sszes pozitv egsz szm benne lesz a tb-lzatban.

II. A kvetkezkben vizsgljunk meg egy l-talnosabb feladatot!

2. Ltezik-e vgtelen sok olyan pozitv egszn, amelyre teljesl, hogy az els n darab pozitvegsz szm sszege egyenl a kvetkez n-hny egyms utni egsz szm sszegvel?

MegoldsLegyenek n, k pozitv egsz szmok gy, hogy0 < n < k.Teljeslnie kell az albbi sszefggsnek:

1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) + (n + 2) + ... + k

1 1 1

n k n

i i ii i i

= = ==

Az ismert sszegkpletek alapjn kapjuk, hogy( 1) ( 1) ( 1)

.2 2 2

n n k k n n+ + += trendezve:

2 2

2 2

2 2

( 1)( 1) 0

2

4 4 8 8 0

(2 1) 1 2(2 1) 2 0

(2 1) 2(2 1) 1

k kn n

k k n n

k n

k n

+ + =+ =

+ + + =+ + =

Legyen x = 2k + 1 s y = 2n + 1.gy az x2 - 2y2 = -1 diofantikus egyenlethezjutunk.

Dr. Molnr Istvn

Nhny sszegzsi feladat


14 MOZAIK KIAD

Figyelembe vve, hogy x s y is pratlan szm,elegend beltnunk, hogy az x2 - 2y2 = -1egyenletnek vgtelen sok megoldsa van a po-zitv pratlan egsz szmok halmazn.Nmi prblkozs utn ez knnyen bizonyt-hat, hiszen egyfell, ha u s v pratlan sz-mok, akkor 3u + 4v s 2u + 3v szintn pratlanszmok lesznek, msrszt pedig, ha (u; v) meg-oldsa az x2 - 2y2 = -1 egyenletnek, akkor(3u + 4v; 2u + 3v) szintn megoldsa lesz, mivel

(3u + 4v)2 - 2(2u + 3v)2 = 9u2 + 24uv + 16v2 -- 8u2 - 24uv - 18v2 = u2 - 2v2 = -1.

A (7; 5) megoldsa az egyenletnek (ugyan az(1; 1) szintn megolds, de ebben az esetbenn = k = 0, ami nem j a kezdeti felttelek miatt),gy az elbbiekben lertak alapjn vgtelen sokmegoldst szrmaztathatunk.Nhny megolds:

x 7 41 239 1393 ...y 5 29 169 985 ...k 3 20 119 696 ...n 2 14 84 492 ...

azaz1 2 3

1 2 3 ... 14 15 16 ... 201 2 3 ... 84 85 86 ... 119

1 2 3 ... 492 493 494 ... 696

+ =+ + + + = + + ++ + + + = + + +

+ + + + = + + +#

MegjegyzsA 2. feladat tbb, a diofantikus egyenletekhezkapcsold feladattal egytt megtallhat [1]-ben is.

III. Feltehet a krds, hogy mi trtnik ak-kor, ha az els feladatban a pozitv egsz sz-mok helyn azok ngyzetei llnak?

3. Ltezik-e 2n + 1 darab (n pozitv egsz)egymst kvet pozitv egsz szm gy, hogy azels n + 1 darab szm ngyzeteinek sszegeegyenl az utols n darab szm ngyzeteineksszegvel?

MegoldsLegyen a 2n + 1 darab egymst kvet pozitvegsz szm:

x; x + 1; x + 2; ...; x + n; x + n + 1; ...;x + 2n - 1; x + 2n, ahol x Z+.

Teljeslnie kell az albbi sszefggsnek:x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 + ... + (x + n)2 =

= (x + n + 1)2 + ... + (x + 2n - 1)2 + (x + 2n)2.trendezve, majd alkalmazva az A2 - B2 == (A + B)(A - B) azonossgot kapjuk, hogy

(x + n)2 = (x + 2n)2 - x2 + (x + 2n - 1)2 -- (x + 1)2 + ... + (x + n + 1)2 - (x + n - 1)2.

(x + n)2 = (2x + 2n) 2n ++ (2x + 2n) (2n - 2) + ... + (2x + 2n) 2.

(x + n)2 = 2 (2x + 2n)(n + n - 1 + ... + 2 + 1) = 2( 1)2 (2 2 ) 2( )( ).

2n n

x n x n n n+= + = + +

Mivel x + n > 0, ezrt vgigoszthatunk vele, gyx + n = 2n2 + 2n, ahonnan x = 2n2 + n.Teht a keresett 2n + 1 szm, brmely n Z+esetn:

2n2 + n; 2n2 + n + 1; 2n2 + n + 2; ...;2n2 + 3n,

azaz ltalnosan

(2n2 + n)2 + (2n2 + n + 1)2 + ... + (2n2 + 2n)2 == (2n2 + 2n + 1)2 + (2n2 + 2n + 2)2 + ... +

+ (2n2 + 3n)2

Megjegyzsrjuk fel az els nhny n rtk esetn kapotteredmnyt:

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 4 5

10 11 12 13 14

21 22 23 24 25 26 27

36 37 38 39 40 41 42 43 44

+ =+ + = +

+ + + = + ++ + + + = + + +

#Megfigyelhet, hogy a felrt sorok els elemeegy hromszgszm ngyzete.(A hromszgszmok olyan szmok, amelyekelllnak az els nhny egymst kvet pozitvegsz szm sszegeknt, azaz az 1 + 2 + ... + nalak szmok. Nevket onnan kaptk, hogyszablyos hromszg alakba rendezhetk. Azels hsz hromszgszm: 1; 3; 6; 10; 15; 21;28; 36; 45; 55; 66; 78; 91; 105; 120; 136; 153;171; 190; 210.Ez a megfigyels minden sor esetn igaznak bizo-nyul, mivel az n-edik sor els eleme a (2n2 + n)2

s 2n2 + n trhat 2n2 + n = n(2n + 1) =

=2 (2 1)

2n n +

alakra, teht hromszgszm lesz

(s pedig a 2n-edik hromszgszm).


MOZAIK KIAD 15

IV. A tovbbiakban a hromszgszmokat ta-nulmnyozva a kvetkez megfigyelst tehetjk:

1 3 6 1015 21 28 36 45 55

66 78 91 105 120 136 153 171

+ + =+ + + = +

+ + + + = + +#

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18

t t t t

t t t t t t

t t t t t t t t

+ + =+ + + = +

+ + + + = + +#

ahol tn-nel jelljk az n-edik hromszgszmot.A fentiek kapcsn addik a kvetkez krds:

4. Igaz-e, hogy brmely pozitv egsz n ese-tn ltezik 2n darab egyms utni hromszg-szm gy, hogy az els n + 1 darab hromszg-szm sszege egyenl az utols n - 1 darab h-romszgszm sszegvel?

MegoldsLegyen a 2n darab egyms utni hromszg-szm:

tx; tx + 1; tx + 2; ...; tx + n; tx + n + 1; ...;tx + 2n - 2; tx + 2n - 1, ahol x Z+.

Teljeslnie kell az albbi sszefggsnek:

tx + tx + 1 + tx + 2 + ... + tx + n == tx + n + 1 + tx + n + 2 + tx + 2n - 1

trendezve:

tx + tx + n = (tx + n + 1 - tx + 1) + (tx + n + 2 - tx + 2) + ... + (tx + 2n - 1 - tx + n - 1)

1

1( )

n

x x n x n k x kk

t t t t

+ + + +=

+ = Mivel

tx + n + k - tx + k = ( )( 1)

2x n k x n k+ + + + +

-

- ( )( 1)2

x k x k+ + + =

12

(x2 + n2 + k2 +

+ 2nx + 2kx + 2nk + x + n + k - x2 - 2kx -

- k2 - x - k) = 12

(n2 + 2nx + 2nk + n) =

= 2n

(2x + 2k + n + 1),

gy( 1) ( )( 1)

2 2x x x n x n+ + + ++ =

[ ]1 11 1

(2 2 1) (2 2 1)2 2

n n

k k

n nx k n x k n

= = = + + + = + + +

2 2 21 ( 2 )2

x x x nx n x n + + + + + + =( 1)

2 ( 1) 2 ( 1)( 1) .2 2n n n

x n n n = + + +

A mveletek elvgzse, trendezs s az ssze-vonsok utn kapjuk, hogy

x2 + 2nx - xn2 + x - n3 + n2 + n = 0x2 + nx + nx + n2 - xn2 - n3 + x + n = 0

x(x + n) + n(x + n) - n2(x + n) + (x + n) = 0(x + n)(x + n - n2 + 1) = 0

Mivel x + n > 0, ezrt vgigoszthatunk vele, gyx + n - n2 + 1 = 0, ahonnan x = n2 - n - 1.Teht a keresett hromszgszmok:tn2 - n - 1; tn2 - n; tn2 - n + 1; ...; tn2 + n - 3; tn2 + n - 2,azaz ltalnosan

tn2 - n - 1 + tn2 - n + tn2 - n + 1 + ... + tn2 - 1 == tn2 + tn2 + 1 + ... + tn2 + n - 2

MegjegyzsMivel az n-edik sorban ll utols hromszg-szm indexe n2 + n - 2 s a kvetkez index azn2 + n - 2 + 1 = n2 + n - 1 = (n + 1)2 - (n + 1) - 1,ami pp az (n + 1)-edik sorban ll els hrom-szgszm indexe, gy az sszes hromszgszmmegtallhat a fenti tblzatban.Remlhetleg az ismertetett feladatokkal sikerltaz rdekldst felkeltennk, valamint sztnz-leg hatnunk hasonl sszefggsek keressres bemutatsra. Vgezetl nhny tovbbi fel-adat, melyek tanulmnyozst a Tisztelt Olva-sra bzzuk:

Ltezik-e 2n + 1 darab (n pozitv egsz)egymst kvet pozitv egsz szm gy,hogy els n + 1 darab szm kbeinek sz-szege egyenl az utols n darab szm k-beinek sszegvel?

Ltezik-e 2n darab (n pozitv egsz) egy-mst kvet pozitv egsz szm gy, hogyels n + 1 darab szm (ngyzeteinek, k-beinek) sszege egyenl az utols n - 1darab szm (ngyzeteinek, kbeinek) sz-szegvel?

Vannak-e olyan n-ek, amelyekre teljesl,hogy az els n darab hromszgszm sz-szege egyenl a kvetkez nhny egymsutni hromszgszm sszegvel?

Felhasznlt irodalom[1] Dr. Urbn Jnos: Nhny feladat a diofanti-

kus egyenletek krbl. A Matematika Tan-tsa, 2010/4. sz., 1519.


16 MOZAIK KIAD

Kivonat. Hogyan lehet a heti hrom rs kilen-cedikes matematika tananyagban elhelyeznia Desargues-ttelkrt? Erre adnk rszleges v-laszt, kitrve termszetesen az ltalnostsok,ill. a ksbbi tizedikes alkalmazhatsg lehet-sgre is.

1. Bevezets

r csak szubjektv benyomsokra alapo-zom, de egszen biztosra veszem, hogya geometria szerepe a kzpiskolai ma-

tematika tantrgy keretein bell egszen meg-vltozott, legalbbis a dikok szemben. Egy-fell a szmtgpes animci elterjedse a min-dennapi letben, msfell az animcik min-sgnek intenzv fejldse nyilvnvalan kihatarra, hogy milyen lmnyt vrnak a kzpisko-lsok a vizulis mveltsgterlet tantrgyaitl,illetve ezen bell a geometria tmakrtl. Egyet-len illusztrl plda: mg a 90-es vek elejiga szakkzpiskolkban az brzol geometrit,illetve az ezzel rokon szakrajzot kln tantrgy-knt tantottk, addig ez a terlet mostanra in-tegrldott ms rszterletekkel egytt, mint pl-dul a szmtgpes tervezs, CAD-CAM prog-ramok hasznlata komplexebb mszaki kom-munikcis tantrgyakban. Mindez rtkelheta geometria httrbe szorulsaknt, amennyi-ben geometrin az elemi skgeometrit rtjk.rtkelhet azonban gy is, hogy a geometriakiszabadult a matematikarkrl a vizulis kom-

1 Ksznetemet fejezem ki Wettl Ferencnek, a BME Al-gebra Tanszke docensnek, akivel a perspektivits t-makrben szmomra nagyon tanulsgos beszlgetstfolytathattam.

munikci ltalnosabb szntereire, maga utnhagyva a fogalmai kr szervezdtt vezredesaxiomatikus-verblis vdvet. A szerkeszthet-sg s a diszkusszi korltoz, ill. verblis tev-kenysge utn most a hangsly a lttatson van.

Ennek a hangslyeltoldsnak ksrletkp-pen megfelelve a perspektvt s a trszemlle-tet prbltam bevonni a kilencedikes geometriatananyagba. A feladatokat gy szerkesztettemssze, hogy a szoksos szerkesztseket gyakor-l, alapfogalmakat tismtl feladatok burko-lgrbje egy j tmakrt jelentsen meg, s-pedig a Desargues-ttelt s a hozz kapcsoldttel- s pldakrt. Mindezt gy, hogy lehetlegne bvljn lnyegesen a tananyag, csak n-hny plusz rt s nhny szoksostl eltrfeladatot szrtam be a msodik flves geomet-ria tmakrbe.

A budapesti Sztehlo Gbor Evanglikus Gim-nzium rajz s mvszet tagozatos kilencedike-sei a sajt kezk munkjra rcsodlkozva is-mertk meg a perspektivikus s axonometrikusbrzols elemeit, termszetesen csak az idrvidsgt tekintetbe vev naiv szinten.

A bevezet vgn megemltenm, hogy a cmegy kis indoklsra szorul. A hosszabb verzi biz-tos ez lenne: Mi fr bele a minimlis heti h-rom rba projektv geometribl?. Emelt ra-szmban ugyanis sok izgalmas tmakrt lehetrinteni, ami akr a dik, akr a tanr szmralvezetess teszi a matematikart, j mdsze-rek, megoldsi mdok felmutatsval hasznos-s teszi az adott tmakrre fordtott idt. Mostinkbb azt mutatnm be, hogy alacsony ra-szmban hogyan lehet gy strukturlni a kilen-cedikes geometria tmakrt, hogy mgis bele-frjen egy kicsi msbl is. Az albbi feladatsor

Molnr Zoltn1

Mi fr bele a tananyagba projektvgeometribl?

B


MOZAIK KIAD 17

elssorban matematika tanroknak szl, nemfogalmaztam gy t, hogy az tanknyvrszlet-knt is megllja a helyt. Tantst el kell ksz-teni azzal, hogy a feladatok s magyarzatok sz-hasznlatt az adott dikcsoport ignyeinek sbefogadkpessgnek megfelelen alaktjuk t.

2. Perspektivits

A kiindulpontunk az, hogy a geometrit a tr-elemek illeszkedsnek tmakrvel kezdjk,olyan alapvet feladatok ttekintsvel, ame-lyekben skok, sk s egyenes, egyenesek kl-csns elhelyezkedseit ismerhetjk meg. Eztkveten, az alapszerkesztseket tismtelvemris rtrhetnk nhny, mr az ltalnos is-kolbl jl ismert skbeli transzformci vgre-hajtsra. Az albbiak azonnal kzel visznekminket a projektv geometria fogalmaihoz.

1. feladat. Adott pontbl kicsinytsnk felreegy adott hromszget! (V.: [Kosztolnyi 2003,133. o., 1. plda].)

Megjegyzs. Termszetesen a feladat a matema-tikai szigorsg egy adott fokt megkvetelvecsak a kzppontos hasonlsg alapos ismere-tvel oldhat meg. m, ha ez az ltalnos is-kolban nem volt olyan akadly, ami a szer-keszts kivitelezst bemutathatatlann tettevolna, akkor ez most sem okozhat problmt.

Megolds. Felezzk meg az OA, OB, OC szaka-szokat (1. bra). Ekkor pldul az OAB hrom-szg kicsinytett kpe az OAB hromszg lesz,gy az ABC hromszg oldalainak kicsinytett

kpei rendre az ABC hromszg oldalai lesz-nek.Rgtn rmutathatunk arra, hogy a hromszgs kpe egymshoz a kicsinyts kzppontjravonatkozan perspektv, ltalban pedig:

1. definci. Az ABC hromszg s a nekimegfeleltetett ABC hromszg pontra pers-pektv, ha van olyan pont, melyen a megfelelcscsprok ltal meghatrozott egyenesek mindthaladnak. (V.: [Hajs 1991, 452. o.].)

Az elz feladathoz hasonlan a korbban ta-nult szerkesztsi eljrsok feleleventsre szol-glhat a kvetkez is.

2. feladat. Adott egyenesre tkrzznk egy h-romszget, melynek oldalai nem prhuzamosaka tkrtengellyel! Hol metszik egymst a meg-felel oldalak egyenesei? (V.: [Kosztolnyi2003, 133. o., 1. plda].)

Megjegyzs. Szoksos a tengelyes tkrzst gymegvalstani, hogy kijellnk a tengelyen kttetszleges pontot, majd elbb az egyikbe, majda msikba beszrjuk a krzt s rendre krve-znk a tkrzni kvnt pontokig kinyitott krz-vel. Itt is rdemes kitrni arra, hogy azt gondosrvelssel kne beltni, hogy ez a szerkesztsvalban a tkrkpet adja.

A

A

B

C

B

CO

1. bra

A

A

B

C

B

Mt

C

2. bra


18 MOZAIK KIAD

Megolds. A szerkesztsi pontatlansg dacraa szimmetria miatt mindenki szmra vilgos,hogy az egyenesek a tengelyen metszik egy-mst. Valban, pldul ha az AB oldal egyene-se az M pontban metszi a tengelyt (2. bra), ak-kor az A, B, M pontok kzs egyenesnek kpe(a tkrzs egyenestartsa miatt) az A, B, Mpontok egyenes lesz, melyek metszspontja azM tengelypont.

2. definci. Az ABC hromszg s a nekimegfeleltetett ABC hromszg egyenesre pers-pektv, ha a megfelel oldalegyenesek metszs-pontjai egy egyenesre esnek. (V.: [Hajs 1991,452. o.].)

Tudjuk, hogy az els s msodik feladat a pers-pektivits jellegzetes, de atipikus esetei: az elsalakzat egyenesre is perspektv, de a perspekt-va egyenese az idelis egyenes, a msodik alak-zat pontra is perspektv, de az a pont egy idelispont.2 Ezeket a lnyeges, de kivteles vonatko-zsokat egyelre elhallgathatjuk dikjaink eltt.A teljessg kedvrt azonban itt lerjuk a meg-felel defincikat.

3. definci. Az S sk egymssal prhuzamosegyenesei egy-egy ekvivalenciaosztlyt hat-roznak meg. Ezeket az osztlyokat idelis pon-toknak, az idelis pontok halmazt (I) idelisegyenesnek nevezzk. A P = S I halmaz azidelis elemekkel kibvtett sk, azaz a projektvsk. Az I I idelis pont rajta van az e Segyenesen, ha e I, azaz I az e-vel prhuzamosskbeli egyenesek halmaza. Az idelis pontokrajta vannak az idelis egyenesen. (V.: [Hajs441. o., 44.1.].)

Megjegyzs. Az idelis pontok defincija utna pontra s egyenesre perspektivits fogalmtrdemes rtelemszeren kiterjeszteni az ideliselemekre is. Ez esetben a kicsinytses plda el-rendezse nem csak pontra, de egyenesre vo-natkoz perspektivitst, a tkrzses plda pe-dig pontra perspektvitst is mutat. Az els eset-ben a perspektivits tengelye az idelis egyenes, 2 Lsd [Hajs 1991, 453. o. B megj.].

a msodikban a perspektivits kzppontja a ten-gelyre merleges egyenesek ltal meghatrozottidelis pont. A blcssz rdeklds dikok eltta vilgrt se mulasszuk el megjegyezni, hogya projektv sk szhasznlatban rvnyess v-lik a Bolyai-parafrzis: a prhuzamosok az ide-lis pontban tallkoznak.

3. Desargues ttele

3. feladat. Rajzoljunk kt hromszget, me-lyek pontra perspektvek s ahol a megfeleloldalak egyenesei metszik egymst! Egyenesreis perspektvek-e ezek? (V.: [Hajs 1991, 452.o., Ttel a)].)

Megolds. Termszetesen a vlasz a szerkesztsalapjn csak sejtsknt fogalmazhat meg. A gya-nt, miszerint igen: egyenesre is perspektv azelrendezs, Desargues ttele3 igazolja, melynekegy esett s egy irnyt be fogjuk bizonytani.

Megjegyzs. A Desargues-ttel szoksos tr-geometriai bizonytsa nagy ervel mutatja azta geometriai hagyomnyt, mely az Eukleidszeltti matematikig vezethet vissza s amelyabban a megfigyelsben rhet legjobban tet-ten, hogy az grgk bizonytsra hasznltszava egyszerre megmutatst, beltst is je-lent. Az bra mintegy megelevenedik s ltre-hozza a szemllben a szubjektv bizonyossglmnyt, mindenfle verblis rvels nlkl,afell, hogy a ttel igaz. Az rvel matematikaeltti korrl olvashatunk Szab rpd szmosmunkjban4, de ugyanerre a jelensgre utalReuben Hersh is, amikor rmutat arra, hogyEukleidsz Elemeiben minden egyes ttelnl sze-repel egy bra, mely a beltst segti el, s melyegyltaln nem csak mellkes illusztrci.5

4. feladat. (Desargues-ttel) Bizonytsuk be tr-geometriai eszkzkkel, hogy ha kt hromszgpontra perspektv s a megfelel oldalak egye-nesei metszik egymst, akkor a kt hromszg

3 Lsd [Hajs 1991, 452. o.].4 Lsd klnskppen pl.: [Szab 1997, 19. o.].5 Lsd [Hersh 1997, p. 186].


MOZAIK KIAD 19

egyenesre is perspektv! (V.: [Hajs 1991, 452.o., Ttel a)].)

Megolds. A Desargues-ttel ezen vltozatta trgeometria illeszkedsi tmakrnek kvet-kez gondolatmenetvel igazolhatjuk.6 A skbeliABCABC sokszg (3-4. bra) tekinthet egyhromoldal csonkaglnak, melynek alapskjaaz ABC hromszg skja, a metszs skja pe-dig az A, B, C pontok ltal kifesztett sk.Az ABC oldalegyenesei mind a metsz skban,az ABC minden oldalegyenese az alap sk-jban van. Teht ha ezek az egyenesek metszikegymst, akkor a metszspontok csak a kt skmetszsvonaln lehetnek, azaz egy egyenesbeesnek.

Megjegyzs. Lthat volt, hogy a bizonyts tisz-tn trgeometriai illeszkedsi feladat, s hason-lkppen br kiss sszetettebb mdon a t-tel megfordtsnak igazolsa is tisztn ilyen fel-adat. Kvetkezskpp a Desargues-ttel tekint-het az els geometriai tmakr tismtlsnek,alkalmazsnak.

6 Lsd [Hajs 1991, 453. o., B megj.].

4. ltalnostsok

A Desargues-ttel kimondsa s bizonytsa, haakarjuk, tekinthet az elemi illeszkedsi tmakrgyakorlsnak, ezrt plusz rt nem emszt fl,ismtl rnak minsthet. A Desargues-ttelltalnostsnak tmakre mr azrt egy-ktplusz ra beiktatst ignyli.

A ttel kt irnyba terjeszthet ki. Egyfellgondolkodhatunk azon, hogy a tkrzses fel-adatban szerepl elrendezs alapjn milyen jttelt mondhatunk ki. Ez az t felttelezi, hogybeszltnk a dikoknak az idelis alakzatokrl.

5. feladat. Igazoljuk, hogy ha kt hromszgmegfelel cscsai prhuzamos egyeneseket ha-troznak meg s a megfelel oldalegyeneseikmetszik egymst, akkor a kt hromszg egye-nesre perspektv!

Megolds. A megolds a Desargues-ttel bizo-nytsnak megismtlse hromoldal csonkahasbra.

Megjegyzs. Taln nehzkesnek tnik az lltsmegfogalmazsa, de gondoljunk bele: az idelistrelemek alapos megtantsa, a projektv skaximarendszernek s dualitsi ttelnek is-mertetse egytt mr biztosan nem fr belea fesztett tempj, heti hrom rs rohansba.

A msik ltalnostsi lehetsg a sokszgekesete. Kt n-szg pontra, ill. egyenesre vonatko-z perspektivitsn azt rtjk, hogy megfelelcscsaik kzs pontba rkez egyeneseken van-nak, ill. megfelel oldalegyeneseik kzs egye-nesen metszik egymst.

6. feladat. Rajzoljunk pontra perspektv ngy-szgprokat! Egyenesre perspektvek-e ezek?

Megolds. Mr az els prblkozsokbl kide-rl, hogy ngyszgekre a Desargues-kijelentsltalban nem fog teljeslni. Elg sok szimmet-rit mutat elrendezsre azonban igen, pldulngyzet vagy szimmetrikus trapz nagytott k-peinl.

Megjegyzs. Felvetdik a krds, hogy mi a fel-ttele annak, hogy ha adott az els alakzat, ak-

A

AB

CB

CO

P1P2 P3

3. bra

A

AB

CB

CO

P1P2 P3

4. bra


20 MOZAIK KIAD

kor a pontra perspektivits ltali kpvel egyttmikor lesznek k egyenesre is perspektvek.Sajnos a [Vigassy 1972] szakkri kiadvnybana szerz flrertheten fogalmaz, amikor azt r-ja: St, a [Desargues-]ttel nem csak hrom-szgekre rvnyes, hanem ngyszgekre is stetszleges oldalszm sokszgekre is.7 A ttelsokszgekre ltalban nem igaz.

Megjegyzs. A lehetsges ltalnostsok felku-tatst kezdetben skgeometriai, ill. trgeometriaikonstrukcis feladatknt is felfoghatjuk. Mind-kett rdekes megllaptsokra vezet. Egyfellrdekldhetnk, hogy a Desargues-ttel trgeo-metriai bizonytsa milyen ltalnos elrendez-sekre mkdik mg. Pldul milyen krre, ellip-szisre, sokszgre?Persze ehhez r kell mutatnunk arra, hogy az el-lipszis merleges affinitssal szrmaztathat a kr-bl s hogy az ellipszis tekinthet egy ferde sk-ban lv kr kpnek. Ezek a projekt jellegfeladatok inkbb hzi feladatknt adhatk fl.Msfell felvethetjk a kvetkez skbeli konst-rukcis feladatot is.

7. feladat. Legyen adva egy tetszleges ngy-szg s a perspektivits kzppontja. Rajzoljunkpontra perspektv ngyszget hozz, mellyel egye-nesre perspektv prt alkotnak!

Megjegyzs. Segtsgknt rdemes mondanunk,hogy elszr rajzoljunk kt perspektv hrom-szget, majd vegynk fel egy j sugron egy jpontot s keressk meg a kpt, mely alkalmaslesz. Ezutn knnyen megtallhat a keresettpont. A nehzsg a konstrukci helyessgnekbeltsban van.

Megolds. Vegynk fel az 5. bra szerint egy Opontra perspektv ABC s ABC hromszget,melyek perspektivitsnak tengelye az e egye-nes, amit a megfelel oldalegyenesek P1, P2, P3metszspontjai hatroznak meg. Vegyk fl tet-szlegesen az O-bl indul s sugarat s legyenrajta a D pont tetszleges. Tekintsk a D s Cpontok egyenest, ahol ez az egyenes metszia perspektivits tengelyt, legyen az a P4 pont.

7 Lsd [Vigassy 1972, 59. o.].

Legyen a D pont az a pont, melyben a P4 s Cegyenese metszi az s sugarat. lltjuk, hogy ek-kor az ABDC ngyszg egyenesre perspektv azABDC ngyszghz. Valban, elg a BD, BDegyeneseinek metszspontjt vizsglni, a msikmetszspont hasonlan viselkedik. A CBD sCBD hromszgek pontra perspektvek, gyegyenesre is. A CB s CB egyeneseinek met-szspontja az e-n van (P1), a konstrukci miatta CD s CD egyeneseinek metszspontja is aze-n van (P4). A CBD s CBD hromszgekperspektivitsi tengelye teht egybeesik az e-vel,mely gy a ngyszgek szmra is a perspek-tivits tengelye lesz.

A

A B

C

D

B

C

e

D

s

O

P1 P4P2 P3

5. bra

Megjegyzs. Az rvels szinte grfelmleti s va-lban, az ltalnosts skbeli teljes grfokrl szl.8

4. definci. Teljes n cscspont sokszg alattrtnk a skon n klnbz pontot az ket sz-

szekt ( 1)

2n n

egyenes szakasszal egytt.

(V.: [Dowling 1917, p. 13, Sect. 13].)Ekkor egy lehetsges sokszges ltalnostst fo-galmaz meg az albbi feladat.

8. feladat. Legyen adva az S s S egymsnakmegfeleltetett teljes n-szg, valamint az O ponts a sokszgekben az a, a lpr. Ha mind azn - 2 darab T, T hromszgpr rendre az S, Ssokszgekben, melynek oldala rendre az a, a laz O-ra perspektv, akkor a kt sokszg is pont-ra perspektv. (V.: [Dowling 1917, p. 24, Ex.6].)

8 Lsd a [Dowling 1917] tanknyvet.


MOZAIK KIAD 21

Megjegyzs. A feladat megoldsa kzvetlenladdik az albbi feladatbl.

9. feladat. Igazoljuk, hogy kt teljes ngyszgegyenesre perspektv, ha bennk kt hromszgegyazon egyenesre perspektv. (V.: [Dowling1917, p. 23, Sect. 20, Thm. II].)

Megjegyzs. Ennek a feladatnak a megoldsaa 7-es konstrukcis feladattal rokon. A rszletesmegoldst lsd itt: [Dowling 1917, p. 2324].

5. Alkalmazsok

A tmakr szmos alkalmazsra lelhet a skgeo-metria tmakrben. Csak zeltknt nhny,elssorban illeszkedssel kapcsolatos plda.

10. feladat. Tekintsk az ABC nem egyenlszr hromszget. A magassgok talppontjailegyenek Ta, Tb, Tc. Legyen P az a oldal s TbTcegyenese, Q a b oldal s a TaTc egyenese s Ra c oldal s a TaTb egyenese ltal alkotott met-szspont. Igaz-e, hogy P, Q s R egy egyenesbeesik?

tmutats. A hromszg s talpponti hrom-szge egymshoz pontra perspektv.

11. feladat. Tekintsk egy hromszg belsszgfelezinek a bert krrel alkotott metszs-pontjait. Ebbl a hat pontbl alkossunk leg-albb hrom olyan hromszget, melyek azadott hromszggel pontra perspektvek!

tmutats. Az oldalhoz kzelebbi metszspon-tok, a cscsokhoz kzelebbi metszspontok ill.pldul kt cscshoz kzelebbi s egy oldalhozkzelebbi metszspont hrmasa.

12. feladat. Legyenek egy hromszg hozzrtkreinek kzppontjai: K1, K2, K3, a bert k-rnek kzppontja K. Egyenesre, ill. pontra pers-pektvek-e a K1K2K, K3K2K hromszgek? Haigen, mi a perspektivits centruma s tengelye?

tmutats. A K1K3 szakasz egyenese thalad egycscson, a K2K szintn ugyanezen. Kt-kt meg-feleltetett oldal metszspontja kijelli a tengelyt.

13. feladat. Legyen az ABC nem egyenl sz-r hromszg. Legyen Fa az a oldal, Fb a b ol-dal felezspontja, O a krlrt krnek kzp-pontja, M a magassgpontja. Igazoljuk, hogy azABM hromszg s az FaFbO hromszg azidelis egyenesre perspektv! Melyik a perspek-tivits kzppontja?

tmutats. Prostsuk gy a kt hromszg ol-dalait, hogy azok egymssal prhuzamosak le-gyenek. Ekkor a perspektivits tengelye az ide-lis egyenes lesz.

14. feladat. Az elz feladatnl melyik kzp-pontra perspektv a kt egyenesre is perspektvhromszg? Igazoljuk ebbl, hogy O, M s azABC hromszg slypontja egy egyenesbe es-nek (Euler-egyenes).

tmutats. Kt-kt megfelel cscs egyenese t-halad a slyponton. A harmadik cscspr egye-nese is ezen kell, hogy thaladjon a pontra vo-natkoz perspektivits folytn.

Hivatkozsok[1] [Hajs 1991] Hajs Gyrgy (1991): Bevezets

a geometriba. Tanknyvkiad

[2] [Szab 1997] Szab rpd, A grg mate-matika. In: Csky Gbor (szerk.) (1997): Ma-gyar Tudomnytrtneti Szemle Knyvtra

[3] [Hersh 1997] Reuben Hersh (1997): What IsMathematics, Really? Oxford University Press

[4] [Vigassy 1972] Vigassy Lajos (1972): Geo-metriai transzformcik. Kzpiskolai szak-kri fzetek, Tanknyvkiad

[5] [Dowling 1917] L. Wayland Dowling (1917):Projective Geometry. McGraw-Hill, NewYork

[6] [Kosztolnyi 2003] Kosztolnyi J. at al.(2003): Sokszn Matematika 10. Mozaik Ki-ad, Szeged


22 MOZAIK KIAD

gy olyan skgeometriai ttellel kvnunkfoglalkozni, amely sszefggst fejez ki a pa-ralelogramma oldalai s tli kztt: A pa-

ralelogramma tlinak ngyzetsszege egyenlaz oldalak ngyzetsszegvel ([3] 111. oldal1671. feladat, [4] 32. oldal 289. feladat).

Az ABCD paralelogrammra az a = AB = CD,b = AD = BC, e = AC s f = BD jellseket elfo-gadva (1. bra) az elbbi llts az e2 + f2 == 2(a2 + b2) algebrai alakba rhat. Geometria-ilag ez a ttel azt jelenti, hogy a paralelogram-ma tli fl rajzolt ngyzetek terleteinek sz-szege egyenl az oldalak fl rajzolt ngyzetekterleteinek sszegvel.

A ttel algebrai alakjt tekintve felvetdheta krds, hogy van-e olyan paralelogramma,amelyre e2 = 2a2 s f2 = 2b2 teljesl. A vlaszmegadshoz az ABD s AOD hromszgekrefelrt koszinuszttel rvn hasonltsuk ssze aza = m(BAD) s j = m(AOD) szgeket (2. b-ra, ahol a PQRS paralelogramma oldalai pr-huzamosak az ABCD megfelel tlival):

2 22

2 2 2 22 2cos

2 22 2

e fba b f

e fab

+ + = = =

a

2 22

4 4 cos ,2

2 2

e fb

e f

+ = =

j

ahonnan 0 < a, j < 180 miatt a = j kvetkezik,mivel a ]0; p[ intervallumon a koszinusz fgg-vny szigoran monoton. Megfordtva: tegyk

fel, hogy a = j teljesl. Ekkor az 2 2 2

2a b f

ab+

=

=

2 22

4 4 ,2

2 2

e fb

e f

+

az e2 + f2 = 2(a2 + b2), tovb-

b az ABCD s PQRS paralelogrammk ter-leteinek sszehasonltsbl add 2ab = ef sz-szefggsekbl rvid szmolssal elbb f2 = 2b2,majd e2 = 2a2 kaphat. Megllapthat teht,hogy e2 = 2a2 s f2 = 2b2 pontosan akkor llfenn, ha a paralelogramma oldalainak szgeegyenl az tli szgvel, vagyis ez a paralelog-ramma sem tglalap, sem rombusz nem lehet.

Tglalap esetn az tlk egyenlsge miatta paralelogrammattelbl visszajutunk a Pitago-rasz-ttelhez: e2 = a2 + b2. Rombusz esetn azoldalak egyenlsge miatt e2 + f2 = 4a2 addik,ami az tlk merlegessge rvn geometriailagnagyon jl szemlltethet. Ehhez a BD tlttoljuk el gy, hogy D kpe a C pontba essen(3. bra). Ekkor egy olyan ABC derkszghromszget kapunk, melynek kt befogja es f, az tfogja pedig 2a hosszsg, s a hozztartoz pitagoraszi alakzat a keresett szemllte-

Dr. Darvasi Gyula

A paralelogrammattel

E

A B

CD

O

a

a

b be f

1. bra

A

P

Q

R

S

j

a

j jO

B

CD

2. bra


MOZAIK KIAD 23

ts: e2 + f2 = AC2 + BC2 = t(ACEK) + t(BLFC) == t(AMNB) = (AB)2 = (2a)2.

A paralelogrammattel szemlltetse az a > bs e > f ltalnos esetben ugyangy kezddhet:az ABCD paralelogramma megadsa utn aBD tlt toljuk el gy, hogy D = C teljesljn(4. bra). Az gy elll ABC hromszgbenAB = 2AB = 2a, AC = e, BC = f s m(ACB) == 180 - j. Ezutn az ,AB ,BB AC s B Cszakaszok fl szerkessznk ngyzeteket, tovb-b a kt b oldal ngyzetbl sszelltott b s

2b oldal tglalapot alaktsuk t egy 2a s 2b

aoldal tglalapp ([3] 102. oldal 1531. feladat),amit az AB -re rajzolt a s 2a oldal tglalap

al illesztve egy 2a s 2 2a b

a+

oldal AMNB

tglalapot kapunk. Ennek a terlete 2(a2 + b2),s gy az a paralelogrammattel szerint egyenlaz AC s B C szakaszok fl rajzolt ACEK sBLFC ngyzetek terleteinek e2 + f2 sszeg-vel. Knnyen szrevehet, hogy az ACEK sBLFC ngyzetek, valamint az AMNB tglalapegyttesen olyan alakzatot adnak, amely tda-rabolsval eljuthatunk az ABC hromszgrevonatkoz Papposz-ttelhez ([3] 100. oldal 1508.s 1509. feladatok). E clbl legyen G az EK

HJJG

s FLHJJG

egyenesek, tovbb P s Q a CGHJJG

-nek

az ,ABHJJJG

illetve MNHJJJG

egyenesekkel alkotott met-szspontja. A kvnt tdarabolhatsghoz megkell mutatnunk, hogy CG = PQ teljesl. Minthogya CG szakasz a CFGE ngyszg kr rhat kkr tmrje, ezrt a CEF hromszgre felrtltalnos szinuszttel ([1] 17. oldal 1.1.1. ttel)

szerint 2

.sin

bCG =

j A PQ szakasz hossznak

meghatrozshoz szksgnk lesz az APC-re,amihez legyen g1 = m(CGE), g2 = m(CGF),

x = PB s d = m(APC). Ekkor sing1 =CECG

=

=sin

,2

ebj

sing2 =CFCG

=sin

,2

fbj

tovbb az

APC s BPC hromszgekre felrt szinuszttel

szerint APAC

=2a x

e

= 1sinsingd

s

B PB C

=xf

=

= 2sin

,sin(180 )

gd

amibl 2 2( )sin

sin ,4

e fab

+= jds ezltal a PQR derkszg hromszgbl

PQ = sinPRd

=

sinB Nd

= 2 2

2 24

( )sina b ab

a e f+ + j =

=2 2

2 22 2( )

,sin

b a be f

+ +j ahonnan a paralelogram-

K

a

a a

ae

e f f f

a

a

a

NM

F

E

D

O

A B B

C = DL

3. bra

j

j

g1 g2

d

d

a

aa

b

B

M

B PA

LC = DD

e

e

f f

f

O

EG

K F

k

NRQ

b b

b

2b

ba2

a2 + ba

2

4. bra


24 MOZAIK KIAD

mattel szerint 2

,sin

bPQ =

j s gy PQ = CG k-

vetkezik. Ezutn a kvnt tdarabols elvgez-het, ha a CG

HJJG egyenessel az A s B ponton t

prhuzamosokat hzunk.Az ABCD paralelogrammbl a BD tl,DC

JJJK illetve az AC tl DA

JJJK vektor eltolsval

egyrtelmen llthatk el az ABC illetve azABD hromszgek (5. bra), amelyek brme-lyikt tekintve a paralelogrammattel e2 + f2 == 2(a2 + b2) algebrai alakja a kvetkez llts-hoz vezet: A hromszg kt oldalnak ngyzet-sszege egyenl a harmadik oldalhoz tartozslyvonal s a harmadik oldal fele ngyzetsz-szegnek a ktszeresvel. Ez az ltalnos rv-ny llts az Apolloniusz-ttel ([5]). S minthogyaz ABC (vagy az ABD) hromszgbl kiindul-

va szintn egyrtelmen juthatunk vissza azABCD paralelogrammhoz, ezrt a paralelog-rammattel s az Apolloniusz-ttel brmelyikekvetkezik a msikbl, vagyis ez a kt ttel ekvi-valens egymssal. Az Apolloniusz-ttel geomet-riai megfogalmazsa s szemlltetse itt kitrtjelentene, gy azt tengedjk az olvasnak. Meg-jegyezzk mg, hogy az Apolloniusz-ttel a Ste-wart-ttelnek ([2] 319. oldal 36.4/1. ttel) a h-romszg slyvonalra vonatkoz specilis esete.

A paralelogrammattel felfedezhet a Pita-gorasz-ttel ismeretben (6. bra). Ehhez els-knt szerkessznk egy olyan derkszg hrom-szget, melynek befogi egybevgk az ABCDparalelogramma AC s BD tlival: az tfogfl rajzolt ngyzet terlete e2 + f2. Ezutn szer-kessznk egy olyan derkszg hromszget,melynek befogi 2a s 2b hosszak: az tfogfl rajzolt ngyzet oldalainak felezpontjaitsszektve egy 2(a2 + b2) terlet ngyzetet ka-punk. Kell pontossg szerkeszts esetn e ktngyzetet kivgva meggyzdhetnk arrl,hogy azok klcsnsen fedik egymst: ezltaleljuthatunk a ttel megfogalmazshoz is. A t-tel felfedezst kvetheti annak bizonytsa,amire most hat klnbz mdot ismertetnk.

1. md: Pitagorasz-ttel alapjn ([3] 111.oldal 1671. feladat).

Ha C s D jelli a C s D pontokbl azABHJJG

egyenesre lltott merlegesek talppontjait(7. bra), akkor CC = DD = m s AD = BC == x jellsekkel az ACC, BDD s BCC derk-szg hromszgekre e2 = (a + x)2 + m2, f2 == (a - x)2 + m2 s b2 = m2 + x2 teljesl, amiblrvid szmolssal a ttel lltshoz jutunk.

2. md: Stewart-ttel alapjn ([2] 319. oldal36.4/1. ttel)

Minthogy a paralelogrammattel ekvivalensaz Apolloniusz-ttellel, ami viszont a Stewart-ttelspecilis esete, ezrt knnyen clba rhetnk,ha a Stewart-ttelt alkalmazzuk az 5. brn lvABC hromszgre: AB(BC2 + AB BB) == AC2 BB + BC2 AB, vagyis 2a(b2 + a2) == e2 a + f2 a, amit a-val elosztva a bizony-tand lltst kapjuk. Ugyangy clt rhetnk,ha a Stewart-ttelt az ABD hromszgre alkal-mazzuk.

3. md: Analitikus geometriai ton ([8])Az A pontot orignak vlasztva legyen AB

HJJGegyenes az x tengely (8. bra). Ekkor a parale-logramma alaptulajdonsgai miatt bevezethetk

j

ja

a

aBA

A

C = D

B = C

D

e

180 j

fOb

b

b

5. bra

af

f

e

e

a

bb 2b2a

2( )a2 + b2

e f2 + 2

6. bra

A x xB

CD

D Ca

a

b m mb

e

f

7. bra


MOZAIK KIAD 25

a kvetkez koordintk: A(0, 0), B(x1, 0),D(x2, y2) s C(x1 + x2, y2), s gy AC2 == (x1 + x2)2 + (y2)2 s BD2 = (x2 - x1)2 + (y2)2,amelyek megfelel oldalait sszeadva AC2 ++ BD2 = 2[x1

2 + (x2

2 + y2

2)] = 2(AB2 + AD2) addik.

4. md: Koszinuszttel alapjn ([6], [4] 32.oldal 289. feladat )

Kt vltozatot fogunk bemutatni. Mindket-tben felhasznljuk a cos(180 - x) = -cosxazonossgot.

Az els vltozatban (8. bra) a koszinuszt-telt az ABC s ABD hromszgekre alkalmaz-zuk: e2 = a2 + b2 - 2abcos(180 - a) = a2 + b2 ++ 2abcosa s f2 = a2 + b2 - 2abcosa, amelyekmegfelel oldalait sszeadva ksz a bizonyts.

A msodik vltozatban (5. bra) a koszi-nuszttelt az ABC s ABD hromszgekre al-kalmazzuk: (2a)2 = e2 + f2 - 2efcos(180 - j) == e2 + f2 + 2efcosj s (2b)2 = e2 + f2 - 2efcosj,amelyeket sszeadva s 2-vel osztva jutunk clba).

5. md: Vektorok skalris szorzsval ([2]264269. oldal)

Felhasznljuk a skalris szorzs azon tulaj-donsgt, hogy brmely vektor nmagval vettskalris szorzata egyenl a vektor hossznak

ngyzetvel: 22 .v v v v= = A 8. bra jellseitelfogadva legyen ,a AB= JJJK ,b AD= JJJK e AC= JJJK s

.f DB= JJJK Ekkor e a b= + s f a b= miatt e2 + f2 = 2e + 2f = 2( )a b+ + 2( )a b =

= ( )2 22a ab b+ + + ( )2 22a ab b + = 2 22( )a b+ == ( )2 22 a b+ = 2(a2 + b2).

6. md: Komplex szmokkal ([7])Felhasznljuk a komplex szmok szorzs-

nak azon tulajdonsgt, hogy brmely komplexszmot a konjugltjval megszorozva ered-

mnyknt a komplex szm abszolt rtknek

ngyzett kapjuk: 2 .zz z= Ha az ABCD pa-ralelogramma A cscst orignak vlasztva(8. bra) z1 s z2 a B, illetve D pont helyvekto-rhoz rendelt komplex szmot jelli, akkor

e2 + f2 = 21 2z z+ + 21 2z z == ( )1 2 1 2( )z z z z+ + + ( )1 2 1 2( )z z z z == ( )1 2 1 2( )z z z z+ + + ( )1 2 1 2( )z z z z =

= ( )1 1 2 22 z z z z+ = ( )2 21 22 z z+ = 2(a2 + b2).Mindezek utn foglalkozzunk a paralelog-

rammattel kt ltalnostsval.Az els ltalnostshoz az ABCD paralelog-

ramma KM s LN kzpvonalait tekintve(9. bra) KM AB s LN AD ([2] 82. oldal14.3/2. ttel) miatt KM = a s KN = b teljesl,vagyis a paralelogrammattelben az oldalakhelyett a kzpvonalak is llhatnak. Ez az sz-revtel a kvetkez mdon ltalnosthat:Brmely ngyszgben az tlk ngyzetsszegeegyenl a kzpvonalak ngyzetsszegnekktszeresvel ([3] 112. oldal 1677. feladat).Ugyanis tetszleges ABCD ngyszg oldalainakfelezpontjai (10. bra) egy KLMN paralelog-rammt adnak ([1] 89. oldal 3.1.1. ttel),melynek oldalai a ngyszg tlival prhuza-mosak s feleakkora hosszsgak: KN = LM =

=2

AC s KL = MN = .

2BD

Ennlfogva KLMN-

re a paralelogrammattel szerint

KM2 + LN2 = 2(KN2 + KL2) =

=2 2

22 2

AC BD + =2 2

,2 2

AC BD+

ahonnan AC2 + BD2 = 2(KM2 + LN2).

A x

y

B

CD

a180 aa

a

b b

e

f

8. braA

K

L

M

N

B

CD

O

9. bra


26 MOZAIK KIAD

A msodik ltalnostshoz legyen E s F atetszleges ABCD ngyszg AC s BD tlj-nak a felezpontja (11. bra). Ekkor a kvetke-z llts fogalmazhat meg: Brmely ngyszgtlinak ngyzetsszege egyenl az oldalakngyzetsszegnek s az tlk felezpontjaitsszekt szakasz ngyzete ngyszeresnek aklnbsgvel ([3] 112. oldal 1678. feladat). Ezaz llts az brnk jellseivel az e2 + f2 = a2 ++ b2 + c2 + d2 - 4x2 algebrai alakba rhat, s abizonytsa elvgezhet az Apolloniusz-ttelalbbi ciklikus alkalmazsval:

ABC-re: 2

2 2 22 ,4e

a b BE + = +

BCD-re: 2

2 2 22 ,4f

b c CF + = +

CDA-re: 2

2 2 224e

c d DE + = + s

DAB-re: 2

2 2 22 ,4f

d a AF + = + tovbb

AFC-re: 2

2 2 224e

AF CF x + = + s

BED-re: 2

2 2 22 ,4f

BE DE x + = +

ahonnan az els ngy egyenlet megfelel olda-lait sszeadva s 2-vel osztva: a2 + b2 + c2 + d2 =

=2 2

24 4e f + + (AF

2 + CF2 + BE2 + DE2), majd

a kt utols egyenletet is sszeadva: AF2 + CF2 +

+ BE2 + DE2 = 4x2 + 2 2

2 ,4 4e f + amit az elb-

bi egyenletbe helyettestve s rendezve a bizo-nytand sszefggs addik.

Vgezetl tekintsk ezt a msodik ltalno-stst a paralelogramma, a trapz s a deltoidspecilis eseteiben.

Paralelogramma esetn c = a, d = b s x = 0miatt az ltalnostsbl visszajutunk a parale-logrammattelhez. Ha pedig egy konvex ngy-szgre x = 0 teljesl, akkor ezen ngyszg tli-nak felezpontjai egybeesnek, vagyis ez a ngy-szg paralelogramma. Teht egy konvex ngy-szg pontosan akkor paralelogramma, ha rv-nyes r a paralelogrammattel.

Az a s c alap, valamint b s d szr tra-

pzra a > c esetn ,2

a cx

= s ennlfogva ez azltalnosts e2 + f2 = b2 + d2 + 2ac alak lesz.

Ha a deltoidra b = a, d = c s az e tl

egyenese a szimmetriatengely, akkor x = 2e

2

2

4f

c miatt e2 = a2 - c2 2 24e c faddik, ahol + illetve jel ll aszerint, hogy adeltoid konvex vagy konkv.

Irodalom[1] Coxeter, H.S.M. Greitzer, S.L. (1977): Az

jra felfedezett geometria. Gondolat[2] Hajs Gyrgy (1966): Bevezets a geometri-

ba. Tanknyvkiad[3] Horvay K. Reiman I. (1987): Geometriai

feladatok gyjtemnye I. Tanknyvkiad[4] Sos P. Czapry E. (1991): Geometriai

feladatok gyjtemnye II. Tanknyvkiad[5] http://en.wikipedia.org/wiki/

Apollonius'_theorem[6] http://lexikon.fazekas.hu/147[7] http://www.nerdburrow.com/

complexparallelogramlaw/[8] www.unlvkappasigma.com/

parallelogram_law/

A

K

L

M

N

B

C

D

10. bra

A B

C

DE

F

a

be

f

x

d

c

11. bra


MOZAIK KIAD 27

TIT Teleki Lszl Ismeretterjeszt Egye-slet hagyomnyosan Vcott, a Tn-csics Mihly Mezgazdasgi Szakkpz

Iskolban rendezte meg 2012. jnius 2729-iga Kalmr Lszl Matematikaverseny dntjt.A dnt fordulba az orszg minden rszblsszesen 97, 58. osztlyos tanul kapott meg-hvst; azok, akik a verseny megyei (fvrosi)forduljban a legjobb eredmnyt rtk el.

A ktforduls dntn az sszestett eredm-nyek alapjn a legjobb helyezseket a kvetke-z tanulk rtk el:

5. vfolyam

I. Kerekes Anna, Budapest, Hajs Alfrd KtTantsi Nyelv Iskola (tanra: SztanZsuzsanna)

II. Mszros Anna, Budapest, Etvs Jzsefltalnos Iskola (tanra: Vincze Imrn)

III. Szab Blanka, Nyregyhza, Etvs JzsefGyakorl ltalnos Iskola s Gimnzium(tanrai: Rka Sndorn, Rka Sndor)

6. vfolyam

I. Molnr-Sska Zoltn, Budapest, Vrosli-geti ltalnos Iskola (tanrai: Turnyi Zsu-zsanna, Psa Lajos)

II. Imolay Andrs, Budapest, Pannnia lta-lnos Iskola (tanra: Nagypl Ildik)Lakatos dm, Budapest, lds utcai l-talnos Iskola (tanra: Krucki Mria)

III. Alexy Marcell, Vc, Juhsz Gyula ltal-nos Iskola (tanra: Horvth Gborn)

7. vfolyam

I. Gl Hanna, Szeged, Radnti Mikls K-srleti Gimnzium (tanrai: Mike Jnos,Schultz Jnos)

II. Williams Kada, Szeged, Radnti Mikls K-srleti Gimnzium (tanrai: Mike Jnos,Schultz Jnos)

III. Almsi Nra, Debrecen, Fazekas MihlyGimnzium (tanrai: Lakatos Tibor, TthMariann, Psa Lajos)

8. vfolyam

I. Szab Eszter, Nyregyhza, Krdy GyulaGimnzium (tanrai: Katonn CserepesMria, Varga Szilveszter)

II. Sal Kristf, Pcs, Koch Valria ltalnosIskola (tanrai: Kamars Lajos, Liptk va,Psa Lajos)

III. Szab Barnabs, Budapest, Fazekas Mi-hly Gyakorl ltalnos Iskola s Gimn-zium (tanrai: Tborn Vincze Mrta, Gye-nes Zoltn)

A dnt kt napjra a versenybizottsg a k-vetkez feladatokat tzte ki:

5. vfolyam1. nap

1. Melyik az a legkisebb, tzes szmrend-szerbeli pozitv egsz szm, amelyben a szmje-gyek szorzata 200?

Dr. Kiss Sndor Dr. Urbn Jnos

Beszmol a 41. Orszgos Kalmr LszlMatematikaverseny dntjrl

A


28 MOZAIK KIAD

2. Adjunk meg hrom klnbz pozitvegsz szmot gy, hogy a kzps szm a m-sik kett sszegnek a fele, s a hrom szmszorzata egy egsz szm ngyzete legyen!

3. Szmtsuk ki 1-tl 10 000-ig a pozitvegsz szmok szmjegyeinek sszegt!

4. Van 60 darab 1 cm oldal kis kocknk,tmr tglatestet akarunk bellk pteni. Hnyklnbz tmr tglatest pthet ezekbl, haaz ptshez mind a 60 kis kockt fel kell hasz-nlni?

6. vfolyam1. nap

1. Kt pozitv egsz szm klnbsge 2012.Ha a nagyobbik szm vgrl elhagyjuk a 0szmjegyet, akkor az gy kapott szmnak a 6-szorosa a kisebbik szm. Melyik ez a kt szm?

2. Melyik az a legkisebb pozitv egsz szm,amely oszthat 7-tel, de 2-vel, 3-mal, 4-gyel s5-tel osztva mindig 1 maradkot ad?

3. Adjunk meg 4 klnbz pozitv egszszmot gy, hogy ha ezeket pronknt ssze-adjuk, akkor a kapott szmok hat egymst k-vet pozitv egsz szmot alkotnak.

4. Az 5 5-s sakktbla minden mezjreegy-egy bogarat tesznk. Adott id alatt min-den bogr tmszik valamelyik lben szomsz-dos mezre. Elfordulhat-e, hogy ekkor is min-den mezn lesz bogr?

7. vfolyam1. nap

1. Szmtsuk ki a kvetkez 13 trt ssze-gt:

11 1111 111111 11...11... .

13 1313 131313 13...13+ + + +

2. Tz klnbz pozitv egsz szm sszege62. Igazoljuk, hogy a szmok szorzata oszthat60-nal.

3. Az a, b s c betk szmjegyeket jellnek.Van-e ngyzetszm az abcabc alak hatjegytzes szmrendszerbeli szmok kztt?

4. Melyek azok az n egsz szmok, ame-

lyekre a 3 6

3n

n+ trt rtke egsz szm?

5. Egy tetszleges hromszget daraboljunkfel ngy egyenlszr hromszgre.

8. vfolyam1. nap

1. Melyek azok az n egsz szmok, ame-

lyekre az 2 5 10

3n n

n+ +

+ trt rtke is egszszm?

2. Lehet-e 2100 legalbb kt egymst k-vet pozitv egsz szm sszege?

3. Egy szablyos dobkockt hromszor fel-dobunk. Hnyfle eredmnyt kaphatunk, hacsak az szmt, hogy hny 1-est, 2-est, 3-ast, 4-est, 5-st, 6-ost dobtunk?

4. Az ABC hromszg AB s AC oldalra(kifel) megszerkesztjk az ABDE s ACFG pa-ralelogrammkat. A DE s FG egyenesek a Ppontban metszik egymst. A B, illetve C pontont az AP egyenessel prhuzamosokat hzunk,ezek a DE, illetve FG egyeneseket a Q, illetve Rpontban metszik. Igazoljuk, hogy BCRQ ngy-szg paralelogramma, s ennek terlete egyen-l az ABDE s ACFG paralelogrammk terle-tnek sszegvel.

5. Oldjuk meg a pozitv egsz szmok hal-mazn a kvetkez egyenletet:

a b + 2a + 3b = 36.


MOZAIK KIAD 29

5. vfolyam2. nap

1. Hny olyan tzes szmrendszerbeli hrom-jegy szm van, amelyben a szmjegyek (balrljobbra) nvekv sorrendben kvetik egymst?s hny olyan van, amelyben cskken sor-rendben kvetik egymst?

2. Hny olyan 4-jegy, tzes szmrendszer-beli szm van, amely nem vltozik, ha felcserl-jk az egyesek s az ezresek helyn ll szm-jegyt?

3. Lerjuk egyms mell sorra 1-tl kezdvea pozitv egsz szmokat:

123456789101112 .

Melyik szmjegy ll ebben a sorban a 2012-dikhelyen?

4. Egy 5 cm oldal szablyos hromszgetaz oldalaival prhuzamos egyenesekkel 1 cm ol-dal kis szablyos hromszgekre bontottunk.Hny olyan szablyos hromszg van, amely-nek cscsai az gy kapott hl rcspontjai kzlkerlnek ki?

6. vfolyam2. nap

1. Melyik nagyobb: 2300 vagy 3200?

2. Szmtsuk ki minl egyszerbben a k-vetkez sszeget:

1 1 1 1 1... .

2 9 3 12 4 15 5 18 31 96+ + + + +

3. Egy futversenyen kt csapat indult, min-degyik csapat 7 versenyzvel. Mindenki annyipontot kapott 1 s 14 pont kztt, ahnyadikhelyen vgzett (holtverseny nem volt). A vgnsszeadtk a csapattagok pontjait, ez lett a csa-patverseny eredmnye. Teht az a csapat gy-ztt, amelyiknek kevesebb pontja lett. Hnyflepontszmot rhetett el a gyztes csapat?

4. Hny olyan 3, 4 s 5 hosszsg sorozatvan, amelynek minden tagja a 0 vagy az 1 szm-jegy, s nincs benne kt szomszdos 1?

7. vfolyam2. nap

1. 13 klnbz pozitv egsz szm sszege92. Melyek ezek a szmok?

2. Egy rgi feladat: Egy gazdag ember el-ment a vsrba s vett kecskket, birkkat smalacokat. A kecskk darabjrt 2 aranyat, a bir-kk darabjrt 4 aranyat, a malacok darabjrt5 aranyat fizetett, gy sszesen 54 aranyat adottki az llatokrt. 22 llatot vitt haza a vsrbl.Hnyat vitt haza az egyes llatfajtkbl?

3. Az a s b szmjegyekrl tudjuk, hogya b = a + b + 1. Melyek lehetnek a 10a + b ala-k ktjegy szmok?

4. Adott egy 120-os szrszg egyenl sz-r hromszg. Daraboljuk fel 5 egyenl szrhromszgre!

8. vfolyam2. nap

1. Igazoljuk, hogy 121, 10201, 1002001teljes ngyzet (ngyzetszm). ltalnostsunk!

2. Szablyos hromszget daraboljunk fel 5egyenlszr hromszgre!

3. Hny olyan ngyjegy szm van, amely-ben a szmjegyek (balrl jobbra) nem cskkensorrendben kvetik egymst?

4. Igazoljuk, hogy x2 + y2 + 2x - 4y + 7 2,ha x, y tetszleges vals szmok.

A versennyel kapcsolatos tovbbi informcik(tbbek kztt a kitztt feladatok megoldsai)megtallhatk a http://www.kalmarverseny.huhonlapon.


30 MOZAIK KIAD

szatmrnmeti dr. Kiss Sndor tanr rjabb knyvt ismertetjk rviden. AzAnalitikus geometriai mdszerek kom-

paratv vizsglata (ISBN 978-973-30-2110-0)cm knyvt a romn Orszgos Kutatsi Hat-sg tmogatsval a bukaresti Editura Didactica

si Pedagogica adta ki 2008-ban 500 pldny-

ban. A knyv a 171. oldalon vgzdik. Lekto-rok: Kovcs Zoltn (Nyregyhzi Fiskola) sPll R. Olga (Cskszereda). A knyvet a kiadtllehet megrendelni. (www.edituradp.ro, [email protected], [email protected] )

A knyv elszava utn az analitikus geomet-ria kialakulst s rvid trtnett olvashatjuka 1015. oldalon. Itt ismert s kevsb ismertnevekkel tallkozhatunk, ezek kzl nhnyan:Apollniosz, Hipparkhosz, Klaudiosz Ptolemai-osz, Descartes, Fermat, Oresme, van Schooten,Wallis, de Witt, Newton, Euler, Plcker, Hachet-te, Biot, Lacroix, Monge, Poncelet. A szerz meg-emlti, hogy az analitikus geometria kifejezstSylvestre Franois Lacroix (17651843) hasz-nlta elszr persze franciul , 17971798-ban kiadott egyik hres knyvben.

A jellsek elvezetse utn az 1. fejezet c-me: Koordinta-rendszerek s koordintk azeuklideszi skon. Itt trgyalja a szerz a derk-szg koordintkat s a ferdeszg koordin-tkat. Utbbiaknak szentelte a szerz a korbbiknyvt: A hromszg nevezetes krei. Hrom-

szgmrtan ferdeszg koordintkkal, ErdlyiTanknyvtancs, Kolozsvr, 1999. Ezt korb-ban mr ismertette A Matematika Tantsa(2001/5. 1819. oldal).

Majd mg ugyanebben a fejezetben a kont-ravarins s kovarins koordintk, valdi trili-neris koordintk, trilineris koordintk, bari-centrikus koordintk, terleti koordintk, ho-mogn egyenletek, homogn koordintk s ide-lis skelemek kvetkeznek.

Itt felidzzk H. S. M. Coxeter geomter v-lemnyt, aki szerint: A homogn koordintkbevezetse, ami Mbius rdeme, a matematikatrtnetnek egyik legnagyobb horderej gon-dolata; (A geometrik alapjai, MszakiKnyvkiad, Budapest, 1987. 227. oldal).

A jelenleg trgyalt knyv 2. fejezete: Koor-dinta-transzformcik. E fejezetben az elzkoordintk kztti kapcsolatokat trgyaljaa szerz keresztl-kasul. A 3. fejezet: Skmr-tani alakzatok s a kzttk fennll kapcsola-tok algebrai jellemzse klnbz koordinta-rendszerekben. A 4. fejezet trgyalja az Alkal-mazsok-at. Az alkalmazsok kztt szerepela kpszeletek egyenletei derkszg s polrko-ordintkban, majd ugyanez a kevsb ismertferdeszg koordinta-rendszerekben, s az l-talnostott Fermat-pontok metrikus jellemzse.

Majd a szerz egy nll eredmnye kvet-kezik, mgpedig Clark Kimberling egyik sejts-

Csete Lajos

Kiss Sndor: Analitikus geometriaimdszerek komparatv vizsglatacm knyvnek rvid ismertetse

A


MOZAIK KIAD 31

nek igazolsa kontravarins koordintk alkal-mazsval.

Clark Kimberling (Evansville-i Egyetem) a k-vetkezt sejtette: ha a hromszg hegyesszg,akkor a hromszg talpponti hromszgnekrint hromszge s rint hromszgnek talp-ponti hromszge prhuzamosan hasonlk.

(Kimberling, C.: Triangle Centers and Cent-ral Triangles, Congr. Numer. 129, 1998. 274.)

Dr. Kiss Sndor tanr r jelen knyvbena 138146. oldalon igazolja ezen sejtst, itt hem-zsegnek az egyenletek, akrcsak a knyv egybrszeiben, de az analitikus geometria mr csakilyen. Az idrend miatt megemltjk, hogy a ta-nr r 2005. prilis 3-n kezdte a bizonytst skt nap alatt fejezte be.

Knyvnek 148151. oldaln rja meg a fel-fedezsnek az amerikaiakkal val kommunik-cijt. Ez rdekes, itt csak azt tudjuk megeml-teni, hogy az amerikaiak (Clark Kimberling sPaul Yiu, a Forum Geometricorum szerkeszt-je) nem kedvelik a ferdeszg koordintkat.Dr. Kiss Sndor tanr r erre trta a cikketbaricentrikus koordintkra, amelyeket mr el-fogadtak. gy a trtnet kedvez vget rt. Dr.Kiss Sndor tanr rnak nagyon j vlemnyevan Kimberling s Yiu urakrl, mind a kommu-nikcijukrl, mind a segtkszsgkrl.

A sejts bizonytst trgyal cikk megjelenta Forum Geometricorum folyirat 6. ktetben2006. mjus 1-jn. (Sndor Kiss, The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles, ForumGeometricorum 6 (2006) pp. 171177). A cikkletlthet a kvetkez helyrl: http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200617.pdf

Az alkalmazsokat a knyv az egyenl szrhiperbola egyenleteivel fejezi be.

A knyv Fggelkben szerepel magyarul isa cikk, vagyis a sejts igazolsa baricentrikus koor-dintkkal. Majd a knyvet az irodalom felso-rolsa zrja. Ezek kzl csak a kvetkezket em-ltjk meg:

Yiu, Paul, Introduction to the Geometry ofthe Triangle, 2002.

http://math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.pdf

Whithworth, W. A., Trilinear Coordinatesand Other Methods of Modern Analytical Geo-metry of Two Dimensions, Cambridge: Deigh-ton, Bell and Co., London: Bell and Daldy,1866. http://ia600301.us.archive.org/20/items/trilinearcoordin029731mbp/trilinearcoordin029731mbp.pdf

Dr. Kiss Sndor tanr r alapos, rszletes skitn knyvet rt az elbb emltett tmkrl.Knyvben kimerten trgyalja a tmt, nlleredmnyeit is kzli.

Kinek is ajnlhatjuk e knyvet? Aki a h-romszg geometrija utn mlyebben rdekl-dik, annak mindenkppen forgatnia kell a m-vet. rdekld, kutat tanrok, rdekld egye-temistk, dikok, leend geomterek jl teszik,ha beleolvasnak.

rdemes lenne nhny magyarorszgi knyv-trban is elhelyezni, mint egy-egy palackpostt.Htha sok vtized mlva is lesz mg egy-ktolyan tanr vagy dik, akiknek vratlanul segt-sget nyjthat a szatmrnmeti dr. Kiss Sndortanr r knyve az analitikus geometria tm-jban.

De mi lesz a folytats a ferdeszg koordi-ntk s az sszehasonlt elemzs utn?


32 MOZAIK KIAD

Rovatvezet: Kosztolnyi JzsefKrjk, hogy a megoldsokat a rovatvezet

cmre kldjk: 6757 Szeged, Mikls u. 27.Ugyanide kell kldeni a kitzsre sznt felada-tokat is. Ezeknek a megoldst is mellkeljk!Minden megoldst (teht ugyanannak a fel-adatnak a megoldsait is) kln lapra rjk tollalvagy gppel, jl olvashatan! Mindegyiket k-ln-kln hajtsk ssze, s kls felre rjk ra feladat sorszmt s a megold nevt! Csa-toljanak a megoldsokhoz sszest jegyzket is!A megoldsokat a kitzst kvet harmadikszmban ismertetjk. A legjobb megoldsokatbekldjk nev

A Matematika Tanitasa 2012-4

Documents

Transcript of A Matematika Tanitasa 2012-4