Analytic Geometry -...

IKIP BUDI UTOMO MALANG

Analytic Geometry TEXT BOOK

Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd

2012

IKIP BUDI UTOMO MALANG | ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 2

DAFTAR ISI

1 VEKTOR

1.1 Vektor Pada Bidang………………………………………………………………………………………………………………... 4

1.2 Vektor Pada Ruang …….………………………………………………………………………………………………………….. 6

1.3 Operasi Vektor.………………………………………………………………………………………………………………………. 8

1.4 Perkalian Cross…………………...…………………………………………………………………………………………………… 7

1.5 Latihan Soal..……………………………………………………………………………………………………………………………. 9

2 SISTEM KOORDINAT 2.1 Sistem Koordinat Cartesius ………………………………………………………………………………………..…………….16

2.2 Sistem Koordinat Kutub ……………………………………………………………………………………………………………17

2.3 Sistem Koordinat Bola ………………………………………………………………………………………………………………22

2.4 Sistem Koordinat Tabung …………………………………………………………………………………………………………23

3 IRISAN KERUCUT 3.1 Parabola …………………………………………………………………………………………………………………………………..31

3.2 Elips …………………………………………………………………………………………………………………………………………34

3.3 Hiperbola ……………………………………………………………………………………………………………………..…………37

4 BIDANG DATAR 4.1 Persamaan Bidang Datar …………………………………………………………….…………………………………………..38

4.2 Jarak Titik dan Bidang ……………………………………………………………….…………………………………………….40

5 GARIS 5.1 Persamaan Garis ……………………………………………………………………………………………………………………41

5.2 Sudut Antara Dua Garis …………………………………………………………………………………………………………44

5.3 Jarak Titik Ke Garis…………………………………………………………………………………………………………………..46


KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya sehingga

modul pembelajaran matakuliah Geometri Analitik ini selesai disusun. Modul ini digunakan sebagai salah

satu media pembelajaran guna menunjang terlaksananya proses perkuliahan matakuliah Geometri

Analitik.

Di dalam modul pembelajaran ini terdapat kilasan materi prasyarat, materi yang dibahas, contoh

soal, latihan soal, kegiatan diskusi, dan peta konsep yang dapat memudahkan mahasiswa memahami

keterkaitan antar materi. Modul ini bukan satu-satunya media untuk belajar bagi mahasiswa, sehingga

diharapkan didampingi dengan buku teks, handout, dan sumber lain yang relevan.

Kritik dan saran yang membangun penulis harapkan dari berbagai pihak demi perbaikan untuk

penyusunan modul berikutnya.

Alfiani Athma Putri Rosyadi


1 BAB

Pada beberapa bidang, kita sudah mengenal istilah waktu, suhu, massa, dan volume yang

masing-masing mempunyai besar (panjang atau nilai). Hal itulah yang dikenal dengan skalar

yang dinotasikan dengan lower case italic letter, misalnya a, b, c dst. Selain itu, ada juga

beberapa besaran yang sudah kita kenal, antara lain kecepatan, percepatan, gaya, momentum,

medan magnet, medan listrik dst yang tidak hanya mempunyai besar tetapi juga mempunyai

arah. Besaran tersebut yang dikenal dengan besaran vector. Vektor dinotasikan dengan

lowercase boldface letter, misalnya u, v, w dst. Ada beberapa buku yang menggunakan notasi

vector seperti misalnya u atau 𝑢 . Tetapi pada modul ini, kita sepakati bersama bahwa untuk

menotasikan vector dengan lo dwercase boldface letter.

Cobalah menggambar sepasang garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik O,

yang selanjutnya disebut titik pusat/origin. Garis yang horizontal disebut sumbu x sedangkan

garis yang vertical disebut sumbu y. Sumbu x dan sumbu y bersama-sama disebut sumbu

koordinat serta keduanya membentuk system koordinat kartesius. Gambarkan pada lembar

jawaban berikut!

a Vektor Pada Bidang


Sekarang, kita pilih sebuah titik pada sumbu x yang terletak di kanan titik O dan sebuah

titik pada sumbu y di atas titik O untuk menetapkan titik pada sumbu x dan y yang bernilai

positip. Setiap titik P pada bidang adalah pasangan berurutan (x,y) dari bilangan real yang

selanjutnya disebut dengan koordinat. Titik P dengan koordinat (x,y) dinyatakan dengan P(x,y)

atau (x,y)

Misalkan 𝐴 = 𝑥𝑦 , dengan x dan y adalah bilangan real. Sehingga X adalah ruas garis

berarah dengan pangkal O dan ujung P(x,y). Garis berarah dari O ke P dinyatakan dengan 𝑂𝑃 ; O

disebut pangkal dan P disebut ujung. Bagaimana dengan 𝑃𝑂

Sebuah Vektor pada Bidang adalah matriks berukuran 2 × 1,

𝒂 = 𝑥𝑦 ,

Dengan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅

Definisi 1.1


Atau vector dapat kita definisikan vector adalah ruas garis berarah yang panjang dan arahnya

tertentu.

Karena vector adalah sebuah matrik maka vector

𝒂 = 𝑥1

𝑦1 dan, 𝒃 =

𝑥2

𝑦2 dikatakan sama (a=b) jika dan hanya jika 𝑥1 = 𝑥2 dan 𝑦1 = 𝑦2

Vektor 2 + 𝑏−3

dan 7𝑎 adalah sama, jika

2 + 𝑏 = 7 dan 𝑎 = −3

Hal ini berarti 𝑏 = 7 − 2 = 5 dan 𝑎 = −3

Merujuk pada definisi 1.1, cobalah jelaskan pengertian dari vector pada ruang. Tuliskan hasil

pemikiran Anda pada lembar jawaban berikut

CONTOH

b. Vektor Pada Ruang


Perhatikan penjelasan Dosen Anda tentang teknik menggambar koordinat 𝐴 123 , selanjutnya

tuliskan hasil diskusi dengan teman Anda permasalahan berikut, kemudian tuliskan hasilnya

pada lembar yang sudah disediakan

Gambarkan koordinat berikut pada lembar yang sudah disediakan!

1. 𝐴 321 2. 𝐶

−1−2−3

3. 𝐵 −123

3. 𝐷 103

Latihan Soal


u

v

v

u

u+v

PENJUMLAHAN VEKTOR

Misal 𝒂 = 𝑥1

𝑦1 dan 𝒃 =

𝑥2

𝑦2 adalah dua vector pada bidang. Hasil jumlah dari a dan b adalah

vector 𝒂 + 𝒃 = 𝑥1 + 𝑥2

𝑦1 + 𝑦2 dan jika k adalah sebarang scalar, maka perkalian scalar didefinisikan

𝑘𝒂 = 𝑘𝑥1 , 𝑘𝑥2

Misalkan 𝒂 = −23

, b= 47 maka

𝒂 + 𝒃 = −2 + 43 + 7

= 2

10

Secara geometri, penjumlahan vector dapat dijelaskan sebagai berikut.

Misalkan

Penjumlahan vector menurut aturan segitiga adalah sebagai berikut

Definisi 1.2

CONTOH

c. Operasi Vektor


Sehingga v+u adalah vector yang diwakili oleh segmen garis berarah yang pangkalnya berimpit

dengan pangkal v dan ujungnya berimpit dengan ujung u yang telah dipindahkan sedemikian

sehingga pangkal u berimpit dengan ujung v.

Diskusikan permasalahan berikut dengan kelompok Anda. Tuliskan hasil diskusi pada lembar

yang sudah disediakan

1. Bagaimana dengan u-v?

2. Bagaimana dengan aturan jajar genjang?

Diskusi


Misalkan

Berdasarkan aturan segitiga, tentukan nilai dari

1. 𝑢 + 𝑣

2. 𝑢 + 𝑤

3. 𝑤 + 𝑣 + 𝑢

4. 𝑢 − 𝑣

5. −𝑢 − 𝑣 − 𝑤

Tuliskan jawabannya pada lembar jawaban di bawah ini!

Latihan Soal

𝑢 𝑣

𝑤


PERKALIAN TITIK

Perkalian titik vector a dan b dituliskan 𝒂 ∙ 𝒃 (dibaca a dot b) dan didefinisikan sebagai berikut

𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 𝒃 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃 adalah sudut antara a dan b

Berdasarkan definisi perkalian scalar dua vector tersebut, jika i, j ,k berturut-turut adalah vector

satuan dengan arah sumbu x, y, dan z, maka:

𝒊 ∙ 𝒊 = 𝒋 ∙ 𝒋 = 𝒌 ∙ 𝒌 = 𝟏

𝒊 ∙ 𝒋 = 𝒋 ∙ 𝒌 = 𝒌 ∙ 𝒋 = 𝟎

Teorema berikut akan menguraikan beberapa sifat penting dari hasil kali titik.

Definisi 1.4

Teorema 1.1

Jika u,v dan w adalah vector-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah scalar, maka

a. 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒖

b. 𝒖 ∙ 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒘

c. 𝑘 𝒖 ∙ 𝒗 = 𝑘𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖 ∙ 𝑘𝒗

d. 𝒗 ∙ 𝒗 > 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝒗 ≠ 𝟎 dan 𝒗 ∙ 𝒗 = 𝟎 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝒗 = 𝟎

Definisi 1.5

𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒖𝟏𝒗𝟏 + 𝒖𝟐𝒗𝟐 + ⋯ + 𝒖𝒏𝒗𝒏

Jika 𝒖 = 𝑢𝟏, 𝑢𝟐, … , 𝑢𝒏 dan 𝒗 = 𝑣𝟏, 𝑣𝟐, … , 𝑣𝒏 adalah sebarang vector pada 𝑅𝑛 maka hasilkali

dalam/perkalian titik kita definisikan dengan


Berikan contoh tiga buah vector, namakan vector tersebut dengan 𝑝 , 𝑞 , 𝑟 . Selanjutnya tentukan

nilai dari

1. 𝑝 ∙ 𝑞

2. 𝑝 ∙ 𝑞 . 𝑟

Tuliskan hasil jawaban pada lembar berikut!

Latihan Soal


PERKALIAN CROSS

Dalam banyak penerapan vector untuk soal-soal geometri, fisika dan teknik, kita perlu

membentuk vector di ruang-3 yang tegak lurus terhadap dua vector yang diberikan. Disini akan

dijelaskan tentang perkalian vector tersebut

Jika 𝒖 = 𝑢1, 𝑢2 , 𝑢3 , 𝒗 = 𝑣1, 𝑣2,𝑣3 adalah vector di ruang-3, maka hasil kali cross

didefinisikan

𝒖 × 𝒗 = 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2, 𝑢3𝑣1 − 𝑢1𝑣3 , 𝑢1𝑣2 − 𝑢2𝑣1

Atau dalam notasi determinan

𝒖 × 𝒗 = 𝑢2 𝑢3

𝑣2 𝑣3 , −

𝑢1 𝑢3

𝑣1 𝑣3 ,

𝑢1 𝑢2

𝑣1 𝑣2

Atau terdapat pola yang dapat digunakan untuk mempermudah pengerjaan,

yaitu matriks 2 × 3

𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

Dimana entri baris pertama adalah komponen factor pertama u dan entri baris kedua adalah

komponen factor kedua v, maka determinan dalam komponen pertama u x v dapat diperoleh

dengan cara mencoret kolom pertama matriks tersebut, determinan dalam komponen kedua

kita dapatkan dengan cara mencoret kolom kedua dari matriks tersebut, sedangkan determinan

dalam komponen ketiga kita dapatkan dengan cara mencoret kolom ketiga dari matriks

tersebut.

Definisi 1.6


Tentukan 𝒖 × 𝒗, dengan 𝒖 = 𝟐, −𝟏, 𝟒 , 𝒗 = 𝟏, 𝟑, 𝟐

Penyelesaian

2 −1 41 3 2

𝒖 × 𝒗 = −1 43 2

, − 2 41 2

, 2 −11 3

= −14,0,7

Sehingga dapat dilihat bahwa hasil kali cross antara dua buah vector adalah vector.

CONTOH 3


1. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝒖 = 𝟐, 𝟏, 𝟎 , 𝒗 = 𝟏, 𝟐, −𝟏 , 𝒘 = −𝟐, 𝟏, 𝟓 , 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛:

a. 𝒖 − 𝒗

b. 𝟐𝒗 + 𝟑𝒖

c. 𝒖 ∙ 𝒗

d. 𝒘 × 𝒗)

e. 𝒘 × 𝒖 ∙ 𝟐𝒗

2. 𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 u,v,w adalah vector pada nomor 1, tentukan x yang memenuhi

𝟐𝒖 − 𝟑𝒗 + 𝒙 = 𝒘 − 𝒖

3. Buktikan bahwa tidak ada scalar c,d,e sehingga

𝒄 1,0, −2,1 + 𝒅 2,0,1,2 + 𝒆 1, −2,2,3 = 1,0,1,0

LATIHAN AKHIR BAB


2 BAB

Sebelum beranjak pada bab berikutnya, kita akan mempelajari berbagai macam system

koordinat yang merupakan salah satu materi penunjang untuk membahas irisan kerucut dan

berbagai jenis kurva.

Koordinat cartesius atau koordinat siku-siku dikenalkan oleh dua orang ilmuwan dari

perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descrates. Dasar pemikiran mereka adalah menunjukkan

kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (𝑥, 𝑦)

Untuk menentukan posisi suatu titik, kita memerlukan sebuah system koordinat. Pada

bagian ini kita membahas tentang system koordinat cartesius. Dalam sebuah system koordinat

cartesius, terdapat dua buah sumbu yang saling tegak lurus (dimensi 2) dan terdapat tiga buah

sumbu yang saling tegak lurus (dimensi 3). Kita memfokuskan pembahasan pada dimensi 3,

yaitu ada tiga buah sumbu yang saling tegak lurus, misalnya sumbu x, y, dan z.

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang yaitu bidang xy, yz, dan xz yang

membagi ruang menjadi delapan oktan (gambar 2.1). Terhadap titik P dalam ruang yang

berpadanan suatu bilangan berurut (x,y,z), yaitu koordinat cartesius yang mengukur jarak-jarak

berarah dari tiga bidang tersebut.

a. Sistem Koordinat Cartesius


Gambar 2.1

Berikut adalah tabel pembagian oktan

Tabel 2.1

Koord Okt 1 Okt 2 Okt 3 Okt 4 Okt 5 Okt 6 Okt 7 Okt 8

Z + + + + - - - -

X + - - + + - - +

Y + + - - + + - -

Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satu-

satunya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain ialah

menggunakan koordinat kutub.

Untuk mengenal koordinat kutub, kita dapat memulai dengan menggambar sebuah

setengah garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal di titik 0. Titik tersebut

dinamakan titik kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan

mengarah ke kanan oleh karena itu disebut sumbu 𝑥 positip pada system koordinat cartesius.

x y

z

o

Bidang yz

Bidang xy

Oktan

Pertama

b. Sistem Koordinat Kutub


Setiap titik 𝑃 adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan

sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika 𝑟 adalah jari-jari lingkaran dan 𝜃 adalah salah

satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka 𝑟, 𝜃 adalah sepasang koordinat kutub dari titik

𝑃. Untuk memperjelas pemahaman Anda, lihat gambar 2.2 berikut.

Gambar 2.2 Koordinat Kutub

Gambarlah koordinat berikut pada kertas yang sudah disediakan!

1. 𝐴 2,𝜋

2

2. 𝐵 3,3

2𝜋

3. 𝐶 2,5𝜋

2

4. 𝐷 −3,𝜋

2

Setelah menyelesaikan soal tersebut, apa yang dapat Anda simpulkan!

.

. 𝑟

𝑃(𝑟, 𝜃)

Sumbu kutub

𝜃

Latihan Soal


HUBUNGAN ANTARA KOORDINAT KUTUB DENGAN KOORDINAT CARTESIUS

Untuk memudahkan mencari hubungan antara kedua koordinat tersebut, kita akan membuat

sebuah contoh sederhana, misalkan 𝑃 𝑎, 𝑏 adalah koordinat cartesius, diskusikan bagaimana

menyatakan 𝑃 pada koordinat kutub? Diskusikan bersama-sama dengan teman kelompok

Anda!


1. Tentukan koordinat cartesius titik berikut yang sudah diketahui koordinat kutubnya!

a. 𝐾 4,1

3𝜋

b. 𝐿 −5,1

6𝜋

2. Tentukan koordinat kutub titik berikut yang sudah diketahui koordinat cartesiusnya!

a. 𝑀 −2 3, −2

b. 𝑁 2, − 2

Latihan Soal


Pemberian cartesius persegipanjang 𝑥, 𝑦, 𝑧 merupakan salah satu cara untuk merinci

posisi titik di ruang dimensi tiga. Dua jenis koordinat yang penting adalah koordinat tabung dan

bola.

Sistem koordinat tabung menggunakan koordinat kutub 𝑟 dan 𝜃 sebagai pengganti

koordinat cartesius 𝑥 dan 𝑦 pada bidang. Sedangkan untuk koordinat 𝑧 sama seperti dalam

koordinat cartesius. Pada koordinat ini, kita membatasi 𝑟 ≥ 0 dan 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋.

Untuk lebih memahami koordinat tabung, sketsakan koordinat tabung 𝑃 2,𝜋

4, 3

c. Sistem Koordinat Tabung


Sebuah titik 𝑃 mempunyai koordinat bola 𝜌, 𝜃, 𝜙 , jika 𝜌 adalah jarak 𝑂𝑃 dari titik asal

𝑃, sedangkan 𝜃 adalah sudut kutub yang berhubungan dengan proyeksi 𝑃′ dari 𝑃 ke

bidang 𝑥𝑦, dan 𝜙 adalah sudut antara sumbu 𝑧 positip dan ruas garis 𝑂𝑃. Kita batasi

𝜌 ≥ 0 , 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋 , 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋

Untuk lebih memahami koordinat bola, sketsakan koordinat bola 𝑃 2,𝜋

4,𝜋

4

d. Sistem Koordinat Bola


Secara sketsa, kita bisa menggambarkan ketiga koordinat pada gambar 2.3 , gambar 2.4, dan

gambar 2.5 berikut!

gambar 2.3 koordinat cartesius

gambar 2.4 koordinat Tabung

.

𝑥

𝑥

𝑦

𝑧

𝑦

𝑦

𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝑥

. 𝑧

𝑦

𝑦

𝑃 𝑟, 𝜃, 𝑧

𝜃

𝑟


gambar 2.5 koordinat Bola

Selanjutnya berikut adalah hubungan antara koordinat tabung dan cartesius serta antara ketiga

koordinat tersebut. Tugas Anda adalah membuktikan kebenaran dari hubungan ini!

Koordinat tabung dan koordinat cartesius dikaitkan oleh persamaan berikut

Koordinat bola, tabung, dan koordinat cartesius dikaitkan oleh persamaan berikut

𝑥

. 𝑦

𝑦

𝑃 𝜌, 𝜃, 𝜙

𝜃

𝜌

𝜃

. 𝑃′

𝜙

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧 = 𝑧

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 , tan 𝜃 =𝑦

𝑥

𝑥 = 𝜌 cos 𝜙 , 𝜃 = 𝜃 , 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

𝑥 = 𝜌 sin 𝜙 cos 𝜙 , 𝑦 = 𝜌 sin 𝜙 sin 𝜃, 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙

𝜌 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2


1. Ubahlah koordinat tabung berikut ke koordinat cartesius!

a. 𝐴 6,𝜋

6, −2

b. 𝐵 4,4𝜋

3, −8

2. Ubahlah koordinat bola berikut ke koordinat cartesius!

a. 𝐶 8,𝜋

4,𝜋

6

b. 𝐷 4,𝜋

3,

3𝜋

4

3. Ubahlah koordinat cartesius berikut ke koordinat bola!

a. 𝐸 2, −2 3, 4

b. 𝐹 − 2, 2, 2 3

4. Ubahlah koordinat cartesius berikut ke koordinat tabung!

a. 𝐺 2,2,3

b. 𝐻 4 3, −4,6

LATIHAN AKHIR BAB


3 BAB

Pada bagian ini akan dipelajari tiga sub bab yaitu Parabol,Elips, dan hiperbol. Ada

beberapa materi yang sudah pernah Anda jumpai di SMA.

Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya. Kita potong kerucut

itu dengan berbagai bidang dengan sudut yang berbeda dengan sumbu simetri, perhatikan

gambar 3.1, 3.2, 3.3 berikut!

Gambar3.1 Elips


Gambar3.2 Parabol


Gambar3.3 Hiperbol

Sebelum memahami definisi dari elips, parabol, dan hiperbol, akan dijelaskan tentang garis

arah, focus, dan keeksentrikan.

Perhatikan gambar 3.4 berikut

Gambar 3.4

𝑙 adalah suatu garis tetap (garis arah) dan 𝐹 adalah sebuah titik tetap (fokus) yang tidak terletak

pada garis 𝑙. Himpunan titik-titik 𝑃 yang perbandingan antara jarak 𝑃𝐹 dari fokus dan jarak

𝑃𝐿 dari garis arah adalah suatu konstanta positip 𝑒 (keeksentrikan) yang memenuhi hubungan

𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿

Dinamakan konik/irisan kerucut. Merujuk pada nilai 𝑒, didefinisikan sebagai berikut.

a. Jika 0 < 𝑒 < 1 dinamakan elips

b. Jika 𝑒 = 1 dinamakan parabol

c. Jika 𝑒 > 1 dinamakan hiperbol

. .

. 𝑃

𝐹

𝐿

𝑙


Berikut adalah ilustrasinya

Gambar 3.5 parabol dengan 𝑒 = 1

Selanjutnya, diskusikan dengan kelompok Anda, berdasarkan definisi parabol yang menyatakan

bahwa 𝑃𝐹 = 𝑃𝐿 , dan menggunakan rumus jarak, tentukan persamaan parabol secara

umum!

a. Parabol

Definisi 3.1

Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik 𝑃 yang berjarak sama dari garis arah 𝑙 dan focus 𝐹

yang memenuhi hubungan 𝑃𝐹 = 𝑃𝐿 .

. 𝐹

𝑙


1. Tentukan focus dan garis arah parabol 𝑦2 = 12𝑥

2. Tentukan empat jenis parabol yang mungkin, jelaskan!

Latihan Soal


Berikut adalah contoh elips dengan 𝑒 =1

2

Gambar 3.6 elips dengan 𝑒 =1

2

Persamaan baku dari elips adalah

𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1

Bilangan 2𝑎 adalah garis tengah panjang dan 2𝑏 adalah garis tengah pendek. Perhatikan

gambar 3.7 berikut.

b. Elips

. 𝐹

𝑙

Definisi 3.2

Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik 𝑃 yang berjarak sama dari garis arah 𝑙 dan focus 𝐹

yang memenuhi hubungan 𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿 , dengan 0 < 𝑒 < 1


Gambar 3.7

1. Sketsakan persamaan 𝑥2

36+

𝑦2

4= 1, kemudian tentukan focus dan keeksentrikannya!

2. Sketsakan persamaan 𝑥2

16+

𝑦2

25= 1, kemudian tentukan focus dan keeksentrikannya!

.

𝑙

. 𝐹′ (−𝑐, 0) 𝐹(𝑐, 0)

. 𝐵(0, 𝑏)

.

𝐵(0, 𝑏)

.

𝐵(0, 𝑏)

. . .

𝐴(𝑎, 0)

𝐵′(0, −𝑏)

𝐴′(−𝑎, 0)

𝑎 𝑏

𝑐

Latihan Soal


Berikut adalah contoh elips dengan 𝑒 = 2

Diskusikan dengan kelompok Anda tentang persamaan hiperbol, kemudian

presentasikan di depan kelas!

c. Hiperbol

Definisi 3.3

Sebuah hiperbol adalah himpunan titik-titik 𝑃 yang berjarak sama dari garis arah 𝑙 dan focus

𝐹 yang memenuhi hubungan 𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿 , dengan 𝑒 > 1


4 BAB

Persamaan umum bidang datar adalah 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0.

Untuk membuktikan kebenaran bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan bidang

datar, kita tentukan sebarang titik, misal P(p,q,r) yang terletak pada bidang tersebut. Sehingga

diperoleh bahwa 𝐴𝑝 + 𝐵𝑞 + 𝐶𝑟 + 𝐷 = 0 ↔ 𝐷 = −𝐴𝑝 − 𝐵𝑞 − 𝐶𝑟. Selanjutnya substitusi nilai

D pada persamaan awal, yaitu 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + −𝐴𝑝 − 𝐵𝑞 − 𝐶𝑟 = 0

↔ 𝐴 𝑥 − 𝑝 + 𝐵 𝑦 − 𝑞 + 𝐶 𝑧 − 𝑟 = 0

Perhatikan bahwa

𝐴 𝑥 − 𝑝 + 𝐵 𝑦 − 𝑞 + 𝐶 𝑧 − 𝑟 = 0

↔ 𝐴 𝑖 + 𝐵 𝑗 + 𝐶 𝑘 . 𝑥 − 𝑝 𝑖 + 𝑦 − 𝑞 𝑗 + 𝑧 − 𝑟 𝑘 = 0

Hal ini berarti bahwa 𝐴 𝑖 + 𝐵 𝑗 + 𝐶 𝑘 merupakan suatu vector yang sudah tertentu besar dan

arahnya, sedangkan 𝑥 − 𝑝 𝑖 + 𝑦 − 𝑞 𝑗 + 𝑧 − 𝑟 𝑘 adalah vector yang berpangkal pada

P(p,q,r) dan selalu tegak lurus vector 𝐴 𝑖 + 𝐵 𝑗 + 𝐶 𝑘 serta berubah arah tergantung posisi

(𝑥, 𝑦, 𝑧). Jadi, (𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah koordinat titik-titik yang terletak pada bidang yang melalui

𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟) dan tegak lurus 𝐴 𝑖 + 𝐵 𝑗 + 𝐶 𝑘, yang selanjutnya disebut dengan normal bidang yang

disimbolkan dengan 𝑛

a. Persamaan Bidang Datar


Jadi, Jika sebuah bidang melalui 𝑷(𝑿𝒑, 𝒀𝒑.𝒁𝒑) dan mempunyai normal 𝑨 𝒊 + 𝑩 𝒋 + 𝑪 𝒌 maka

persamaan bidang tersebut adalah

𝑨 𝒙 − 𝒙𝒑 + 𝑩 𝒚 − 𝒀𝒑 + 𝑪 𝒛 − 𝒛𝒑 = 𝟎

Tentukan persamaan bidang datar yang melalui titik 𝑃 3,2,1 , 𝑄 4,1,5 dan 𝑅(2,4,3)!

𝑛

𝑃(𝑝, 𝑞, 𝑟)

(𝑥, 𝑦, 𝑧)

(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0)

Latihan Soal


Untuk menentukan jarak titik 𝑃 𝑝, 𝑞, 𝑟 terhadap bidang 𝑉 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, kita

menentukan terlebih dahulu sebarang titik yang terletak pada bidang tersebut. Untuk lebih

mudahnya kita ambil salah satu titik yang memotong sumbu 𝑋 yaitu −𝐷

𝐴, 0,0 , sehingga

diperoleh 𝑄𝑃 = 𝑝 +𝐷

𝐴 𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 . Misalkan vector normal yaitu 𝑛𝑣 = 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶𝑘 .

Sehingga 𝑄𝑃 ∙ 𝑛𝑣 = 𝑄𝑃 ∙ 𝑛𝑣 cos 𝜃 … (1) dengan 𝜃 adalah sudut antara 𝑛𝑣 dan 𝑄𝑃 .

Dan cos 𝜃 =𝑑

𝑄𝑃 … (2), dengan 𝑑 adalah jarak antara titik 𝑃 terhadap bidang 𝛼 . Berdasarkan

persamaan (1) dan (2) tentukan nilai 𝑑

b. Jarak Titik dan Bidang


5 BAB

Perpotongan antara dua bidang datar merupakan sebuah garis lurus. Berdasarkan ini

jelaslah bahwa gabungan antara persamaan dua buah bidang datar merupakan suatu

persamaan sebuah garis lurus. Tetapi persamaan garis yang terdiri dari gabungan persamaan

dua buah bidang datar tidak dapat dengan mudah diketahui posisi garis tersebut. Supaya kita

dapat mengetahui posisi garis dengan mudah , persamaan garis yang melalui titik 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) dan

mempunyai arah 𝑝𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 dapat diperoleh dengan penjabaran sebagai berikut. Misalnya

𝑥, 𝑦, 𝑧 adalah sebarang titik yang terletak pada garis yang dimaksud. Maka 𝑃𝑄 dapat

dinyatakan 𝑣 . Sehingga 𝑃𝑄 = 𝑡𝑣 dimana 𝑡 merupakan konstanta yang bernilai positip.

Gambar 5.1

Sehingga persamaannya dapat ditentukan sebagai berikut.

𝑥 − 𝑎 𝑖 + 𝑦 − 𝑏 𝑗 + 𝑧 − 𝑐 𝑘 = 𝑡(𝑝𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 )

a. Persamaan Garis

𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐)

𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑣


Hal ini berarti :

𝑥 − 𝑎 𝑡𝑝, 𝑦 − 𝑏 𝑡𝑞, 𝑧 − 𝑐 = 𝑡𝑟

Sehingga persamaan garis yang melalui titik 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐) dan mempunyai vector arah 𝑝 + 𝑞 + 𝑟

adalah (𝑥−𝑎)

𝑝=

(𝑦−𝑏)

𝑞=

(𝑧−𝑐)

𝑟

Sedangkan persamaan garis yang melalui 𝑃 dan 𝑄 adalah

(𝑥−𝑥𝑝 )

𝑥𝑞−𝑥𝑝=

(𝑦−𝑦𝑝 )

𝑦𝑞−𝑦𝑝=

(𝑧−𝑧𝑝 )

𝑧𝑞−𝑧𝑝

Tentukan persamaan garis yang melalui titik 𝑃(2, −3,1) dan titik 𝑄 −2,1,1

Latihan Soal


Untuk menentukan sudut antara dua garis, sama halnya dengan menentukan sudut antara dua

normal bidang. Misalkan arah garis 𝑚 adalah 𝑚 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘 dan arah garis 𝑛 adalah

𝑛 = 𝑝𝑖 + 𝑞𝑗 + 𝑟𝑘 , dan sudut yang dibentuk oleh garis itu adalah 𝜃, maka

tan 𝜃 = 𝑚 × 𝑛

𝑚 ∙ 𝑛

Bagaimana jika kedua garis tegak lurus atau sejajar?

b. Sudut Antara Dua Garis


Tentukan sudut yang dibentuk oleh garis 𝑝 𝑥 + 𝑝 = 2

2𝑦 + 𝑝 = 1𝑧 = 2𝑝 + 3

Latihan Soal


Untuk menentukan jarak antara titik dan garis, kita tentukan titik yang terletak pada garis.

Misalkan kita akan menentukan jarak antara titik 𝑃 dengan garis 𝑔, kita tentukan sebarang titik

𝑄 pada garis 𝑔 maka berlaku

𝑑 = 𝑃𝑄 ×𝑔

𝑔

Buktikan!

c. Jarak Titik ke Garis


Untuk menentukan jarak titik 𝑃(2,5,1) ke garis

𝑔 4𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 7

2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1

Latihan Soal


DAFTAR PUSTAKA

1. Bernard Kolman dkk, Elementary Linear Algebra (7th edition), Prentice Hall,

New Jersey, 2000

2. Howard Anton, Aljabar Linier Elementer (Edisi Ke lima), Erlangga, Jakarta,

1987

3. Soebari, Geometri Analit, IKIP Malang, Malang, 1995

Analytic Geometry -...

Documents

Transcript of Analytic Geometry -...