Push Down Automata (PDA)

Push Down Automata (PDA) merupakan mesin otomata dari bahasa bebas konteks. PDA di gambarkan sebagai tempat penyipanan yang tidak terbatas berupa stack/ tumpukan.

Stack ialah kumpulan dari elemen-elemen sejenis dengan sifat penambahan elemen dan pengambilan elemen melalui suatu tempat yang disebut top of stack (puncak stack). Prinsip pada stack adalah LIFO. Pengambilan elemen dari stack dinyatakan dengan operasi pop, sedang memasukkan elemen ke dalam stack dengan operasi push.

Contoh stack :

ADE

Jika dilakukan operasi pop :

Jika dilakukan operasi push B, maka kondisi stack akan menjadi :

Definisi : PDA adalah pasangan 7 tuple.

M = (Q, , q0 , F, , , Z0 ), dimana :Q : himpunan hingga state, : alfabet input, : alfabet/simbol stack,

q0 : state awal, q0 Q

Z0 : simbol awal stack, Z0 F : himpunan state penerima, F Q

: fungsi transisi , : Q ( {}) 2Q × Γ∗¿ ¿ (himpunan bagian dari Q

*)

(q0 , a, Z0 ) = (q0 , AZ0 ). Push/insert

(q0 , a, A) = (q1, ). Pop /delete

Top stack

Menjadi top stack, karena elemen A diambil (pop)

Menjadi top stack karena dimasukkan elemen B

1

DE

BDE

Untuk state q Q, simbol input a , dan simbol stack X , (q, a, X) = (p, ) berarti : PDA bertransisi ke state p dan mengganti X pada stack dengan string .

Konfigurasi PDA pada suatu saat dinyatakan sebagai triple (q, x, ), dimana : q Q : state pada saat tersebut, x * : bagian string input yang belum dibaca, dan * : string yang menyatakan isi stack dengan karakter terkiri menyatakan top of stack.

Misalkan (p, ay, X) adalah sebuah konfigurasi, dimana : a , y *, X , dan *. Misalkan pula (p, a, X) = (q, ) untuk q Q dan *. Dapat kita tuliskan bahwa : (p, ay, X) (q, y, ).

Contoh (PDA Deterministik):

PDA : M = (Q, , , q0 , Z0 , , F) pengenal palindrome L = {xcx

Tx (ab)*}, dimana x

T adalah cermin(x),

mempunyai tuple :

Q = {q0 , q1 , q2 }, F = { q2 }, = {a, b, c}, = {A, B, Z0 }, dan fungsi transisi terdefinisi melalui tabel berikut :

Dapat ditulis (q0 , a, Z0 ) = (q0 , AZ0 )

Mesin dengan konfigurasi :

State q0 dan top stack Z membaca input’a’ konfigurasi menjadi State q0 ,push A ke stack A, A

Dapat ditulis (q1 ,a, A) = (q1 ,)

Mesin dengan konfigurasi :

State q1 dan top stack A membaca input’a’ konfigurasi menjadi State q1 , A di pop, elemen

2

Sebagai contoh, perhatikan bahwa fungsi transisi No. 1 dapat dinyatakan sebagai : (q0 , a, Z0 ) = (q0 , AZ0 ). Pada tabel transisi tersebut terlihat bahwa pada state q0 PDA akan melakukan PUSH jika mendapat input a atau b dan melakukan transisi state ke

state q1 jika mendapat input c. Pada state q1 PDA akan melakukan POP.

Berikut ini pengenalan dua string oleh PDA di atas :

1. abcba : (q0 , abcba, Z0 ) (q0 , bcba, AZ0 ) (1)

(q0 , cba, BAZ0 ) (4)

(q1 , ba, BAZ0 ) (9)

(q1 , a, AZ0 ) (11)

(q1 , , Z0 ) (10)

(q2 , , Z0 ) (12) (diterima)

2. acb : (q0 , acb, Z0 ) (q0 , cb, AZ0 ) (1)

(q1 , b, AZ0 ) (8), (halt/crash ditolak)

3. ab : (q0 , ab, Z0 ) (q0 , b, AZ0 ) (1)

(q0 , , BAZ0 ) (4) (crash ditolak)Penerimaan dan penolakan tiga string di atas dapat dijelaskan sebagai berikut :

1. string abcba diterima karena tracing sampai di state penerima (q2 ) dan string “abcba” selesai dibaca (string yang belum dibaca = )

2. string acb ditolak karena konfigurasi akhir (q1 , b, a Z0 ) sedangkan fungsi transisi

(q1 , b, a) tidak terdefinsi

3. string ab ditolak karena konfigurasi akhir (q0 , , baZ0 ) sedangkan fungsi transisi

(q0 , , b) tidak terdefinsi

Ilustrasi graf fungsi transisi PDA di atas ditunjukkan melalui gambar berikut :

b, Z0 /BZ0 a, A/

a, Z0 /AZ0 a, A/AAc, A/Ac, B/B

start q0 c, Z0 / Z0 q1 , Z0 / Z0 q2

3

a, B/AB b, B/BB b, A/BA b, B/

Notasi (p, ay, X) (q, y, ) dapat diperluas menjadi : (p, x, ) * (q, y, ), yang berarti konfigurasi (q, y, ) dicapai melalui sejumlah

(0 atau lebih) transisi. Ada dua cara penerimaan sebuah kalimat oleh PDA, yang masing-masing terlihat

dari konfigurasi akhir, sebagaimana penjelasan berikut :

Jika M = (Q, , , q0 , Z0 , , F) adalah PDA dan x *, maka x diterima dengan

state akhir (accepted by final state) oleh PDA M jika : (q0 , x, Z0 ) * (q, , ) untuk * dan q A. x diterima dengan stack hampa (accepted by empty

stack) oleh PDA M jika : (q0 , x, Z0 ) * (q, , ) untuk q Q.

4

Contoh (PDA Non-Deterministik):

NPDA : M = (Q, , , q0 , Z0 , , F) mempunyai komponen tuple berikut :

Q = {q0 , q1 , q2 }, F = {q2 }, = {a, b, c}, = {D,A,B,C, Z}, dan fungsi transisi :

1. (q0 , ε, Z) = (q1, DZ)2. (q1, ε, D) = (q1, ADA), (q1, BDB), (q1, C)3. (q1, a, A) = (q1, ε)4. (q1, b, B) = (q1, ε)5. (q1, c, C) = (q1, ε)6. (q1, ε, Z) = (q2, Z)

q0,abc,Z=q1,abc,DZ (1)=q1,abc,ADAZ (2 kiri)=q1,bc,DAZ (3)=q1,bc,BDBAZ (2 tengah)=q1,c,DBAZ (4)

=q1,c,CBAZ=q1, ε, BAZ=halt ditolak

q0, c,Z=(q1,c,DZ) (1) = (q1,c,CZ) (2 kanan) = (q1, ε, Z) (5) = (q2, ε,Z) (6) diterima

q0,acb,Z = q1,acb,DZ=q1,acb,ADAZ=q1,cb,DAZ=q1,cb,CAZ= =q1,b,AZ=halt. Ditolakq0,aca,Z = q1,aca,DZ=q1,aca,ADAZ=q1,ca,DAZ=q1,ca,CAZ= = q1,a,AZ=q1, ε,Z=q2 diterimaq0,abcab,Z=q1,abcab,DZ=q1,abcab,ADAZ=q1,bcab,DAZ =q1,bcab,BDBAZ= q1,cab,DBAZ=q1,cab,CBAZ = q1,ab,BAZ=halt ditolakabcba, abbcbba diterimaContoh (PDA Non-Deterministik):

PDA M = (Q, , , q0 , Z0 , , F) pengenal palindrome L = {xxTx (ab)*} mempunyai

komponen tuple berikut :

Q = {q0 , q1 , q2 }, F = { q2 }, = {a, b}, = {a, b, Z0 }, dan fungsi transisi terdefinisi melalui tabel berikut :

No. St. In. TopS Hasil No. St. In. TS Hasil

1 q0 a Z0 (q0 , aZ0 ), (q1 , Z0 ) 7 q0 Z0 (q1 , Z0 )

2 q0 b Z0 (q0 , bZ0 ), (q1 , Z0 ) 8 q0 a (q1 , a)

3 q0 a a (q0 , aa), (q1 , a) 9 q0 b (q1 , b)

4 q0 b a (q0 , ba), (q1 , a) 10 q1 a a (q1 , )

5 q0 a b (q0 , ab), (q1 , b) 11 q1 b b (q1 , )

5

6 q0

b b (q0

, bb), (q1

, b) 12 q1

Z0

(q2

, )

q0,aba,z = q0,ba,az (1 kiri) = q1, a, az (4 kanan)

= q1, , z(10) =q2, , (12) diterima

q0,aba,z = q0,ba,az (1 kiri) = q0, a, baZ (4 kiri)

= q1, ,baZ (5 kanan) = halt

q0, aa, Z=q0, a, aZ=q0, , aaZ=q1, ,aaZ=haltq0, aa, Z=qo, a, aZ=q1, ,aZ=haltq0, aa, Z=q1, a, Z=haltq0, abba, Z= q0, bba, aZ=q0, ba, baZ=q0,a,bbaZ=q0, ,abbaZ=q1,

Pada tabel transisi tersebut terlihat bahwa pada state q0 PDA akan melakukan PUSH jika

mendapat input a atau b dan melakukan transisi state ke state q1 jika mendapat input . Pada

state q1 PDA akan melakukan POP. Kedua Contoh di atas menunjukkan bahwa PDA dapat dinyatakan sebagai mesin PUSH-POP.Berikut ini pengenalan string “baab” oleh PDA di atas :

1. (q0 , baab, Z0 ) (q0 , aab, bZ0 ) (2 kiri)

(q0 , ab, abZ0 ) (5 kiri)

(q1 , b, abZ0 ) (3 kanan)

(q1 , b, bZ0 ) (11)

(q1 , , Z0 ) (10)

(q2 , , Z0 ) (12) (diterima)

2. (q0 , baab, Z0 ) (q1 , baab, Z0 ) (2kanan)(crashditolak)

3. (q0 , baab, Z0 ) (q0 , aab, bZ0 ) (2 kiri)

(q0 , ab, abZ0 ) (5 kiri)

(q0 , b, aabZ0 ) (3 kiri)

(q1 , b, aabZ0 ) (4kanan)(crashditolak)

4. (q0 , baab, Z0 ) (q0 , aab, bZ0 ) (2 kiri)

(q0 , ab, abZ0 ) (5 kiri)

(q0 , b, aabZ0 ) (3 kiri)

(q0 , , baabZ0 )(4 kiri)

6

(q1 , , baabZ0 )(9) (crash ditolak)

q0,aba,z = q0,ba,az = q1, a, az = q1, , z =q2, ,

KESIMPULAN

Push Down Automata (PDA) merupakan mesin otomata dari bahasa bebas konteks. PDA di gambarkan sebagai tempat penyipanan yang tidak terbatas berupa stack/ tumpukan. Stack merupakan kumpulan darielemen-elemen sejenis dengan sifat penambahan elemen dan pengambilan elemen melalui suatu tempat yang disebut top of stack(puncak stack).Pengambilan elemen dari stack dinyatakan dengan operasi pop sedangkanmemasukkan elemen kedala stack dengan posisi push.

7