Soalan 3 :

Dengan aruhan matematik, untuk semua integer n positif, tunjukkan bahawa

boleh dibahagi dengan 3.

LANGKAH 1: n = 1

n3 n = (1 3) 1= 0

*** Penyataan ini benar dan boleh dibahagi dengan 3.

LANGKAH 2 : Anggap n = k adalah benar

Maka, k 3 k boleh dibahagi dengan 3

LANGKAH 3 : n = k + 1

n3 n = (k + 1)3 (k + 1)= (k3 + 3k2 +3k + 1) k -1= (k3 - k) + 3k2 + 3k= (k3 - k) + 3(k2 + k)

Dengan ini, k3 k boleh dibahagi dengan 3 dan 3(k2 + k) juga boleh dibahagi dengan 3. Jadi, ia adalah benar untuk n = k + 1.

LANGKAH 4 :

Maka, dengan aruhan matematik, tertunjuk bahawa boleh dibahagi dengan 3 untuk semua integer n positif.

Soalan 4:

Dengan aruhan matematik, untuk semua integer n positif, tunjukkan bahawa

boleh dibahagi dengan 57.

LANGKAH 1 : n = 1

71+2 + 8 2(1)+1 = 7 3 + 8 3 = 343 + 512= 855

*** Penyataan ini benar kerana boleh dibahagi dengan 57.

LANGKAH 2: Anggap n = k adalah benar

Maka, 7 k+2 + 8 2k+1 boleh dibahagi dengan 57 adalah benar

LANGKAH 3: n = k+1

= 7 (k+1)+2 + 8 2(k+1)+1= 7 k+1+2 + 8 2k+2+1= 7 k+2 . 7 1 + 8 2k+1 . 8 2= 7(7 k+2 ) + 64 (8 2k+1 )= 7(7 k+2 ) + (7 + 57) (8 2k+1 ) = 7(7 k+2 ) + 7(8 2k+1 ) + 57(8 2k+1 )= 7(7 k+2 + 8 2k+1 ) + 57(8 2k+1 )

Dengan ini, 7 k+2 + 8 2k+1 boleh dibahagi dengan 57 dan 57(8 2k+1 ) juga boleh dibahagi dengan 57. Jadi, ia adalah benar untuk n = k + 1.

LANGKAH 4 :

Maka, dengan aruhan matematik, tertunjuk bahawa boleh dibahagi dengan 57 untuk semua integer n positif.