Assignment math ; kalkulus asas
-
Upload
ida-hasniza -
Category
Documents
-
view
2.508 -
download
6
Transcript of Assignment math ; kalkulus asas
Konsep kalkulus.
Tidak banyak orang yang mengetahui ataupun pernah mendengar kata tersebut. Hal
sebaliknya apabila kita tanyakan kepada mahasiswa-mahasiswa universiti “apa itu kalkulus?”,
tentunya mereka mengenalnya sebagai pelajaran paling memeningkan sambil berkerut dahi.
Dapat difahami memang, kerana kalkulus berorientasikan dengan rumus. persamaan yang
aneh yang belum pernah dilihat ketika di sekolah rendah.
Kalau dilihat dari sejarahnya, kalkulus sudah muncul ribuan tahun lalu sejak sebelum
masihi sebagai konsep dasar, dimana banyak bangsa Yunani yang mengembangkannya
terutama golongan pemikir ternama waktu itu seperti Archimedes, Zeno, Phytagoras, dan
sebagainya. Kemudian, ilmu-ilmu itu dikembangkan lebih lanjut oleh para pemikir asal Eropah
dan Timur Tengah. Selanjutnya hal-hal penting dalam konsep kalkulus akhirnya mulai
dibukukan pada zaman Newton dan Leibniz, namun pada masa tersebut terjadi perdebatan
siapa yang mengusulkan kalkulus pertama kalinya, apakah Newton atau Leibniz? Ini kerana,
buku-buku berkaitan kalkulus dibukukan pada waktu yang hampir sama. Salah satu bahagian
yang dikenalpasti disebut “kalkulus diferensial” dan bahagian lain disebut “Kalkulus integral”.
Lalu apa perbezaan kedua pembahagian kalkulus tersebut.
Kalkulus Integral berkaitan dengan luas dan isipadu. Bayangkan bagaimana anda
menentukan isipadu sebuah bola? Caranya dapat ditentukan begini ; kita mulai dari bentuk
yang paling sederhana yang mudah dikira, misalnya persegi panjang. Seperti kita tahu untuk
menghitung luas persegi panjang cukup panjang dikalikan dengan lebar. Lalu bagaimana untuk
bentuk benda yang tidak rata tidak tepat dan juga melengkung?. Untuk menghitung benda
yang lebih rumit seperti ini cukup dengan memotong model tersebut dengan banyak persegi
panjang secara kecil-kecilan. Namun ketika melakukan ini, kita tidak akan dapat berhasil
sepenuhnya karena akan selalu ada potongan dengan sisi melengkung, umumnya. Tapi kunci
idea adalah bahawa jumlah bidang potongan empat persegi panjang akan menjadi sangat
dekat perkiraan luas sebenarnya. Dengan kata lain semakin banyak potongan-potongan yang
kita perolehi, semakin dekat pula pendekatan kita untuk mendapat luas model yang dimaksud.
Dengan kalkulus Integral akan terjawab pula dari mana angka 4/3 pada isipadu bola.
Kalkulus Diferensial berkaitan dengan perubahan sesaat. Sama seperti di atas,
bayangkan anda menaiki kereta. Misalkan anda ingin mengetahui posisi anda setiap saat
selama perjalanan. Pada akhir perjalanan, Anda menyedari bahawa setiap saat selama
1
perjalanan anda, meter halaju kenderaan anda menunjukkan halaju kenderaan anda. Dari sini
muncul pertanyaan apakah saya selaku pemandu dapat merekod halaju menunjukkan setiap
saat? Jawabannya ya, Anda dapat, dan kalkulus diferensial menyediakan sebuah method untuk
melakukan hal ini.
Idea dasar dari kalkulus diferensial dari contoh di atas adalah kita ingin menghitung
halaju yang tercatat di meter halaju pada kenderaan yang sedang dibawa dengan laju yang
sama atas seluruh jarak. Kemudian, dengan mudah anda dapat menggunakan rumus: halaju
sama dengan jarak dibagi waktu. Ternyata bila dikaji kalkulus dekat sekali dengan kehidupan
sehari-hari, wajarlah kalkulus lahir dan berkembang mengikuti peradaban manusia yang
membangun dan manusia semakin banyak membangun kerananya.
Penggunaan kalkulus dalam kehidupan seharian.
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fizik, sains komputer, statistik, teknik,
ekonomi, perniagaan, kedoktoran, kependudukan, dan bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di
mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa
jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan jumlah tenaga dari sebuah
objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisma, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks
dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh sejarah lainnya adalah penggunaan kalkulus di
hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju
perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan hasil gaya yang bekerja pada
benda tersebut dengan arah yang sama.
Selain dari itu, rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
menggunakan perumusan kalkulus diferensial kerana percepatan boleh dinyatakan sebagai
turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga
dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.
2
Terima kasih diucapkan kepada pensyarah pembimbing yang telah banyak
membeimbing saya dalam menyempurnakan tugasan ini tepat pada masanya. Sebagai pelajar
yang menuntut didalam pengajian matematik, wajar saya katanakan bahawa kalkulus asas ini
banyak membantu para ilmuwan matematik dan saintis kita melakukan kajian yang lebih
mendalam walaupun ada tajuk-tajuk yang sukar untuk saya fahami cara penyelesaiannya.
Sepanjang melakukan tugasan ini, saya mengalami pelbagai bentuk cabaran minda. Ini
kerana jujurnya bahawa tugasan ini saya tidak boleh aplikasikan kepada murid-murid saya yang
masih mentah ilmu pengetahuannya. Tugasan ini sesuai untuk saya faham dan tahu
kepentingan kalkulus asas dalam kehidupan seharian kita yang selama ini dilingkari dengan
teknologi maklumat, teknologi pembuatan dan teknologi makanan. Semuanya berkisarkan
kepada Matematik dan sains semata-mata.
Akhir sekali, saya mengucapkan berbanyak-banyak terima kasih kepada rakan-rakan
yang sudi berkongsi ilmu pengetahuan ketika menyiapkan tugasan ini, sokongan ahli keluarga
yang tidak berbelah bahagia disaat fikiran mula bercelaru dengan kiraan yang panjang, serta
sesiapa jua yang membantu secara langsung mahupun tidak.
SEKIAN, TERIMA KASIH,.
3
Soalan 1:
Diberi fungsi f:x →2x + 5 dan fg:x →13 – 2x. Carikan
a) Fungsi g(x)
fg(x) = f [ g (x) ]
13 – 2x = 2 [ g (x) ] + 5
13 – 2x - 5 = 2 [ g (x) ]
8 – 2x = 2 [ g (x) ]
8– 2 x2
= g (x)
2(4−x )2
= g (x)
4 – x = g (x)
Jadi, g (x) = 4 - x
b) Fungsi gf(x)
gf (x) = g [ f (x) ]
= 4 – f (x)
= 4 – ( 2x + 5 )
= 4 – 2x – 5
= -1 – 2x
Jadi, gf (x) = -1 – 2x
4
c) Nilai gf(2)
Jika nilai gf (2), maka
gf (x) = -1 – 2x
gf (2) = -1 – 2 (2)
= -1 – 4
= -5
Hasilnya adalah -5.
Soalan 2 :
Diberi fungsi f : x → x + 3. Jika fungsi gubahan gf ialah gf : x → x² + 6x + 4, carikan
a) Fungsi g (x)
gf (x) = g [ f (x) ]
x² + 6x + 4 = g [ x + 3 ]
y = x + 3 x = y – 3
g (y) = ( y – 3 )² + 6 ( y – 3 ) + 4
= (y² - 6y + 9 ) + 6y – 18 + 4
= y² - 6y + 6y + 9 – 18 + 4
= y² - 5
Jadi, g (x) = x² - 5
5
b) Nilai g² (0)
g² (x) = g g (x)
= g [ g (x) ]
= ( x – 5 )² - 5
= x² - 10x + 25 – 5
= x² - 10x + 20
g² (0) = 0² 10 (0) + 20
= 20
Jadi, nilainya adalah 20.
Soalan 3:
Diberi fungsi f : x → x + 4 , dan fungsi g : x → 2x
, Carikan
a) f−1 (x)
f−1 (x) = y
f (y) = x
y + 4 = x
y = x – 4
Jadi, f−1 (x) = x – 4 .
b) Nilai f−1 g (3)
6
f−1 g (x) = f−1 2
x1
= f−123
= ( 23) – 4
=−103
Nilainya adalah −103
.
Soalan 4 :
Diberi f : x → hx−kx+3 dan fungsi songsang f−1 : x →
3x+12−x carikan
a) Nilai h dan nilai k
f−1 (x) =3x+12−x
y =3x+12−x
y ( 2 – x ) = 3x + 1
2y – xy – 1 = 3x
2y – 1 = 3x + xy
2y – 1 = x ( 3 + y )
2 y−13+ y = x
f (x) =2x−1x+3
Jadi, nilai h = 2 dan nilai k = 1.
b) Nilai x dengan keadaan f (x) = 3
f (x) =2x−1x+3
7
2x−1x+3
= 3
2 x−1 = 3 ( x + 3 )
2 x−1 = 3x + 9
2 x−3 x = 9 + 1
−x = 10
x = -10
Jadi, nilai x = -10 .
Soalan 1 :
Bezakan setiap ungkapan berikut terhadap
a)4
√x
ddx4 (x )
−32
= −124 (x )
−32
= −2
x32
b) ( 3x – 4 )²
ddx
(3 x−4) ²
= 2 (3x – 4) (3)
= 6 (3x – 4)
= 18x – 24
c) 3x² (x+2)5
dydx
=u d vdx
+v dudx
8
u = 3x² v = (x+2)5
du = 6x dv = 5(x+2)4
dydx
=3 x ² [5 ( x+2 )4 ]+(x+2)5[6 x ]
= 15x² (x + 2)⁴ + 6x [ x+2]5
d)x2−14 x+1
u = x² - 1
du = 2x
v = 4x + 1
dv = 4
dydx =
vdudx
+u dvdx
v ²
=(4 x+1)2x+(x ²−1)(4)
(4 x+1 )²
= 8 x ²+2x+(4 x ²−4)
(4 x+1 )²
=12x ²+2 x−4
(4 x+1 ) ²
e) (3x² - 1) √ x+1
(3 x ²−1)(x+1)½
u=3x2−1 v = (x+1)½
9
du = 6x dv = (x+1)−½
2
dydx
= udvdx
+v dudx
= (3x² - 1) (x+1)−½
2 + (x+1)½ (6x)
f) cos2 x
ddxcos2 x
¿−2sin2 x
g) sin ² x
ddxsin ² x
¿2sin x ddx
¿¿
¿2sin xcos x
h) tan6 x
ddxtan6 x
¿6 tan5 x ddx
¿
¿6 tan5 x sec ² x
10
i) cos4(2 x)
ddxcos ⁴ (2x )
¿4 cos32 x ddx
¿
¿4 cos32 x¿
¿−8cos32 x sin 2 x
Soalan 2 :
Jika y = x² + 4x , tunjukkan bahawa x ²d2 yd x2
−2x dydx
+2 y=0
dydx
=2x+4 x ² (2 )−2 x (2 x+4 )+2(x2+4 x)
d2 yd x2
=2 ¿2 x2−4 x2−8 x+2 x2+8 x
¿ 4x² - 4x² - 8x + 8x
= 0
Soalan 3 :
Jika y=x+1x '
tunjukkan bahawa x ²d2 yd x2
+3 x dydx
+ y=4 x
11
Soalan 4 :
Carikan persamaan tangen dan garis normal kepada lengkung y = x² - 8x + 12 dititik (5, -3).
Soalan 1 :
∫3 x+2 x5dx
¿ 3x ²2
+2 x6
6+c
¿ 32x2+ 1
3x6+c
Soalan 2 :
∫ 5
x3dx
∫5 x−3dx
¿ 5x−2
−2+c
¿ 5
2x2+c
12
Soalan 3 :
∫ ( x+3 ) ( x−1 )dx
¿∫ (x2−x+3 x−3 )dx
¿∫ x2+2x−3dx
¿ x3
3+2 x
2
2−3x−c
¿ 13x3+ x2−3x+c
Soalan 4 :
∫ x−2x3
dx
∫ x
x3− 2
x3dx
∫ 1
x2− 2
x3dx
∫ x−2−2x−3dx
¿ x−1−2x−2
−2+c
¿ 1x+ 1x2
+c
Soalan 5 :
∫1
3
(3 x+2 )dx
13
¿ [ 3 x22 +2x ]¿ [3(3) ²2 +2(3)]−[ 3(1) ²2 +2(1)]¿ [ 272 +6]−[ 32+2]¿ 392
−72
¿16
Soalan 6 :
∫2
3
(x2− 1x ²
¿)dx¿
∫2
3
(x2−x−2)dx
¿ [ x33 −x−1]¿ [ 13 x3−1x ]¿ [ 13 (3 )3−1
3 ]−[ 13 (2 )3−12 ]
¿ 263
−136
¿ 132
14
Soalan 7 :
Carikan luasa rantau yang dibatasi oleh lengkung y=x ( x−2 )(x−3) dan paksi-x.
Apabila y = 0
x (x – 2)(x – 3) = 0
maka x = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0
x = 0 atau x = 2 atau x = 3
jadi, lengkung y = x (x – 2)(x – 3) menyilang paksi-x pada x = 0, x = 2 dan x = 3.
y=x (x−2)(x−3)
Luas rantau A ¿∫0
2
x ( x−2 ) ( x−3 )dx
¿∫0
2
x2−2 x¿(x−3)dx ¿
¿∫0
2
x3−3 x2−2x2−6x
¿∫0
2
x3−5 x2+6 x
¿ [ x55 −5 x4
4+ 6 x
3
3 ]¿ [( 15−5
4 )+ 63 ]¿ [( 4−2520 )+ 63 ]
15
¿ 6120unit ²
Luas rantau B = ∫2
3
(x3−5x2+6 x )dx
¿ [ x55 −5 x4
4+ 6 x
3
3 ]¿ [ x8
8
−5 x7
7+ 6 x
6
6 ]¿ [ 18−57+ 66 ]¿ [(7−4056 )+1]¿ 2356unit ²
Soalan 8 :
Carikan luas rantau yang dibatasi oleh lengkung y=x (8−x ) dan garis lurus y=3 x.
Mencari titik-titik persilangan :
y = 3x ………………………………(1)
y = x (8 – x) ………………………..(2)
gantikan (1) dalam (2).
3x = x (8 – x)
16
= 8x - x²
x² - 5x = 0
x(x – 5)= 0
x = 0 atau x – 5 = 0
x = 5
Apabila x = 0, y = 0
Apabila x = 5, y = 3(5) = 15
Jadi, titik-titik persilangan ialah (0,0) dan (5,15).
Luas bentuk OABC
¿∫0
5
x (8−x )dx
¿∫0
5
(8 x−x2 )dx y=3 x
¿ [ 8 x22 − x3
3 ] -------------------
¿ [4 x2 x33 ] y=x (8−x )
¿(100−1253 )−0=1753 unit ²
luas segitigaOBC=∫0
5
3 xdx=[ 3x22 ]=752 −0=752unit ²
Jadi, luas rantau yang dikehendaki = luas rantau berlorek
= luas bentuk OABC – luas segitiga OBC
¿ 1753
−752
¿ 350−2256
17
¿ 1256
¿20 56unit ²
Soalan 9 :
Carikan isipadu bongkah perkisaran apabila luas yang dibatasi oleh lengkung ¿ x ²+3 ,
paksi−x ,garis x=1dan x=2 diputarkan melalui empat sudut tegak pada paksi-x.
y=x ²+3
X = 1 x = 2
¿⫪∫1
2
(x2+3 )2dx
¿⫪∫1
2
(x4+6 x2+9 )dx
¿⫪[ x55 +6 x3
3+9 x]
¿¿
¿⫪[ 15 (2 )5+2 (2 )3+9 (2 )]−[ 15 (1)5+2 (1)3+9 (1)]¿⫪[ 325 +16+18 ]−[ 15 +2+9]¿⫪[ 2025 −23
2 ]¿⫪[ 28910 ]¿ 28910
⫪unit3
Soalan 10 :
18
Carikan isipadu bongkah perkisaran apabila luas yang dibatasi oleh lengkung ¿2x
,
paksi− y , garis y=1dan y=3 diputarkan melalui empat sudut tegak pada paksi-y.
y = 2 y = 1 y = 3 y = 2x
xy=2
x= 2y
Isipadu janaan ¿∫1
3
⫪ x2dy
¿⫪∫1
3
( 2y )2
dy
¿⫪∫1
3
(2 y−1 )2dy
¿⫪∫1
3
2dydy
¿⫪[ 2 y22 ]¿⫪ [ y ² ]
¿⫪ [32−12 ]¿⫪ [9−1 ]
¿8⫪unit3
19
Soalan 11 :
Dengan menggunakan kaedah gentian, carikan ∫ x
√ x ²−1 dx
1 et u = x² - 1
du = 2x dx
du2
= x dx
∫ 1
√udx2
∫ 12 ¿¿
12∫ u
−12 du
12 [−12 u
12 ]+c
−14u12+c
¿−(x2−1 )
12
4+c
¿− 1
4√ x2−1+c
Soalan 12 :
Dengan menggunakan kaedah integration by parts, carikan ∫ xcosxdx.
∫ f ' ( x ) F ( x )dx=f ( x )F ( x )−∫ f ( x )F ' (x )dx
20
take f ' ( x )=cos x
F ( x )=x
∫ x cos x dx=x sin x−∫ sin x dx¿ x sin x−¿¿
¿ x sin x+cos x+c
Soalan 13 :
Cari luas rantau yang dibatasi oleh lengkung y=x ²+2 dan garis lurus y=x+4.
∫−1
2
x2+2dx
¿ [ x33 +2 x ]¿ [ 233 +2(2)]−[ (−1)33 +2(−1)]¿ 203
−[−73 ]¿9 squareunits
y=x+ y
y=x ²+2
21
Soalan 1:
Pecutan suatu zarah yang bergerak mengikut satu garis lurus adalah diberi oleh a=3 t ²+2. Diberi bahawa apabila t=0 , v=0 , s=0, carikan
(a) Halaju zarah itu apabila t = 3s(b) Sesaran zarah itu apabila t = 2s
22
Soalan 2:
Satu zarah bergerak mengikut satu garis lurus dan sesarannya, s meter, dari satu titik tetap o
diberi oleh s=3t 2+14, di mana t ialah masa dalam saat selepas melalui o. Hitungkan.
(a) Halaju zarah itu apabila t = 3s(b) Pecutan zarah itu apabila t = 4s(c) Sesaran zarah itu apabila zarah itu berhenti seketika.
23