Aturan Pencacahan Dan Peluang

8/19/2019 Aturan Pencacahan Dan Peluang

1/18

ATURAN PENCACAHAN DAN PELUANG

KOMPETENSI DASAR

1. Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan meaui beberapa c!nt!h n"ata

serta men"a#ikan aur perumusan aturan pencacahan $perkaian% permutasi dan k!mbinasi& me'

aui diagram atau cara ainn"a.

(. Menerapkan berbagai k!nsep dan prinsip permutasi dan k!mbinasi daam pemecahan masaah

n"ata.

). Mendeskripsikan k!nsep ruang sampe dan menentukan peuang suatu ke#adian daam suatu per

c!baan.*. Mendeskripsikan dan menerapkan aturan + rumus peuang daam memprediksi ter#adin"a suatu

ke#adian dunia n"ata serta men#easkan aasan'aasann"a.,. Mendeskripsikan k!nsep peuang dan harapan suatu ke#adian dan menggunakann"a daam

pemecahan masaah.-. Memiih dan menggunakan aturan pencacahan "ang sesuai daam pemecahan masaah n"ata

serta memberikan aasann"a.

. Mengidenti/ikasi masaah n"ata dan menerapkan aturan perkaian% permutasi% dan k!mbinasi

daam pemecahan masaah tersebut.

0. Mengidenti/ikasi% men"a#ikan m!de matematika% dan menentukan peuang dan harapan suatu

ke#adian dari masaah k!ntekstua.

A. KAIDA PEN2A2AAN

1. Aturan perkaian

Ada dua kaidah daam pencacahan% "aitu 3

' Aturan pen#umahan' Aturan perkaian

2!nt!h 3

4ika kita akan memakai t!pi "ang kita miiki% "aitu * t!pi ber5arna merah dan ( t!pi ber'

5arna biru% maka ban"ak piihan "ang bisa kita akukan adaah - piihan + cara. Angka -

berasa dari * 6 (. Iniah "ang disebut dengan aturan pen#umahan.

Aturan pencacahan "ang akan ban"ak digunakan daam sub bab ini adaah aturan perkaian.

Agar dapat memahami bagaimana aturan perkaian% seesaikan masaah berikut 3

Masaah 1 3

4ika kita memiiki , ba#u dan ) ceana "ang dapat kita gunakan untuk menghadiri pesta

perpisahan keas $DN&. Keima ba#u dan ketiga ceana semuan"a berbeda. 7erapa ban"ak

setean ba#u 8 ceana "ang dapat kita piih untuk dikenakan pada pesta perpisahan keas

tersebut 9

Masaah ( 3


2/18

A

:

1

(

)

*

,

-

1

(

)

*

,

-

$A%1&

$A%(&

$A%)&

$A%*&

$A%,&

$A%-&

$:%1&

$:%(&

$:%)&

$:%*&

$:%,&

$:%-&

Rahmat memiiki * ba#u% ( ceana% dan ) t!pi% dengan setiap ba#u% ceana% dan t!pi "ang

berbeda'beda. Rahmat akan memakai setean ba#u% ceana% dan t!pi. 7erapa ban"ak cara

setean ba#u% ceana% dan t!pi "ang bisa Rahmat piih untuk digunakan 9

2atatan 3

Seesaikan kedua masaah di atas dengan cara "ang biasa anda akukan.

Kedua masaah di atas dapat diseesaikan dengan menggunakan diagram pohon. Misakan

anda meakukan dua perc!baan% pertama meempar k!in dan kedua meempar dadu% maka

diagram p!h!nn"a sbb 3

Muai

Perhatikan pada perc!baan ke'1 $meempar k!in& terdapat ( kemungkinan hasi $A atau :&%

dan pada perc!baan ke'( $meempar dadu& ada - kemungkinan hasi% "aitu muncu angka 1%

(% )% ;%-. Kemungkinan hasi "ang ditun#ukkan pada diagram p!h!n di atas adaah 1( me

rupakan hasi perkaian dari ( dan -.

Sekarang kaau kita meempar sebuah dadu ( kai% gunakan diagram p!h!n untuk menun#uk'kan berapa ban"ak hasi "ang mungkin. Apakah - < - 9 hasi "ang mungkin akan mengarah

ke aturan perkaian "ang bisa kita n"atakan sebagai berikut 3

Aturan perkaian 3

4ika perc!baan pertama dapat ter#adi daam p cara% perc!baan kedua dapat ter#adi da'

am q cara% dan perc!baan ketiga dapat ter#adi daam r cara% maka ban"ak cara berbeda di '

mana ketiga ke#adian dapat ter#adi bersamaan adaah p x q x r cara.

2!nt!h s!a 3

Perc!baan ke'1$dadu&

asi

Perc!baan ke'1k!in


3/18

1. Di suatu keas "ang terdapat *= sis5a% (, sis5a di antaran"a adaah perempuan. 7erapa

ban"ak cara untuk memiih se!rang sis5a perempuan dan se!rang sis5a aki'aki sebagai

5aki dari keas tersebut 9

Pen"eesaian 3

>ntuk memiih se!rang sis5a perempuan ada (, cara% sedangkan untuk memiih se!rang

sis5a aki'aki ada 1, cara.

Dengan demikian ban"ak cara memiih se!rang sis5a perempuan dan se!rang sis5a

aki'aki adaah (, < 1, ? ),.

(. Suatu keas "ang terdiri atas *= sis5a meakukan pemiihan ketua keas% sekretaris% dan

bendahara. 4ika tidak b!eh ada #abatan "ang dirangkap% berapa ban"ak cara "ang bisa

diakukan daam pemiihan ini 9

Pen"eesaian 3

,@.(0=

(. Permutasi.

2!nt!h penggunaan permutasi 3

7erapa ban"ak biangan * angka "ang bisa kita bentuk dari angka'angka ,% -% % dan 0 tanpa

ada angka "ang b!eh diuang 9

Pen"eesaian 3

K!tak ke'1 bisa kita isi dengan saah satu angka dari * angka "ang tersedia% ini berarti ada *

cara untuk mengisi k!tak ke'1. K!tak ke'( tersisa ) angka $) cara&. K!tak ke') tersisa ( angka

$( cara&% dan k!tak ke'* tersisa 1 angka $1 cara&. 4adi ban"ak cara untuk mengisi keempat

k!tak tersebut ada * < ) < ( < 1 ? (* cara.

a. PERMUTASI DENGAN SEMUA UNSUR DIGUNAKAN

Tiga !rang $sebutah A% 7% dan 2& akan duduk berderet pada tiga kursi "ang tersedia.

7erapa ban"ak susunan duduk "ang mungkin dari ketigan"a9

Dengan menggunakan diagram p!h!n% akan diper!eh - susunan duduk% "aitu 3 A72%

A27% 7A2% 72A% 2A7% 27A. Pada susunan duduk berderet ini% susunan A72 berbedadengan susunan A27. Susunan duduk ketiga !rang secara berderet ini termasuk sebagai

PermutasiB dengan demikian "ang dimaksud permutasi sbb 3

Permutasi adaah suatu susunan dari unsur'unsur dimana urutan diperhatikan.

1()*


4/18

* )

$urutan A7 berbeda dengan urutan 7A&.

Daam bagian ini semua unsur digunakan% sehingga #ika tersedia n unsur "ang semuan"a

berbeda maka seuruh n unsur ini digunakan. Permutasi dari n unsur dimana seuruh unsur

digunakan din!tasikan P(n , n) . Kasus tiga !rang duduk berderet pada tiga kursi "an g

berbeda adaah permutasi dari ) unsur "ang berbeda dimana ketigan"a digunakan. Diberi

n!tasi P(3,3) % dan teah kita ketahui hasin"a adaah - cara. 4ika kita kaitkan - dengan

)% kita bisa menduga bah5a - ? ) < ( < 1 ? )C.

Sedangkan kasus sebeumn"a% "aitu men"usun * biangan dari * biangan "ang berbeda%

"ang termasuk permutasi dari * unsur "ang digunakan * unsur% n!tasi P(4,4 ) % teah

diper!eh hasi * < ) < ( < 1 ? *C

Dari hasi P (3,3 )=3 ! dan P (4,4 )=4 ! % maka dapat disimpukan bah5a rumus per' mutasi dari P (n ,n )=n !

aitu 3 permutasi dari n unsur berbeda diambi n unsur% diberi n!tasi P(n , n) adaah

sama dengan nC

atihan 3

Tersedia angka'angka 1% (% )% *% ,% -.

7erapa ban"ak cara sebuah biangan - angka bisa dibentuk #ika angka'angka tidak b!eh

beruang9

Pen"eesaian 3

-C

b. PERMUTASI DENGAN TIDAK SEMUA UNSUR DIGUNAKAN

7agaimana #ika dari n unsur "ang tersedia han"a r unsur (r


5/18

Perhatikan bah5a kursi $k!tak& ke'1 didisi !eh * anak dan kursi ke'1 didisi !eh ) anak.

Dengan demikian untuk * anak "ang menduduki ( kursi akan memberikan * < ) susunan

tempat duduk. 2!baah menentukan ban"akn"a susunan duduk #ika tersedia ( kursi% #ika

terdapat , anak.

Kasus ( kursi% ) anak diper!eh P (3,2)=3 x2 % atau3 !

(3−2 ) !

Kasus ( kursi% * anak diper!eh P (4,2 )=4 x3 % atau4 !

(4−2 )!

Kasus ( kursi% , anak diper!eh P (5,2)=… % atau5 !

(5−2 ) !

Perhatikan ketiga p!a di atas% kemudian simpukan% berapakah P(n , r ) 9

Permutasi dari n unsur berbeda diambi r unsur% din!tasikan P(n , r ) dengan r ≤n %

dirumuskan 3 P (n ,r )= n !

( n−r ) !

Keterangan 3 N!tasi permutasi dapat #uga dituis Prn

.

2!nt!h s!a 3

Tersedia angka'angka 1% (% )% *% ,% -.

7erapa ban"ak cara sebuah biangan * angka bisa dibentuk #ika angka'angka tidak b!eh

beruang9

Pen"eesaian 3

P (6,4 )= 6 !

(6−4 )!=¿ )-=

atihan 3

Tentukan niai n% #ika P (n ,2 )=42

Pen"eesaian 3

n=7

c. PERMUTASI DENGAN PEMBATASAN

Kadang'kadang kita men"usun permutasi r unsur dari n unsur tersedia% dimana per'

mutasi tersebut diberi s"arat $batasan tertentu&. Misan"a kita diminta men"usun biangan

"ang terdiri dari tiga angka dengan permutasi% tetapi dis"aratkan biangan itu harus ebih

dari ,== atau biangan itu harus genap. Iniah "ang dimaksud dengan permutasi dengan

pembatasan.


6/18

2!nt!h s!a 3

Dari angka'angka (% )% ,% -% % dan 0 akan dibuat susunan biangan.

a. 7erapa ban"ak biangan "ang terdiri atas ) angka berainan $tidak b!eh beruang& dan

ebih keci dari *==9

b. 7erapa ban"ak biangan gan#i "ang terdiri atas * angka "ang berainan9

Pen"eesaian 3

Masaah ini bisa diseesaikan dengan dua cara% "aitu dengan aturan perkaian atau dengan

rumus permutasi dengan pembatasan.

2ara pertama 3

a. < < ? *=

2ara kedua 3

Menggunakan k!nsep permutasi dan aturan perkaian.

Diminta biangan ratusan "ang kurang dari *==% maka angka ke'1 dibatasi han"a bisa (

angka $"aitu ( dan )&% "ang berarti ada ( cara.

Karena dari - angka sudah digunakan 1 angka% maka tersisa , angka "ang bisa digunakan

untuk angka ke'( dan ke'). 7erarti dari , angka "ang tersedia akan diambi ( angka.

Dengan demikian ban"ak caran"a adaah P (5,2 )= 5 !

(5−2)!=4.5=20.

Masih harus dikaikan ( $dari angka "ang pertama&% sehingga ban"ak biangan tiga angka

dari angka'angka (% )% *% ,% -% % dan 0 adaah *= biangan.

b. >ntuk mengetahui ban"ak biangan gan#i "ang terdiri atas * angka "ang berainan%

kita gunakan k!nsep permutasi diakhiri dengan aturan perkaian.

7iangan gan#i ter#adi bia angka terakhirn"a gan#i% "aitu 3 1% )% ,% % @. Dengan demi'

kian supa"a biangan * angka ini termasuk biangan gan#i% maka angka ke'* n"a ha'

n"a bisa diisi dengan )% ,% dan sa#a $) cara&. Saah satu biangan gan#i dari ) biang'

an gan#i "ang tersedia teah diambi% dengan demikian tersisa , angka dan akan diam'

bi ) angka untuk angka ke'1% ke'(% dan ke') "ang tidak dibatasi. 4ika saah satu dari

ketiga angka ini kita tukar etakn"a% akan dihasikan biangan "ang berbeda% sehingga

termasuk masaah permutasi P(5,3) .4adi ban"ak biangan gan#i "ang terdiri atas * angka "ang berainan "ang bisa dibuat

adaah P (5,3 ) x3= 5 !(5−3 )!

x3=3.4.5.3=180 biangan.

d. PERMUTASI DENGAN PENGULANGAN

( , *


7/18

Misakan kita diminta membentuk huru/ "ang berbeda dari huru/ "ang terse'

dia SAATB% berarti tersedia * huru/ dengan dua huru/ A "ang sama. Permutasi ini

adaah permutasi dari * huru/ diambi * huru/% tetapi ada ( huru/ "ang sama "ang di'

sebut dengan Permutasi dengan penguanganB

Dengan menggunakan diagram p!h!n% untuk huru/ depan S% kita akan memper!eh )

rangkaian huru/% "aitu 3 SAAT% SATA% dan STAA.4ika huru/ depann"a T% kita memper!eh ) rangkaian #uga% sebutkan C

4ika huru/ depann"a A% kita memper!eh - rangkaian% sebutkan CDengan demikian #umah seuruhn"a ada 1( rangkaian huru/ "ang bisa dibuat dari *

huru/ dengan ( huru/ "ang sama% P(4,4 ) dengan 1 pasang huru/ sama.7edakan dengan #ika P(4,4 ) semuan"a $keempat huru/n"a berbeda& akan

menghasi' kan ? (* rangkaian. $* < ) < ( < 1&.

Kita bisa sa#a menduga bah5a 1( ?24

2=

4 !

2 ! denga * men"atakan ban"ak unsur

"ang digunakan dan ( menun#ukkan unsur "ang sama.

Permutasi dari n unsur tersedia dengan ada p unsur #enis pertama "ang sama% F unsur

#enis kedua "ang sama% dan r unsur ketiga "ang sama% dirumuskan sbb3n!

p ! . q ! . r ! dengan p+q+r=n

2!nt!h s!a 3

Tentukan ban"ak k!de berupa rangkaian huru/ "ang bisa dibentuk dari kata

MATEMATIKAB.

Pen"eesaian 37an"ak huru/ ? 1= (n=10) . uru/ M beruang ( kai ( p=2) % huru/ A beruang

) kai (q=3) dan huru/ T beruang ( kai (r=2) % maka10 !

2 ! .3 ! .2 !=¿ 1,1.(==

atihan 3

1. 7erapa ban"ak kata sandi "ang terdiri atas * huru/ dapat dibentuk dari 0 huru/

pertama daam ab#ad% #ika 3

a. Tidak ada huru/ "ang b!eh diuang

b. uru/'huru/ b!eh diuangc. an"a huru/ pertama "ang tidak b!eh diuang

(. 7erapa ban"ak biangan ratusan "ang berbeda dan ebih besar dari (==% "ang dapat

disusun dari angka'angka 1% (% )% ,% % dan @.). Sebuah bank menerbitkan n!m!r PIN untuk tiap nasabahn"a "ang terdiri atas *

angka "ang dibentuk dari angka'angka = sampai @. Angka pertama n!m!r PIN

tidak n!. 7erapa #umah n!m!r PIN "ang bisa diterbitkan bank tersebut #ika 3

a. Angka'angka b!eh beruang

b. Angka'angka tidak b!eh beruang

*. Sederhanakan 3a.

( n−1 ) !n !

b.( n−3 ) !

n ! c.

(n !)2

( n−1 ) ! (n−2 )! d.

(n+1 )!(n−1)!

Pen"eesaian 3

1.

a. 1-0=


8/18

A

2

iiiiii iG

b. *=@-c. (**

(. 1==

). a. @=== b. *,)-

*. a.1

n b.

1

n(n−1)(n−2) c. n

3−n2 d.

n2+n

E. PERM>TASI MEIN:KAR

Kita teah mempea#ari bah5a permutasi dari ) sis5a "ang dudukn"a ber#a#ar adaah se'

ban"ak )C ? - cara.7agaimana #ika ketiga sis5a duduk pada ) kursi tetap "ang mengitari me#a bundar dan sis5an"a

b!eh bertukar p!sisi duduk9

Misakan ketiga sis5a tersebut diberi nama A% 7% dan 2. P!sisi meingkar pertama dimana A du'

duk di kiri seperti gambar berikut diper!eh susunan duduk meingkar A72 searah #arum #am.

P!sisi A tetap di kiri% 7 dan 2 ditukar p!sisi dudukn"a% maka kita per!eh susunan duduk me'

ingkar A27 searah #arum #am.

Kembai ke p!sisi duduk semua. 7 tetap pada p!sisin"a% sedangkan A dan 2 kita tukar p!sisidudukn"a% maka kita per!eh susunan duduk meingkar A27 searah #arum #am.

Kembai ke p!sisi duduk semua. 7 tetap pada p!sisin"a% sedangkan A dan 2 kita tukar p!sisi

dudukn"a% maka kita per!eh susunan duduk meingkar A27 searah #arum #am "ang identik de'

ngan gambar $ii&.

Perhatikan gambar $iii&% bagaimana #ika giiran 2 "ang tetap pada p!sisin"a% sedangkan A dan 7

kita tukar p!sisi dudukn"a. Apakah ps!sisi dudukn"a berbeda dengan sebeumn"9 Kita per!eh

p!sisi duduk meingkar A72 "ang identik dengan gambar $i&.

4adi t!ta han"a ada ( cara $( susunan tempat duduk meingkar berbeda& "ang kita per!eh

#ika ) sis5a duduk pada kursi meingkar mengitari me#a bundar.

a ini diper!eh dari $) 8 1& C ? (C ? ( < 1 ? (

7an"akn"a permutasi meingkar atau permutasi sikik dari n unsur adaah (n−1 )!

2!nt!h s!a 3

1. Ada berapa cara mengatur duduk ) !rang Amerika% * !rang Perancis% * !rang Denmark% dan (

!rang Ind!nesia pada suatu me#a bundar sedemikian sehingga mereka "ang satu kebangsaan

duduk berdampingan9

Pembahasan 3

$*'1&C. )C. *C . *C. (C ? *1.*( cara.


9/18

(. Tentukan ban"akn"a cara * anak aki'aki dan * anak perempuan duduk mengeiingi me#a

bundar #ika anak aki'aki dan anak perempuan duduk berseingan C

Pembahasan 3

Anak aki( dan perempuan harus duduk berseingan% berarti ada *C cara. Kemudian duduk

mengeiingi me#a bundar ada $*'1& C ? )C cara. 4adi #umah cara seuruhn"a ? *C H )C ? 1**

cara.). Pada suatu pertemuan keuarga% ada , pasang suami istri "ang akan duduk pada me#a makan

"ang meingkar dengan 1= kursi. 7erapa susunan duduk pada pertemuan makan tersebut #ika

setiap pasang suami istri seau duduk berdampingan 9

Pen"eesaian 3

$, 8 1&C . (2 !)5=24 x32=768 cara

3. KOMBINASI

2!ba bedakan mana "ang termasuk c!nt!h permutasi dan mana pua "ang termasuk c!nt!hk!mbinasi pada masaah berikut 3

a. ) sis5a A% 7% dan 2 diminta untuk duduk berderet pada ) kursi. 7erapa ban"ak cara berbeda

mereka bisa duduk 9

b. :uru !ahraga memanggi 1= sis5a "ang akan dibentuk+dipiih - sis5a untuk men#adi team

b!a G!e". 7erapa ban"ak cara untuk bisa membentuk 1 team b!a G!e"9

2!nt!h s!a 3

1. .a. Dari 1= sis5a akan dipiih tiga sis5a untuk men#adi ketua keas% sekretaris% dan ben'

dahara. 7erapa ban"ak cara "ang bisa diakukan daam pemiihan ketiga sis5a ini 9 b. Dari 1= sis5a akan dipiih tiga sis5a sebagai pengurus tanpa memperhatikan #abat'

ann"a. 7erapa ban"ak cara "ang bisa diakukan daam pemiihan ketiga sis5a ini 9

Pen"eesaian 3

a. P (10,3 )= 10 !

(10

−3

) !

=¿ ;.

b. C (10,3 )= 10 !

3 ! . (10−3 ) !=¿ ;.

(. 7erapa ban"ak diag!na bisa dibentuk pada segi deapan 9

Pen"eesaian 3

Rumus ban"ak diag!na segi' n adaah 3 C (n ,2 )−n

C (8,2 )−8=20

atihan 3

7erapa ban"ak diag!na dapat dibentuk pada 3

a. Segi - b. segi @


10/18

1

1 1

1 ( 1

1 ) ) 1

1 * - * 1

). Organisasi OSIS memiiki angg!ta inti seban"ak 1= !rang dengan * !rang di antaran"a pe'

rempuan. Suatu kepanitiaan akan dibentuk dengan memiih * !rang dari kesepuuh angg!ta

OSIS tersebut% dan paling tida ada satu dari panitia itu se!rang perempuan. 7erapa ban"ak

k!mp!sisi panitia "ang bisa dibentuk 9

Pen"eesaian 3

Panitia dipiih * !rang dari 1= !rang angg!ta OSIS% sehingga ban"ak k!mp!sisi seuruh

panitia tanpa ada batasan adaah C (10,4 )=210Dari 1= !rang ada * perempuan% berarti ada - angg!ta "ang aki'aki. Dengan demikian

ban"ak k!mp!sisi panitia tanpa ada perempuan adaah C (6,4 )=154adi ban"ak k!mp!sisi panitia seuruhn"a dan paing tidak ada satu dari panitia se!rang

perempuan adaah (1= 8 1, ? 1@,

*. APIKASI KOM7INASI PADA TEOREMA 7INOMIA

Di SMP kita teah mempea#ari segitiga Pasca dimana angka'angka pada segitigaPasca merupakan k!e/isien'k!e/isien dari ekspansi bin!mia (a+b)n dengan n ϵ C

$cacah&% seperti pada gambar berikut.

(a+b)0=1

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

dst

2!baah untuk mengisi angka'angka pada baris ke', dimana ekspansi (a+b)5 berada.

Si/at'si/at "ang ditun#ukkan pada gambar segitiga Pasca di atas memungkinkan kita untuk mem'

per!eh ekspansi sebeumn"a% "aitu (a+b)n−1 . Tentu sa#a cara menentukan k!e/isien'k!e/isien

bin!mia seperti ini tidak e/isien.

Perhatikan kembai k!e/isien'k!e/isien dari hasi ekspansi di ruas kanan (a+b)n pada gambar di

atas $disebut k!e/isien'k!e/isien bin!mia&. Terihat bah5a k!e/isien suku ke'n sama dengan k!e'

/isien suku sebeumn"a $k!e/isien suku ke n−1 & dikaikan dengan eksp!nen a % kemudian

dibagi dengan biangan "ang menandakan p!sisi suku sebeumn"a.

2!nt!h 3

(a+b)4=a4+4a3 b+6a2b2+4a b3+b4

K!e/isien suku ke'(% "aitu *% diper!eh dari k!e/isien suku sebeumn"a $suku ke'1&% "aitu 1%

dikaikan dengan eksp!nen a % "aitu * $berasa dari a4 &% kemudian dibagi dengan penanda

suku sebeumn"a $suku ke'1&% "aitu 1.

4adi k!e/isien suku ke'( adaah1 x 4

1=4


11/18

Dengan cara "ang sama diper!eh k!e/isien suku ke') adaah4 x3

2=6

dst.

Sekarang kita ihat si/at tersebut untuk kasus umum%

(a+b)n=an+n

1a

n−1b+

n(n−1)1 x 2

an−2

b2+

n (n−1)(n−2)1 x 2 x 3

an−3

b3+…+bn

¿ n !

0 ! (n−0 )!a

n+ n !

1! (n−1 )!a

n−1b+

n !

2 ! (n−2 ) !a

n−2b2+

n !

3! ( n−3 ) !a

n−3b3+…+

n !

n ! (n−n ) !a

n−nb

n

¿C (n ,0 ) an+C (n ,1 ) an−1 b+C (n ,2 ) an−2 b2+C (n ,3 ) an−3 b3+…+C (n , n)bn

>raian tersebut menggambarkan te!rema bin!mia sebagai berikut 3

(a+b)n=C (n ,0) an+C ( n ,1 ) an−1 b+C (n ,2 ) an−2 b2+…+C (n , n)bn

2!nt!h s!a 3

1. Tentukan suku ke') dari ekspansi (3 x3−2 y2)5 CPen"eesaian 3

7entuk umum ekspansi bin!mia (a+b)n diidentikkan dahuu dengan ekspansi bin!mia

"ang diketahui untuk menentukan niai a,b,dann .

(a+b)n ≡ (3 x3−2 y2 )5 Tampak bah5a ¿3 x3 , b=−2 y 2 ,dann=5 % maka cara menentukan U 3 adaah 3

U 3=C (5,2 )a5−2 b2=10a3 b2=10 3 x

(¿¿ 3)3(−2 y2)2=¿¿

1=. ( x9 .4 y4=1080 x9 y4

atihan 3

Tentukan suku ke ' - dari ekspansi (3a+2b )10 C

Pen"eesaian 3

1.@,@.,,( a5

b5

1. Diketahui ( p−12 x )6

=r−96 x+s x2+…

Tentukan niai p ,r , dan s C

Pen"eesaian 3

Pertama kita tentukan tiga suku pertama daam ekspansi ( p−12 x )6

dengan menggunakan

te!ri bin!mia.

( p−12 x )6

=( p+(−12 x))6

= p6+C (6,1) p5(−12 x )+C (6,2) p4(−1

2 x)

2

+…

¿ p6+6 p5(−12 x )+15 p4(−1

2 x)

2

+…

¿ p6−3 p5 x+

15

4 p

4 x

2+…


12/18

4adi p6−3 p5 x+

15

4 p

4 x

2+…=r−96 x+s x2+…

Sehingga diper!eh 3

r= p6 ,

−3 p5=−96,⟺ p5=32 ,⟺ p=2

maka r= p6

=26

=64

dan15

4 p

4=s ,⟺15

424=60

7. PE>AN:

Ada ( istiah daam peuang 3

1. Peuang te!ritisPeuang "ang sesuai dengan te!ri

(. Peuang eksperimen + empiris.Peuang "ang sungguh'sungguh dihitung berdasarkan eksperimen $perc!baan beruang&%

"ang dide/inisikan sebagai rasi! antara ban"ak muncu ke#adian "ang diinginkan dengan

#umah perc!baan "ang diakukan.

!. PERCOBAAN" RUANG SAMPEL" TITIK SAMPEL" DAN KE#ADIAN

Ketika kita meakukan meempar undi sebuah dadu% maka hasi "ang kita amati ada -

kemungkinan% "aitu 3 mata dadu 1% (% )% *% ,% dan -.

Kumpuan dari semua hasi "ang mungkin pada suatu perc!baan dide/inisikan sebagai $%ang

&a'p(l $diberi ambang S&% sedangkan tiap hasi "ang mungkin disebut sebagai titi &a'p(l.

4adi titik sampe adaah angg!ta dari ruang sampe. 7an"ak titik sampe daam ruang sampe

diambangkan dengan n(S) . 4ika kita han"a mengharapkan pada hasi'hasi $titik sampe&

tertentu dari ruang sampe% maka ini disebut ke#adian atau peristi5a $eGent& "ang diambang

kan dengan E . 7an"ak titik sampe daam ke#adian diambangkan dengan n( E) . 4adi

E adaah himpunan bagian dari S .2!nt!h 3Pada perc!baan meempar sebuah dadu 1 kai% diper!eh 3

• Ruang sampe S={1,2,3,4,5,6} % sehingga n (S )=6• Titik sampen"a adaaha 1% (% )% *% ,% dan -

Misan"a ke#adian muncu mata dadu -% maka E={6 } % sehingga n ( E )=1Muncun"a mata dadu genap% maka E={2,4,6} % sehingga maka n( E)=3Muncun"a mata dadu prima% maka E={2,3,5 } % sehingga maka n( E)=3

(. Peuang ke#adian tungga

Misakan suatu perc!baan memiiki ruang sampe "ang berhingga ban"akn"a dan setiap titik

sampe memiiki kesempatan "ang sama untuk muncu% maka peuang ke#adian A% diberi

ambang P( A) % dirumuskan 3 P ( A )=n( A)n (S)

dengan 3n( A) ? ban"akn"a angg!ta daam ke#adian A


13/18

n(S) ? ban"akn"a angg!ta daam ruang sampe atau ban"ak titik sampe.

Peuang bisa din"atakan sebagai biangan pecahan atau desima atau kadang'kadang daam

persen. Niai peuang suatu ke#adian berkisar antara = dan 1% dituis 0≤ P( E)≤1 . Peuang

P ( E )=0 men"atakan peuang ke#adian mustahi $tidak mungkin ter#adi&% sedangkan peu'

ang P ( E )=1 men"atakan peuang ke#adian pasti.

2!nt!h s!a 3

1. Sebuah uang !gam diempar undi ) kai. 7erapa peuang ke#adian 3

a. 7 "aitu dua atau ebih sisi angka muncu b. 2 "aitu paing sedikit satu sisi gambar muncu

Pen"eesaian 3

n (S )=8

B={ ( A , A , G ); ( A , G , A ); (G , A , A ); ( A , A , A ) } % maka n (B )=4

a. P (B )=n ( B )n ( S )

=4

8=1

2

b. C ={( A , A , G ); ( A , G , A ); (G , A , A ); $:% :% A& $:% A% :& $A% :% :& $:% :% :&J%

maka n (C )=7

P (C )=n (C )n ( S )

¿7

8

(. Sebuah kunci sepeda terdiri atas k!de * angka "ang disusun dari angka = 8 @. Tidak ada

angka "ang digunakan ebih dari 1 kai.a. 7erapa ban"ak cara berbeda "ang mungkin9

b. 7erapa peuang bah5a semua angka'angka k!de adaah gan#i9

c. 7erapa peuang angka pertama k!de adaah * 9d. 7erapa peuang bah5a k!de itu adaah 1()* 9

Pen"eesaian 3

a. K!de 1()* berbeda dengan k!de ()*1% 5aaupun tersusun dari angka "ang sama. Karena

urutan dipentingkan% maka menggunakan rumus permutasi% "aitu 3

P (10,4 )→ tersedia 1= angka berbeda dan diambi * angka.

P (10,4 )= 10 !

(10−4) !=10.9.8.7=5.040 $ini ber/ungsi sebagai n(S) &.

b. Angka'angka gan#i ada ,.

n ( E )=5 x 4 x 3 x 2=120

P ( E )=n( E)n(S)

= 120

5040= 1

42 atau =%=()0 $pembuatan * desima&

4adi peuang semua angka k!de gan#i adaah1

42 atau =%=()0.

c. n ( E )=1 x 9 x 8 x7=504

P ( E )=n( E)n(S)

= 504

5040= 1

10 atau =%1

4adi peuang angka pertama k!de * adaah1

10 atau =%1

d. P ( E )=n( E)n(S)

= 1

5040=0,0002


14/18

4adi peuang k!den"a 1()* adaah 1

5040atau0,0002

). Suatu ke!mp!k mahasis5a terdiri dari - mahasis5a seni!r $tingkat ) ke atas&% * ma'

hasis5a #uni!r $tingkat 1&% dan ) mahasis5a tingkat (% teah mena5arkan diri untuk

men#adi guru matematika sukarea5an seama masa iburan. D!sen matematika pak

Deni peru memiih @ mahasis5a dari ke!mp!k tersebut.itungah 3

a. 7an"ak cara tiga beas mahasis5a "ang bisa dipiih b. Peuang pak Deni memiih ) seni!r% ) #uni!r% dan ) mahasis5a tingkat ( C

c. Peuang bah5a semua - seni!r terpiih C

Pen"eesaian 3

a. 1) mahasis5a akan dipiih @. Memiih A7 sama dengan memiih 7A $urutan tidak dipen'

tingkan&. 4adi menggunakan rumus k!mbinasi% "aitu 3

C (13,9 )= 13 !

9 ! (13−9 ) !=

13.12. 11.10

4.3.2.1=715 $ini ber/ungsi sebagai n(S) &.

4adi ban"ak cara @ sis5a dapat terpiih adaah 715

b. n ( E )=C (6,3) x C (4,3 ) x C (3,3)=20 x 4 x1=80

P ( E )=n( E)n(S)

= 80

715= 16

143 atau =%1110

4adi peuang pak Deni memiih ) seni!r% ) #uni!r% dan ) mahasis5a tingkat ( adaah16

143 atau =%1110

c. n

( E

)=C

(6,6

) x C

(7,3

)=1 x7.5=35

P ( E )=n( E)n(S)

= 35

715=

7

143 atau =%=*@=

4adi peuang semua seni!r dipiih adaah7

143 atau =%=*@=

). rekuensi arapan $ F h &

rekuensi harapan dari suatu ke#adian merupakan ban"akn"a perc!baan dikaikan

dengan peuang ke#adian daam perc!baan tersebut.

Misan"a perc!baan diakukan seban"ak n kai% maka /rekuensi harapan suatu ke#adian

E daam perc!baan itu din"atakan !eh rumus 3 F h=n x P( E)

2!nt!h s!a 3

a. Pada perc!baan meempar undi ) mata uang !gam sekaigus% berapa /rekuensi harapan

muncun"a dua angka dan satu gambar #ika perc!baan diuang 1(= kai 9

b. Daam perc!baan meempar undi dua dadu sekaigus% berapa /rekuensi harapan

muncun"a #umah mata dadu - #ika perc!baan diuang 10= kai 9

Pen"eesaian 3

a. n (S )=8 E={( A , A ,G ) ; ( A , G , A ) ; (G , A , A ) }

P( E)=3

8

F h=n x P ( E )=120 x 3

8=45


15/18

4adi /rekuensi harapan muncun"a dua angka dan satu gambar pada perc!baan meempar

undi ) uang !gam sekaigus "ang diuang 1(= kai adaah *,.

b. n (S )=36 E= {(1,5); (5,1) ; (2,4) ; (4,2) ; (3,3) } , maka n( E)=5

P( E)= 5

36

F h=n x P ( E )=180 x 5

36=25 4adi /rekuensi harapan muncun"a #umah mata dadu - pada perc!baan meempar undi

dua dadu sekaigus "ang diuang 10= kai adaah (,.

*. Peuang ke#adian ma#emuk

4ika dua atau ebih ke#adian di!perasikan sehingga membentuk ke#adian baru% maka

ke#adian baru ini disebut kejadian majemuk .

Ada ) tiga !perasi "ang kita pea#ari daam bagian ini% "aitu 3 !perasi k!mpemen% !perasi

pen#umahan% dan !perasi perkaian.

a. P(l%ang )'pl('(n &%at% (*adian

4umah peuang suatu ke#adian E dan ke#adian E' seau sama dengan 1.

P ( E )+ P ( E ' )=1 atau P ( E' )=1− P ( E)

2!nt!h s!a 3

1. Dua puuh kartu diberi angka 1% (% )% ; %(=. Kartu tersebut dik!c!k% kemudian di'

ambi satu kartu secara acak. Tentukan peuang bah5a kartu "ang terambi adaah

bukan angka prima.(. Tentukan peuang paing sedikit memiiki satu anak aki'aki daam satu keuarga

"ang memiiki empat anak.

Pen"eesaian 3

n(S)=20

E ( pra )=2,3,5,7,11,13,17,19=8

P ( E )= 8

20=

2

5

E ' $bukan prima& ? (= 8 0 ? 1(

P ( E ' )=12

20=3

5 $1 8

2

5 &?

3

5

(. n (S )=24=16

S!a tersebut menan"akan peuang ke#adian E% "aitu memiiki paing sedikit satu anak

aki'aki dari * anak. Daam ha ini% peuang ke#adian k!mpemenn"a ( E' ) % "aitu

keu' arga tersebut memiiki * anak perempuan semua akan ebih mudah dihitung

karena penentuan bah5a ke#adian E' han"a memiiki satu unsur% "aitu 3

E' ={ PPPP} ? keempat anakn"a perempuan% maka n ( E' )=1

Peuang ke#adian E ' adaah

E

P(¿¿ ' )= 1

16¿

4adi peuang ke#adian E $memiiki paing sedikit 1 anak aki'aki adaah 3


16/18

E

P(¿¿ ' )=1− 1

16=15

16

P ( E )=1−¿

b. P(n*%'la+an p(l%ang• >ntuk A dan 7 dua ke#adian saing epas $tidak satupun eemen A "ang sama dengan

eemen 7&% beraku rumus 3 P ( A∪B )= P ( A )+ P(B)• >ntuk A dan 7 dua ke#adian tidak saing epas% beraku rumus 3

P ( A∪B )= P ( A )+ P (B )− P( A " B)

2!nt!h s!a 3

1. Sebuah dadu merah dan sebuah dadu putih ditt!s bersamaan satu kai. 7erapa peuang

muncu mata dadu ber#umah ) atau 1= 9

(. 4ika dari kartu bern!m!r 1 8 1== diambi sebuah% tentukan peuang 3a. Muncu angka keipatan *

b. Muncu angka keipatan -

c. Muncu keipatan * atau -

Pen"eesaian 3

1. n (S )=36 A={(1,2 ); (2,1) }→ ber#umah )B=¿ L$*% -& $-%*& $,%,&J → ber#umah 1=

n( A∪

B)=5 P ( A∪B )= P ( A )+ P (B )=

2

36+ 3

36=

5

36

Atau P ( A∪B )=n( A∪B)

n(S ) =

5

36

(. a. n (S )=100 A={4,8,12,… ,100 } n( A)=25

P ( A )=n( A)n (S)

= 25

100=

1

4

b. B={6,12,18,… ,96 } n(B)=16

P (B )=n (B)n(S)

= 16

100= 4

25

c. n ( A∪B )=8 % "aitu L1(% (*% )-% ; % @-J

P ( A∪B )= P ( A )+ P (B )− P ( A " B )=1

4+ 4

25−

8

100=

33

100

2. PERKAIAN PE>AN:

Dua ke#adian dikatakan saing bebas #ika muncun"a ke#adian pertama tidak mempengaruhi

peuang muncun"a ke#adian kedua.

2!nt!h 3

Daam perc!baan menget!s dua buah dadu% peuang muncun"a mata * pada dadu pertama tidak

mempengaruhi muncun"a mata ) pada dadu kedua. Adapaun dua ke#adian disebut tidak bebas

atau dua ke#adian bers"arat bia muncun"a ke#adian pertama mempengaruhi peuang

muncun"a ke#adian kedua.


17/18

2!nt!h 3

Pada perc!baan mengambi dua keereng satu persatu tanpa pengembaian.

Misa di daam k!tak ada , keereng merah dan * keereng biru. Pada pengambian pertama%

peuang terambin"a keereng merah ?

5

9 . #ika pada pengambian pertama terambi keereng

bi' ru% maka peuang terambi keereng merah pada pengambian kedua adaah5

8.

4adi untuk pengambian pertama "ang tidak dikembaikan% peuang terambin"a keereng pada

pengambian kedua bergantung pada hasi pertama% daam kasus ini ke#adiann"a disebut ke#a'

dian bers"arat.

7ia pengambian pertama dikembaikan% maka ke#adiann"a disebut ke#adian saing bebas.

Operasi "ang beraku untuk dua ke#adian "ang saing bebas adaah !perasi irisan% misan"a Adan 7 $diberi n!tasi A " B ¿ .

>ntuk A dab 7 dua ke#adian "ang saing bebas% beraku 3

P ( A " B )= P ( A ) x P(B)

2!nt!h s!a 3

1. Dari daam kant!ng "ang berisi - b!a merah dan * b!a putih% diambi 1 b!a% diihat 5ar'

nan"a dan dikembaikan. Kemudian diambi agi 1 b!a dan diihat 5arnan"a. Tentukan pe'

uang 3

a. Terambi dengan urutan putih au merah

b. Terambi dengan urutan merah au putihc. Keduan"a merah

Pen"eesaian 3

Karena b!a diambi kemudian dikembaikan% maka peuang terambi b!a merah atau putih

saing bebas.

P $b!a merah& ? 610

=35

P$b!a putih& ? 410

=25

a. P $b!a putih dan b!a merah& ? P$b!a putih& < P$b!a merah& ?2

5 x 3

5= 6

25

b. 6

25

c. P $b!a merah& < P $b!a merah& ?3

5 x 3

5=

9

25

(. Sebuah k!tak berisi , b!a merah dan * b!a kuning. 4ika diambi ( b!a satu persatu dengantanpa pengembaian% tentukan peuang b!a "ang terambi itu berturut'turut ber5arna 3

a. Merah 8 kuning b. Kuning 8 merah

c. Kuning 8 kuning

Pen"eesaian 3


18/18

a. 5

9 x 4

8=

20

72= 5

18

b. 4

9 x 5

8=

20

72= 5

18

c. 4

9 x 3

8=

12

72=

1

6

Aturan Pencacahan Dan Peluang

Documents

Transcript of Aturan Pencacahan Dan Peluang