B2001 Matematik 2 UNIT2
description
Transcript of B2001 Matematik 2 UNIT2
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 1/13
B2001/UNIT 2/1
PEMBEZAAN
PEMBEZAAN
OBJEKTIF
Objektif Am : Memahami konsep pembezaan dan idea had serta boleh melakukan
pembezaan dengan cara Prinsip Ppertama.
Objektif Khusus : Di akhir unit ini, anda pelajar :
Menyatakan pembezaan sebagai perubahan suatu kuantiti
terhadap suatu kuantiti yang lain.
Mencari had dengan menggunakan jadual.
Mencari had dengan menggunakan kaedah gantian memusat.
Mendapatkan pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan
idea had.
Mendapatkan pembezaan dengan kaedah Prinsip Pertama.
UNIT 2
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 2/13
B2001/UNIT 2/2
PEMBEZAAN
2.0 PENENA!AN PEMBEZAAN
Pembezaan adalah proses mencari k"#"$ %e$ub"h"& suatu kuantiti terhadap suatu
kuantiti yang lain. Ia adalah satu cabang ilmu Kalkulus yang mula diperkenalkan
sejak kurun ke !. Ia digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam pelbagai
bidang misalnya kejuruteraan, perubatan, perdagangan, pertanian dan lain"lain.
Pada setiap hari #abu, $nit Polibriged politeknik dikehendaki berjogging
mendaki sebuah anak bukit berhampiran politeknik tersebut. %hmad, seorang ahli
Polibriged terpaksa berjogging dengan hati"hati kerana kecerunan bukit yang
berbeza"beza. Kadangkala %hmad bergerak perlahan kerana tanahnya yang curam
dan kadang kala dia memecut kerana tanahnya lebih landai.
Kecerunan bukit pada titik"titik tertentu %hmad menapak boleh ditentukan
dengan proses yang dinamakan PEMBEZAAN.
INPUT INPUT
Istilah &te$bit"&&
boleh jugadigunakan untuk
perkataan &%embe'""&&.
P'
%
•
xδ
(%)*I%) +++
'emoga
kejayaan
sentiasa
mengiringi
hidup anda
Perubaha
n dalam
Perubahan dalam y
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 3/13
B2001/UNIT 2/(
PEMBEZAAN
Kecerunan bukit boleh ditentukan dengan mempertimbangkan %e$ub"h"& %"#"
&i)"i me&e*"k+ , terhadap %e$ub"h"& &i)"i me&*ufuk+ -.
Kecerunan bagi satu garis lurus ditakrifkan sebagai:
Kee$u&"& Pe$ub"h"& %"#" ,
Pe$ub"h"& %"#" -
$ntuk fungsi linear, kecerunannya sentiasa tetap iaitu tiada kadar perubahan. -ika
fungsi bukan linear dipertimbangkan, didapati bahaa kadar perubahannya tidak
tetap. /leh kerana kecerunan pada setiap titik %hmad menapak sentiasa berubah,
adalah lebih mudah nilai kecerunan ini diterangkan dengan proses pembezaan.
Proses menentukan perubahan y berbanding ialah proses pembezaan dan boleh
ditulis sebagaidx
dy.
Konsep pembezaan boleh diaplikasikan dalam konsep halaju dan sesaran.
")"ju, 0 ialah be'""& ses"$"&, s terhadap m"s", t dan ditulis sebagaidt
ds
sementara, %eut"& , a ialah be'""& h")"ju, 0 terhadap m"s", t dan ditulis sebagai
dt
dv.
Jik" , i")"h su"tu fu&*si - i"itu , f-+ %embe'""& , te$h"#"% -+
dx
dy b3)eh #itu)is ju*" seb"*"i f 4- +
dx
dy f 4-.
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 4/13
B2001/UNIT 2/5
PEMBEZAAN
2.1 I6EA A6
Di sekitar kampus P'%, had laju maksimum bagi
kenderaan bermotor ialah 12 km3j. Pemandu yang
melebihi had laju tersebut akan disaman. Daripada
situasi ini, had laju kenderaan ialah 12 km3j. %pakah
yang dimaksudkan dengan istilah &h"#&.
I#e" h"# ini boleh digunakan untuk menerangkan pembezaan
73&t3h 2.1
Pertimbangkan persamaan linear f45 6 7 8 . Dengan menggunakan kalkulator,
tentukan had apabila menghampiri 2.
Pe&,e)es"i"&
Dari kiri
"2. "2.2 "2.22 "2.222 2
y ".7 ".27 ".227 ".2227 "
Dari kanan
2 2.222 2.22 2.2 2.
y " "2.999 "2.99 "2.9 "2.
-adual 7.
30
INPUT INPUT
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 5/13
B2001/UNIT 2/8
PEMBEZAAN
Daripada jadual 7., didapati bahaa apabila nilai menghampiri 2 dari kiri atau
dari kanan, had fungsi f45 6 7 8 ialah tetap 8. /leh itu, nilai had f45 ialah 8.
'ecara am, persamaan matematik untuk menulis idea had ini ialah
had 4 7 8 5 6 "
δ 2
'elain daripada kaedah jadual, kita juga boleh mengira had suatu fungsi dengan cara
menggunakan sifat"sifat had.
73&t3h 2.2
Kirakan had abgi fungsi"fungsi berikut:
a. had 4 ; 7 5 b. had 4 7 7 ; < 5→ → 2
Pe&,e)es"i"&
a. had 4 ; 7 5 6 had ; had 7 6 2 ; 7 6 7→ 2 → 2 → 2
b. had 4 7 7 ; < 5 6 7 had 7 ; had < 6 745 ; < 6 !
→ → →
Dibaca had 7 " apabila
δ menghampiri 2 ialah "
9if"t:9if"t "# ;
1. h"# f- < * - h"# f - < h"# *
-
-→" - → " - → "
2.
h"# f- : * - h"# f - : h"# *-
-→" - → " - → "
(. h"# f-.* - h"# f - . h"# * -
-→" - → " - → "
5. h"# #im"&" i")"h %em")"$
-→"
8. h"# . *- h"# *- #im"&" i")"h-→" %em")"$
=. h"# -& "& -→"
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 6/13
B2001/UNIT 2/=
PEMBEZAAN
Akti>iti 2.1
UJIKAN KEFAAMAN AN6A '=>=?$M M=*=#$'K%* I*P$(
'=?%*-$(*@%AA..+
. Dengan menggunakan jadual, tentukan nilai had fungsi"fungsi berikut:
a. y 6 7 ;, apabila menghampiri 2
b. y 6
7
; B apabila menghampiri
7. Dengan menggunakan sifat"sifat had, tentukan nilai had bagi fungsi"fungsi
berikut:
a. s 6 7t ;!, apabila t menghampiri 2
b. y 6 1 ; , apabila menghampiri 7
c. y 6 C ; B , apabila menghampiri
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 7/13
B2001/UNIT 2/?
PEMBEZAAN
M"k)um B")"s Akti>iti 2.1
. a.
2← "2.22 "2.2 "2.
y ← 2.99 2.9 2.
b.
← 2.99 2.9< 2.9
y <← B.9 B.92 B.
7. a. had 7t ;! 6 7 had t ; had !
→2 →2 →2
6 7 4 2 5 ; !
6 !
b. had 1 ; 6 had 1 ; had
→7 →7 →7
6 71 ;
6 9
c. had C ; B 6 37 had ; had B
→ → →
6 37 4 5 ; B
6 B.<
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 8/13
B2001/UNIT 2/@
PEMBEZAAN
2.2 PEMBEZAAN MENUNAKAN PIN9IP PETAMA
Pertimbangkan y6 f45 dan titik P 4 , y 5 di atas lengkung pada rajah 7..
-ika bertambah sebanyak δ, y bertambah sebanyak δy, maka koordinatnya
menjadi satu titik baru iaitu 4 ; δ , y ; δy 5.
Perhatikan apabila menghampiri P, δ menghampiri sifar,ditulis sebagai
δ 2.
/leh yang demikian, daripada idea had, pembezaandx
dy meakili kecerunan
lengkung pada suatu titik dan kita akan memperolehi bahaa
dx
dy
≅ x
yhad x δ
δ
δ 2→
y
P4 , y 5
#ajah 7.
y 6 f 4 5
4 ; δ , y ; δy 5
δ
δy
INPUT INPUT
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 9/13
B2001/UNIT 2/
PEMBEZAAN
Dengan demikian+dx
dy boleh diterbitkan sebagai had
x
y
δ
δ apabila menghampiri
sifar.
Kaedah mencari pembezaan menggunakan idea had dikenali sebagaai kaedah
P$i&si% Pe$t"m".
73&t3h 2. (
Dengan menggunakan prinsip pertama, bezakan y terhadap bagi persamaan
y 6 7 ; .
Pe&,e)es"i"&
y 6 7 ; persamaan 45
y ; δy 6 4 ; δ 57 ;
y ; δy 6 7 ;7 δ ;4 δ57 ; persamaan 7
Eantikan persamaan 45 ke dalam persamaan 475
7 ; ; δy 6 7 ;7 δ ;4 δ57 ;
δy 6 7 δ ;4 δ57
6 δ47 ; δ5
>ahagikan δy dengan δ
x x x
yδ
δ
δ += 7
x
y
had x δ
δ
δ 2→ 6 7 ; 2
dx
dy6 7
(ambahkan y 6 y ; δy
6 ; δ
>ahagikan δy
dengan δ
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 10/13
B2001/UNIT 2/10
PEMBEZAAN
Akti>iti 2.2
UJIKAN KEFAAMAN AN6A '=>=?$M M=*=#$'K%* I*P$(
'=?%*-$(*@%AA..+
. Dengan menggunakan Prinsip Pertama, bezakan yang berikut:
a. y 6 77
b. y 6 7 ; 7 8 B
c. x
y 1=
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 11/13
B2001/UNIT 2/11
PEMBEZAAN
M"k)um B")"s Akti>iti 2.2
. a. y 6 7 7 45
y ; δy 6 74 ; δ 57 4 7 5
6 77 ; B δ ; 74 δ57
Eantikan persamaan 45 ke dalam persamaan 4 7 5
7 7 ; δy 6 77 ;B δ ; 74 δ57
δy 6 B δ ;74 δ57
6 δ4 B ; 7δ5
>ahagikan δy dengan δ
x x x
yδ
δ
δ += B
/leh kerana x
yhad
dx
dy
dx δ
δ
2→
=
x
yhad dx δ
δ
2→
6 B ; 2
dx
dy6 B
b. 7 ; 7
c.7
1
x−
>agi soalan 4b5 dan 4c5,
ikut seperti soalan 4a5
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 12/13
B2001/UNIT 2/12
PEMBEZAAN
PENI!AIAN KEN6II 2
%nda telah menghampiri kejayaan. 9i)" ub" semu" s3")"& dalam penilaian kendiri
ini dan semak jaapan anda pada maklum balas yang disediakan.
-ika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.
'elamat mencuba dan semoga anda berjaya+++A
. Dengan membina jadual yang sesuai, cari nilai bagi setiap had yang berikut:
a. had 4 7 8 1 5 b. had 47 7 ; 5
2 2
7. Dengan menggunakan sifat"sifat had , cari nilai bagi setiap had yang berikut:
a. had 4 < ; 5 b. had 74 1 ; 7 5
2 2
1. Dengan menggunakan kaedah prinsip pertama, bezakan yang berikut:
a. f45 6 17
b. f4t5 6t
7
B. Fari kecerunan f45 6 1 ; <. %pakah kecerunan f45 apabila 6! dan 6 "7
%pakah yang anda boleh simpulkan mengenai f45 G
<. %pakah kecerunan f45 6 7 7 ; B 8 apabila 6 2.
7/18/2019 B2001 Matematik 2 UNIT2
http://slidepdf.com/reader/full/b2001-matematik-2-unit2 13/13
B2001/UNIT 2/1(
PEMBEZAAN
M"k)um B")"s Pe&i)"i"& Ke&#i$i 2
%dakah anda telah mencuba dahuluGGG..-ika H@%, sila semak jaapan anda.
. a. b.
7. a. b. 2
1. a. J b.7
7
t −
B 1, 1 f45 adalah suatu garislurus
<. "
77 ;
7.< 7.<2
7.J B.<7
7.! <.<
7. J.J
7.9 !.77.99 .7
1.2 9.92
47 " 15
.2 "7.22
2. "7.1J
2.J "7.JB
2.B "7.B
2.7 "7.9J
2. "7.99
2 "1.22
(%)*I%) +++
'emoga kejayaan sentiasa
mengiringi hidup anda