1.1. SISTEM BILANGAN RIIL

3

Himpunan bilangan asli

{1, 2, 3, 4, 5, 6, … }

+ bilangan 0

Himpunan bilangan cacah

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … }

+ bilangan bulat negatif

Himpunan bilangan bulat

{…, -2, -1, 0, 1, 2, … }

+ bilangan pecahan

Himpunan bilangan rasional

{m/n | m, n ≠ 0}

+ bilangan irrasional

Himpunan bilangan real

Sistem Bilangan

Bil Real (R)

Bil Rasional (Q)

Bil Bulat (Z)

Bil Asli (N)

SISTEM BILANGAN REAL

BILANGAN

REAL

BILANGAN

IRASIONAL

BILANGAN

RASIONAL

BILANGAN

BULATBIL RATIONAL

TIDAK BULAT

BIL BULAT

NEGATIF

NOL : 0 BIL BULAT

POSITIF

BIL BULAT

TAK NEGATIF

Operasi pada bilangan riil1. Dua bilangan real x dan y dapat dijumlahkan untuk

memperoleh bilangan real baru x+y.

2. Dua bilangan real x dan y dapat dikalikan untuk memperoleh bilangan real baru xy atau ditulis xy.

Sifat-sifat Medan

a. Hukum komutatif x+y = y+x dan xy = yx

b. Hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z dan x(yz) = (xy)z

c. hukum distribusi x(y+z) = xy +xz

d. elemen – elemen identitas x+0 = x dan x.1 = x

e. balikan (invers) x+(-x) = 0 dan x.x-1 = 1

3. Definisi pengurangan

x – y = x + (-y)

4. Definisi pembagian

x/y untuk y 0 atau x.y-1

Sifat – Sifat Urutan1. Trikotomi.

Jika x dan y adalah bilangan bilangan real, maka pasti satu diantara yang berikut berlaku: x < y atau x = y atau x > y

2. Ketransitifan

Jika x < y dan y < z x < z

3. Penambahan

x < y x + z < y + z

4. Perkalian

x < y xz < yz untuk z positif

x < y xz > yz untuk z negatif

1.2. KETIDAKSAMAAN

Pertidaksamaan

Suatu kalimat yang berbentuk ketidaksamaan

dalam x disebut pertidaksamaan.

Contoh:

2x – 11 < 5

x2 – x – 6 0

Notasi Definisi Grafik Keterangan

(a,b)

{ }b<x<a x

Selang terbuka

[a,b]

{ }bxa x ≤≤

Selang tertutup

[a,b) { }b<xa x ≤

Selang setengah terbuka

(a,b] { }bx<a x ≤

Selang setengah terbuka

(a, ) { }a>x x

Selang terbuka

[a, ) { }ax x ≥

Selang tertutup

(-, b)

{ }b<x x

Selang terbuka

(-, b]

{ }bx x ≤

Selang tertutup

(-, )

R

Selang terbuka

a b ( )

a b [ ]

a b [ )

a b ( ]

a (

b ]

a [

b )

Menyelesaikan Pertidaksamaan

1. menambahkan bilangan yang sama pada

kedua pihak suatu ketaksamaan

2. mengalikan kedua pihak dari suatu

ketaksamaan dengan suatu bilangan positif

3. mengalikan kedua pihak dengan suatu

bilangan negatif tetapi kemudian harus

membalik arah tanda ketaksamaan.

Latihan

Tentukan himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan berikut:

a. 10x + 1 > 8x +5

b. -3 < 1 - 6x ≤ 4

c. 2+3x < 5x+1 < 16

d. 2x2 + 5x -3 > 0

e. 42

x

1.3. NILAI MUTLAK, AKAR KUADRAT,KUADRAT

Nilai mutlak suatu bilangan real x, didefinisikan sebagai:

Sifat – sifat nilai mutlak

, jika 0| |

, jika 0

a aa

a a

22

2

aa .6

aa .5

b aba 4.

segitiga)an (ketaksama b aba .3

b

a

b

a .2

b aab .1

BUKTI :

ab = a b . Bukti ab = (ab)2 = a2b2 = a2 b2 = a b (terbukti)

a

b =

a

b , b ≠ 0. Bukti

a

b =

a

b

2=

a2

b2 = a2

b2=

a

b (terbukti)

a + b ≤ a + b (ketidaksamaan segitiga)

Bukti : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ≤ a 2 + 2 a b + b 2 = a + b 2

(a + b)2 ≤ a + b 2 = a + b = a + b (terbukti)

a − b ≤ a + b . Bukti a − b = a + (−b) ≤ a + b (terbukti)

Pertidaksamaan yang menyangkut nilai mutlak

22 yx yx .3

ax atau ax ax .2

axa ax .1

Latihan

1. x+2 < 1

2.

3.

4.

272

x

0452 2 xx

7x 32x

1.4. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS

y kuadran II kuadran I ( - , + ) ( + , + ) 0 kuadran III kuadran IV ( - , - ) ( + , - )

x

RUMUS JARAK

Diketahui dua buah titik A(x1, y1) danB(x2, y2) maka jarak d(A,B) adalah

Carilah jarak antara P(-2,4) dan Q(4,-1)

212

2

12, yyxxBAd

PERSAMAAN LINGKARAN

Secara umum, lingkaran berjari-jari r dan pusat (a,b) mempunyai persamaan

Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 3 dan

pusat (-2,4)

222rbyax

Persamaan Garis

Gambar grafik persamaan garis y = 2x + 2

Persamaan Umum:

y = mx + c x ≠ 0

Persamaan garis, jika diketahui 2 titik, misalnya A (x1, y1) dan B(x2, y2)

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3, -2) dan B(-4, 1)

Axx

xx

yy

yy

2

1

12

1

Persamaan Garis Jika diketahui titikA(x1 , y1) dan gradien = m

Tentukan persamaan garis yang mempunyai gradien 2 dan melaluititik P(-5, 3)

11 xxmyy

Persamaan Garis jika melalui titikA(x1, y1) dan Diketahui garis lain

a. Gradien garis yang sejajar :

Jika garis f(x) = m1 x + c sejajar pada

garis g(x) = m2 x + k

Maka gradiennya adalah : m1 = m2

Tentukan persamaan garis melalui Q(2, 5) dan sejajar terhadap garis f(x) = 3x + 2

b. Gradien garis yang saling tegak lurus :

Jika garis f(x) = m1 x + c tegak lurus

garis g(x) = m2 x + k

Maka gradiennya adalah : m1.m2 =-1

Tentukan persamaan garis melalui Q(-3, 2) dan tegak lurus terhadap garis f(x)=-2x + 3

1.5. INDUKSI MATEMATIK

Prinsip Induksi Matematik

Misalkan {Pn} adalah suatu deret proposisi

(pernyataan) yang memenuhi kedua persyaratan

di bawah ini.

(i) PN adalah benar (biasanya N adalah 1)

(ii) Kebenaran Pi secara tidak langsung menyataan

kebenaran Pi+1 , i ≥ N

Maka Pn adalah benar untuk setiap bilangan bulat

n ≥ N

Latihan

Buktikan bahwa

Adalah benar untuk semua n ≥ 1

2

1nnn...321 : Pn

Tugas 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

berikut:

a. 2x-4 ≤ 6-7x ≤ 3x+6 g.

b. x2 + 2x -12 < 0

c.

d.

e.

f.

03

4

x

x

423

1

x

15

2 x

024 2 xx

1032 2 xx

2. Buktikan bahwa titik tengah sisi miring sebarang segitiga siku-siku

berjarak sama dari ketiga titik-titik sudutnya.

3. Titik-titik (2,3), (6,3), (6,-1) dan (2,-1) adalah sudut-sudut suatu

bujur sangkar. Carilah persamaan-persamaan lingkaran dalam dan

luar.

4. Cari nilai sedemikian sehingga garis :

a). Sejajar garis

b). Tegak lurus garis

TUGAS KELOMPOK SESUAI PROGRAM STUDINYA

DIKUMPUL HARI SENIN TANGGAL 9 SEPT 2013

103 ykx

42 xy

42 xy