BAB IV

SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR

A. Pendahuluan

Persamaan nonlinear serentak adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan nonlinear, seperti contoh kumpulan persamaan di bawah ini :

(4.1)

Mencari penyelesaian dan di atas tidak dapat dilakukan metode-metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear serentak, pada bab III awal.

Ada dua metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan nonlinear serentak yaitu metode Newton Raphson dan Metode Iterasi dalam bentuk . Seperti bab sebelumnya, kedua metode tersebut juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear. Penyelesaian persamaan nonlinear serentak ordo tinggi dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan persamaan nonlinear ordo dua, tetapi penyelesaiannya akan semakin kompleks dan jumlah iterasinya semakin banyak.

B. Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson untuk persamaan nonlinear serentak adalah metode penyelesaian persamaan serentak nonlinear dengan membentuk persamaan tersebut seperti pada persamaan (4.2), kemudian melakukan proses iterasi. Kelebihan penyelesaian persamaan nonlinear serentak dengan metode Newton-Raphson ini adalah iterasinya yang cepat, tetapi penyelesaian metode ini akan menjadi kompleks jika digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear serentak ordo tinggi (lebih dari ordo tiga) sebab akan terlibat pencarian nilai determinan matriks ordo tinggi.

Cara Penyelesaian dari Metode Newton-Raphson

Langkah pertama : menyelesaikan 2 persamaan nonlinear diatas menjadi:

(4.2)

Langkah kedua :

Mencari nilai fungsi ,

Mencari nilai turunan fungsi tersebut terhadap masing-masing variabelnya, yaitu dan pada titik awal yang ditentukan, yaitu dan

Catatan : Nilai awal bukan merupakan titik diskontinue pada fungsi dan turunan fungsinya.

Langkah ketiga : mencari nilai dan (dan adalah deviasi nilai dari dan ), dengan aturan (4.3) atau dikenal dengan aturan Cramer

(4.3)

Dalam rangka mencari nilai pendekatan yang lebih tepat dari nilai awal, dengan persamaan (4.4),

(4.4)

Langkah keempat : adalah melakukan proses iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapatkan nilai r1 dan r2 sama dengan nol atau mendekati nol.

Contoh :

Carilah penyelesaian persamaan nonlinear serentak di bawah ini dengan menggunakan metode Newton-Raphson

Penyelesaiaan :

Langkah Pertama :

Menyusun persaman serentak di atas menjadi bentuk :

yaitu :

Langkah kedua :

Mencari nilai fungsi dari turunan-turunannya pada dan . Jika diambil tebakan awal untuk dan akan didapatkan :

dan nilai-nilai turunannya adalah

Langkah ketiga :

Mencari nilai dan dengan persamaan (4.3)

Sehingga :

Langkah keempat :

Melakukan iterasi dengan mengulang langkah kedua dan ketiga sampai didapatkan nilai x1 dan x2 sama dengan nol atau mendekati nol.

Penyelesaian soal diatas adalah dan

C. Metode Iterasi x = F(x, y, z )

Metode iterasi adalah metode penyelesaian persamaan serentak nonlinear dengan membentuk persamaan nonlinear menjadi bentuk . Kelebihan metode iterasi bentuk adalah langkah penyelesaiannya lebih sederhana dari metode Newton-Raphson, tetapi kekurangan atau keterbatasannya adalah jumlah iterasinya lebih banyak dari metode Newton-Raphson terutama untuk persamaan nonlinear serentak ordo tinggi.

Cara Penyelesaian dari Metode Iterasi

Langkah pertama : penyelesaian persamaan nonlinear serentak dengan Metode Iterasi adalah mengubah bentuk persamaan nonlinear serentak menjadi bentuk persamaan (4.5)

(4.5)

dari persamaan nonlinear serentak dapat diselesaikan dengan metode iterasi jika memenuhi persyaratan persamaan (4.6)

(4.6)

Langkah kedua : adalah menentukan titik awal dan , dan menguji apakah persyaratan persamaan (4.6) dipenuhi atau tidak, jika tidak memenuhi harus menentukan titik awal yang baru.

Langkah ketiga : melakukan iterasi sampai didapatkan nilai dan yang tidak berubah dengan persamaan (4.7.)

(4.7)

Contoh :

Carilah penyelesaian 2 persamaan nonlinear serentak di bawah dengan metode iterasi .

Penyelesaian

Langkah Pertama :

Mengubah bentuk persamaan menjadi bentuk

Jadi :

dan turunan-turunarnya adalah :

Langkah kedua :

Menentukan titik awal, misalnya x10 = -1,8 dan x20 = 0,8 maka nilai turunan fungsi di atas didapatkan:

Sehingga didapatkan :

Jadi syarat melakukan iterasi terpenuhi, maka lanjut ke langkah berikutnya

Langkah ketiga : Melakukan iterasi dengan menggunakan persamaan (4.7)

Iterasi pertama n = 0, didapatkan :

Iterasi kedua n = 1, didapatkan :

Iterasi ketiga dan seterusnya dilakukan dengan cara yang sama dengan iterasi kedua diatas.

Penyelesaian soal diatas adalah dan

Soal-soal latihan :

1. Carilah penyelesaian persamaan system nonlinear dibawah ini dengan metode Newton Raphson.

a.

b.

c.

2. Carilah penyelesaian persamaan system nonlinear dibawah ini dengan metode iterasi.

a.

b.

Created by Supiyanto, Jurusan Matematika FMIPA UNCEN

_1252491890.unknown

_1286077547.unknown

_1296162223.unknown

_1296162265.unknown

_1296162375.unknown

_1352535820.unknown

_1352535865.unknown

_1296162376.unknown

_1296162374.unknown

_1296162253.unknown

_1287895976.unknown

_1287900876.unknown

_1287900903.unknown

_1287900933.unknown

_1287900864.unknown

_1286089226.unknown

_1286089741.unknown

_1256284153.unknown

_1286077495.unknown

_1286077510.unknown

_1286077492.unknown

_1252493013.unknown

_1254542387.unknown

_1254542434.unknown

_1254542481.unknown

_1254542246.unknown

_1252492999.unknown

_1252263175.unknown

_1252264712.unknown

_1252265983.unknown

_1252268795.unknown

_1252490859.unknown

_1252491066.unknown

_1252491773.unknown

_1252268804.unknown

_1252267716.unknown

_1252264909.unknown

_1252265785.unknown

_1252264897.unknown

_1252263269.unknown

_1252263318.unknown

_1252263243.unknown

_1252263012.unknown

_1252263033.unknown

_1252263154.unknown

_1252263157.unknown

_1252263106.unknown

_1252263013.unknown

_1252262953.unknown

_1252262106.unknown

_1252262651.unknown