Slide 1

BAB 4

Logika MatematikaStandar Kompetensi: Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pertanyaan majemuk dan pertanyaan berkuantor.Kompetensi Dasar: Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. Pernyataan adalah kalimat yang benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/ variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).Contoh:Jika x diganti 3, diperoleh 2(3) + 3 = 11Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat TerbukaJika x diganti 4, diperoleh 2(4) + 3 = 11Pernyataan SALAHPernyataan BENARKalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka itu.Kalimat TerbukaJika p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang.dibaca: tidak benar p atau bukan p.~pJika p adalah pernyataan yang bernilai benar, maka ~p bernilai salah.Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ~p bernilai benar. p ~p B S S BIngkaran atau NegasiP merupakan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dalam semesta S, p merupakan pernyataan yang terbentuk dengan mengganti x S, maka himpunan komplemen dari P (ditulis P) merupakan penyelesaian kalimat terbuka ~p(x) dalam semesta S yang sama.P = {xl ~p(x)}Hubungan Antara Ingkaran Pernyataan dengan Komplemen HimpunanSPP p v q(dibaca: p atau q)Ada dua macam disjungsi, yaitu disjungsi ekslusif dan disjungsi inklusif.Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.Disjungsi p v q benar, jika salah satu di antara p dan q benar atau p dan q dua- duanya benar.Nilai kebenaran disjungsi p v q dapat ditentukan melalui definisi berikut.Nilai Kebenaran Disjungsi p v q salah, jika p dan q dua-duanya salah. p q p v q B B S S B S B S B B B S(1)(1)(2)(3)(2)(4)(3)Tabel kebenaran disjungsi p v qHubungan Antara Disjungsi Dua Pernyataan dengan Gabungan Dua HimpunanJika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan p(x) pada himpunan semesta S, maka P Q adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) v p(x) pada himpunan semesta S.P = {x l p(x)}, p benar jika x P}Q = {x l q(x)}, q benar jika x Q}P Q = {x l p(x) v q(x)}, p v q benar jika x (P Q)SPQPQP Q = {x l p(x) v q(x)} KonjungsiKonjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan.Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang:p q(dibaca: p dan q)Nilai kebenaran konjungsi p q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut: p q benar, jika p benar dan q benar p q salah, jika salah satu p atau q salah atau p salah dan q salah p q p q B B S S B S B S B S S S(1)(1)(2)(3)(2)(4)(3)Tabel kebenaran konjungsi p qJika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka P Q adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) q(x) pada himpunan semesta S yang sama.P = {x l p(x)}, p benar jika x P}Q = {x l q(x)}, q benar jika x Q}P Q = {x l p(x) q(x)}, p q benar jika x (P Q)SPQP Q = {x l p(x) q(x)} Hubungan antara Konjungsi Dua Pernyataan dengan Irisan Dua Himpunan11Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q.Implikasi jika p maka q dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.p q(dibaca: jika p maka q)Implikasi p q dapat dibacap hanya jika q q jika pp syarat cukup bagi qq syarat perlu bagi p ImplikasiNilai kebenaran p q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut.p q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah.Dalam kemungkinan yang lainnya p q dinyatakan benar. p q p q B B S S B S B S B S B B(1)(1)(2)(3)(2)(4)(3)Tabel kebenaran implikasi p qHubungan antara Implikasi dengan Himpunan BagianJika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka p q benar jika P Q.P = {x l p(x)}, p benar jika x PQ = {x l q(x)}, q benar jika x QImplikasi p q benar, jika P QSPQBiimplikasi atau Implikasi DwiarahPernyataan p dan pernyataan q dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung jika dan hanya jika.Pernyataan yang dirangkai dengan cara tersebut disebut biimplikasi atau implikasi dwiarah. p q(dibaca: p jika dan hanya jika q) Jika p maka q dan jika q maka p. p syarat perlu dan cukup bagi q. Q syarat perlu cukup bagi p.p q dinyatakan benar, jika (p) = (q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama).p q dinyatakan salah, jika (p) = (q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama). p q p q B B S S B S B S B S S B(1)(1)(2)(3)(2)(4)(3)Tabel kebenaran implikasi p q16Hubungan antara Biimplikasi dengan dua Himpunan yang SamaJika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada semesta pembicaraan S, maka p(x) q(x) menjadi biimplikasi p q yang bernilai benar apabila P =Q.SP = QP = {x l p(x)}, p benar jika x PQ = {x l q(x)}, q benar jika x QImplikasi p q benar, jika P QPernyataan Majemuk dan Nilai KebenarannyaPernyataan majemuk adalah pernyataan yang berbentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.Jika sebuah pernyataan majemuk terdiri dari n buah pernyataan tunggal yang berlainan, maka banyak baris pada tabel kebenaran yang memuat nilai kebenaran adalah 2n.(~p q) p(iii) ~[p (p q)] q (p v ~q)(iv) [(p v q) r]Contoh Pernyataan Majemuk TautologiTautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. p

q

p q

(p q) p [(p q ) p] q B B S S B S B S B S B B B S S S B B B B(1)(2)(4)(3)(5)[(p q) p] q selalu benar

2.Implikasi logis adalah sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi.Dua Buah Pernyataan Majemuk yang EkuivalenTautologi yang berbentuk a b dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan lambang a b (dibaca: a ekuivalen b).2.Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya.Sifat Komutatifa) p v q p qb) p q p v qIngkaran dan Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi2.Sifat Asosiatifa) (p v q) v r p v (q v r)b) (p q) r p (q r)3.Sifat Distributifa) Distributif disjungsi terhadap konjungsi. p v (q r) (p v q) (p v r) b) Distributif konjungsi terhadap disjungsi. p (q v r) (p q) v (p r)~(p v q) (~p ~q)~(p q) (~p v ~q)Hukum de Morganc)~(p q) (p ~q)d)~(p q) (p ~q) v (~q ~p) KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI Implikasi Konvers Invers Kontraposisi p q q p ~p ~q ~q ~p B S B B B B S B B B S B B S B B p q~p~q B B S S B S B S S S B B S B S B(1)(2)(4)(3)Kesimpulan dari tabel tersebut:1. Implikasi tidak ekuivalen dengan konversnya.2. Implikasi tidak ekuivalen dengan inversnya.3. Implikasinya ekuivalen dengan kontraposisinya.4. Konvers ekuivalen dengan invers dari sebuah implikasiKONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISIKuantor UniversalUBAPernyataan berkuantor universal Semua A adalah B ekuivalen dengan pernyataan implikasi Jika x A, maka x B. Contoh Semua penyanyi dangdut berparas cantik, ekuivalen dengan jika Eli penyanyi dangdut, maka ia berparas cantik.Kuantor UniversalSABPernyataan berkuantor eksistensial Berapa A adalah B ekuivalen dengan Sekurang-kurangnya ada sebuah x A, maka x B. ContohBeberapa kuda berwarna coklat, ekuivalen dengan Sekurang-kurangnya ada sektor kuda yang berwarna coklat.Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal~ [ x, p(x)] x, ~p(x)Dibaca: ingkaran dari untuk semua x yang berlaku p(x) ekuivalen ada x yang bukan p(x).Contoh Pernyataan x R, x + 3 = 4 merupakan pernyataan salah.Ingkarannya ditentukan dengan menggunakan hubungan~( x R, x + 3 = 4) x R, x + 3 4Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Ekstensial~ [ x, p(x)] x, ~p(x)Dibaca: ingkaran dari ada x yang berlaku p(x) ekuivalen dengan untuk semua x yang bukan p(x).~( x R, x + 4 = 1) x R, x + 4 1Pernyataan x R, x + 4 = 1 merupakan pernyataan benar.Contoh PERNYATAAN BERKUANTOR INGKARAN x, ~p(x)x, ~p(x)Semua X adalah YBeberapa X bukan YatauTidak semua X adalah Yx, ~p(x) x, ~p(x)Beberapa X adalah YSemua X bukan YatauTidak ada (tiada) X yang merupakan YatauJika x adalah X, maka x bukan Y SILOGISME, MODUS PONENS, DAN MODUS TOLLENSSilogisme, modus ponens, dan modus tollens adalah metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan. 2.Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (disebut premis). 3.Kemudian, dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula. 4.Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi. Prinsip-prinsip Logika dalam Proses Penarikan KesimpulanArgumentasi dikatakan berlaku atau sah:jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi.Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar. Argumentasi dikatakan tidak berlaku atau tidak sah:jika konjungsi dari premis-premisnya tidak berimplikasi konklusi.Silogismep q . premis 1q r ... premis 2

p r . kesimpulan/konklusi p q rp q q r p r (p q) q r (p q) (q r) (p r ) B B B B S S S S B B S S B B S S B S B S B S B S B B S S B B B B B S B B B S B B B S B S B B B B B S S S B S B B B B B B B B B B[(p q) (q r)] (p r)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)Modus PonensMisalkan diketahui premis-premis p q dan p. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi q. Pengambilan kesimpulan seperti itu disebut modus ponens atau kaidah pengasingan. p q . premis 1p . premis 2

q . kesimpulan/konklusi [(p q) p] q p q p q p q p [(p q) p] q B B S S B S B S B S B B B S S S B B B B(1)(2)(3(4)(5)Modus TollensMisalkan diketahui premis-premis p q dan ~q. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi ~p. Pengambilan kesimpulan seperti itu disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat.[(p q) ~q] ~pp q . premis 1~q . premis 2

~p . kesimpulan/konklusi p q ~p ~q p q p q ~q[(p q) ~q] ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B S S S B B B B B(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)