Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

47
Bab 4 Integral Tentu Tujuan Instruksional Khusus. Mahasiswa mampu: 1. mencari antiturunan fungsi dan menggunakan antiturunan untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu peubah terpisah, 2. menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagai limit penjumlahan, 3. menghitung jumlah Riemann dengan menggunakan titik evaluasi kiri, kanan, dan tengah dengan bantuan Teknologi Informasi dan Komputer (TIK) dan menggunakannya untuk menjelaskan pengertian intuitif dari integral tentu, 4. menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tentu, aturan pangkat, dan substitusi umum, 5. membangun dan mengevaluasi integral untuk menghitung luas bidang datar, volume benda putar, luas permukaan benda putar, kerja yang dilakukan oleh perubahan gaya, momen dan pusat massa lamina datar dan sentroit dari daerah bidang datar. Waktu pembelajaran : 2 minggu. Pada Bab 2 kita telah mempelajari konsep diferensiasi (differentiation), yaitu pencarian turunan (derivative) dari fungsi. Pada bab ini kita akan mempelajari kebalikan dari konsep diferensiasi, yaitu pencarian antiturunan (antiderivative) dari fungsi. Konsep ini dikenal sebagai antidiferensiasi (antidifferentation) atau integrasi (integration). Selain itu, kita juga akan mempelajari beberapa aplikasi konsep ini. 4.1 Antiturunan (integral taktentu) Proses pencarian antiturunan fungsi merupakan proses kebalikan dari proses pencarian turunan fungsi. Namun demikian ada perbedaan hasil dari kedua proses tersebut. Dalam proses diferensiasi, turunan suatu fungsi merupakan suatu fungsi pula, sedangkan dalam proses antidiferensiasi, antiturunan suatu fungsi merupakan suatu keluarga fungsi satu‐parameter (1parameter function family), bukan suatu fungsi. Definisi 4.1 Fungsi ܨdisebut suatu antiturunan fungsi pada interval ܫjika ܦܨݔሻ ൌ ሺݔpada ܫ, yaitu: ܨԢሺݔሻ ൌ ሺݔuntuk setiap ݔdi ܫ. Contoh 4.1 Fungsi ܨݔሻൌ ݔ ݔ, ܨݔሻൌ ݔ ݔ2 , dan ܨݔሻൌ ݔ ݔെ2 merupakan beberapa antiturunan fungsi ݔሻൌ3 ݔ1 pada ሺെ∞, ∞ሻ . Hal ini disebabkan F ݔሻൌ ݔ ݔ ݔ3 ݔ 1 ൌ ሺݔሻ, F ݔሻൌ ݔ ݔ 2ሻ ݔ3 ݔ 1 ൌ ሺݔሻ, dan

description

Bab 3 MatDas A1 Aplikasi Turunan

Transcript of Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Page 1: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Bab 4    Integral Tentu   Tujuan Instruksional Khusus. Mahasiswa mampu:   

1. mencari  antiturunan  fungsi  dan menggunakan  antiturunan  untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu peubah terpisah, 

2. menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagai limit penjumlahan, 3. menghitung  jumlah Riemann dengan menggunakan  titik evaluasi kiri,  kanan, dan 

tengah  dengan  bantuan  Teknologi  Informasi  dan  Komputer  (TIK)  dan menggunakannya untuk menjelaskan pengertian intuitif dari integral tentu, 

4. menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tentu, aturan pangkat, dan substitusi umum,   

5. membangun  dan  mengevaluasi  integral  untuk  menghitung  luas  bidang  datar, volume  benda  putar,  luas  permukaan  benda  putar,  kerja  yang  dilakukan  oleh perubahan  gaya, momen dan  pusat massa  lamina  datar  dan  sentroit  dari  daerah bidang datar.   

Waktu pembelajaran : 2 minggu. Pada  Bab  2  kita  telah  mempelajari  konsep  diferensiasi  (differentiation),  yaitu  pencarian turunan (derivative) dari fungsi. Pada bab ini kita akan mempelajari kebalikan dari konsep diferensiasi,  yaitu  pencarian  antiturunan  (antiderivative)  dari  fungsi.  Konsep  ini  dikenal sebagai antidiferensiasi (antidifferentation) atau integrasi (integration). Selain itu, kita juga akan mempelajari beberapa aplikasi konsep ini.

4.1    Antiturunan (integral tak­tentu)  

Proses  pencarian  antiturunan  fungsi  merupakan  proses  kebalikan  dari  proses pencarian  turunan  fungsi.  Namun  demikian  ada  perbedaan  hasil  dari  kedua  proses tersebut.  Dalam  proses  diferensiasi,  turunan  suatu  fungsi  merupakan  suatu  fungsi  pula, sedangkan  dalam  proses  antidiferensiasi,  antiturunan  suatu  fungsi  merupakan  suatu keluarga fungsi satu‐parameter (1­parameter function family), bukan suatu fungsi.

Definisi  4.1    Fungsi    disebut  suatu  antiturunan    fungsi    pada  interval    jika 

  pada  , yaitu:    untuk setiap    di  . 

Contoh  4.1    Fungsi  ,  2 ,  dan  2 merupakan  beberapa  antiturunan  fungsi  3  1   pada  ∞,∞ .  Hal  ini disebabkan   

F 3  1 ,    

F2

3  1 ,   dan

Page 2: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

   

F2

3  1 , untuk setiap    di  ∞,∞ .  Secara umum,  , dengan    adalah sembarang bilangan riil, merupakan antiturunan umum dari  3  1.    ‹

Maple  dapat  digunakan  untuk  mencari  suatu  antiturunan  umum  fungsi.  Perintah 

yang  digunakan  adalah  int(fungsi,peubah).  Untuk  Contoh  4.1,  masukannya  adalah   int(3*x  2+1,x);, sedangkan keluarannya adalah x  3+x.

Perhatian. Hasil yang diberikan Mapple tidak memuat konstanta  .  

     

Gambar 4.1: Grafik fungsi    (kurva sambung),  2  (kurva putus‐putus) dan  2  (kurva titik‐titik). 

Adakah  perbedaan  antar  anggota  keluarga  fungsi  satu‐parameter?  Gambar  4.1 

memuat grafik beberapa anggota tersebut untuk Contoh 4.1. Grafik anggota keluarga fungsi dapat diperoleh dengan cara menggeser secara vertikal suatu grafik anggota fungsi.   Perhatian.  Untuk  selanjutnya,  yang  dimaksud  dengan  antiturunan  adalah  antiturunan umum.   

Notasi untuk menyatakan antiturunan fungsi    adalah     

    .

Notasi ini dicetuskan pertama kali oleh matematikawan Jerman G.W. Leibniz (1646‐1716). Simbol     disebut tanda integral1  (integral sign). Simbol  ini merupakan "pemanjangan" huruf  S  dari  kata  Latin  summa  yang  berarti  jumlah.  Suku    dalam  notasi  tersebut disebut  integran    (integrand),  sedangkan    menyatakan  bahwa  integralnya  terhadap variabel  .  Leibniz  menyebut  antiturunan  sebagai  integral  tak­tentu    (indefinite integral). Sepertinya ia menggunakan kata "tak‐tentu" karena adanya konstanta sembarang   pada antiturunan fungsi.

                                                        1Kata integral dalam Kalkulus diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan Swiss Jakob Bernoulli (1654-1705).

Page 3: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Perhatikan bahwa     

  ,                4.1  

   

    .            4.2  

Contoh 4.2 Carilah          jika   √ 1. 

Penyelesaian.     

         

            Pers.   4.2

   2  1√ 1

.              

 Teorema berikut memberikan antiturunan fungsi pangkat.   Teorema 4.1 (Aturan pangkat)    Jika    adalah bilangan rasional dan  1, maka   

   11  .

Bukti. Misalkan    adalah bilangan rasional dan  1. Perhatikan   

  111  1            terdefinisi karena  1

                      . Jadi          untuk bilangan rasional    dan  1.      â       

Untuk  0, Aturan pangkat memberikan   1  .

Contoh 4.3 Carilah   √     dan   

√  . 

Penyelesaian. Dengan menggunakan Aturan pangkat kita dapatkan   

 √     /  23 

/ 23    √ ,

   

 1√

    /   2  / 2 √ .      

   

Page 4: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Antiturunan  untuk  fungsi  trigonometri  dasar  diberikan  oleh  teorema  berikut.  Cobalah untuk membuktikannya!

Teorema 4.2     

 sin   cos

   

 cos   sin .

 

Perhatian.  Untuk  membuktikan  pernyataan      ,  yang  perlu ditunjukkan adalah  . Dalam  Bab  2,  kita  tahu  bahwa  turunan  merupakan  operator  linear.  Teorema  berikut menyatakan hal yang sama untuk integral tak‐tentu.

Teorema 4.3 (Kelinearan integral tak­tentu)      Misalkan fungsi    dan    mempunyai antiturunan (integral tak­tentu) dan    adalah konstanta, maka   

i                ,

   

ii                  .

  Bukti. Kita akan membuktikan butir (i).     

                      

                           .         

Contoh 4.4    Carilah   | |  .  Penyelesaian. Kita tahu     

| | 00.

Kita tuliskan  | |   , dengan  1. Selanjutnya,     

 | |        

               

             Kelinearan integral tak tentu

                2

 | |2   .             

Page 5: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

   

Contoh 4.5 Carilah    2   . 

Penyelesaian. 

  2sin        2sin            Kelinearan integral tak tentu

                  2  sin            Kelinearan integral tak tentu

                  2 cos

                  2cos .           

Teorema 4.4 (Aturan pangkat yang diperumum)      Misalkan    adalah fungsi yang terdiferensialkan dan    adalah bilangan rasional dan  1. Maka   

      1 .             4.3  

  Kunci utama untuk memakai Aturan pangkat yang digeneralisasi adalah kita harus dapat menentukan fungsi yang menjadi  .

Contoh 4.6 Carilah      . 

Penyelesaian.  Kita  akan  menggunakan  Aturan  pangkat  yang  digeneralisasi.  Misalkan 

sin , sehingga  cos , maka     

 sin cos        

   

4    

sin4 .    

Aturan pangkat  yang digeneralisasi merupakan  generalisasi Aturan pangkat. Untuk  lebih memudahkan  melihat  kebenaran  pernyatan  tersebut,  kita  misalkan  ,  sehingga 

  . Selanjutnya, persamaan (4.3) dapat ditulis menjadi   

    1 ,

yang merupakan Aturan pangkat dengan    sebagai peubah.

Contoh 4.7 Carilah      1   . 

Page 6: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Penyelesaian. Misalkan  1 sin , maka  cos   . Selanjutnya,   

 cos   1 sin      

                                 

51 sin

5 .              

Persamaan  diferensial  adalah  persamaan  yang  tidak‐diketahuinya  (the unknown) adalah  fungsi  dan  melibatkan  turunan  dari  fungsi  yang  tidak‐diketahui  tersebut.  Suatu fungsi  disebut  solusi  dari  persamaan  diferensial  jika  fungsi  ini  disubstitusi  ke  dalam persamaan diferensialnya, maka persamaan tersebut menjadi benar.

Ada  banyak  jenis  persamaan  diferensial.  Di  sini,  kita  akan  meninjau  persamaan diferensial  orde‐satu  yang  dapat  dipisah,  maksudnya  persamaan  ini  melibatkan  hanya turunan pertama dari fungsi yang tidak‐diketahui dan peubahnya dapat dipisahkan. Secara umum persamaan diferensial ini mempunyai bentuk 

   

.               4.4  

  Persamaan diferensial dengan bentuk seperti persamaan (4.4) dapat ditulis sebagai   

.               4.5  Fungsi    yang  memenuhinya  dapat  dicari  dengan  cara  mengintegralkan  kedua  ruas persamaan (4.5).

Contoh  4.8  Buktikanlah  bahwa  ,  1 ,  dan  1   adalah  solusi 

persamaan diferensial  1. 

Penyelesaian.  Untuk  sin ,  kita  tahu  bahwa  cos .  Selanjutnya, 

cos sin 1 .  Sedangkan  untuk  1 ,  kita  dapatkan  0 , 

sehingga  1.      ‹   

Contoh  4.9  Tentukanlah  persamaan  kurva  di  bidang    yang melalui  titik  1,1   dan kemiringannya di tiap titik adalah sepertiga akar ordinatnya! 

Penyelesaian.  Misalkan    adalah  persamaan  kurva  yang  dicari.  Diketahui  1 1 dan  √ . Selanjutnya, 

   

    3

   2  3

   

Page 7: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

6    

36 Karena  1 1,  maka  kita  dapatkan  5.  Jadi  persamaan  kurva  yang  dicari  adalah 

.        ‹ Contoh  4.10 Dari ketinggian berapa dari permukaan bumi  suatu bola harus dilepas agar mencapai  permukaan  bumi  dengan  kecepatan  ­50  m/s?  Percepatan  gravitasi  bumi dimisalkan ­10 m/s2. 

Penyelesaian.  Misalkan    adalah  ketinggian  bola  dari  permukaan  bumi  pada  saat  , dengan  0  adalah  waktu  ketika  bola  dilepas.  Percepatan  jatuhnya  bola  mengikuti percepatan  gravitasi  bumi,  sehingga    10,  dan  kecepatan  bola  pada  saat   ditentukan  oleh    10  10  .  Karena  bola  dilepas  (bukan  dilempar), maka  kecepatan  awal  bola  adalah  0  m/s  ( 0 0).  Akibatnya,  0.  Dari 10  ,  kita  tahu  bola  tersebut  menyentuh  tanah  pada  saat  5.  Selanjutnya,       10    5  .  Karena  5 0,  maka  125.  Jadi  ketinggian 

awal bola adalah 125 m.      ‹

Contoh  4.11  Populasi badak di  suatu  cagar alam bertumbuh dengan  laju  sebanding akar kubik besar populasinya.  Jika pada  tahun 1980  terdapat 100 badak di cagar alam  tersebut dan menjadi 120 badak pada tahun 1990, pada tahun berapa populasi badak di cagar alam tersebut mencapai 140 ekor? Diasumsikan tidak ada kematian badak sejak tahun 1980. 

Penyelesaian. Pertama‐tama kita buat acuan waktu  0  tahun berkorespondensi dengan tahun 1980 dan kita misalkan    adalah besar populasi badak pada saat    tahun. Dari soal, kita tahu   √ ,  0 100, dan  10 120. Parameter    menyatakan laju pertumbuhan populasi badak per kapita. Selanjutnya,   

 1√

     

   32   

   2 √23 √3

  / .

Dari  0 100,  kita  dapatkan  15√10.  Lalu  dari  10 120,  kita  dapatkan √ √ . Selanjutnya kita cari    yang memenuhi  140. Ini dipenuhi untuk 

19,457. Jadi pada tahun 2000, populasi badak di cagar alam tersebut menjadi 140 ekor. ‹   

Page 8: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Latihan 4.1 Buku Latihan subbab 4.1. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 5.1 dan 5.2 dari Kalkulus,  Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, 

Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 3.8 dan 3.9 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.    4.2. Luas dan jumlah Riemann 

 Dalam  bagian  ini  kita  akan  mempelajari  jumlah  Riemann.  Jumlah  Riemann  ini 

berkaitan dengan  luas aproksimasi dari daerah antara kurva dan  sumbu    dan menjadi konsep dasar untuk integral tentu pada subbab 4.3.

Untuk memudahkan  penulisan  jumlah  Riemann,  akan  diperkenalkan  notasi  sigma (∑  ).  Jumlah      suku  riil    dapat  ditulis  secara  ringkas  sebagai ∑    .  Jumlah          dapat  ditulis  secara  ringkas menjadi  ∑      .

Perhatian. Indeks dalam jumlah merupakan indeks boneka (dummy index), sehingga 

  ∑   ∑   ∑   . Teorema 4.5 (Kelinearan jumlah)    Jika    adalah konstanta, maka   

i             

   

ii               .

  Rumus 4.1    Beberapa rumus jumlah yang penting:   

i          

   

ii         1 2 31

2

   

iii         1 4 91 2 16

   

Page 9: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

iv         1 8 27  12 .

  Contoh 4.12 Tentukanlah  ∑    1, jika  ∑    40  dan  ∑    50. 

Penyelesaian. 

   1            1         Teorema 4.5.

                     

40 5010.112 10.1 55.         Rumus 4.1         

   

Contoh 4.13 Hitunglah  ∑  2 2 . 

Penyelesaian.   

 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

                       2 2 1023.          

    Maple dapat dipakai untuk menyederhanakan jumlah. Untuk mendefinisikan suatu 

jumlah dalam Maple, kita menggunakan perintah sum(pola,iterasi).

Contoh  4.14  Kita  tinjau  jumlah  ∑   1 4 9 .  Dengan masukan  sebagai berikut

t1 := sum(i  2, i=1..n); simplify(t1); factor(t1);

kita dapatkan  ∑   1 4 9     .              Misalkan  kita  ingin  mencari  luas  daerah    yang  dibatasi  kurva  2, 

sumbu‐ ,  sumbu‐ ,  dan  garis  1  (lihat  Gambar  4.2  (A)).  Luas  daerah  tersebut  dapat diaproksimasi dengan bantuan persegi panjang.

       

Page 10: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

         

    Gambar 4.2: A : Daerah    yang dibatasi kurva  2, sumbu‐ , sumbu‐ , 

dan garis  1. B, C, dan D : Daerah    diaproksimasi berturut‐turut dengan persegi panjang kanan, kiri dan tengah.

    Mula‐mula kita bentuk partisi    dari interval  0,1   menjadi    subinterval (lebar 

tiap  subinterval  tidak  harus  sama,  namun  untuk  memudahkan  perhitungan  lebar,  tiap subinterval  dipilih  sama).  Lalu  kita  konstruksi    persegi  panjang  tegak.  Makin  banyak persegi panjang yang digunakan (   makin besar), tentulah hasil yang didapat akan makin mendekati luas yang sebenarnya.

Berdasarkan  jenis  perpotongan  persegi  panjang  tersebut  dengan  kurva  yang diberikan, ada 3 pendekatan persegi panjang, yaitu:   

1. persegi  panjang  kiri,  yaitu  titik  sudut  kiri  atas  masing‐masing  persegi  panjang menyinggung kurva, lihat Gambar 4.2 (C)

2. persegi panjang kanan, yaitu titik sudut kanan atas masing‐masing persegi panjang menyinggung kurva, lihat Gambar 4.2 (B) 

3. persegi panjang  tengah, yaitu  titik  tengah sisi atas masing‐masing persegi panjang memotong kurva, lihat Gambar 4.2 (D).    Untuk  suatu  daerah  yang  sama,  umumnya  ketiga  pendekatan  tersebut 

menghasilkan tinggi persegi panjang yang berbeda walaupun subintervalnya sama. Contoh 4.15 Aproksimasikanlah  luas daerah    yang dibatasi kurva  2, sumbu­ , sumbu­ , dan garis  1  dengan menggunakan 5 persegi panjang kiri. Kemudian dengan menggunakan    persegi panjang kiri, hitunglah luas daerah    sesungguhnya. 

Penyelesaian. Mula‐mula bagilah interval  0,1   menjadi 5 subinterval sama panjang, yaitu 

0,2. Perhatikan Gambar 4.3 berikut ini.

Page 11: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

     

  Gambar 4.3: Daerah    diaproksimasi dengan 5 persegi panjang kiri.  

          0      1      2      3      4             0      0,2      0,4      0,6      0,8           2      2,04      2,16      2,36      2,64   

          0,4    0,408      0,432      0,472      0,528      

  Tabel 4.1 : Tabel luas 5 persegi panjang kiri      Dengan menggunakan program spreadsheet Excell kita dapat memperoleh Tabel 4.1. 

Besaran    menyatakan  luas  persegi  panjang    yang merupakan  hasil  kali  panjang ( )  dan  lebar  ( ).  Dari  tabel  tersebut  kita  dapatkan  luas  aproksimasi  daerah   dengan menggunakan 5 persegi panjang adalah  ∑   2,24. (Cobalah untuk 

10,15, apa yang dapat disimpulkan?) Gambar  dan  hasil  di  atas  dapat  diperoleh  dengan  menggunakan  Mapple. 

Perintahnya adalah sebagai berikut. with(student); f := x  2+2; leftbox(f, x=0..1, 5); kiri := leftsum(f, x=0..1, 5); value(kiri); Jika kita menggunakan    persegi panjang kiri dalam mengaproksimasi daerah  , 

maka  . Panjang masing‐masing persegi panjang kiri    dapat dilihat pada Tabel   4.2.

            0      1      2          1             0      1/n      2/n          1 /        2      2 1/   2 2/       2 1 /  

      Tabel 4.2 : Tabel luas    persegi panjang kiri 

   

Page 12: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

  Luas  daerah    yang  diaproksimasi  dengan    persegi  panjang  kiri  adalah sebagai berikut.     

    21

   

 2

   2

 11

           Teorema

   2 

1     2 16          Rumus

   

21 2 16 

14  3  16  .

Luas  daerah    yang  sesungguhnya  didapat  jika  banyaknya  persegi  panjang  yang 

digunakan tak hingga ( ∞), yaitu     

lim  

   

lim14  3  1

6  213.

Hasil ini dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Maple sebagai berikut. kiri := leftsum(f, x=0..1, n); value(kiri); limit(value(kiri), n=infinity);

Jadi luas daerah    sesungguhnya adalah  2   satuan luas.      ‹     

Contoh  4.16    Aproksimasilah  luas  daerah    yang  dibatasi  kurva  2,  sumbu­ , sumbu­ ,  dan  garis  1   dengan  menggunakan  5  persegi  panjang  kanan.  Kemudian dengan menggunakan    persegi panjang kanan, hitunglah luas daerah    sesungguhnya. 

Penyelesaian.  Dengan membagi  interval  0,1   menjadi  5  subinterval  yang  sama  panjang, kita dapatkan  0,2. Perhatikan Gambar 4.4 berikut ini.

Page 13: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

    Gambar 4.4 : Daerah    diaproksimasi dengan 5 persegi panjang kanan.                 1      2      3      4      5             0,2      0,4      0,6      0,8      1           2,04      2,16    2,36      2,64      3   

          0,408      0,432    0,472      0,528      0,6  

    Tabel 4.3: Tabel luas 5 persegi panjang kanan      Tabel 4.3 berisi luas 5 persegi panjang yang digunakan. Dari tabel ini kita dapatkan 

luas  aproksimasi  daerah    dengan  menggunakan  5  persegi  panjang  kanan  adalah ∑   2,44.

Gambar  dan  hasil  di  atas  dapat  diperoleh  dengan menggunakan  perintah Mapple 

sebagai berikut. with(student); f := x  2+2; rightbox(f, x=0..1, 5); kanan := rightsum(f, x=0..1, 5); value(kanan); Jika  kita  menggunakan    persegi  panjang  kanan  dalam  mengaproksimasi  luas 

daerah  , maka  . Panjang masing‐masing persegi panjang dapat dilihat pada Tabel 4.4.

            1      2            1                   1/n      2/n          1 /     1           2 1/     2 2/         2 1 /     3   

      Tabel 4.4: Tabel panjang    persegi panjang kanan 

      Luas daerah    dapat diaproksimasi dengan    persegi panjang sebagai berikut.   

Page 14: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

    21

   

 2

   2

 11

           Teorema 4.5

   2 

1   1   2 1

6          Rumus 4.1    

21 2 16 

14  3  16  .

Selanjutnya, luas daerah    sesungguhnya adalah     

lim  

   

lim14  3  1

6  213.

  Hasil di atas dapat diperiksa dengan menggunakan perintah Mapple sebagai berikut. kanan := rightsum(f, x=0..1, n); value(kanan); limit(value(kanan), n=infinity).

Jadi luas daerah    sesungguhnya adalah  2   satuan luas.      ‹

Perhatian. Perhatikan perbedaan mulainya indeks dalam notasi sigma yang dipakai pada dua contoh di atas.

Misalkan    adalah  fungsi  yang  terdefinisi  pada  interval  tutup  , .  Fungsi   

tersebut tidak harus kontinu pada  ,   dan dapat bernilai positif, nol ataupun negatif. Konstruksilah  partisi    pada  interval  ,   menjadi    subinterval  (tidak  perlu 

sama  panjang,  namun  untuk  memudahkan  perhitungan  biasanya  dipilih  sama  panjang), yaitu  .  Misalkan  panjang  subintervalnya  adalah 

.  Ambil  sembarang  titik  sampel    dari  tiap  subinterval  dengan   (lihat Gambar 4.5).

Page 15: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

     

  Gambar 4.5 : Partisi    pada interval tutup  , .     Jumlah     

   

disebut  jumlah  Riemann2  (Riemann  sum)    untuk    bersesuaian  dengan  partisi  . Jumlah  ini mempunyai  interpretasi  geometri  seperti  pada Gambar  4.6,  yaitu  jumlah  luas bertanda  persegi  panjang  di  antara  kurva    dengan  sumbu  .  Persegi  panjang  yang berada di  atas  sumbu    bertanda positif  (karena  0),  sedangkan yang berada di bawah sumbu    bertanda negatif (karena  0). Jika dikaitkan dengan notasi dalam materi tentang luas, kita dapatkan     

  /   .

     

  Gambar 4.6 : Jumlah Riemann untuk    sesuai partisi    pada interval tutup  , .    

Berdasarkan letak titik sampel  , ada 3 jenis jumlah Riemann, yaitu:    1. Jumlah  Riemann  kiri  jika    yang  digunakan  adalah  batas  kiri  subintervalnya.  Di 

sini  kita  dapatkan  luas  aproksimasi  bertanda  dengan  pendekatan  persegi  panjang kiri.

                                                        2Georg Riemann (1826-1866) adalah matematikawan Jerman yang meletakkan pengembangan dasar konsep keintegralan fungsi.

Page 16: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

2. Jumlah Riemann kanan jika    yang digunakan adalah batas kanan subintervalnya. Di sini digunakan pendekatan persegi panjang kanan. 

3. Jumlah Riemann tengah jika    yang digunakan adalah titik tengah subintervalnya. 

Contoh  4.17  Carilah  jumlah  Riemann  tengah  untuk  2   pada  interval  2,3  dengan menggunakan titik­titik partisi yang berjarak sama  2 1 0 1 2 3. 

Penyelesaian. Karena titik‐titik partisi yang digunakan berjarak sama, maka  1. 

            1      2      3      4      5             ‐1,5      ‐0,5      0,5      1,5      2,5           ‐3      ‐1      1      3      5   

          ‐3      ‐1      1      3      5    

  Tabel 4.5: Tabel Riemann tengah 

Dari tabel berikut kita dapatkan  3 1 1 3 5 5.    ‹

Latihan 4.2 Buku Latihan subbab 4.2. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 5.3 dan 5.4 dari Kalkulus,  Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, 

Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab 4.1 dan 4.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.    4.3. Integral tentu dan teorema dasar Kalkulus         Definisi 4.2    Misalkan    adalah fungsi yang didefinisikan pada interval tutup  , . Jika   

lim| |

     

ada,  maka    dikatakan  terintegralkan    (integrable)  pada  , .  Lebih  lanjut,        disebut  integral tentu    (definite integral)  atau  integral Riemann  (Riemann 

integral)      dari    ke    dan diberikan oleh   

     lim| |

      .

Notasi  | |  pada definisi di atas disebut norm      dan mempunyai makna panjang 

maksimum dari subinterval‐subinterval dalam partisi  .

Page 17: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Definisi 4.3     

    0,

   

        ,         .

  Integral  tentu  fungsi    dari    hingga    ditulis  sebagai      .  Yang  perlu 

diingat  dalam  penulisan  tersebut,  peubah    merupakan  peubah  boneka    (dummy variable),  sehingga  dapat  diganti  dengan  huruf  lain  dan  tetap  mempunyai  makna  yang sama, maksudnya 

            .

Perlu  diingat,       dapat  diinterpretasikan  sebagai  luas daerah bertanda    dari daerah di antara kurva    dan sumbu‐   dalam interval  , .

Contoh 4.18 Hitunglah integral    2  . 

Penyelesaian. Kita akan menggunakan Riemann kanan dengan panjang tiap subintervalnya sama, yaitu  1/ . Akibatnya contoh ini mempunyai data seperti dalam Contoh 4.16. Dari contoh tersebut kita dapatkan tabel berikut.

            1      2          1                   1/n      2/n        1 /   1           2 1/     2 2/       2 1 /       3   

  Jumlah  Riemann  kanan  untuk  2  yang  bersesuaian  untuk  partisi  ini 

adalah   

     14  3  1

6  .

  Karena   

lim| |

      lim14  3  1

6  213,

maka    terintegralkan pada  0,1 . Selanjutnya,    2  2 .    ‹  Contoh  4.19  Tinjau  fungsi    pada  interval  tutup  0,1 .  Untuk    yang  merupakan bilangan  rasional  berlaku  1 ,  sedangkan  0   jika    merupakan  bilangan irasional3. Perhatikan, fungsi ini tidak mempunyai limit dan tidak kontinu di mana pun pada interval tutup  0,1 .

                                                        3Fungsi ini dikenal sebagai fungsi karakteristik dari bilangan rasional, biasa ditulis sebagai .

Page 18: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Jika  kita  pilih    adalah  bilangan  rasional  dan    sangat  kecil,  maka  jumlah Riemann  ∑     1.  Namun,  jika  kita  pilih    adalah  bilangan  irasional,  maka jumlah  Riemann  ∑     0.  Akibatnya,  lim| |  ∑       tidak  ada.  Jadi, fungsi    tidak terintegralkan.    ‹

Teorema berikut memberikan syarat fungsi agar mempunyai integral tentu.

Teorema 4.6 (Teorema keterintegralan)      Jika    terbatas pada  ,   dan    kontinu pada  ,   (kecuali  pada  sejumlah  hingga  titik),  maka    terintegralkan  pada  , . Secara  khusus,  jika    kontinu  pada  seluruh  interval  , , maka    terintegralkan  pada , . 

Contoh  4.20  Periksalah  apakah  fungsi  bilangan  bulat  terbesar    terintegralkan  pada interval  2 , 2 . 

Penyelesaian.  Fungsi    terbatas  pada  2 , 2 ,  karena  pada  interval  tersebut 

3 2.  Lebih  lanjut    kontinu  pada  2 , 2 ,  kecuali  pada  2, 1,0,1,2. Berdasarkan  Teorema  keterintegralan,  fungsi  bilangan  bulat  terbesar    terintegralkan pada interval  2 , 2 .      ‹

 Teorema  berikut  ini  memberikan  hubungan  antara  konsep  turunan  dan  integral 

tentu.

Teorema  4.7  (Teorema  dasar  Kalkulus  I)      Misalkan    kontinu  pada  interval  tutup ,   dan    adalah peubah pada interval buka  , , maka   

    .

Yang  perlu  diperhatikan  dalam  memakai  Teorema  dasar  Kalkulus  I  adalah  batas 

bawah  integralnya  konstan,  sedangkan  batas  atas  integral  dan  turunannya  terhadap peubah yang sama, yaitu  .

Contoh 4.21 Carilah    jika    2     . 

Penyelesaian.  Perhatikan  cos 2   merupakan  fungsi  kontinu  pada  ∞,∞ . Selanjutnya,     

   cos 2  tan  

               cos 2  tan .         Teo.  dasar Kalkulus I

Contoh 4.22 Carilah    jika      . 

Page 19: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Penyelesaian.  Kita  tahu  cos   kontinu  pada  ∞,∞ .  Misalkan  ,  maka 

2    . Selanjutnya,     

   cos  

   

 cos            Aturan Rantai

   cos     2           Teo.  dasar Kalkulus I

   2   cos .

    Konsep  integral  tak‐tentu berbeda  dengan konsep  integral  tentu. Teorema berikut 

memberikan hubungan antara integral tentu dengan integral tak‐tentu.

Teorema  4.8  (Teorema  dasar Kalkulus  II)      Misalkan    kontinu pada  interval  ,  dan    suatu antiturunan dari  , maka   

    | .

Teorema  dasar  Kalkulus  II  sangat membantu  dalam mencari  suatu  integral  tentu. 

Jika kita tahu  fungsi yang dicari  integral  tentunya mempunyai antiturunan, maka  integral tentu  tersebut  dapat  dicari  melalui  antiturunannya,  sehingga  tidak  perlu  dicari  melalui limit jumlah Riemann.  Perhatian.  Mengapa  kita  tidak  mendefinisikan        sebagai  ,  tetapi melalui jumlah Riemann (lihat Definisi 4.2)? Pertama, kita belum tentu tahu antiturunan  . Ke dua, kalau kita mendefinisikan        sebagai  , kita tidak mempunyai makna geometri dari      .

Contoh 4.23 Hitunglah      . 

Penyelesaian.  Perhatikan,    kontinu  pada  1,2   dan      . Berdasarkan Teorema dasar Kalkulus II kita dapatkan   

    4 | 414 3

34 .          

   

Contoh 4.24 Carilah    jika        . 

Penyelesaian.     

Page 20: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

         

   

          .

Kita  tahu  fungsi    kontinu  pada  ∞,∞ ,  sehingga  dengan  menggunakan Teorema  dasar  Kalkulus  I  kita  peroleh      .  Lebih  lanjut,  kita  tahu 

    ,  sehingga  dari  Teorema  dasar  Kalkulus  II  kita  dapatkan      . Jadi,     

12

32

12 .         

   

Teorema  4.9  (Teorema  nilai  rata­rata  untuk  integral)    Jika    kontinu  pada  , , maka terdapat bilangan    di antara    dan  , sedemikian sehingga   

      .

Besaran    

  disebut nilai rata­rata (average value) dari    pada  , .

Contoh 4.25 Hitunglah nilai rata­rata dari  2  | |  pada interval  2,2 . 

Penyelesaian. Grafik fungsi    dapat dilihat pada Gambar 4.7. 

     

  Gambar 4.7: Grafik  | |.

Nilai rata‐rata dari  2  | |  pada  2,2   diberikan oleh       | |  .

Kita  tahu   2      dan   | |   | |   (lihat  Contoh  4.4). 

Berdasarkan  Kelinearan  integral  tak‐tentu  kita  dapatkan   2  | |   | |   . Lebih  lanjut,  karena  fungsi  2  | |  kontinu  pada  2,2 ,  maka  berdasarkan Teorema dasar Kalkulus II, kita dapatkan     

 2  | |  | | 2 

2 | 6 2 4.

Jadi nilai rata‐rata dari  2  | |  pada  2,2   adalah 1.

Page 21: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Cara  lain  kita  gunakan  grafik  fungsi  .  Nilai  dari    2  | |    dapat  dicari sebagai negatif dari  luas segitiga kiri ditambah  luas segitiga kanan, yaitu  ‐ 2 + 6 = 4.  Jadi nilai rata‐rata dari  2  | |  pada  2,2   adalah 1.      ‹

Latihan 4.3 Buku Latihan subbab 4.3. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab 5.5, 5.6, 5.7 dari Kalkulus,  Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004.

2. Subbab  4.2,  4.3  dan  4.4  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.         

4.4. Luas di bawah kurva  

     

  Gambar 4.8: Daerah di antara kurva    dan sumbu‐   pada  .     Misalkan  0  pada  , .  Luas  daerah  di  bawah  kurva    pada 

,   (lihat Gambar 4.8) diberikan oleh   

    .

Contoh 4.26 Carilah luas daerah di bawah kurva    pada  1,2 . 

Penyelesaian. Grafik daerah di bawah kurva    pada  1,2   dapat dilihat pada Gambar 

4.9. Kita tahu fungsi    kontinu pada  1,2   dan      . 

     

Page 22: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

  Gambar 4.9: Daerah di bawah kurva    pada  1,2 .    

Luas daerah yang dicari adalah     

 1 

1|          Teo.  dasar Kalkulus II

   12 .  

   

Contoh 4.27 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva  √ , garis  6   dan sumbu  . 

Penyelesaian. Daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.10. 

     

  Gambar 4.10: Daerah yang dibentuk dari kurva  √ ,   garis  6   dan sumbu  .

 Selanjutnya,     

 √    6  

   2  √3 |

12 2 | 7

13.

Jadi luas daerah yang diarsir adalah  7   satuan luas.      ‹

Perluasan. Jika ada grafik    yang sebagian berada di bawah sumbu    dan sebagian lagi di atas sumbu  , maka kita perlu membagi daerahnya dalam menghitung luasnya. Contoh berikut membahas persoalan ini.

Contoh  4.28  Hitunglah  luas  daerah  yang  diapit  2  | |  dan  sumbu    pada 2,2 . 

Penyelesaian.  Daerah  yang  diapit  2  | |  dan  sumbu    pada  2,2   dapat dilihat pada Gambar 4.7. Selanjutnya,     

Page 23: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

 2  | |   2  | | 

    | | 2 

2 | | | 2 

2 |    

0 2 6 0 8. Jadi  luas  daerah  yang  diapit  2  | |  dan  sumbu    pada  2,2   adalah  8 satuan luas.

Cara  lain,  luas  segitiga  yang  dicari  didapat  dari  luas  segitiga  kiri  ditambah  luas segitiga kanan, yaitu 2 + 6 = 8. Jadi luas daerah yang diapit  2  | |  dan sumbu   pada  2,2   adalah 8 satuan luas.      ‹

Latihan 4.4 Buku Latihan subbab 4.4 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab 5.5 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004.

2. Subbab  4.2  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson Education International, New Jersey, 2007. 

  4.5. Sifat-sifat integral tentu Teorema  4.10  (Sifat  gabungan  interval)    Jika    terintegralkan  pada  interval  yang memuat titik  ,    dan  , maka   

             .

Gambar 4.11 memberikan ilustrasi geometris dari Teorema Sifat gabungan interval. 

     

  Gambar 4.11: Illustrasi Sifat Gabungan Interval pada integral tentu.    

Page 24: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Contoh 4.29 Hitunglah      , dengan   

√ ,        0 46 ,        4 6

.

  Penyelesaian.     

     √    6  

   2 √3 | 6 2 | 7

13 .    

    Teorema  4.11  (Sifat  perbandingan)    Jika    dan    terintegralkan  pada  ,   dan 

  untuk setiap    di  , , maka     

        .

Contoh 4.30 Buktikanlah    √   2  tanpa menghitung integralnya. 

Penyelesaian.  Misalkan  sin√   dan  1  dengan  0 2.  Karena   dan    kontinu  pada  [0,2],  maka  berdasarkan  Teorema  Keterintegralan    dan 

  terintegralkan  pada  [0,2].  Selain  itu,    untuk  setiap    di  [0,2]. Berdasarkan Sifat Perbandingan (integal tentu), kita miliki   

 sin√    1  2.      

Teorema 4.12 (Sifat keterbatasan)    Jika    terintegralkan pada  ,   dan   untuk setiap    di  , , maka   

        .

Contoh 4.31 Carilah batas bawah dan batas atas dari    1   . 

Penyelesaian.  Misalkan  1 .  Fungsi    terbatas  pada  10,20 ,  karena  pada 

interval  tersebut  1,05 1, 1 .  Karena    kontinu  pada  10,20 ,  maka    juga kontinu  pada  interval  tersebut.  Berdasarkan  Teorema  keterintegralan,  fungsi   terintegralkan pada  10,20 .

Berdasarkan Teorema Sifat keterbatasan, kita dapatkan   

Page 25: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

1,05   20 10   11

  1, 1   20 10 .

Jadi batas bawah dan batas atas dari    1     berturut‐turut adalah 12,7628 dan 16,1051.      ‹ Teorema  4.13  (Kelinearan  integral  tentu)    Misalkan    dan    terintegralkan  pada ,   dan    adalah konstanta, maka    dan    terintegralkan dan     

i             

   

ii                  .

  Contoh  4.32  Diketahui      2   dan      1 .  Hitunglah   2 

  . 

Penyelesaian. Berdasarkan Teorema kelinearan integral tentu, kita dapatkan   

 2    2        

                             2.2 1 3.

Ingat, peubah dalam integral adalah peubah boneka.    ‹ 

Latihan 4.5 Buku Latihan subbab 4.5 

Bahan pendalaman.    1. Subbab  5.5,  5.6  dari  Kalkulus,  Jilid  1,  E.J.  Purcell,  D.  Varberg,  S.E.  Rigdon,  Ed.  8, 

Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab  4.3  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.     

4.6. Substitusi dalam integral tentu Teorema 4.14 Misalkan    mempunyai  turunan yang kontinu pada  ,   dan    kontinu pada daerah hasil dari  , maka   

          ,

dengan  . 

Contoh 4.33 Hitunglah    √√

  . 

Page 26: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Penyelesaian.  Misalkan  1 √ ,  sehingga  2 √  .  Karena  1 4,  maka 

2 3.     

 1 √√

  2    2 3 | 12

23 .       

  Perhitungan  integral  tentu  dari  fungsi  genap  dan  fungsi  ganjil  dapat  dipermudah 

dengan menggunakan teorema berikut.   Teorema 4.15 (Teorema Simetri)    Jika    adalah fungsi genap, maka   

    2     .

Jika    adalah fungsi ganjil, maka     

    0.

Contoh 4.34 Hitunglah   | 2 |  . 

Penyelesaian.  Fungsi  sin 2   merupakan  fungsi  ganjil,  sedangkan  fungsi  |sin 2 | adalah fungsi genap. Akibatnya, 

   

 |sin 2 |  2  |sin 2 |           Teorema simetri

   

                        2  sin 2 cos 2 | 2.   

   

Contoh 4.35 Misalkan    fungsi genap dan      3. Tentukanlah        . 

Penyelesaian.  Kita  tahu    adalah  fungsi  ganjil  dan    adalah  fungsi  genap,  maka perkalian  kedua  fungsi  itu,  yaitu    ,  menghasilkan  fungsi  ganjil.  Selanjutnya, berdasarkan Teorema simetri kita dapatkan        0.        ‹   

 (Beri  keterangan  bahwa  periode  ini  sdh  dibahas  di  bab  1)  Fungsi    disebut 

periodik    jika ada bilangan  , sedemikian sehingga    untuk setiap    di daerah  asal  dari  .  Bilangan  positif  terkecil  dari    tersebut  disebut  periode    dari  . Contoh  fungsi  periodik  adalah  fungsi  trigonometri.  Keperiodikan  suatu  fungsi  dapat dipakai  dalam  menghitung  integral  tentu  fungsi  tersebut  seperti  yang  tertulis  dalam teorema berikut.

Teorema 4.16    Jika    adalah fungsi periodik dengan periode  , maka     

Page 27: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

        .

Contoh 4.36 Hitunglah   sin   . 

Penyelesaian.  Ingat,  fungsi  sin   merupakan  fungsi  ganjil  dan  fungsi  periodik  dengan periode  2  . Selanjutnya, dengan Teorema 4.16 dan Teorema simetri, kita dapatkan   

 sin    sin    sin  

   

                                         sin    sin   0.     

   

Latihan 4.6 Buku Latihan subbab 4.6. 

Bahan pendalaman. 1. Subbab 5.8 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab  4.5  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.         4.7. Penerapan dari integral tentu  4.7.1    Luas daerah bidang datar

 

        Gambar 4.12: Daerah di antara kurva    dan sumbu‐   pada  .     Konsep pencarian luas daerah di bawah kurva pada subbab 4.4 dapat dimodifikasi 

sebagai  berikut.  Misalkan  0  pada  , .  Luas  daerah  di  antara  kurva   dan sumbu‐   pada    (lihat Gambar 4.12) diberikan oleh     

Page 28: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

    .

Contoh 4.37 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva  2    dan sumbu  . 

Penyelesaian. Daerah yang dibatasi oleh kurva  2    dan  sumbu    dapat dilihat pada Gambar 4.13 berikut ini. 

     

  Gambar 4.13: Daerah yang dibatasi oleh kurva  2    dan sumbu  .      

 2   3 

3 | 113.

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh  2    dan sumbu    adalah  1   satuan luas. ‹     

Selanjutnya, kita akan mempelajari cara mencari  , yaitu luas daerah bidang datar   yang terletak di antara dua kurva    dan    seperti yang terdapat pada 

Gambar  4.14.  Di  sini,  batas  bawah  daerah  yang  sebelummnya  dibatasi  oleh  sumbu‐  diganti dengan kurva  .

        Gambar 4.14: Daerah    di antara kurva  ,    dan  .

    Ide untuk mendapatkan luas daerah    tersebut adalah berikut ini.   

1. Irislah  daerah    dalam    pita  vertikal  (lihat  Gambar  4.15)  dengan  lebar 

Page 29: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

masing‐masing pita  . 

     

  Gambar 4.15: Daerah    dibagi dalam pita‐pita vertikal.   Luas    =    .

      2. Approksimasi luas daerah pita  , yaitu  , dengan menganggap pita    sebagai 

persegi panjang, sehingga       .

  3. Luas daerah    dapat diaproksimasi dengan jumlah luas aproksimasi semua pita, 

yaitu     

      .

  4. Ambil limit lebar semua pita mendekati 0, sehingga didapat integral tentu yang 

memberikan luas daerah yang dimaksud, yaitu     

lim       .

Untuk memudahkan  kita  dalam  pencarian  luas  daerah  bidang  datar,  kita  ringkas 

idenya sebagai berikut.    1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal dan ambil satu potongan. 2. Aproksimasi luas potongan tersebut.     

 

3. Integralkan luas daerah yang dicari.     

 

Page 30: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

     

  Gambar 4.16: Daerah    dibagi dalam pita‐pita horizontal.   Luas    =    .

    Dengan  cara  penurunan  yang  mirip,  kita  dapatkan  prosedur  untuk  mendapatkan 

luas daerah    seperti dalam Gambar 4.16, yaitu:    1. Iris daerah    menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan horizontal. 2. Aproksimasi luas potongan tersebut.     

 

3. Integralkan luas daerah yang dicari.     

 

Contoh  4.38  Carilah  luas  daerah  yang  dibatasi  oleh    dan  4   dengan menggunakan partisi vertikal. 

Penyelesaian.  Kurva    dan  garis  4  berpotongan  di  2.  Sketsa  daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.17. Kita ambil satu potongan vertikal dan kita aproksimasi luas potongan tersebut, yaitu:     

4   .

Page 31: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

     

  Gambar 4.17: Daerah yang dibatasi oleh    dan  4.  Selanjutnya,     

 4  

   

2  4            4  adalah fungsi genap

   

2 4  3 | 1023.

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh    dan  4  adalah  10   satuan luas.      ‹

Contoh  4.39  Carilah  luas  daerah  yang  dibatasi  oleh    dan  4   dengan menggunakan partisi horizontal. 

Penyelesaian.  Tulis    sebagai    dan  , dengan  0 4.  Sketsa  daerah  yang  dimaksud  dapat  dilihat  pada  Gambar  4.18.  Kita ambil satu potongan horizontal dan kita aproksimasi luas potongan tersebut, yaitu:   

  2  

     

Page 32: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

  Gambar 4.18: Daerah yang dibatasi oleh    dan  4.        

Selanjutnya,     

 2  

   

22   3 | 10

23.

Jadi luas daerah yang dibatasi oleh    dan  4  adalah  10   satuan luas.      ‹

Latihan 4.7 Buku Latihan subbab 4.7.1. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 6.1 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004. 2. Subbab  5.1  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.   4.7.2 Volume benda putar 

 Benda  putar    adalah  benda  yang  terbentuk  akibat  suatu  kurva  atau  daerah 

diputar mengelilingi  suatu  garis.  Benda  putar  hasil  pemutaran  suatu  daerah merupakan benda pejal (solid). Untuk menghitung volume benda putar (pejal), kita akan meninjau tiga metode,  yaitu  metode  cakram,  metode  cincin  dan  metode  kulit  tabung.  Untuk  jelasnya, ketiga metode tersebut akan dibahas langsung melalui contoh soal.

4.7.2.1 Metode cakram

Ide  metode  cakram  (method  of  disks)    adalah  volume  benda  putar  dapat diaproksimasi dari penjumlahan sejumlah cakram, dan cakram tersebut adalah hasil rotasi suatu persegi panjang mengelilingi garis sumbu (lihat Gambar 4.19).

     

  Gambar 4.19: Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar. Kanan: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut.

    Contoh 4.40 Misalkan    adalah daerah di kuadran I yang dibatasi kurva  1  dan garis  2 .  Hitunglah  volume  benda  putar  yang  terbentuk  jika  daerah    diputar mengelilingi sumbu  . 

Page 33: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Penyelesaian. 

         

  Gambar 4.20: Kiri: Daerah    pada kwadran I yang dibatasi oleh  1  dan   garis  2. Kanan: Benda putar dari daerah    mengelilingi sumbu  .

    Sketsa daerah    dapat dilihat pada Gambar 4.20. Prosedur untuk mencari volume 

mirip dengan prosedur mencari luas dengan pita vertikal yang telah kita pelajari, yaitu:    1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal, ambil satu potongan vertikal, 

dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu  . 2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai tabung atau cakram 

(jari‐jari    dan tinggi  ), sehingga           .

  3. Integralkan volume benda putar yang dicari,     

  .

Dengan memakai prosedur tersebut, kita dapatkan     

  1      

  1     2  1 

   

52 3 | 13

1115   .

Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah    yang diputar mengelilingi sumbu   adalah  13     satuan volume.      ‹

Contoh 4.41 Misalkan    adalah daerah di kuadran I yang dibatasi kurva  1  dan garis  5 .  Hitunglah  volume  benda  putar  yang  terbentuk  jika  daerah    diputar mengelilingi sumbu  . 

Page 34: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Penyelesaian. Sketsa daerah    dapat dilihat pada Gambar 4.21. Tulis  1  sebagai 1.  Prosedurnya  mirip  dengan  prosedur  mencari  luas  dengan  pita  horizontal, 

yaitu:    1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal, ambil satu potongan 

horizontal, dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu  .  2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai tabung atau cakram 

(jari‐jari    dan tinggi  ), yaitu         .

3. Integralkan volume benda putar yang dicari     

  .

 

            Gambar 4.21: Kiri: Daerah    pada kwadran I yang dibatasi oleh  1  dan garis  5. Kanan: Benda putar dari daerah    mengelilingi sumbu  .

 Dengan memakai prosedur tersebut, kita dapatkan   

    1      

  1   2 

2 | 7,5  .

Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah    yang diputar mengelilingi sumbu   adalah  7,5    satuan volume.      ‹

Latihan 4.8 Buku Latihan subbab 4.7.2. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab 6.2 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004.

2. Subbab 5.2 dari Calculus, D. Varberg, E.J., Purcell, S.E. Rigdon, 9 ed., Pearson Education International, New Jersey, 2007.   

4.7.2.2 Metode cincin 

Page 35: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

 Metode  cincin  (method  of  washers)    adalah  perluasan  metode  cakram.  Di  sini 

daerah yang diputar tidak berpotongan dengan sumbunya, sehingga ketika hasil putarnya menghasilkan lubang di tengah (cakram berubah menjadi seperti cincin).

     

  Gambar 4.22: Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar. Kanan: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut.

   

Contoh 4.42 Misalkan daerah    dibatasi oleh    dan  4. Hitunglah volume benda putar yang terbentuk jika daerah    diputar mengelilingi sumbu­ .  Penyelesaian. Sketsa daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.23. Untuk mencari volume benda putarnya, kita menggunakan prosedur berikut:   

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal, ambil satu potongan vertikal dan putar potongan tersebut mengelilingi sumbu  . 

2. Aproksimasi  volume  potongan  putar  tersebut  sebagai  cincin  (jari‐jari  lingkaran luar dan dalamnya berturut‐turut adalah  ,    dan tebal  ), yaitu   

    .  

3. Integralkan volume benda putar yang dicari,     

  .

     

  Gambar 4.23: Kiri: Daerah    yang dibatasi oleh    dan  4.   Kanan: Benda putar hasil daerah    yang diputar pada sumbu    (bagian tengah 

yang tidak diarsir).

Page 36: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

   Pada  contoh  ini,  4  dan  .  Dengan  menerapkan  prosedur  di  atas,  kita dapatkan   

  4      

 16  

   

2   16            daerah A simetris terhadap sumbu y

   

2  16  5 | 5115   .

Jadi volume benda putar yang terbentuk dari daerah    yang diputar mengelilingi sumbu   adalah  51,2    satuan volume.      ‹

Contoh  4.43  Misalkan  daerah    terletak  di  kuadran  I  dan  dibatasi  kurva  9 . Hitunglah  volume  benda  putar  yang  terbentuk  jika  daerah    diputar mengelilingi  garis 

3. 

Penyelesaian. Kita tuliskan  9   sebagai  9 . Sketsa daerah yang dimaksud dapat dilihat pada Gambar 4.24. Untuk mencari volume benda putarnya, kita menggunakan prosedur berikut: 

       

 

  Gambar 4.24: Kiri: Daerah    di kwadaran I yang dibatasi oleh  9 . Kanan: Benda putar hasil daerah    yang diputar pada garis  3   

(antara silinder dengan "kerucut" lengkung terbalik).        

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan horizontal. 

2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut.     

Page 37: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

    ,           dengan    adalah jari‐jari luar dan    adalah jari‐jari dalam. 

3. Integralkan volume benda putar yang dicari.     

 

Dalam  contoh  ini,  3  menentukan  jari‐jari  luar  dan  3 9  

menentukan  jari‐jari  dalam.  Ingat,  jari‐jarinya  dihitung  terhadap  sumbu  putar  3, bukan sumbu‐ . Dengan menerapkan prosedur di atas, kita dapatkan   

  3 3 9   9 6 9      

  9 6 9  

   

2 9  4  9 / |    67,5  . Jadi  volume  benda  putar  yang  terbentuk  dari  daerah    yang  diputar mengelilingi  garis 

3  adalah  67,5    satuan volume.      ‹

Latihan 4.9 Buku Latihan subbab 4.7.2. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 6.2 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004.  2. Subbab  5.2  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.   4.7.2.3 Metode kulit tabung  

Kalau  dalam  metode  cakram  dan  metode  cincin,  irisan  yang  dibuat  tegak  lurus dengan  sumbu putarnya, maka dalam metode kulit  tabung  (method of shells),  irisan yang dibuat sejajar dengan sumbu putarnya.

     

  Gambar 4.25: Kiri: Persegi panjang diputar mengelilingi suatu sumbu putar. Tengah: Benda putar hasil rotasi persegi panjang tersebut.   

Kanan: Paparan benda putar tersebut.

Page 38: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

   

Contoh  4.44  Misalkan    adalah  daerah  di  kuadran  I  yang  berada  di  bawah  kurva 1  pada  interval  0,2 . Hitunglah volume benda putar yang  terbentuk  jika daerah 

  diputar mengelilingi sumbu­ . 

Penyelesaian.  Sketsa  daerah    dapat  dilihat  pada  Gambar  4.26.  Langkah  untuk mencari volume benda putar dengan metode kulit tabung (tegak) adalah sebagai berikut:   

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan vertikal dan ambil satu potongan dan putar mengelilingi sumbu‐ .

2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut sebagai balok (panjang  2 , lebar , tinggi  ), sehingga 

   2   ,

          dengan    menentukan tutup tabung dan    menentukan alas tabung.  3. Integralkan volume benda putar yang dicari. 

   

2      

    Gambar 4.26: Daerah A pada kuadran I yang dibatasi oleh  1  dengan 

0 2.     Aproksimasi volume pita vertikal rotasi adalah     

2      1   .   Selanjutnya, volume benda putarnya adalah   

2      2  4 2 | 12  .    

   

Contoh 4.45 Suatu daerah yang dibatasi kurva  , garis  2  dan sumbu­   diputar mengelilingi garis  2. Hitunglah volume benda pejal yang terbentuk. 

Page 39: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

Penyelesaian.  Sketsa  daerah    dapat  dilihat  pada  Gambar  4.27.  Langkah  untuk mencari volume benda putar dengan metode kulit tabung (mendatar) adalah sebagai berikut: 

        Gambar 4.27: Daerah    di kuadran I yang dibatasi oleh kurva    garis 

2  dan sumbu‐ .        

1. Iris daerah yang dimaksud menjadi potongan horizontal dan ambil satu potongan horizontal. 

2. Aproksimasi volume potongan putar tersebut (panjang  2    , lebar  , tinggi ), sehingga 

   2        ,

          dengan    adalah tutup kanan tabung dan    adalah tutup kiri tabung.  3. Integralkan volume benda putar yang dicari. 

   

2      

Volume  aproksimasi  dari  pita  horizontal  yang  diputar  mengelilingi  garis  2 

adalah     2    2   0   .

Dalam contoh ini, jari‐jari tabungnya adalah  2 , bukan    karena jari‐jarinya dihitung terhadap sumbu putar  2.

Selanjutnya,     

2    2  2 3 4 | 2  

8 3 .       

   

Latihan 4.10 Buku Latihan subbab 4.7.2. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 6.3 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004.  2. Subbab  5.3  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007. 

Page 40: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

 4.7.3 Luas permukaan benda putar  Misalkan  fungsi    dapat diturunkan secara kontinu pada  , . Panjang kurva      dari titik  ,   hingga titik  , , dengan  , , diberikan oleh   

  1   .

Denggan menggunakan Teorema dasar Kalkulus I, kita dapatkan   

1 1 .

Akibatnya, diferensial panjang kurva      dapat ditulis sebagai     

1   .

Frustum  kerucut  adalah  bagian  permukaan  kerucut  yang  terletak  di  antara  2 

bidang yang tegak lurus sumbu kerucut (permukaan yang diarsir pada Gambar 4.28). Jika suatu frustum kerucut mempunyai jari‐jari    dan    dan tinggi miring  , maka luasnya diberikan oleh     

2    2   .

   

Gambar 4.28: Suatu frustum kerucut.    

     

  Gambar 4.29: Permukaan benda putar dan suatu irisannya.     Misalkan  ,  ,  menentukan  suatu  kurva  mulus  yang  terletak  di 

atas  sumbu‐ .  Jika  kurva  tersebut  diputar  mengelilingi  sumbu‐ ,  maka  akan  terbentuk suatu benda putar yang tidak pejal. Dengan menggunakan metode  iris, aproksimasi  luas 

Page 41: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

permukaan  irisan  benda  putar  sebagai  frustum  kerucut  (2        )  dan  integral  (lihat Gambar 4.29), maka luas permukaan benda putar yang terbentuk dapat dicari dengan   

2       

   

2      1    .

Contoh 4.46 Carilah luas permukaan benda putar yang terbentuk akibat kurva  , 

untuk  1 √7, diputar mengelilingi sumbu­ . 

Penyelesaian. Diketahui  , maka  . Luas permukaan yang dicari adalah   

2     √

3   1   

   

6  √

1    1

   

1 |√  9248   √2

9 .            

Latihan 4.11 Buku Latihan subbab 4.7.3. 

Bahan pendalaman.   

1. Subbab 6.4 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004. 

2. Subbab  5.4  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson Education International, New Jersey, 2007. 

 4.7.4 Kerja  

Pada bagian ini kita akan membahas konsep kerja (work)    suatu gaya pada sebuah garis lurus.

Kerja yang dilakukan sebuah gaya konstan    sepanjang    pada sebuah garis lurus diberikan oleh    .

Contoh  4.47  Kerja  yang  diperlukan  untuk  mengangkat  seember  air  dengan  berat  5  N setinggi 2 m adalah 10 Nm atau 10 J.      ‹

Kerja  yang  dilakukan  gaya    (di  sini  gaya  tidak  konstan,  bergantung  pada 

posisi)  dalam  memindahkan  partikel  dari    ke    pada  sumbu‐   (atau  garis 

Page 42: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

lurus) diberikan oleh    

   

   

Contoh 4.48 Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang sisinya adalah 1 m. Tiga per empat bagian bak tersebut berisi air. Setelah Andi mandi, ketinggian air di bak tersebut berkurang  30  cm.  Hitunglah  kerja  yang  dilakukan  Andi  dalam mengambil  air  hingga  ke permukaan bak mandi! Misalkan berat jenis air adalah 10 N/m3. 

Penyelesaian.  Sketsa  bak  mandi  tersebut  dapat  dilihat  pada  Gambar  4.30.  Pada  bidang depan bak mandi tersebut kita buat sistem koordinat. 

     

  Gambar 4.30: Sketsa bak mandi.     Kita  akan menentukan  usaha  yang  dilakukan  untuk mengangkat  air  dalam partisi 

balok  dengan  ketebalan  .  Volume  air  dalam  partisi  balok  tersebut  adalah    m , sehingga air dalam partisi  tersebut mempunyai berat  sebesar  10    N. Partisi  balok air tersebut  akan  diangkat  ke  permukaan  bak  mandi,  sehingga  berpindah  sejauh  1   m (selalu positif). Selanjutnya, usaha memindahkan partisi balok air tersebut ke permukaan air adalah     

10  1   J. Ketinggian air (dalam m) yang digunakan Andi mandi adalah  0,45 0,75. Akibatnya, usaha yang dilakukan Andi adalah   

 ,

,10  1   5  1 | ,

, 1,2.

Jadi usaha yang dilakukan Andi adalah 1,2 J.      ‹

Latihan 4.12 Buku Latihan subbab 4.7.4. 

Bahan pendalaman.     

Page 43: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

1. Subbab 6.5 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2004.

2. Subbab  5.5  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson Education International, New Jersey, 2007.   

4.7.5 Momen dan pusat massa  

Besaran momen  (moment)    adalah  hasil  kali  suatu  partikel  bermasa    dengan "jarak berarah"    (directed distance) partikel tersebut terhadap suatu titik acuan. Besaran ini  mengukur  kecenderungan  partikel  untuk  menghasilkan  rotasi  terhadap  titik  acuan tersebut. Pada Gambar 4.31, momen partikel terhadap segitiga tumpuannya adalah    . 

     

  Gambar 4.31: Illustrasi konsep momen.    

     

  Gambar 4.32: Jungkat jungkit dengan 2 partikel.     Misalkan ada dua partikel bermassa    dan    yang terletak pada suatu jungkat 

jungkit  (lihat  Gambar  4.32).  Jarak  kedua  partikel  tersebut  terhadap  segitiga  tumpuan (sebagai  acuan  koordinat)  adalah    dan  ,  sedangkan  "jarak  berarah"  atau koordinatnya  adalah    (karena  di  sebelah  kiri  )  dan  .  Jungkat  jungkit akan  dalam  keadaan  setimbang  (mendatar)  jika  momen  total  kedua  partikel  tersebut (terhadap titik  ) adalah nol (         0). Jungkat jungkit akan miring  ke  arah  partikel  2  jika momen  totalnya  positif  ( 0)  dan  akan miring  ke arah partikel 1 jika momen totalnya negatif ( 0).

     

  Gambar 4.33: Jungkat jungkit dengan    partikel.     Misalkan  ada  jungkat  jungkit  dengan    partikel  yang  bermassa  , , … ,  

Page 44: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

dan mempunyai  koordinat  , , … ,   terhadap  titik    yang  berfungsi  sebagai  acuan. Momen total    partikel tersebut terhadap segi tiga tumpuan adalah   

        .   Misalkan  keadaan  awal  jungkat  jungkit  tersebut  tidak  setimbang  ( 0,  lihat  Gambar 4.33 Atas) dan kita ingin menjadikannya setimbang. Agar jungkat jungkit tersebut menjadi setimbang,  maka  kita  perlu  menggeser  segi  tiga  tumpuannya  ke  suatu  posisi  baru (misalkan  ) yang menghasilkan  0  (lihat Gambar 4.33 Bawah). Akibatnya, 

   0.        4.6  

    Dari persamaan (4.6), kita dapatkan     

∑    ∑   .

Titik    merupakan titik setimbang (balance point)    dan disebut pusat massa  (center of mass) . Singkatnya, titik ini didapat dari hasil bagi momen dengan massa.

     

  Gambar 4.34: Kawat tipis dengan densitas nonhomogen.     Sekarang  kita  akan  meninjau  pusat  massa  dari  suatu  kawat  lurus  tipis  yang 

mempunyai  densitas  (massa  per  panjang)  yang  nonhomogen.  Pertama‐tama  kita  buat koordinat  garis  untuk  kawat  tersebut  (lihat  Gambar  4.34).  Misalkan  densitas  kawatnya pada posisi    adalah  . Untuk mendapatkan massa dan momen kawat  tersebut, kita akan  menerapkan  langkah  iris,  aproksimasi  dan  integralkan.  Massa  irisannya  dapat diaproksimasi  dengan    ,  sehingga  massa  kawat  tersebut  adalah     .  Lebih  lanjut, momen  irisannya  terhadap  titik    dapat diaproksimasi dengan 

    ,  sehingga  momen  kawat  tersebut  terhadap  titik    adalah       . Jadi pusat massa kawat tipis nonhomogen tersebut adalah   

     

   .

Lalu bagaimana dengan pusat massa dari    partikel jika partikel‐partikel tersebut 

terdistribusi dalam suatu bidang seperti pada Gambar 4.35?

Page 45: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

     

  Gambar 4.35: Distribusi    partikel di bidang.       Untuk kasus ini, pusat massanya diberikan oleh   

∑    ∑   ,

   ∑    ∑   ,

dengan    dan    berturut‐turut  adalah  momen  total  terhadap  sumbu‐   dan sumbu‐ .

     

  Gambar 4.36: Lamina yang dibatasi kurva  ,    dan  .     Lamina    adalah suatu lempengan tipis. Kita akan meninjau lamina homogen, yang 

berarti  densitas  massanya  ( )  sama  di  setiap  titik.  Sebuah  lamina  berbentuk  persegi panjang mempunyai pusat massa di perpotongan kedua diagonalnya.

Sekarang kita akan meninjau pusat massa dari lamina yang tidak berbentuk persegi panjang.  Misalkan  kita  mempunyai  lamina  yang  dibatasi  oleh  ,    dan 

  (lihat Gambar 4.36).

Page 46: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

     

  Gambar 4.37: Lamina diiris menjadi pita‐pita vertikal.     Dengan menggunakan prosedur  iris, aproksimasi dan integralkan, kita dapatkan 

massa lamina tersebut adalah   

    .

Lebih  lanjut,  momen  lamina  tersebut  terhadap  sumbu‐   dan  sumbu‐   berturut‐turut diberikan oleh     

      ,

   

2       .

Momen  total  terhadap  sumbu‐   ( )  didapat  dari  aproksimasi  momen  suatu  irisan terhadap  sumbu‐ ,  yaitu            .  Jadi pusat massa  ,   lamina homogen tersebut diberikan oleh   

     

   ,

      

2    .

  Pada  rumus  pusat  tersebut  ternyata  densitas  lamina  tidak  mempunyai  pengaruh, sehingga masalah pusat massa lamina homogen menjadi masalah geometri semata, bukan masalah  fisika.  Oleh  karena  itu,  biasanya  kita  menyebut  titik  pusat  atau  sentroit   (centroid) daerah datar daripada pusat massa lamina homogen.

Contoh  4.49  Carilah  sentroit  daerah  yang  dibatasi  oleh  sumbu­ ,  sumbu­   dan  kurva 

9 . 

Penyelesaian. Massa, momen terhadap sumbu‐   dan sumbu‐   lamina tersebut adalah   

Page 47: Bab 4 MatDas A1 Integral Tentu.pdf

 9   9  3 | 18

   12    9  

12  5 6  81  | 48,6

   

    9  14  18 | 20,25.

Jadi pusat massa lamina tersebut adalah  , 1 , 5 .        ‹

Latihan 4.13 Buku Latihan subbab 4.7.5. 

Bahan pendalaman.    1. Subbab 6.6 dari Kalkulus, Jilid 1, E.J. Purcell, D. Varberg, S.E. Rigdon, Ed. 8, Penerbit 

Erlangga, Jakarta, 2004.  2. Subbab  5.6  dari  Calculus,  D.  Varberg,  E.J.,  Purcell,  S.E.  Rigdon,  9  ed.,  Pearson 

Education International, New Jersey, 2007.