1

OSILASI

SASARAN PEMBELAJARAN

� Mahasiswa mengenal persamaanmatematik osilasi harmonik sederhana.

� Mahasiswa mampu mencari besaran-besaran osilasi antara lain amplitudo,frekuensi, fasa awal.

� Syarat Kelulusan : 75%

Osilasi� Osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi

kesetimbangannya.

� Karakteristik gerak osilasi yang paling dikenal adalah gerak

tersebut bersifat periodik, yaitu berulang-ulang.

� Contoh : perahu kecil yang berayun turun naik, bandul jamyang berayun ke kiri dan ke kanan, senar gitar yang

bergetar, dll

� Gerak gelombang berhubungan erat dengan gerak osilasi.

� Contoh : gelombang bunyi dihasilkan oleh getaran (sepertisenar gitar), getaran selaput gendang, dll.

Osilasi

2

Osilasi Harmonis Sederhana:Beban Massa pada Pegas

� Salah satu gerak osilasi yang sangat lazim dan sangat penting

adalah gerak harmonis sederhana.

� Apabila sebuah benda disimpangkan dari kedudukan

setimbangnya, gerak harmonik akan terjadi jika ada gayapemulih yang sebanding dengan simpangannya dan

simpangan tersebut kecil.

� Suatu sistem yang menunjukkan gejala harmonik sederhana

adalah sebuah benda yang tertambat pada sebuah pegas.Pada keadaan setimbang, pegas tidak mengerjakan gaya

pada benda. Apabila benda disimpangkan sejauh x dari

setimbang, pegas mengerjakan gaya –kx.

x

F = -kx

Osilasi Harmonis Sederhana:Beban Massa pada Pegas

2

2

d xF= -kx = ma = m

dt

F = -kx

Perhatikan kembali sistem benda pegas!

Gaya pemulih yang bekerja pada benda adalah F = - kx, tanda –timbul karena gaya pegas berlawanan arah dengan simpangan.

Gabungkan gaya tersebut dengan hukum kedua Newton, kita mendapatkan

2

2

d x ka = = - ( )x

dt mPercepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Halini merupakan karakteristik umum gerak harmonik sederhana dan bahkan dapatdigunakan untuk mengidentifikasi sistem-sistem yang dapat menunjukkan gejalagerak harmonik sederhana.

Osilasi Harmonis Sederhana:Beban Massa pada Pegas

2

2

d x k = - ( )x

dt m

Solusi persamaan di atas yang berbentuk osilasi harmonik sederhana adalah

X = A sin(ωt + θ) atau X = A cos(ωt + θ)

Di mana

A ≡ simpangan maksimum = amplitudo, ω=frekuensi sudut, θ = fasa awal,(ωt + θ) = fasa, ω = 2πf = 2π/T, T = waktu yang diperlukan suatu benda untukmelakukan satu osilasi.

Fasa awal θ bergantung pada kapan kita memilih t = 0.

Satuan A sama dengan X yaitu meter, satuan fasa (ωt + θ) adalah radian

Satuan f adalah Hz (s-1) dan satuan T adalah s (detik)

Persamaan Diferensial untuk OHS.

Osilasi Harmonis Sederhana:Beban Massa pada Pegas

Misalkan persamaan simpangan OHS adalah X = A sin(ωt + θ), substitusikanpersamaan ini ke dalam persamaan diferensial OHS diperoleh

ω2 = k/m.

Dalam menyelesaikan persoalan OHS secara umum kita harus mencariterlebih dahulu 3 besaran yaitu A, ω, dan θ. Setelah ke-3nya diketahui makakita mengetahui persamaan posisi untuk osilasi, kemudian dengan caramendeferensiasi x terhadap t kita memperoleh kecepatan dan percepatanosilasi.

22

2

2

x =A sin(ωt+θ)

dxv = =ωAcos(ωt+θ)

dt

dv d xa = = = -ω Asin(ω )

dt dt

a = -ω x

t θ+

V berharga maksimum (ωA) saat x = 0, pada saat tersebut a = 0.

a berharga maksimum (ω2A) saat x =±A, pada saat tersebut v = 0

Osilasi Harmonik Sederhana : soal-soal

Sebuah partikel memiliki simpangan x = 0,3 cos (2t + π/6) dengan x dalam meter dan t dalam sekon.

a. Berapakah frekuensi, periode, amplitudo, frekuensi sudut, dan fasa awal?b. Di manakah partikel pada t = 1 s?c. Carilah kecepatan dan percepatan pada setiap t!d. Carilah posisi dan kecepatan awal partikel!

Sebuah benda 0,8 kg dihubungkan pada sebuah pegas dengan k = 400 N/m. Carilah frekuensi dan perode gerak benda ketika menyimpang dari kesetimbangan.

Sebuah benda 5 kg berosilasi pada pegas horizontal dengan amplitudo 4 cm. Percepatan maksimumnya 24 cm/s2. Carilah

a. Konstanta pegas

b. Frekuensi dan perioda gerak

Osilasi Harmonis Sederhana:Energi

� Bila sebuah benda berosilasi pada sebuah pegas, energikinetik benda dan energi potensial sistem benda-pegasberubah terhadap waktu.

� Energi total (jumlah energi kinetik dan energi potensial)konstan.

� Energi potensial sebuah pegas dengan konstanta k yangteregang sejauh x adalah U = ½ kx2.

� Energi kinetik benda (m) yang bergerak dengan laju vadalah K = ½ mv2.

� Energi total = ½ kx2 + ½ mv2 = ½ kA2.� Persamaan energi total memberikan sifat umum yang

dimiliki OHS yaitu berbanding lurus dengan kuadratamplitudo.

3

Osilasi Harmonis Sederhana: Energi

Sebuah sistem benda pegasdisimpangkan sejauh A dari posisisetimbangnya, kemudiandilepaskan. Pada keadaan inibenda dalam keadaan diam danpegas memiliki energi potensialsebesar ½ kA2.

Saat benda mencapai titiksetimbang energi potensial pegasnol. Dan benda bergerak denganlaju maksimum vmaks, energikinetik benda ½ mVmaks

2.

Bagaimana energi pada saat pegas tersimpangkan sejauh x?

E = ½ mv2 + ½ kx2

Osilasi Harmonis Sederhana: Energicontoh

Sebuah benda 3 kg yang dihubungkan pada sebuah pegas berosilasi dengan amplitudo 4 cm dan periode 2 s.

a.Berapakah energi total ?

b.Berapakah kecepatan maksimum benda?

Sebuah benda bermassa 2 kg dihubungkan ke sebuah pegas berkonstanta k = 40 N/m. Benda bergerak dengan laju 25 cm/s saat berada pada posisi setimbang.

a.Berapa energi total benda?

b.Berapakah frekuensi gerak?

c.Berapakah amplitudo gerak?

Osilasi Harmonis Sederhana:Benda pada pegas vertikal

yo

Perhatikan sebuah pegas yang tergantungsecara vertikal!

Pada ujung pegas digantung bendabermassa m sehingga pegas teregangsepanjang yo, sistem setimbang. Dalam halini kyo = mg atau yo = mg/k.

Benda disimpangkan sejauh y’ dari posisisetimbang kemudian dilepaskan!

setimbang

y’

2

2

2o

o 2

2 2

2 2

dF = -k y + m g = m a = m

d t

d (y + y ')-k (y + y ') + m g = m

d t

d y ' d y ' k-k y ' = m a ta u = - y '

d t d t m

yPerhatikan bahwa persamaannyaidentik dengan sistem pegas-benda horizontal. Solusinya

Y = A sin (ωt+θ), A = y’

Osilasi Harmonis Sederhana:Benda pada pegas vertikal� Benda 4 kg digantung pada sebuah pegas dengan k

= 400 N/m. a. Cari regangan pegas ketika dalam keadaan

setimbang.b. Carilah energi potensial total termasuk energipotensial gravitasi, ketika pegas diregangkan 12 cm.(Asumsikan energi potensial gravitasi nol saatsetimbang)

� Benda 6 kg tergantung pada pegas dengan k = 600N/m. Benda berosilasi dengan amplitudo 3 cm. Bilapada t = 0 benda berada pada simpangan arahbawah maksimumnya. Cari persamaan osilasi.

Bandul Sederhana

θ

mg sinθ

mg cosθ

L

Perhatikan sebuah bandul bermassa m yangdigantungkan pada ujung tali sepanjang L,massa tali di abaikan dan tegangan tali T.

Benda berayun ke kiri dan ke kanan mengikutibusur lingkaran berjari-jari L. Benda setimbangdalam arah radial T = mgcosθ.

Dalam arah tangensial bekerja gaya mgsinθ,gaya ini selalu berlawanan arah dengan arahperubahan θ.

Jadi –mgsinθ = ma = m d2s/dt2, di mana s = Lθ.

–mgsinθ = m Ld2θ/dt2 →d2θ/dt2 = –(g/L)sinθ

Perhatikan persamaan d2θ/dt2 = –(g/L)sinθ, untuk sudut kecil sinθ ≈ θ. Diperoleh

d2θ/dt2 = –(g/L)θ, ini adalah persamaan getaran harmonik dengan ω2 = (g/L).

4

Bandul Fisis

Perhatikan sebuah benda tegar dengan massa m!

Benda dapat berputar pada titik O.

Jarak titik O ke pusat massa adalah r.

Momen inersia benda adalah I

O

pm

r

Perhatikan gaya berat yang bekerja pada pusat massa!

Gaya dapat diuraikan menjadi 2 komponen!mg

θ

mgcosθmgsinθ

Gaya yang menyebabkan benda berayun pada pusat massa adalah mgsinθ atau τ = mgrsinθ (ττττ = r x F).

Hukum Newton τ = −Iα, di mana α = d2θ/dt2. Untuk sudut kecil sinθ ≈ θ.

d2θ/dt2 =− (mgr/I)θ, ini adalah persamaan getaran harmonik dengan ω2 = (mgr/I)

BANDUL FISIS : soal-soalSebuah batang bermassa m dan panjang L digantungsecara vertikal pada salah satu ujungnya. Batangberosilasi di sekitar titik setimbangnya. Berapafrekuensi sudut osilasi?

Sebuah piringan tipis bermassa 5 kg dan jari-jari 20cm digantung dengan suatu sumbu horizontal tegaklurus terhadap lingkaran melalui pinggir lingkaran.Piringan disimpangkan sedikit dari posisisetimbangnya dan dilepas. Cari frekuensi sudutosilasi? (ω=(200/6)1/2)

123

2

g

Lω =

R

Pusat Putaran

Bandul Puntir

Gambar di samping memperlihatkan sebuahbandul puntir, yang terdiri dari benda yangdigantung dengan kawat yang disangkutkan padatitik tetap. Bila dipuntir hingga sudut Φ, kawat akanmengerjakan sebuah torka (momen gaya) pemulihsebanding dengan Φ, yaitu τ = −κ Φ. Di mana κadalah konstanta puntir.

Φ

Jika I adalah momen inersia benda terhadapsumbu putar sepanjang kawat, hukum Newtonuntuk gerak rotasi memberikan

τ= −κΦ = I d2Φ/dt2 atau d2Φ/dt2 = −(κ/I) Φ

Persamaan di atas adalah osilasi harmonis sederhana dengan ω2 = (κ/I)

Osilasi Teredam

� Pada semua gerak osilasi yangsebenarnya,energi mekanik terdisipasikarena adanya suatu gaya gesekan.

� Bila dibiarkan, sebuah pegas atau bandulakhirnya berhenti berosilasi.

� Bila energi mekanik gerak osilasiberkurang berkurang terhadap waktu,gerak dikatakan teredam.

Osilasi Teredam

Grafik simpangan terhadap waktu untukosilator yang teredam sedikit. Gerakhampir berupa osilasi harmoniksederhana dengan amplitudo berkurangsecara lambat terhadap waktu

Osilasi benda teredam karena pengaduk yang terendamdalam cairan. Laju kehilangan energi dapat bervariasidengan mengubah ukuran pengaduk atau kekentalancairan. Meskipun analisis terinci gaya teredam untuk sistemini cukup rumit, kita sering dapat menyajikan gaya seperti itudengan suatu persamaan empirik yang bersesuaian denganhasil eksperimen dan pengolahan matematisnya relatifsederhana.

5

Osilasi Teredam Osilasi Terpaksa

Osilator Terkopel Osilasi Harmonik Sederhana