BAB I

ANTITURUNAN

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami antiturunan suatu integran (fungsi) dan sifat-sifatnya serta dapat

mengaplikasikannya dalam menentukan integral tak tentu.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan fungsi dengan menggunakan

teorema dasar antiturunan yaitu untuk .

2. Mahasiswa dapat menggunakan sifat-sifat kelinearan integral untuk

menentukan antiturunan suatu fungsi.

3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan suatu fungsi dengan menggunakan

teorema dasar antiturunan yang diperumum yaitu,

untuk

Bab I dalam buku ini membahas tiga hal pokok yang berkaitan antiturunan

suatu fungsi, yaitu: (1) turunan, (2) antiturunan, (3) sifat-sifat integral tak tentu.

1.1 Turunan

Konsep tentang turunan selalu berkaitan dengan fungsi, baik fungsi

eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang antara

peubah bebas dan peubah tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Secara umum

fungsi eksplisit ditulis dan dinyatakan dalam bentuk , sedangkan fungsi

implisit adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dengan peubah tak bebas

tidak dapat dibedakan secara jelas, secara umum fungsi implisit ditulis dalam

bentuk .

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 1

Fungsi-fungsi dalam contoh berikut ini merupakan fungsi yang ditulis

dalam bentuk eksplisit dan implisit.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Berdasarkan contoh di atas, tampak bahwa fungsi-fungsi pada nomor 1, 2,

3, 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi ekplisit dan fungsi-fungsi tersebut dapat eksplisit

tersebut dapat dinyatakan penulisannya dalam bentuk fungsi implisit. Bagaimana

bentuk fungsi implisitnya, ditinggalkan dalam pembahasan ini sebagai latihan

bagi pembaca. Selanjutnya fungsi-fungsi pada contoh 7, 8, 9, 10, 11, dan 12

adalah fungsi implisit. Berbeda dengan fungsi eksplisit yang secara langsung

dapat diubah menjadi fungsi impilisit, Fungsi implisit tidak semuanya dapat

diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada contoh di atas bentuk implisit dari

adalah . Akan tetapi fungsi tidak

dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Berdasarkan fakta ini dapat disimpulkan

bahwa setiap fungsi eksplisit dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi implisit, akan

tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 2

Guna pengembangan dan latihan lebih lanjut, pembaca dapat membuat

beberapa contoh fungsi dengan mengelompokkannya kedalam bentuk eksplisit

atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain fungsi implisit yang

dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah

menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya jika fungsi dinyatakan dalam bentuk

eksplisit , x disebut peubah bebas (independent), sedangkan y disebut

peubah tak bebas (dependent). Fungsi yang berbentuk jika dapat

diubah dalam bentuk ekplisit, x, dan y secara berturut juga dinamakan peubah

bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit,

maka tidak ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.

Definisi

Jika adalah suatu fungsi, maka turunan (derevative) fungsi adalah fungsi

lain yang dinotasikan dengan dan didefinisikan oleh

, asalkan limitnya ada.

Selanjuta jika maka

Karena maka

Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain yaitu:

, asalkan limitnya ada.

Fungsi yang ditulis dalam bentuk turunannya dapat dinyatakan dengan

notasi yang lain, .

Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka

turunan fungsi tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah diferensial

yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fungsi yang

diketahui. Sifat-sifat yang berlaku dalam turuan fungsi berlaku pula pada

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 3

diferensial. Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi

eksplisit.

Contoh

Tentukan fungsi-fungsi berikut.

1.

Jawab

Berdasarkan definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan di atas

diperoleh

2.

Jawab

Berdasarkan definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan di atas

diperoleh

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 4

3.

Jawab

Berdasarkan definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan di atas

diperoleh

4.

Jawab

Berdasarkan definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan di atas

diperoleh

.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 5

5.

Jawab

Berdasarkan definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan di atas

diperoleh

Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada

contoh di atas disebut fungsi yang differentiable (dapat diturunkan).

Dalam hal yang lebih umum, dengan menggunakan definisi turunan fungsi,

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 6

jika maka turunannya adalah :

Bukti selengkapnya sebagai berikut:

Selanjutnya, jika dan c sebarang bilangan

real dan masing-masing dapat diturunkan maka dengan menggunakan definisi

turunan fungsi dapat ditentukan beberapa sifat berikut:

1.

2.

3.

4.

5.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 7

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi yang ditulis dalam bentuk

eksplisit . Jika suatu fungsi ditulis dalam bentuk implisit maka

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 8

turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah diferensial, yaitu

dengan cara mendiferensialkan masing-masing bagian fungsi tersebut sehingga

diperoleh dan sifat-sifat yang berlaku pada turunan berlaku pada

diferensial dalam fungsi implisit.

Jika yang masing-masing dapat terdiferen-

sialkan dan c bilangan real maka:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 9

Berdasarkan sifat di atas dapat ditentukan turunan fungsi implisit. Untuk

jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut ini:

Tentukan fungsi impilisit berikut ini:

1.

Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh:

2.

Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh:

Sehingga diperoleh

3.

Jawab

Untuk menentukan dari fungsi di atas, terlebih dahulu fungsinya

diubah menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 10

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh:

Sehingga

4.

Jawab

Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh:

Sehingga diperoleh

Soal-soal

Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut dengan

menggunakan aturan yang sudah dijelaskan sebelumnya.

1)

2)

3)

4)

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 11

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

1.2 Antiturunan

Antiturunan merupakan balikan (invers) dari turunan, sehingga untuk

mempelajarinya memerlukan pemahaman kembali tentang turunan suatu fungsi.

Menurut definisi turunan fungsi, jika maka .

Dengan cara yang sama, diperoleh

1. Jika maka .

2. Jika maka .

3. Jika maka .

4. Jika maka , dan seterusnya.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 12

Dengan kata lain, jika maka .

Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan antiturunan

fungsi dinyatakan dengan bentuk Hal ini berarti bahwa

fungsi mempunyai turunan .

atau antiturunan dari adalah . Fungsi-fungsi

yang dapat ditentukan antiturunannya disebut terintegralkan (integrable).

Dalam hal yang lebih umum, bentuk

dinyatakan dengan . Jadi, misal dan antiturunannya

maka dan disebut integral tak tentu.

Bentuk , disebut integran dan disebut

anti turunan.

Teorema 1.

Jika n sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:

.

Akibatnya jika n = -1 maka

=

Bukti

Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk

Kita cukup menunjukkan bahwa

Dalam kasus di atas

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 13

1.3 Sifat-sifat Integral Tak Tentu

Teorema 2

Misal dan fungsi-fungsi yang integrable dan c sebarang konstanta

maka:

1.

2. ,

3. ,

Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan

dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.

1.

2.

3.

Ketiga sifat yang telah dibuktikan di atas dinamakan sifat kelinearan integral

tidak tentu. Guna memudahkan menentukan integral suatu fungsi, berikut ini

diberikan beberapa rumus dasar integral tidak tentu.

1.

Akibatnya untuk n = -1 diperoleh

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 14

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 15

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 16

41.

42.

43.

44. ,

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 17

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 18

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

89.

90.

91.

92.

93.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 19

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

102.

103.

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

111.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 20

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 21

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 22

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149.

150.

Contoh

Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral yang sesuai.

1.

Jawab

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 23

2.

Jawab

3.

Jawab

Teorema 3

Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 24

D dan

Teorema 4

Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan rasional yang bukan -1,

maka:

Perhatikan contoh berikut

1.

Jawab

Karena , sehingga berdasarkan teorema di atas

2.

Jawab

Karena , maka

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 25

3.

Jawab

Misal atau , sehingga

4.

Jawab

Misal

, sehingga:

1.4 Soal-soal

Gunakan metode yang sesuai untuk menentukan integral fungsi di bawah ini.

1.

2.

3.

4.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 26

5.

6.

7.

8.

9.

10. Andaikan Tentukan

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Kalkulus Integral: Dwi Purnomo- 27