1

BAB 1.

FUNGSI DUA PEUBAH

1.1 PENDAHULUAN

Pada bagian ini akan dibahas perluasan konsep pada fungsi satu

peubah ke fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini,

anda seharusnya dapat:

- Menentukan domain dan range fungsi dua peubah atau lebih - Membuat sketsa grafik fungsi dua peubah - Menentukan limit dan menyelidiki kekontinuan fungsi dua

peubah.

1.2 FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH

Pada kalkulus 1, kita telah membahas tentang fungsi satu peubah, baik

eksplisit maupun implisit.

Berikut kita ingat kembali fungsi satu peubah

A B

x y = f(x)

Range f,

Domain f, Df dinotasikan Rf

2

Pada fungsi satu peubah, f : A B

A R dan B R dengan R = himpunan semua bilangan real

Grafik fungsi f = {(x,y) y = f(x), x Df},berupa himpunan titik di R

2, dapat berupa garis lurus atau lengkung.

Selanjutnya pada kalkulus lanjut ini, akan kita bahas lanjutannya yaitu

tentang fungsi dengan dua variabel atau lebih.

Kita telah belajar fungsi satu peubah, y = f(x), dalam hal ini x

merupakan peubah bebas dan y peubah tak bebas.

Akan diperluas menjadi fungsi dengan peubah lebih dari satu, misal:

A B

(x,y) z = f(x,y)

range f,R f

Domain f, Df

Pada fungsi dua peubah,

f : A B

A R R dan B R

Grafik fungsi f = {(x,y,z) z = f(x,y), (x,y) Df}, berupa himpunan titik di R

3, dapat berupa luasan di R

3.

( )( )( ) 43214321

22

42,,,

2,,

2,

xxxxxxxxh

xezyxg

yxyxf

yz

++=

=

+=

3

Perhatikan bahwa notasi fungsi dengan peubah lebih dari satu tidak

berbeda dengan penulisan fungsi dengan satu peubah.

Fungsi z = f(x, y) adalah fungsi dengan dua peubah, dengan peubah

bebas x and y, serta z sebagai peubah tak bebas.

Fungsi w = g(x, y, z) adalah fungsi dengan tiga peubah. peubah x, y

dan z merupakan peubah bebas dan w peubah tak bebas.

Nilai dari fungsi dengan dua peubah atau lebih dapat ditentukan

dengan memasukkan nilai-nilai x dan y:

Contoh 1.1 :

Definisi 1.1. Fungsi dua peubah adalah suatu fungsi dari dua peubah x

dan y adalah suatu aturan yang mengawankan (x, y) di dalam suatu

himpunan D ( D disebut domain) dengan suatu nilai tunggal (unique

value) dari f , yang dinyatakan dengan f(x,y).

Secara sama dapat didefinisikan fungsi dengan lebih dari dua peubah.

Operasi-operasi pada fungsi satu peubah dapat diperluas untuk fungsi

dengan dua peubah atau lebih.Misalnya, untuk fungsi dengan dua

peubah f dan g:

( )( ) 179423223,2

2,

22

22

=+=+=

+=

f

yxyxf

( ) ( ) 4191623423,4 22 =+=+=f

( ) 2222 5025252,5 yyyyf +=+=+=

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) 0,asalkan,,

,,

,,,

,,,

=

=

=

yxgyxg

yxfyx

g

f

yxgyxfyxgf

yxgyxfyxgf

4

Domain fungsi dua peubah

Jika domain tidak diberikan, maka domain adalah himpunan semua

titik sedemikian sehingga fungsi terdefinisi.

Misal, perhatikan fungsi

Domain dari f(x,y) adalah seluruh titik di bidang XY. Setiap pasangan

(x,y) akan memberikan nilai real bagi f.

Domain g(x,y) adalah himpunan (x,y) di bidang XY sedemikian

sehingga perkalian xy lebih dari 0. Jadi domainnya adalah semua titik

di kuadran I dan III.

Contoh 1.2 : Tentukan domain fungsi:

Penyelesaian: Domain f(x,y) adalah himpunan semua titik yang

memenuhi:

atau

Perhatikan bahwa domain akan berupa himpunan titik di pada dan di

dalam lingkaran:

Contoh 1.3: Tentukan domain dari fungsi:

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa g adalah fungsi dengan tiga peubah, sehingga

domainnya tidak berada dalam bidang XY , tetapi di sistem koordinat

tiga dimensi.

( ) ( )xy

yxgyxyxf1

,and3, 22 =+=

( ) 2225, yxyxf =

025 22 yx

2225 yx +

2522 =+ yx

( ) 16,, 222 ++= zyxzyxg

5

Fungsi akan terdefinisi jika:

Dengan demikian domainnya berupa himpunan pasangan terurut

(x,y,z) yang memenuhi .

Contoh 1.4: Tentukan domain fungsi:

Penyelesaian:

Kita tahu bahwa argument dari fungsi logaritma harus lebih besar dari

0, maka

Ini akan terjadi di kuadran I dan III. Catat bahwa titik-titik di

sepanjang sumbu x dan sumbu y tidak termasuk dalan domain

tersebut.

( ) ( )xyyxh ln, =

0> yx

16atau016 222222 ++++ zyxzyx

.16222 ++ zyx

6

Grafik fungsi dua peubah atau lebih

Penggambaran grafik fungsi akan sangat membantu dalam memehami

suatu fungsi. Grafik dapat memberikan ilustrasi atau sebagai

representasi visual dari suatu persamaan.

Grafik dari fungsi dengan dua peubah f dengan domain D adalah

himpunan semua titik (x, y, z) di R3 sedemikian sehingga z = f(x,y)

dan (x,y) berada di D.

Grafik dari fungsi z = f(x,y) adalah luasan permukaan dalam ruang

dimensi 3. Sedangkan grafik dari fungsi tiga peubah, w = f(x, y, z)

akan berupa himpunan titik-titik (x, y, z, w) yang dalam hal ini (x, y,

z) adalah sebagai domainnya.

Grafik dari fungsi w = f(x, y, z) adalah dalam ruang dimensi 4.

Kita akan mencoba menggambarkan grafik fungsi dua peubah tetapi

kita tidak dapat menggambarkan grafik dari fungsi dengan 3 peubah

atau lebih.

Contoh 1.5: Tentukan domain dan range dari fungsi berikut kemudian

sketsakan grafiknya.

Penyelesaian: Dari contoh 1 kita telah tahu bahwa domainnya berupa

himpunan titik-titik pada dan di dalam lingkaran dengan jari-jari 5,

yaitu himpunan titik-titik yang memenuhi pertaksamaan:

Range dari z adalah semua kemungkinan nilai z.

Range ini harus non negatif, karean z adalah akar-akar prinsip dengan

domain:

Nilai dalam akar bervariasai antara 0 dan 25.

Jadi range-nya adalah

2522 + yx

2522 + yx

( ) 2225, yxyxfz ==

50 z

7

Perhatikan bahwa dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan:

Diperoleh:

atau

Kita tahu bahwa ini akan berupa bola dengan jari-jari 5.

Tetapi perhatikan bahwa fungsi:

dan persamaan:

tidaklah sama. Persamaan tidak merepresentasikan z sebagai suatu

fungsi dari x dan y , artinya setiap (x,y) tidak memberikan nilai

tunggal untuk z.

Bahwa fungsi di atas mempunyai range , berarti bahwa fungsi

ini berupa bagian setengah atas dari bola.

Selanjutnya untuk menggambarkan grafiknya, terlebih dahulu kita

akan menggambarkan jejak-jejak di bidang koordinat.

1. Jejak di bidang xy (jadi dalam hal ini z = 0), adalah:

Merupakan lingkaran berpusat di O dengan jari-jari 5 di bidang xy.

2. Jejak di bidang yz (x = 0), adalah:

Lingkaran berpusat di O berjari-jari 5 pada bidang yz.

2225 yxz =

222 25 yxz =

25222 =++ zyx

50 z

2225 yxz =

25222 =++ zyx

25atau250 2222 =+= yxyx

25atau25 222 =+= zyyz

8

3. Jejak di bidang xz (y = 0), adalah:

Lingkaran berpusat di O berjari-jari 5 di bidang xz.

Selanjutnya kita dapat menggambarkan jejak di bidang yang sejajar

dengan bidang koordinat.

4. Untuk z = 3:

Jadi pada bidang z = 3, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa

lingkaran berpusat di (0,0,3) dengan jari-jari 4.

5. Untuk z = 4:

Maka pada bidang z = 4, yang sejajar dengan bidang xy, jejak

berupa lingkaran berpusat di (0,0,4) dengan jari-jari 3.

Berdasarkan kelima jejak di atas, yaitu tiga jejak di bidang koordinat

ditambah dua jejak di bidang yang sejajar dengan bidang xy, maka

diperoleh sketsa grafiknya sebagai berikut:

25atau25 222 =+= zxxz

1622atau22253 =+= yxyx

9atau254 2222 =+= yxyx

9

LATIHAN 1.2

Sketsakan grafik ( luasan permukaan) dari fungsi:

1.

2.

1.3. LIMIT FUNGSI

Limit dan kekontinuan fungsi dua peubah atau lebih pada dasarnya

tidak jauh berbeda dengan limit dan kekontinan fungsi satu

peubah.Definisi limit diberikan sebagai berikut.

Definisi 1.2 : Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi

himpunan terbuka D di R2 dan (a,b) D,

Lyxfbayx

=

),(lim),(),(

jika dan hanya jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 sehingga untuk setiap (x,y) D yang memenuhi

0 < 22 )()( byax + < berlaku f(x,y) L< .

Contoh 1.6:

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

42.5

3

3.5

4

4.5

5

grafik z=sqrt(25-y2-x2)

10

1.22

33

)0,0(),(

2lim

yx

yx

yx +

= 0.

2. bybayx

= ),(),(

lim

Sifat 1.1 :

Jika 2),(),(

1),(),(

),(limdan),(lim0000

LyxgLyxfyxyxyxyx

==

maka

(i) 21),(),(

)],(),([lim00

LLyxgyxfyxyx

+=+

,

(ii) 21),(),(

)],(),([lim00

LLyxgyxfyxyx

=

,

(iii) 21),(),(

)],(),([lim00

LLyxgyxfyxyx

=

,

(iv) kLKyxfKyxyx

,)],([lim 1),(),( 00

=

konstanta

(v) 2

1

),(),( ),(

),(lim

00 L

L

yxg

yxf

yxyx=

if L2 0.

Catatan: Dalam konsep limit ini:

1. f tidak harus terdefinisi di (a,b)

2. Jika Lyxfbayx

=

),(lim),(),(

ada maka bagaimanapun

caranya (x,y) mendekati (a,b) nilai f(x,y) selalu mendekati

L.

Contoh 1.7 : Jika 22

22

),(yx

yxyxf

+

= maka ),(lim

)0,0(),(yxf

yx tidak ada.

11

Tunjukkan!

Penyelesaian :

Titik (x, y) dapat mendekati (0,0) melalui tak hingga banyak

arah.

Untuk itu akan dilihat ketika (x, y) mendekati (0,0)

sepanjang sumbu x, sumbu y. dan garis y = mx .

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu x ,jadi

y = 0 , maka

1lim0

0lim

limlim

2

2

022

22

0

22

22

)00()()00()(

==+

=

+

=

x

x

x

x

yx

yxy)(x,f

xx

,yx,,yx,

Di sisi lain, (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu

y (x = 0), maka

1lim0

0lim

limlim

2

2

022

22

0

22

22

)00()()00()(

=

=+

=

+

=

y

y

y

y

yx

yxy)(x,f

xy

,yx,,yx,

Terlihat bahwa dari dua arah yang berbeda diperoleh nilai

yang berbeda, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

limit f tidak ada untuk (x, y) (0, 0).

Pada contoh di atas kita tidak perlu mencari limit f dari arah

lain, karena dari dua arah sudah didapatkan nilai yang

berbeda, sehingga dapat segera disimpulkan bahwa limitnya

tidak ada.

Jika dari dua arah tersebut nilainya sama, perlu dicari dari

arah lainnya, misal arah y = mx.

12

Latihan 1.3 :

Tentukan nilai limit fungsi berikut jika ada.

1.22

2

)2,3(),(lim

yx

yx

yx +

+

2.yx

yxyx

yx 2

23lim

22

)1,2(),( +++

3. yxyx

+

2

)2,3(),(lim 4.

22

2

)0,0(),(lim

yx

x

yx +

5. 22

2

)0,0(),(lim

yx

y

yx + 6.

24

2

)0,0(),(lim

yx

yx

yx +

7. 22)0,0(),(

limyx

xy

yx +

1.4 KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan fungsi dua peubah diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 1.3: Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada

daerah D R2 dan (a,b) D, maka f dikatakan kontinu di (a,b) jika

),(),(lim),(),(

bafyxfbayx

=

.

Fungsi f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik di D.

Jadi untuk menunjukkan f kontinu di titik (a,b) harus ditunjukkan

ketiga syarat berikut dipenuhi.

i. f (a,b) ada

ii. ),(lim),(),(

yxfbayx

ada

iii. ),(),(lim),(),(

bafyxfbayx

=

13

Jika salah satu syarat di atas tidak dipenuhi maka f tidak kontinu di

(a,b).

Sifat 1.2 : Jika f dan g keduanya kontinu di (a,b) maka

1) f + g kontinu di (a,b)

2) f g kontinu di (a,b)

3) f g kontinu di (a,b)

4) f / g kontinu di (a,b) asalkan g(a,b) 0.

Contoh 1.8 :

Tentukan apakah f kontinu di (0,0)

=

+=

0)(0,)(jika0,

0)(0,)(jika)( 22

2

yx,

yx,yx

yx

yx,f

Penyelesaian:

Menggunakan tes kontinuitas di (0,0):

(i) f (0,0) = 0 (ada) (ii) Kita selidiki apakah limit f(x,y) ada untuk (x,y) (0,0)

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu

x ,jadi y = 0 , maka

00

lim0

0lim

limlim

2022

2

0

22

2

)00()()00()(

==+

=

+=

xx

x

yx

yxy)(x,f

xx

,yx,,yx,

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang (melalui) sumbu

y (x = 0), maka

14

00

lim0

0lim

limlim

2022

2

0

22

2

)00()()00()(

==+

=

+=

yy

y

yx

yxy)(x,f

xy

,yx,,yx,

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) y = x ,

maka

02

lim2

limlim

limlim

02

3

022

2

0

22

2

)00()()00()(

===+

=

+=

x

x

x

xx

xx

yx

yxy)(x,f

xxx

,yx,,yx,

Dapat disimpulkan bahwa 22

2

)00()(lim

yx

yx

,yx, += 0

(iii) 22

2

)00()(lim

yx

yx

,yx, += 0 = f (0,0)

Jadi f kontinu di (0,0)

Latihan 1.4:

1. Diberikan yx

yxyxf

2

2),(

2

2

+= dan

22

44

2

4),(

yx

yxyxg

+

= .

Tunjukkan bahwa :

a. ),(lim yxf untuk )2,2(),( yx tidak ada.

b. ),(lim yxg untuk )0,0(),( yx sama dengan nol.

c. Jika 0)0,0( =g , apakah ),( yxg kontinu di )0,0(

2. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:

15

3. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:

=

+=

).00()(jika1

)00()(jika)( 22

,yx,,

,yx,,yx

yx

yx,f

=

+

=),(yx,,

),(yx,,yx

yx

yx,f

00)(jika0

00)(jika2

)(