7

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1. Kajian Teori

2.1.1. Pemahaman Konsep

Pemahaman menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia adalah proses, cara,

perbuatan memahami atau memahamkan. Menurut Sudaryono (2012) pemahaman

adalah kemampuan seseorang untuk mengerti dan memahami sesuatu setelah

sesuatu itu diketahui atau diingat, yang dinyatakan dengan menguraikan isi pokok

dari suatu bacaan atau mengubah data yang disajikan dalam bentuk tertentu

kebentuk yang lain. Selanjutnya, Sanjaya (2006 : 28) pemahaman dapat diartikan

sebagai kedalaman pengetahuan yang dimiliki individu.

Jadi dapat disimpulkan bahwa pemahaman adalah bagaimana seseorang

membedakan, menduga, menerangkan, memperluas, menyimpulkan, memberikan

contoh, menuliskan kembali, dan menerangkan. Seseorang dapat dikatakan

memahami sesuatu apabila ia dapat memberikan penjelasan atau memberi uraian

lebih rincih tentang hal itu dengan menggunakan kata-katanya sendiri terhadap

materi pelajaran yang disampaikan guru bahkan siswa mampu menerapkan atau

menggunakan kedalam konsep-konsep lain.

Kemampuan pemahaman matematis adalah salah satu tujuan penting

dalam pembelajaran, memberikan pengertian bahwa materi-materi yang diajarkan

kepada siswa bukan hanya sebagai hafalan, namun lebih dari itu dengan

pemahaman siswa dapat lebih mengerti akan konsep materi pelajaran itu

sendiri. Dalam proses pembelajaran setiap siswa memiliki kemampuan yang

berbeda-beda dalam memahami apa yang sedang atau sudah siswa pelajari.

8

Menurut Sudjana (2002) bahwa pemahaman dapat dibedakan menjadi 3 kategori

yaitu: (1) Tingkat terendah adalah pemahaman terjemahan, mulai dari

menerjemahkan dalam arti yang sebenarnya, mengartikan dan menerapkan

prinsip-prinsip. (2) Tingkat kedua adalah pemahaman penafsiran yaitu

menghubungkan bagian grafik dengan kejadian atau membedakan yang pokok

dengan yang tidak pokok. (3) Tingkat ketiga merupakan ekstrapolasi.

Salah satu modal utama dalam mempelajari matematika adalah

pemahaman konsep. Pemahaman konsep merupakan salah satu aspek penilaian

dalam pembelajaran matematika. Tujuan penilaian pada pemahaman konsep

adalah untuk mengetahui sejauh mana kemampuan siswa menerima dan

memahami konsep dasar matematika yang diterima siswa dalam pembelajaran

matematika. Depdiknas (2003) menyatakan pemahaman konsep merupakan salah

satu kecakapan atau kemahiran matematika yang diharapkan dapat tercapai dalam

belajar matematika yaitu dengan menunjukkan pemahaman konsep matematika

yang dipelajarinya, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan

konsep secara luwes, akurat, efisien dan tepat dalam pemecahan masalah. Jadi

pemahaman konsep begitu penting, karena dengan menguasai konsep akan

memudahkan siswa dalam pembelajaran matematika.

Setiap siswa memiliki pemahaman konsep yang berbeda, pemahaman

konsep tergantung pada pengalaman dan perspektif yang dipergunakan dalam

menginterprestasikan pengalaman itu (Dewi : 2006). Menurut Dubinsky (2000)

pemahaman terhadap konsep matematika merupakan hasil konstruksi atau

rekonstruksi tersebut dilakukan melalui aktivitas berupa aksi-aksi matematika,

proses-proses, objek-objek yang diorganisasikan dalam suatu skema untuk

9

memecahkan suatu permasalahan. Jadi dapat disimpulkan bahwa pemahaman

konsep pada penelitian ini diartikan sebagai kemampuan siswa dalam

mengkonsrtuksi atau merekonsrtuksi aksi, proses, objek, matematika dan

mengorganisasikannya dalam struktur skema yang dapat digunakan dalam

menyelesaikan permasalahan himpunan.

2.1.2. Teori APOS

Teori APOS adalah teori yang pertama kali diperkenalkan oleh

Dubinsky. Teori APOS merupakan akronim dari Action, Process, Object, dan

Schema. Menurut Dubinsky (2000) Pengetahuan matematika seseorang individu

adalah kecenderungan individu tersebut untuk merespon dan memahami situasi

permasalahan matematika dengan melakukan refleksi dalam konteks sosial dan

mengkonstruk. Menurut Dubinsky &McDonals (2001) teori APOS hadir diawali

dengan hipotesis bahwa pengetahuan matematika terkandung dalam

kecenderungan individu berkaitan dengan situasi permasalahan matematika yang

dihadapi dengan mengkonstruk aksi, proses, dan objek mental serta

mengorganisasikannya dalam skema untuk memahami situasi itu dalam

memecahkan masalah tersebut. Konstruksi-konstruksi mental itu disebut teori

APOS.

Menurut Dubinsky (2000) menyatakan teori APOS adalah suatu teori

konstuktivis tentang bagaimana kemungkinan berlangsungnya pencapaian atau

pembelajaran suatu konsep atau prinsip matematika yang dapat digunakan sebagai

suatu elaborasi tentang konstruksi mental dari aksi, proses, objek dan skema.

Selanjutnya, Dubinsky (2000) bahwa pemahaman suatu konsep matematika

merupakan hasil konstruksi atau rekonstruksi terhadap objek-objek matematika

10

dimana konstruksi atau rekonstruksi tersebut dilakukan melalui aktivitas berupa

aksi-aksi matematika, proses-proses, objek-objek yang diorganisasikan dalam

suatu skema untuk memecahkan suatu permasalahan.

Teori APOS dapat digunakan secara langsung dalam menganalisis data

oleh seorang peneliti (Dubinsky &McDonalad, 2001). Teori APOS dapat

digunakan untuk membandingkan kemampuan siswa dalam membangun mental

yang telah terbentuk. Contohnya ada dua siswa yang sama-sama menguasai

konsep matematika, dengan teori APOS dapat diteliti lebih lanjut siapa yang

memiliki konsep matematika yang lebih baik sehingga dapat dikatakan bahwa

teori APOS ini merupakan tahapan-tahapan siswa dalam memahami suatu konsep

matematika. Dibawah ini akan diberikan deskripsi yang lebih lengkap untuk

masing-masing tahapan konstuksi mental tersebut.

2.1.2.1 Aksi (action)

Aksi adalah transformasi dari objek-objek yang dipelajari dan yang

dirasakan oleh individu sebagai bagian eksternal dan sebagai kebutuhan, secara

eksplisit dari memori, instruksi tahap demi tahap tentang bagaimana melakukan

operasi (Dubinsky & McDonald, 2001). Selain itu, menurut Syaiful (2013)

seseorang yang memiliki pemahaman lebih mendalam tentang suatu konsep,

mungin akan melakukan aksi lebih baik ata bisa juga terjadi bahwa fokus

perhatiannya keluar dari konsep yang diberikan sehingga aksi diharapkan tidak

terjadi.

Pemahaman pada tingkat aksi terjadi pengulangan manipulasi mental

atau fisik dalam mentransformasikan objek matematika melalui beberapa cara

atau aktifitas yang mendasarkan pada beberapa algoritma secara eksplisit sehingga

11

siswa masih membutuhkan bimbingan untuk melakukan transformasi, baik secara

fisik ataupun secara mental objek. Oleh karena itu kinerja yang dilakukan pada

tingkat aksi ini merupakan kinerja berupa aktivitas prosedural.

2.1.2.2 Proses (Process)

Proses adalah struktur mental dengan melakukan operasi yang sama

dengan aksi akan tetapi sepenuhnya dipikirkan individu, individu bisa melakukan

transformasi tanpa harus melakukan setiap langkah secara eksplisit (Maharaj,

2010: 43). Ketika aksi dilakukan secara berulang dan seseorang melakukan

refleksi terhadap aksi itu, maka aksi-aksi tersebut diinteriorisasi menjadi proses,

yaitu suatu konstruksi internal yang dilakukan pada aksi yang sama tetapi

sekarang tidak perlu lagi dari rangsangan eksternal (Dubinsky & McDonald,

2001). Jadi seseorang dapat dikatakan mengalami suatu proses tentang sebuah

konsep yang tercakup dalam masalah yang dihadapi, apabila berpikirnya terbatas

pada ide matematika yang dihadapi serta ditandai dengan munculnya kemampuan

untuk membicarakan atau melakukan refleksi atas ide matematika tersebut.

Dengan kata lain, pada tingkat proses siswa memiliki pemahaman prosedural.

2.1.2.3 Objek (Object)

Sebuah objek dikonstruk dari sebuah proses ketika individu sadar bahwa

proses sebagai totalitas dan menyadari bahwa transformasi dapat bertindak di

atasnya (Dubinsky & McDonald, 2001). Seseorang dapat dikatakan telah

memiliki sebuah konsepsi objek dari suatu konsep matematik ketika dia telah

mamu memperlakukan ide atau konsep tersebut sebagai sebuah objek kognitif ya

mencakup kemampuan dalam melakukan aksi atas objek tersebut serta memberi

alasan atau penjelasan tentang sifat-sifatnya.

12

Objek dikonstruksi dari proses ketika siswa telah mengetahui bahwa

proses sebagai suatu totalitas dan menyadari bahwa transformasi dapat dilakukan

pada proses tersebut. Dengan kata lain, pada tahap objek siswa memiliki

pemahaman konseptual.

2.1.2.4 Skema (Schema)

Sebuah skema dalam konsep matematika tertentu adalah kumpulan aksi,

proses, benda, dan skema lainnya yang dihubungkan oleh beberapa prinsip umum

untuk membentuk kerangka dalam pikiran individu yang digunakan untun

menyelesaikan masalah yang melibatkan konsep (Dubinsky & McDonald, 2001).

Secara sederhana, skema diibaratkan sebagai konsep-konsep atau kategori-

kategori yang digunakan untuk mengidentifikasi da mengklarifikasikan stimulus-

stimulus (pengetahuan/informasi) yang datang dari luar. Dengan kata lain, skema

merupakan suatu totalitas pemahaman siswa terhadap suatu konsep yang sejenis.

Berikut kriteria yang menunjukkan bahwa pemahaman seorang siswa

berdasarkan teori APOS tentang himpunan dapat dilihat pada Tabel 2.1 dibawah

ini.

13

Tabel 2.1 Indikator Pemahaman Siswa berdasarkan Teori APOS pada

Materi Himpunan

Kerangka kerja APOS Deskripsi APOS pada materi

himpunan

1. Aksi

Aksi adalah transformasi dari objek-

objek yang dipelajari dan yang

dirasakan oleh individu sebagai bagian

eksternal dan sebagai kebutuhan, secara

eksplisit dari memori, instruksi tahap

demi tahap tentang bagaimana

melakukan operasi

Siswa dapat:

- Menentukan anggota himpunan dari

suatu himpunan

- Menentukan apa yang diketahui

pada soal cerita

2. proses

Ketika aksi dilakukan secara berulang

dan seseorang melakukan refleksi

terhadap aksi itu, maka aksi-aksi

tersebut diinteriorisasi menjadi proses,

yaitu suatu konstruksi internal yang

dilakukan pada aksi yang sama tetapi

sekarang tidak perlu lagi dari

rangsangan eksternal

Siswa dapat:

- Menjelaskan cara mengambar

himpunan dalam satu diagram Venn

3. Objek

Sebuah objek dikonstruk dari sebuah

proses ketika individu sadar bahwa

proses sebagai totalitas dan menyadari

bahwa transformasi dapat bertindak di

atasnya

Siswa dapat:

- Menyatakan definisi irisan dan

gabungan

- Memberikan contoh dan bukan

contoh irisan dan gabungan

4. Skema

Sebuah skema dalam konsep

matematika tertentu adalah kumpulan

aksi, proses, benda, dan skema lainnya

yang dihubungkan oleh beberapa

prinsip umum untuk membentuk

kerangka dalam pikiran individu yang

digunakan untun menyelesaikan

masalah yang melibatkan konsep

Siswa dapat:

- Menentukan nilai dari gabungan dan

bukan gabungan dari tiga himpunan

- Siswa dapat merancang model

matematika dari suatu permasalahan

matematika yang berkaitan dengan

himpunan.

14

2.1.4 Materi Himpunan

2.1.4.1 Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang anggota-

anggotanya dapat dikelompokkan atau ditetapkan secara jelas. Kumpulan benda-

benda yang jelas, artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya dapat

ditetapkan secara jelas. Sedangkan kumpulan benda-benda yang tidak jelas,

artinya kumpulan objek yang anggota-anggotanya tidak dapat ditetapkan dengan

jelas. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung

kurawal dan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C,

dan seterusnya.

2.1.4.2 Penyajian Himpunan

(a) Mendaftarkan anggotanya

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya

yang dituliskan dalam kurung kurawal ({}). Manakala banyak anggotanya

sangat banyak. Cara mendaftar ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda

tiga titik (“...”) dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”.

(b) Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki

anggotanya. Misal P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,

ditulis .

(c) Menuliskan Notasi pembentuk himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan

himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum dimana

mewakili anggota dari himpunan, dan menyatakan syarat yang harus

15

dipenuhi oleh agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol

bisa diganti oleh variabel yang lain seperti , dan lain-lain. Misalnya

. Dengan notasi pembentuk

himpunan ditulis dibaca “

Himpunan , sedemikian sehingga adalah bilangan prima antara 10 dan

40 “.

2.1.4.3 Himpunan Semesta dan Kardinalitas Himpunan

(a) Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek

pembicaraan dan dilambangkan dengan S.

Gambar 2.1 Himpunan Semesta

(b) Kardinalitas Himpunan

Kardinalitas himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya

anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan .

2.1.4.4 Diagram Venn

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya

dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan dengan diagram Venn. Aturan

dalam pembuatan diagram Venn sebagai berikut:

(a) Menggambar sebuah persegi panjang untuk menunjukkan semesta dengan

mencantumkan huruf S di pojok kiri atas.

S A B C

16

(b) Menggambar kurva tertutup sederhana yang menggambarkan himpunan

(c) Membentuk noktah (titik) berdekatan dengan masing-masing anggota

himpunan

(d) Macam-macam diagram venn

Gambar 2.2 Diagram Venn

2.1.4.5 Jenis-jenis Himpunan

(a) Himpunan kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota satupun

didalamnya. Dinotasikan dengan atau .

(b) Himpunan bagian (subset)

Himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B

superset dari A jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan

anggota himpunan B, dinotasikan atau . Jika ada anggota

A yang bukan anggota B maka A bukan himpunan bagian dari B,

dinotasikan .

(c) Himpunan kuasa

Himpunan kuasa himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A,

dilambangkan dengan . Banyak anggota himpunan kuasa dari

himpunan A dilambangkan dengan .

B

A

S S S S

B, A A B A B

17

(d) Himpunan yang sama

Himpunan A dikatakan sama himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota

A juga merupakan anggota himpunan B demikian pula sebaliknya.

Dilambangkan dengan ditulis .

(e) Himpunan yang ekuivalen

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

kardinal kedua himpunan tersebut sama. Dilambangkan dengan ditulis

.

(f) Himpunan yang saling lepas

Himpunan A dikatakan saling lepas dengan himpunan B jika kedua

himpunan tidak memiliki anggota yang sama. Dilambangkan dengan .

2.1.4.6 Operasi terhadap Himpunan

(a) Irisan (intersection)

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota

S yang merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B,

dilambangkan dengan . Irisan dua himpunan di notasikan :

. dalam diagram Venn disajikan sebagai daerah

yang diarsir.

Gambar 2.3 diagram Venn

A B

S

18

(b) Gabungan

Gabungan himpunan A dan B adalah jimpunan yang anggotanya semua

anggota S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B,

dilambangkan dengan . Gabungan dua himpunan di notasikan

. dalam diagram Venn disajikan

sebagai daerah yang diarsir

Gambar 2.4 Diagram Venn

(c) Komplemen

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan

S yang bukan anggota himpunan A, di notasikan . Notasi pembentuk

himpunan adalah . Pada diagram Venn

adalah daerah yang diarsir.

Gambar 2.5 Diagran Venn

A B S

A S

19

Sifat-sifat komplement dari himpunan, misalkan A dan B adalah himpunan

maka berlaku:

1)

2)

3) Jika adalah komplemen himpunan A, maka

(d) Selisih

Selisih himpunan B terhadap himpunan A adalah himpunan semua anggota

himpunan A yang bukan anggota himpunan B, di notasikan . Notasi

pembentuk himpunan adalah

. Pada diagram Venn A-B adalah daerah yang diarsir.

Gambar 2.6 Diagran Venn

Sifat-sifat selisih dari himpunan, untuk sebarang himpunan A dan B

berlaku:

1) Jika maka dan

2) Jika , maka

2.1.4.7 Sifat-sifat Himpunan

(a) Idempoten

Untuk sebarang himpunan A berlaku:

;

A B S

20

(b) Identitas

Untuk sebarang himpunan A, berlaku:

;

(c) Komutatif

Untuk sebarang himpunan A, B dan C berlaku:

;

(d) Assosiatif

Untuk sebarang himpunan A, B dan C berlaku:

;

(e) Distributif

Untuk sebarang himpunan A, B dan C berlaku:

;

2.2 Hasil Penelitian terdahulu

Berikut ini beberapa penelitian terdahulu yang menggunakan teori APOS

untuk menganalisis pemahaman konsep siswa maupun mahasiswa yaitu:

1) Fitriastika (2014) yang berjudul “Analisis Pemahaman Siswa tentang Fungsi

Kuadrat berdasarkan Teori APOS pada Siswa Kelas X Jurusan Permesinan

SMK Negeri 2 Salatiga”, Jenis penelitian ini adalah penelitian deskriptif

kualitatif yang bertujuan untuk menggali dan mendeskripsikan tentang

analisis pemahaman siswa berdasarkan teori APOS pada materi fungsi

kuadrat. Hasil penelitian ini berupa tes uraian dan melalui wawancara

terhadap 4 subjek untuk memperoleh informasi yang mendalam tentang

tahap pemahaman siswa berdasarkan teori APOS.

21

2) Melani (2016) yang berjudul “Analisis Pemahaman Siswa Materi Bangun

Ruang Kelas VIII SMP Berdasarkan Teori APOS Di Tinjau dari Aktivitas

Belajar Siswa”, Jenis penelitian ini adalah penelitian kualitatif.

Pengumpulan data dilakukan melalui angket aktivitas belajar siswa, lembar

tugas siswa dan pedoman wawancara terhadap 6 subjek. Hasil penelitian ini

menunjukkan 6 subjek mencapai tahap APOS yang bebeda-beda : 1. Siswa

yang berativitas belajar tinggi dalam menyelesaikan lembar tugas siswa

dapat mencapai tahap aksi, proses, objek dan skema; 2. Siswa yang

berativitas belajar sedang dalam menyelesaikan lembar tugas siswa dapat

mencapai tahap aksi, proses, dan objek; 3. Siswa yang berativitas belajar

rendah dalam menyelesaikan lembar tugas siswa dapat mencapai tahap aksi.

3) Rahmawati (2015) Skripsi yang berjudul “Analisis Pemahaman Siswa

berdasarkan Teori APOS (action, process, object dan schema) pada materi

Barisan dan Deret di Kelas XI SMK Al-Badar Kedungwaru Tulungagung.

Jenis penelitian ini adalah penelitian kualitatif, berdasarkan pembahasannya

termasuk penelitian deskriptif dengan menggunakan pendekatan studi kasus.

Metode pengumpulan data menggunakan observasi, wawancara, dan

dokumentasi. Analisa data dilakukan mulai dari reduksi data, penyajian

data, dan menarik kesimpulan. Hasil penelitiannya yaitu 1) pada tahap aksi,

siswa hanya dapat menyatakan perbedaan antara suatu barisan dan deret

dengan memperhatikan pola dari beberapa suku pada barisan dan deret. 2)

Pada tahap proses, siswa telah memiliki pemahaman prosedural, yaitu dapat

menjelaskan cara menentukan suku dari suatu barisan dan deret dengan

memperhatikan pola beberapa suku pada suatu barisan dan deret. 3) Pada

22

tahap objek, siswa telah memiliki pemahaman konseptual, yaitu siswa sudah

mengetahui karakteristik suatu barisan dan deret, dapat menyatakan definisi

suatu barisan dan deret, dapat memberikan contoh dan bukan contoh suatu

barisan, dan dapat menyatakan hubungan antara satu suku dengan suku

lainnya pada suatu barisan. 4) Pada tahap skema, siswa memiliki skema

awal tentang suatu barisan dan deret, yaitu dapat mengkonstruksi suatu

koordinasi yang mengaitkan aksi, proses, atau objek yang terpisah untuk

menyelesaikan suatu soal aplikasi barisan dan deret serta dapat mengaitkan

skema awal tentang barisan dan deret dengan skema fungsi.

4) Natalia (2016) yang berjudul “Analisis Tingkat Pemahaman Siswa

Berdasarkan Teori Apos Pada Materi Persamaan Kuadrat Ditinjau Dari

Minat Belajar Siswa Kelas X Sma Negeri 2 Surakarta”, Jenis penelitian ini

adalah kualitatif. Dari penelitian ini dapat disimpulkan sebagai berikut : (1)

subjek dengan minat belajar tinggi berada pada tingkat pemahaman skema.

Subjek mampu merancang model matematika dari suatu permasalahan

matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat, kemudian mencari

pemecahannya dengan menggunakan berbagai aturan atau rumus yang perlu

dilibatkan dalam mencari penyelesaiannya. Subjek mampu mengkaitkan

hubungan antara konsep persamaan kuadrat dengan konsep-konsep yang

lain; (2) subjek dengan minat belajar sedang berada pada tingkat

pemahaman proses. Subjek mampu mencari penyelesaian persamaan yang

tidak langsung disajikan dalam bentuk umum persamaan kuadrat tanpa

harus mengubahnya ke bentuk umum persamaan kuadrat terlebih dahulu;

dan (3) subjek dengan minat belajar rendah berada pada tingkat pemahaman

23

aksi. Subjek hanya mampu menyelesaikan persamaan yang disajikan dalam

bentuk umum persamaan kuadrat.

5) Mulyono (2012) yang berjudul “Analisis Pemahaman Mahasiswa Field

Dependent dalam Mengkonstrksi Konsep Grafik Fungsi”. Hasil dari

peneliian tersebut adalah kinerja dalam tahap-tahap APOS tidak semua

dilakukan dengan sempurna. Ketidaksempurnaan tersebut terdapat pada tahp

aksi dan tahap proses, yaitu dalam hal mencari range fungsi, titik kritis, nilai

ekstrim dan titik belok.