BAB II. PELUANG DAN DISTRIBUSI PELUANG

2.1 Pengertian Peluang Suatu Kejadian

Definisi secara klasik

Model sebuah peristiwa E dapat terjadi, sebanyak n kali diantara N peristiwa yang

saling ekslusif (asing) dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama

maka peluang peristiwa E terjadi adalah

P(E) = Nn

Contoh 2.1.1

Undian sebuah dadu bermuka enam menghasilkan 6 peristiwa yang saling asing

sehingga N = 6. Jika E = muka bermata 4 diatas, maka n = 1. Jadi peluang muka

bermata 4 diatas = P(E) = P(mata 4) = 1/6

Definisi secara empiris

Peluang empiris dari suatu kejadian ditetapkan sebagai frekuensi relatif dari

terjadinya pengamatan sangat besar, peluang tersebut adalah limit dari frekuensi

relatif dengan banyaknya pengamatan yang bertambah besar secara tak terhingga.

Contoh 2.1.2

Undian dengan sebuah mata uang yang homogen 1.000 kali, misalnya didapat muka

G sebanyak 519 kali. Maka frekuensi relatif muka G = 0,519. Bila dilakukan 2.000

kali maka didapat muka G sebanyak 1.020 kali. Frekuensi relatifnya = 0,510. Jika

dilakukan 5.000 kali didapat muka G = 2.530, maka frekuensi relatifnya = 0,506. Jika

proses demikian diteruskan, nilai frekuensi relatifnya lambat laun makin dekat kepada

sebuah bilangan yang merupakan peluang untuk muka G. Dalam hal ini bilangan

tersebut adalah 0,5.

Sifat dasar dari peluang

� Batasan dari besarnya peluang adalah 0 ≤ P(E) ≤ 1

Jika P(E) = 0 → peristiwa E pasti tidak terjadi

Jika P(E) = 1 → peristiwa E pasti terjadi

� Jika E menyatakan bukan peristiwa E maka P(E) = 1 – P(E)

Atau dengan kata lain jumlah semua peluang yang saling asing adalah satu

� Jika n buah peristiwa E1, E2, ....., En yang saling asing maka P(E1 atau E2 atau

En) = P(E1) + P(E2) + .... + P(E3)

2.2 Teori Himpunan

2.2.1 Irisan

Irisan dua kejadian A dan B dinotasikan dengan A ∩ B adalah kejadian yang

mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B

Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah / asing bila A ∩ B ≠ 0 artinya A dan

B tidak memiliki unsur persekutuan

2.2.2 Gabungan

Gabungan 2 kajadian A dan B dilambangkan dengan A ∪ B adalah kejadian yang

mencakup anggota A atau B.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dan jika A dan B saling terpisah maka

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh 2.2.1

Peluang seorang mahasiswa lulus Matematika adalah 2/3, dan peluang ia lulus

Bahasa Inggris adalah 4/9. Bila peluang seorang lulus sekurang-kurangnya satu

pelajaran di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua pelajaran itu ?

Penyelesaian :

Misal M = kejadian lulus Matematika

E = kejadian lulus Bahasa Inggris

Sehingga :

P(M ∩ E) = P(M) + P(E) - P(M ∪ E)

= 2/3 + 4/9 – 4/5

= 14/45

2.3 Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari

sekumpulan benda.

Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah :

nPr = )!(

!rn

n−

dimana n! = n(n-1) (n-2) ... 1

Contoh 2.3.1

Berapa banyak cara sebuah regu bola basket dapat menjadwalkan 3 pertandingan

dengan 3 regu lainnya bila semuanya bersedian pada 5 kemungkinan tanggal yang

berbeda !

Penyelesaian :

Banyaknya kemungkinan jadwal 5P3 = !!

2

5 = 5.4.3 = 60 cara

Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n1 diantaranya berjenis

pertama, n2 berjenis kedua, ...,nk berjenis ke-k adalah

!n!...n!n

!n

221

Contoh 2.3.2

Berapa banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian

lampu hias untuk pohon natal dari 3 lampu merah, 4 lampu kuning dan 2 lampu biru ?

Penyelesaian :

N = 3 + 4 + 2 = 9; n1 = 3 n2 = 4 n3 = 2

Maka banyaknya susunan yang berbeda ada ...... cara (silakan selesaikan)

Dalam banyak masalah kita ingin mengetahui banyak cara mengambil r benda dari n

benda tanpa memperhatikan urutan, pengambilan ini disebut kombinasi.

Banyaknya kombinari r benda dari n benda yang berbeda adalah

)!rn(!r

!nrnCrn −

=

=

Contoh 2.3.3

Dari 4 orang anggota Partai Republik dan 3 orang anggota Partai Demokrat. Hitung

banyaknya komisi yang terdiri atas 3 orang dengan 2 orang dari Partai Republik dan 1

orang dari Partai Demokrat yang dibentuk !

Penyelesaian :

Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang Partai Republik ada

6!2!2

!424 ==

Banyaknya cara memilih 1 orang dari 3 orang Partai Demokrat ada

13 =

!!!21

3 = 3

sehingga banyaknya komisi yang dapat dibentuk dengan 2 orang Partai Republik dan

1 orang Partai Demokrat adalah 6 x 3 = 18 komisi

2.4 Peluang Bersyarat

Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu kejadian lain A

telah terjadi disebut peluang bersyarat, dilambangkan P(BA) dibaca “peluang B,

bila A diketahui”.

P(BA) = )A(P

)BA(P ∩, P(A) > 0

Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya saat terjadi sekaligus, maka

P(A ∩ B) = P(A) P(BA)

Dan bila dua kejadian A dan B bebas (saling asing) maka P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Contoh 2.4.1

Sebuah kota kecil memilih satu mobil pemadam kebakaran dan satu ambulans,

peluang mobil kebakaran itu dapat digunakan pada saat diperlukan adalah 0,98 dan

peluang ambulans tersedia waktu diperlukan adalah 0,92. Dalam hal terjadi

kecelakaan akibat kebakaran, hitung peluang ambulans dan mobil pemadam

kebakaran itu keduanya tersedia dan siap digunakan.

Penyelesaian :

Misal A dan B masing-masing menyatakan bahwa mobil pemadam kebakaran

dan ambulans siap digunakan, keduanya merupakan kejadian yang saling

bebas sehingga :

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

= ..... x ......

= 0,9016

Contoh 2.4.2

Peluang seorang dokter mendiagnosis suatu penyakit secara benar adalah 0,7. Bila

diketahui dokter tersebut salah mendiagnosis, bahwa pasien akan menuntut ke

pengadilan adalah 0,9. Berapa peluang dokter tersebut salah mendiagnosis dan pasien

menuntutnya ?

(silakan coba)

2.5 Distribusi Peluang

Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk setiap

unsur dalam ruang sampel disebut variabel acak.

Jika variabel x dan t menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai x1, x2,

....., xn dengan peluang masing-masing p1, p2, ....., pn dimana p1 + p2 +.....+ pn =1

dikatakan suatu distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi.

Fungsi p(x) yang mempunyai nilai masing-masing p1, p2, ....., pn untuk x = x1,

x2, ....., xn disebut fungsi peluang untuk variabel acak x, harga X = x.

X yang memiliki peluang bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebut

variabel acak diskrit.

Contoh 2.5.1

Misalkan sepasang dadu dilantunkan dan misalkan X menyatakan jumlah titik yang

diperoleh. Maka distribusi peluang diberikan sebagai berikut :

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Misalnya, peluang memperoleh jumlah 5 adalah 4/36 = 1/9. Jadi dalam 900

pelantunan dadu kita mengharapkan 100 pelantun memberikan jumlah 5.

Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue.

Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f(x) dapat

menghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku :

∫∞

∞−

dx)x(f = 1

Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah :

P(a<X<b) = ∫b

a

dx)x(f

Contoh 2.5.2

Sebuah variabel acak kontinue x mengambil nilai antara x = 2 dan x = 4, mempunyai

fungsi densitas

f(x) = 8

1x +

a. Tunjukkan P(2<X<4) = 1

b. Hitung P(2<X<3) !

Penyelesaian :

Gambar 2.5.1

Grafik untuk fungsi, f(x) = 8

1x +

Pada Gambar 2.5.1 berupa trapesium maka luasnya sama dengan jumlah kedua sisi

yang sejajar dikalikan alasnya kemudian dibagi dua.

Luas = 2

alasx)sejajarsisijumlah(

= ( )

2

)2()4(f)2(f +

karena f(2) = 23 f(4) = 8

5

maka P(2<X<4) = ( )

2

285

83 +

= 1

Terbukti

b. Bahwa jika P(2<X<3) = ( )

2

)2()3(f)2(f + = 8

78

48

3 =+

Jika menggunakan atau

P(2<X<3) = ∫+3

2

dx8

1x

= ∫ +3

2

dx1x8

1

= 3

2

2 xx2

1

8

1

+

=

−−+ 22

43

2

9

8

1

= ............................

2.5.1 Distribusi Binom dan Multinom

Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau gagal

dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan binom, sehingga ciri-ciri

percobaan binom adalah :

1. Percobaan terdiri atas n peristiwa

2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal

3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p

4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain

Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu

percobaan binom dan distribusinya peluangnya disebut Distribusi Binomial dan nilai-

nilainya dilambangkan dengan b (x; n,p)

Jika peluang keberhasilan “p” dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka

distribusi peluang untuk variable acak binomial x yaitu banyaknya keberhasilan

dalam n peristiwa yang bebas adalah :

b(x; n,p) =

xn =

)!xn(!x

!n

−

Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit b(x; n,;) = p(x) =

P(X=x)

Contoh 2.5.3

Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya

ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang

bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan

uang untuk membeli ganja ?

Penyelesaian:

Diketahui p = 75 % = 0,75 → q = 1 – p = 0,25

P(X=2) = b(2; 4; 0,75) =

24 (0,75)2 (0,25)2 = 0,211

Jadi peluang yang ditanya adalah 0,211

Contoh 2.5.3

Jika 20 % kancing yang dihasilkan oleh sebuah mesin adalah cacat, hitung peluang

bahwa dari antara 4 kancing yang dipilih secara acak, yang akan cacat :

a) satu b) tidak ada c) paling banyak 2

Penyelesaian :

Peluang kancing cacat = p = 0,2 → q = 0,8

a. P(X=1) = b(1;4;0,2) =

14 (0,2)1 (0,8)3 = .........

b. P(X=0) = b(0;4;0,2) =

04 (0,2)0 (0,8)4 = .........

c. P(paling banyak 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = ....... (lanjutkan sebagai

latihan)

Parameter distribusi binomial adalah µ dan σ, dimana µ = np dan σ = npq

Jika percobaan dilakukan sebanyak “n” kali, peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ... xk

peristiwa Ek diantara n, ditentukan oleh distribusi multinom.

P(x1,x2, ....,xk) = k21 xk

x2

x

k2

p...pp!x!....x!x

!n

Notasi lain P(x1,x2, ....,xk) = f(x1,x2, ....,xk; p1,p2, ....,pk,n)

Contoh 2.5.4

Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang

muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak 2 kali, bilangan yang sama pada kedua dadu

sekali, dan kemungkinan lainnya 3 kali “

Penyelesaian :

Misal :

E1 : terjadi total 7 atau 11

E2 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu

E3 : kemungkinan lainnya selain dua diatas

Dalam setiap percobaan, peluang masing-masing kejadian adalah p1 = 2/9,

p2 = 1/6 dan p3 = 11/18, dengan distribusi multinom dan x1 = 2, x2 = 1, x3 = 3

maka peluang yang ditanyakan :

( ) ( ) ( ) 1127,01811

61

92

!3!1!2

!6)3,1,2(P

312==

2.5.2 Distribusi Hipergeometrik

Dua sifat percobaan hipergeometrik adalah :

� Suatu sampel acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N

� k dari N benda diklasifikasikan sebagai berhasil dan N – k benda

diklasifikasikan sebagai gagal

Dengan demikian distribusi peluang bagi variabel acak hypergeometrik X yang

menyatakan banyaknya keberhasilan adalah

h(x; N, n, k) =

−−

nN

xnkN

xk

untuk x = 0, 1, 2, ..., n

Contoh 2.5.5

Bila 5 kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge, berapa peluang

diperoleh 3 kartu hati ?

Penyelesaian :

Dengan distribusi hipergeometrik untuk n = 5, N = 52, k = 13 dan x = 3 maka

peluang memperoleh 3 kartu hati adalah

h(3; 52, 5, 13) =

552

239

313

= 0,0815

2.5.3 Distribusi Poison

Ciri-ciri percobaan poisson adalah :

� Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu

daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang

terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah

� Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang

singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang

selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung

pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah

tersebut.

� Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang

waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah kecil tersebu, dapat diabaikan

Distribusi peluang bagi variabel acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil

percobaan yang terjadi selama satu selang waktu atau daerah tertentu adalah

P(X=x) = p(x;λ) = !x

e xλλ−

Contoh 2.5.6

Seorang administrator rumah sakit, setelah mempelajari kejadian darurat pada di

tahun-tahun lampau, menyimpulkan bahwa kejadian darurat menyebar menurut

distribusi Poisson. Catatan rumah sakit tersebut menunjukkan kejadian darerat terjadi

rata-rata 3 kali perhari selama periode tersebut. Jika administrator tersebut benar

menurut distribusi Poisson, maka dapatkan probabilitas dari :

a. Tepat ada 2 kejadian darurat akan terjadi pada hari yang diberikan

b. Tidak ada kejadian darurat yang akan terjadi

Penyelesaian :

a. Ambil λ = 3 dan X sebagai variabel random yang menunjukkan jumlah kejadian

darurat setiap hari. Jika x mengikuti distribusi Poisson, maka :

P(X=2) = f(2) = !2

3e 23−

= 1.2

9050. × = 0,225

b. Tidak ada kejadian darurat yang akan terjadi

f(0) = !0

3e 03−

= 1

)1(050. = .05

Hubungan antara distribusi binomial dan Poisson

Jika dalam hal distribusi binom, N cukup besar dengan peluang p maka λ = Np

Contoh 2.5.7

Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah disuntik besarnya 0,0005.

Dari 4000 orang yang disuntuk, tentukan peluang yang mendapat reaksi buruk :

a) Tidak ada

b) Ada 2 orang

c) Lebih dari 2 orang

Penyelesaian :

a. Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson kepada distribusi binom,

maka λ = Np = 4000 x 0,0005 = 2

Jika X = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat suntikan maka

p(0) = !0

2e 02−

= 0,1353, jadi peluang yang tidak ada mendapat reaksi buruk

adalah 0,1353

b. Karena ada 2 orang berarti X = 2 sehingga p(2) = !2

2e 22−

= 0,2706, jadi peluang

dua orang mendapat reaksi buruk adalah 0,2706

c. Karena lebih dari 2 berarti X = 3, 4, 5, ... dan dari sifat peluang p(0) + p(1) + p(2)

+ ... = 1 sehingga

p(3) + p(4) + ... = 1 – [p(0) + p(1) + p(2)] (lanjutkan sendiri)

Jadi peluang yang mendapat reaksi buruk lebih dari 2 orang adalah ...........

2.5.4 Distribusi Normal

Variabel acak kontinue X dengan fungsi densitas pada X = x

f(x) =

2x

21

e2

1

−−

σµ

πσ

dengan :

π = nilai konstan, π = 3,1416

e = bilangan konstan, e = 2,7183

µ = parameter rata-rata

σ = parameter simpangan baku

Sifat-sifat distribusi normal :

� Grafiknya selalu ada diatas sumbu datar

� Bentuknya simetrik terhadap x = µ

� Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi

Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b yakni P(a<X<b) adalah

P(a<X<b) = ∫

−=b

a

x2

1

dxe2

12

σµ

πσ

Grafik kurva normal

P(A<X<B) = luas daerah yang terarsir

Transformasi untuk sebarang variabel acak normal X menjadi suatu nilai variabel

acak normal z, adalah

z = σ

µx −

Distribusi normal dengan rata-rata µ = 0 dan simpangan baku σ = 1 disebut distribusi

normal standart atau distribusi normal baku

Fenomena berdistribusi normal :

� Kira-kira 68,27 % dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar

rata-rata, yaitu antara µ - σ dan µ + σ

� Ada 95,45 dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-

rata, yaitu antara µ - 2σ dan µ + 2σ

� Hampir 99,73 dari kasus terletak dalam daerah tiga simpangan baku sekitar

rata-rata, yaitu antara µ - 3σ dan µ + 3σ

Contoh 2.5.8

Sebuah perusahaan alat listrik memproduksi bohlam yang umurnya menyebar normal

dengan rata-rata 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitung peluang sebuah bohlam

hasil produksinya akan mencapai umur 778 dan 834 jam.

Penyelesaian :

Diketahui µ = 800 dan σ = 40 sehingga :

z1 = 40

800778− = -0,55, z2 =

40

800834− = 0,85

P(778<X<834) = P(-0,50<Z<0,85) berdasarkan tabel untuk distribusi normal maka

luas daerah yang perlu adalah 0,2008 + 0,3023 = 0,5111

Contoh 2.5.9

Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm dan simpangan bakunya 4,1

cm.

a) Berapa % banyaknya anjing pudel tersebut tingginya melebihi 35 cm ?

b) Berapa % banyak anjing pudel tersebut tingginya kurang dari 35 cm ?

Penyelesaian :

z = 1,4

3035− = 1,22

a. P(x > 35) = P(z > 1,22)

Dengan demikian luas daerah yang perlu adalah 0,5 – 0,3888 = 0,1112

Jadi persentase banyaknya anjing pudel yang tingginya melebihi 35 cm adalah 11,12

%.

b. P(x < 35) = P(z < 35)

(Silakan dicoba sendiri)

Hubungan antara distribusi Binomial dan Normal

Jika n jumlahnya besar dan p ataupun q tidak terlalu dekat ke nol, distribusi binomial

dapat diaproksimasi oleh suatu distribusi normal dengan transformasi

z = npq

npx −

Penyelesaian yang perlu dilakukan adalah dengan jalan menambah atau mengurangi

dengan 0,5.

Contoh 2.5.10

Sebuah ujian terdiri atas 200 pilihan berganda, masing-masing dengan 4

kemungkinan jawaban tetapi hanya 1 yang benar, seseorang yang menjawab secara

acak 80 diantara 200 soal yang sama sekali tidak diketahuinya. Berapa peluang :

a. Mendapatkan dari 25 sampai 30 jawaban yang benar

b. Mendapatkan lebih dari 30 jawaban yang benar

c. Mendapatkan kurang dari 18 jawaban yang benar

Penyelesaian :

a. Peluang jawab benar = p = ¼ ; q = ¾

µ = np = 80. ¼ = 20

σ = npq = 43.4

1.80 = 3.87

luas daerah antara x1 = 25 – 0,5 = 24,5 dan x2 = 30 + 0,5 = 30,5

sehingga

z1 = 87,3

205,24 − = 1,16

z2 = 87,3

205,30 − = 2,71

Luas daerah yang perlu adalah 0,4966 – 0,3770 = 0,1196

Jadi peluang mendapatkan jawaban benar antara 25 sampai 30 adalah 0,1196

b. Silakan coba

c. Silakan coba

2.5.5 Distribusi Student

Distribusi student atau distribusi t mempunyai fungsi densitas

f(t) = n2

12

1n

t1

k

−+

Dimana -~ < t < ~ dan k suatu bilangan tetap. Bila −x dan s masing-masing adalah

rata-rata dan simpangan baku suatu sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu

populasi normal dengan µ dan σ, maka :

t =

nsµx−

−

Merupakan sebuah nilai variabel acak T yang mempunyai distribusi t dengan derajat

kebebasan, ν = dk = n – 1

Harga tp yang dicari dengan p sudah diberikan.

2.5.6 Distribusi Chi Kuadrat

Fungsi densitas

F(u) = K.U1/2 v – 1 e-1/2 U

dengan : u = χ2 , u>0

ν = dk = derajat kebebasan n – 1

K = bilangan tetap

e = 2,7183

Grafik dari distribusi Chi Kuadrat adalah miring ke kanan