BAB IVLINGKARAN

DEFINISILingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu disebut dengan pusat lingkaran dan jarak sama disebut jari-jari.

A. Persamaan lingkaran1. Lingkaran dengan pusat O(0,0)

y

P(x,y) r

x O

Titik P(x,y) terletak pada lingkaranmaka:

OP = r = r

x2 + y2 = r2

Sihingga diperoleh:

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-jari = r adalah x2 + y2 = r2

Contoh 1:Tentukan persamaan lingkaran yang titik pusatnya di O(0,0)dan berjari-jari = 4

Jawab:Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2

r = 4 maka diperoleh x2 + y2 = 42 atau x2 + y2 = 16

Contoh 2:Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya adalah suatu garis yang menghubungkan titik (3,4) dan (-3,-4)

Jawab:

Pusat = (0,0)

Jari-jari = = = 5Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 = 25

2. Lingkaran dengan pusat Py

Misalnya titik Q(x,y) terletak pada lingkaran yang titik pusatnya P , maka:PQ =

r2 =

Sihingga diperoleh:

Persamaan lingkaran dengan pusat P dan berjari-jari = r adalah = r2

Contoh 3:Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-5) dan berjari-jari 6

Jawab:= 62

= 36

x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 36x2 + y2 – 4x + 10y – 7 = 0

UJI KOMPETENSI 1

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari:a. 5b. c. 3

Jawab:

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik:a. (-5, 12)b. (-8, -6)c. (7, 4)

Jawab:

3. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik P jika diketahui:a. PB = 3 PA dengan A (9,1) dan B(1,1) b. PA = 2 PB dengan A(0,4) dan B(0,1)

Jawab:

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran = r2 yaitu lingkaran yang berpusat dititik Pdan berjari-jari = r dapat dijabarkan sebagai berikut:

= r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Jika -2a = A a = A a2 = A2

-2b = B b = B b2 = B2

C = A2 + B2 – r2 r =

maka persamaan terakhir menjadi:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Sihingga diperoleh:

Persamaan bentuk umum lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0

pusat P( A, B) dan berjari-jari r =

Contoh :

Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 2y + 1 = 0

Jawab:

P(3, -1)

r = = = 3

UJI KOMPETENSI 2

Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran: 1. x2 + y2 – 4x + 6y – 23 = 02. x2 + y2 – 2x – 4 y – 9 = 03. x2 + y2 + 8x + y + 1 = 04. 2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 05. 5x2 + 5y2 – 20x – 30y + 15 = 06. 3x2 + 3y2 – 4x + 6y –12 = 0

Jawab:

B. Letak suatu titik terhadap lingkaran

Posisi suatu titik T(p,q) terhadap lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 sebagai berikut:

1. Jika T(p,q) diluar lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka p2 + q2 + Ap + Bq + C > 0

2. Jika T(p,q) pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka p2 + q2 + Ap + Bq + C = 0

3. Jika T(p,q) didalam lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka p2 + q2 + Ap + Bq + C < 0

Contoh:

Terhadap lingkaran x2 + y2 – 2x + 6y – 6 = 0, selidiki posisi titik berikut:a. (1, 2) b. (1, 1) c. (0,-3)

Jawab:a. (1, 2) (1)2 + (2)2 – 2(1) + 6(2) – 6 = 1 + 4 – 2 + 12 – 6 = 9 > 0

jadi titik (1,2) terletak diluar lingkaran

b. (1, 1) (1)2 + (1)2 – 2(1) + 6(1) – 6 = 1 + 1 – 2 + 6 – 6 = 0jadi titik (1,1) terletak pada lingkaran

c. (0, -3) (0)2 + (-3)2 – 2(0) + 6(-3) – 6 = 0 + 9 – 0 – 18 – 6 = - 15 < 0jadi titik (0, -3) terletak didalam lingkaran

UJI KOMPETENSI 3

1. Terhadap lingkaran x2 + y2 – 12 = 0, selidiki posisi titik berikut:a. (1, 2) b. (3, -4) c. (2, )

Jawab:

2. Terhadap lingkaran x2 + y2 + x + 7y – 10 = 0, selidiki posisi titik berikut:a. (2, -1) b. (1, 1) c. (-5,-1)

Jawab:

C. Garis singgung lingkaran

1. Garis singgung yang melalui titik pada lingkaran Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah

x1x + y1y = r2

Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran = r2 adalah = r2

Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 + Ax +

By + C = 0 adalah x1x + y1y + + C = 0

Contoh 1:Persamaan garis singgung melalui titik (3, 4) pada lingkaran = 26

Jawab:(3 – 2)(x – 2) + (4 + 1)(y + 1) = 26

x – 2 + 3y + 3 – 26 = 0 x + 3y – 25 = 0

Contoh 2:Persamaan garis singgung melalui titik (1, -2) pada lingkaran x2 + y2 + 6x – 10y - 31 = 0

Jawab:

(1)x + (-2)y + (x + 1) + (y – 2) – 31 = 0

x – 2y + 3x + 3 + 5y – 10 – 31 = 0 4x + 2y – 38 = 0 2x + y – 19 = 0

UJI KOMPETENSI 4Tentukan persamaan garis singgung lingkaran :1. x2 + y2 = 18 melalui titik (3, 3)

Jawab:

2 x2 + y2 – 20 = 0 melalui titik (2, -4)Jawab:

3. = 4 melalui titik (0, -1)Jawab:

4. = 2 melalui titik (-3, 2)Jawab:

5. x2 + y2 – 4x – 12y + 15 = 0 melalui titik (-1, 2)Jawab:

6. x2 + y2 + 6x – 2y + 2 = 0 melalui titik (-5, -1)Jawab:

2. Garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 yang gradiennya m adalah

Persamaan garis singgung lingkaran = r2 yang gradiennya m

adalah

Contoh:Tentukan persamaan garis singgung lingkaran = 4 yang

gradiennya

Jawab:

atau

UJI KOMPETENSI 5

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16 jika diketahui:a. gradiennya = 2b. sejajar garis 3x + y = 5c. tegak lurus garis x – y + 4 = 0

Jawab :

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran = 9 jika diketahui:a. gradiennya = - 3 b. sejajar garis 2x – 6y = 1c. tegak lurus garis 3x – y + 2 = 0

Jawab :

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 - 2x + 2y - 23 = 0jika diketahui:a. gradiennya = 5 b. sejajar garis x – 5y = 1c. tegak lurus garis x – y + 2 = 0

Jawab :

EVALUASI KOMPETENSI

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!1. Persamaan tempat kedudukan titik P(x, y) sedemikian sehingga jarak K ke titik

A(0,16) sama dengan 4 kali jaraknya terhadap titik B(0,1) adalah … .a. x2 + y2 = 4 d. x2 + y2 = 25b. x2 + y2 = 9 e. x2 + y2 = 36c. x2 + y2 = 16

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan melalui titik (3, 7) adalah … .a. x2 + y2 = 9 d. x2 + y2 = 58b. x2 + y2 = 16 e. x2 + y2 = 100c. x2 + y2 = 49

3. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari 5 adalah … .a. = 5 d. = 25b = 25 e. = 25c = 5

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan melalui titik (4,5) adalah … .a. x2 + y2 + 4x - 6y - 55 = 0 d. x2 + y2 - 4x + 6y - 68 = 0b. x2 + y2 + 4x - 6y - 68 = 0 e. x2 + y2 - 4x + 6y - 86 = 0c. x2 + y2 - 4x + 6y - 55 = 0

5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-3,5) dan menyinggung sumbu y adalah … .a. x2 + y2 – 6x + 10y + 9 = 0 d. x2 + y2 + 6x – 10y + 25 = 0

b. x2 + y2 – 6x + 10y + 25 = 0 e. x2 + y2 + 6x – 10y + 34 = 0

c. x2 + y2 + 6x – 10y + 9 = 0

6. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3,4) dan menyinggung sumbu x adalah … .a. x2 + y2 – 6x – 8y – 9 = 0 d. x2 + y2 + 6x + 8y + 9 = 0b. x2 + y2 - 6x – 8y + 9 = 0 e. x2 + y2 - 3x - 4y + 9 = 0c. x2 + y2 + 6x + 8y – 9 = 0

7. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-3,2) dan menyinggung garis x = 1 adalah … .a. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0 d. x2 + y2 + 6x – 4y + 3 = 0b. x2 + y2 + 6x – 4y – 4 = 0 e. x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0c. x2 + y2 + 6x – 4y – 9 = 0

8. Gambar diameter suatu lingkaran , melalui titik (-2,3) dan (4,-5) . Jika kita menggambar lingkaran yang berdiamater tersebut, maka persamaan gambar lingkaran yang diperoleh adalah …a. x2 + y2 – 2x – 2y – 23 = 0 d. x2 + y2 + 2x + 2y + 23 = 0b. x2 + y2 - 2x – 2y + 23 = 0 e. x2 + y2 - 2x + 2y - 23 = 0c. x2 + y2 + 2x + 2y – 23 = 0

9. Diketahui persamaan lingkaran . Lingkaran tersebut memiliki titik pusat lingkaran di titik ...a. (3,-6) d. (-3,-6)b. (3,6) e. (6,-12)c. (-3,6)

10 Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0 di titik (1,-2) adalah ... a. x = 2 d. y = -1 b. x = 1 e. y = -2 c. y = 0