BAB VII

KURVA NORMAL

Kurva Normal adalah kurva yang memiliki nilai sedang lebih banyak daripada nilai

yang kurang atau nilai yang lebih. Suatu alat statistik yang sangat penting untuk

menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Suatu data membentuk

distribusi normal bila jumlah data di atas dan di bawah mean adalah sama. Kurva normal

bukan hanya satu kurva, melainkan mempunyai sejumlah kurva yang tidak terbatas yang

mungkin dapat dibuat, dan semua itu dideskripsikan dengan suatu persamaan aljabar

berikut.

Secara umum, pemahaman atas persamaan aljabar ini tidak menjadi kebutuhan

atau diperlukan untuk mengapresiasi dan menggunakan kurva normal. Namun

demikian persamaan ini perlu dijelaskan untuk memahami bagaimana konsep dan

aplikasi suatu kurva normal.

Pertama, penggunaan simbol-simbol dalam persamaan ini dimaksudkan untuk

menyederhanakan proses perhitungan. Simbol-simbol itu termasuk “2". “p”, dan “e”.

Lambang “e” untuk menunjukkan adanya perhitungan dengan bilangan irasional atau

untuk menunjukkan batasan yang sangat panjang. Hal ini dimungkinakn untuk

menunjukkan “sejumlah keunikan”, dalam kasus “e” ini, yang menunjukkan

“kekuatan khusus”

Kedua, adanya sekumpulan simbol yang menjadi kepedulian termasuk simbol

“X”, yaitu melambangkan variabel responden untuk suatu skor nilai. Tinggi dari suatu

kurva pada satu titik merupakan fungsi dari X (fx).

Ketiga, dua simbol terakhir dalam persamaan adalah “mu (μ) lambang dari rata-

rata ” dan “sigma (σ) lambang dari stadar deviasi” kedua lambang ini disebut dengan

parameter atau nilai-nilai. Kedua parameter ini memberikan kemungkinan pembuatan

kurva normal menjadi tidak terbatas, yaitu dengan menghubungkan kedua parameter

Page 78

ini. Dalam hal ini konsep parameter menjadi sangat penting dan perlu diperhatikan

secara sungguh-sungguh.

Kurva normal memiliki 2 unsur: yaitu rata-rata populasi (lambang: miu) dan

variansi (lambang: sigma kuadrat). Dua hal itu lah yang bakal mempengaruhi bentuk

dari kurva normal (luas dan tingginya).Sebelumnya perlu ditekankan bahwa kurva

normal ini dimaksudkan untuk mengetahui sebaran data, apakah sesuai dengan kurva

ini atau tidak. Kalo misalnya ada data yang ga sesuai, bukan berarti untuk dibuang),

tapi berarti kalo misal ada yang ga sesuai, kita harus memakai analisis yang non

parametrik. Jadi ini bener-bener cuma ngaruh ke analisa lanjutan aja. Kurva normal

ini bisa didapatkan dari 2 hal: dari hasil penelitian empirik atau dari grafik poligon

yang dihaluskan.Tapi, pada prakteknya, ga ada distribusi data yang "senormal kurva

normal". Tapi biasanya cuma mendekati dengan kurva normal.

Dimana μ adalah rata-rata, σ adalah standar deviasi dan π = 3,14159… Contoh

grafik fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal digambarkan dalam

Gambar 1.

Gambar 1. Grafik fungsi probabilitas distribusi normal

Grafik fungsi distribusi normal tersebut di atas membentang dari minus tak

hingga hingga tak hingga. Hanya saja, semakin jauh dengan rata-rata (M1), nilai

probabilitas akan semakin mendekati nol.

Contoh soal 1:

Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun

didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ =

45 mg %. Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

Page 79

a. < 200 mg %

b. > 250 mg %

c. antara 200 –275 mg %

Jawab :

Untuk menghitung nilai probabiltas dari pertanyaan di atas, kita gunakan rumus

fungsi probabilitas distribusi normal. Karena nilai probabilitas yang dibutuhkan

adalah pada rentang nilai x tertentu, maka kita harus menggunakan integral untuk

menghitungnya.

a. P (<200 mg) = ∫−∞

2001

σ √2πe−

(x−μ)2

2σ2

dx

b. P (> 250 mg) = ∫250

∞1

σ √2πe−

( x−μ )2

2 σ2

dx

c. P(200< x <275) = ∫200

2751

σ √2πe−

( x−μ )2

2 σ2

dx

Untuk mengatasi permasalahan di atas, terdapat cara lain untuk menghitung nilai

peluang distribusi normal. Untuk menentukan nilai peluang pada soal di atas, kita

pelajari dulu cara menghitung nilai Z dan membaca tabel luas kurva normal. Nilai Z

didapat dengan rumus berikut:

Sedangkan tabel luas kurva normal adalah tabel yang memuat luas kurva normal

dari titik minus tak hingga sampai titik x. Tabel luas kurva normal ini sangat

bermanfaat untuk menghitung soal-soal seperti contoh soal 1b. Hanya saja, tabel

kurva normal ini disusun berdasarkan nilai Z. Sehingga kita harus menghitung nilai Z

terlebih dahulu

Z= x−μσ

Page 80

Tabel luas kurva normal untuk distribusi normal ditunjukkan dalam Tabel 1a dan 1b.

Tabel 1a. Nilai luas kurva normal untuk nilai Z < 0 (negatif)

Tabel 1a. Nilai luas kurva normal untuk nilai Z > 0 (positif)

Penyelesaian contoh soal 1 dengan menggunakan tabel kurva normal.

Dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan -

rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %.

Hitunglah peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya:

a. > 250 mg %

b. < 200 mg %

c. antara 200 –275 mg %

Page 81

Jawab :

μ = 215

σ = 45

Untuk memudahkan pengerjaan, kita kerjaan contoh soal 1.b terlebih dahulu.

b. P(x < 200)

Z=200−μσ

Z=200−21545

Z=−0 . 67

Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = -0,67, luasnya adalah 0.2514.

Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 200 mg

% adalah 0.2514.

a. P(x > 250)

Untuk menghitung soal 1a, kita cari dulu peluang menemukan laki-laki dengan

kadar gula kurang dari 250 mg atau P (x <250 )

Z=250−21545

Z=0 .78

Berdasarkan tabel kurva normal, untuk nilai Z = 0.78, luasnya adalah 0.7794.

Sehingga peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula kurang dari 250 mg

% , P (x < 250) adalah 0.7794. Peluang untuk menemukan laki-laki dengan kadar gula

lebih dari 250 mg % , atau P (x > 250) dapat dilakukan dengan cara berikut :

P ( x > 250) = 1 - P ( x < 250 )

= 1 - 0.7794

Page 82

= 0.2206

Keluarga Distribusi

Kurva normal merupakan salah satu bentuk (anggota keluarga) dari sekian

banyak (tidak terbatas) pola distribusi. Model setiap anggota keluarga ditentukan oleh

seperangkat parameter (μ dan σ) dengan nilai (perhitungan) khusus. Sebab parameter

σ dapat ditempatkan pada suatu nilai, posisitf atau negatif, dan parameter μ

mempunyai nilai posisitf, hubungan dari kedua parameter ini membuat keluarga kurva

normal menjadi luas sekali yang mempunyai anggota anggota tidak terbatas. Atas

dasar itu, kurva normal diusulkan menjadi suatu model umum, karena asumsi kurva

normal mampu menjelaskan sejumlah besar fenomena yang terjadi secara alami,

mulai dari skor tes sampai ke fenomena bintang-bintang di langit.

Kesamaan Anggota Keluarga Kurva Norma

Anggota keluarga kurva normal sangat bervariasi mempunyai perbedaan, akan

tetapi mempunyai sejumlah sifat-sifat umum yang sama, sifat-sifat umum ini disebut

juga dengan kesamaan anggota keluarga kurva normal. Kesamaan (sifat-sifat umum

ini) mencakup: bentuk simetri, mendekat ke ujung tetapi tidak pernah bersentuhan

dengan sumbu X (asimtot), dan mempunyai wilayah di bawah kurva.

Dalam hal bentuk, semua anggota keluarga kurva normal mempunyai kesamaan yaitu

berbentuk “lonceng”, kemudian sumbu X mempunyai kesamaan skala yang tepat.

Sebagian besar wilayah di bawah kurva berada di sekitar titik tengan atau rata-rata.

Ujung garis distribusi mendekat ke sumbu X tetapi tidak pernah menyentuh, dan luas

wilayah di bawah kurvanya sangat kecil

Kesamaan dalam hal simetris, semua anggota keluarga kurva normal berada pada

dua sisi sejajar dan simetris. Artinya, jika satu kurva normal digambarkan pada

permukaan kertas dua dimensi, maka jika kertas itu dilipat pada garis tengahnya (garis

rata-rata) maka kedua sisi kurva normal itu harus tepat sama. Keadaan simetris ini

juga tergambar dalam struktur tubuh manusia, secara umum dalam posisi sejajar atau

mendekati simetris antara sisi kiri dan kanan. Begitu juga dalam perkembangan

kehidupan manusia baik individual maupun sosial.

Page 83

Semua keluarga kurva normal mempunyai ekor mendekati sumbu X, tetapi tidak

pernah menyentuhnya. Implikasinya, dibagian manapun suatu titik yang berada pada

kurva (arah positif atau negatif) tetap saja mempunyai wilayah yang berada di bawah

kurva normal. Oleh karena itu, gambar dari satu kurva normal harus mempunyai

panjang garis yang tidak berhingga. Sehingga untuk mengeahui luas wilayah yang

berada di bawah kurva normal harus dilihat dari suatu rentang yang dibatasi oleh

sejumlah garis, hanya sebagaian kecil dari segmen garis yang digambarkan untuk

kurva normal khusus.

Semua anggota keluarga kurva normal mempunyai total wilayah di bawah kurva

sama dengan satu (1.00) , seperti yang terjadi pada model-model kemungkinan atau

distribusi frekuensi. Sifat ini, menjadi tambahan pada sifat simetri, implikasinya

bahwa wilayah pada setiap setengah dari distribusi adalah 0,50 atau setengah.

Ciri-Ciri Kurva Normal

1. Bentuk Kurva Normal

Bentuk kurva normal menyerupai bentuk genta (bel). Kurva normal merupakan

suatu poligon yang dilicinkan yang mana ordinatnya memuat frekuensi dan absisnya

memuat nilai variabel. Bentuk kurva normal adalah simetris, sehingga luas rata-rata

(mean) ke kanan dan ke kiri masing-masing mendekati 50 %. Memiliki satu modus,

jadi kurva unimodal

2. Daerah Kurva Normal

Ruangan yang dibatasi daerah kurva dengan absisnya disebutdaerah kurva

normal. Luas daerah kurva normal biasa dinyatakan dalam persen atau proporsi.

Dengan kata lain luas daerah kurva normal adalah seratus per sen, apabila dinyatakan

dalam persen,dan apabila dinyatakan dengan proporsi, luas daerah kurva

normaladalah satu.

Page 84

Kurva Normal Standart (Kurva Normal Baku)

Kurva normal standar atau kurva normal baku adalah kurva normalyang mana

nilai rata-ratanya sama dengan nol (m = 0 ) dan simpangan bakunya adalah 1 (s = 0 ).

Dalam kurva normal umum nilai rata-rata sama dengan x dan nilai simpangan baku

1s, 2s, 3s. dengan kata lain dalam kurva normal umum nilai rata-ratanya tidak sama

dengan nol (m ¹ 0) dan nilai simpangan bakunya tidak sama dengan 1 (s ¹ 1).

Nilai kurve normal adalah 100%

Z score adalah nilai standar dari nilai tak terhingga

Z score = x−MSD

=xSD

Contoh soal

Hasil penelitian terhadap 100 orang siswa diperoleh sebagai berikut, rata-rata 15,

standar deviasi 7. Berapakah siswa yang dapat nilai 17 ke atas?

Z-score = x−MSD

= 17−15

7 =

27

= 0,28 berdasarkan tabel 11,03%

Bentuk kurva normal tergantung pada distribusi nilai/ skor yang akan dibuat

kurvanya. Penyebaran skor dan panjang pendeknya rentangan distribusinya

berpengaruh besar atau menentukan bentuk kurvanya. Jika jumlah responden sama,

rentangan nilainya tidak sama,sedangkan simpangan bakunya tidak sama, maka kurva

normal dari distribusi nilai tersebut akan berbeda bentuknya.

Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaan rentangan nilai dan

simpangan baku ada 3 macam:

Page 85

1. leptokurtic, merupakan bentuk kurva normal yang meruncing tinggikarrena

pengumpulan nilai pada nilai sekitar niai rata-rata sangat banyak.

2. platykurtic, merupakan bentuk kurva normal yang endatar rendah karena perbedaan

frekuensi pada skor-skor yamg mendekati rata-rata sangat kecil.

3. normal, merupakan bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan

bentuk antara leptorkutic dan platykurtic, karena penyebaran nilai biasa dan tidak

terjadi kejutan-kejutanyang berarti

Kurva Normal Standart (Kurva Normal Baku)

Distribusi Normal

Page 86

Data populasi akan berdistribusi normal jika rata-rata nilainya sama dengan

modenya serta sama dengan mediannya. Ini berarti bahwa sebagian nilai mengumpul

pada posisi tengah, sedangkan frekuensi skor yang rendah dan yang tinggi

menunujukkan kondisi yang semakin sedikit dan seimbang. Oleh karena penurunan

frekuensi pada nilai yang semakin rendah dan nilai yang semakin tinggi adalah

seimbang, maka penurunan garis kurva ke kanan dan ke kiri akan seimbang.

Kurva normal mempunyai hubungan erat dengan data yang kontinue (interval

maupun ratio). Distribusi yang normal kurvanya merupakan distribusi yang paling

banyak dijumpai dan digunakan sebagai pengembangan rumus-rumus statistik

parametric (inferensial statistik). Disamping itu sifat normal ini yang paling banyak

ditunjukkan oleh sifat populasi.

Distribusi normal mempunyai sifat-sifat yang khusus yaitu:

1. Bentuknya simetri dengan sumbu X

2. Nilai rata-rata = mode = median

3. Mode hanya satu (unimodal)

4. Ujung-ujung grafiknya hanya mendekati sumbu X atau dengan kata lain tidak akan

bersinggungan maupun berpotongan dengan sumbu X.

5. Kurva akan landai jika rentangan nilai besar, sebaliknya jika rentangan skor kecil

maka kurvanya akan meninggi.

6. Luas daerah kurva akan sama dengan luas satu persegi empat.

Page 87

Dibawah ini adalah contoh:

Persamaan di atas dapat membuat para pelajar menjadi panik dan/atau

mengalami kesulitan untuk memahami konsep kurva normal. Secara umum,

pemahaman atas persamaan aljabar ini tidak menjadi kebutuhan atau diperlukan untuk

mengapresiasi dan menggunakan kurva normal. Namun demikian persamaan ini perlu

dijelaskan untuk memahami bagaimana konsep dan aplikasi suatu kurva normal.

Pertama, penggunaan simbol-simbol dalam persamaan ini dimaksudkan untuk

menyederhanakan proses perhitungan. Simbol-simbol itu termasuk “2". “p”, dan “e”.

Lambang “e” untuk menunjukkan adanya perhitungan dengan bilangan irasional atau

untuk menunjukkan batasan yang sangat panjang. Hal ini dimungkinakn untuk

menunjukkan “sejumlah keunikan”, dalam kasus “e” ini, yang menunjukkan

“kekuatan khusus” Kedua, adanya sekumpulan simbol yang menjadi kepedulian

termasuk simbol “X”, yaitu melambangkan variabel responden untuk suatu skor nilai.

Tinggi dari suatu kurva pada satu titik merupakan fungsi dari X (fx). Ketiga, dua

simbol terakhir dalam persamaan adalah “mu (μ) lambang dari rata-rata ” dan “sigma

(σ) lambang dari stadar deviasi” kedua lambang ini disebut dengan parameter atau

nilai-nilai.Kedua parameter ini memberikan kemungkinan pembuatan kurva normal

menjadi tidak terbatas, yaitu dengan menghubungkan kedua parameter ini. Dalam hal

ini konsep parameter menjadi sangat penting dan perlu diperhatikan secara sungguh-

sungguh.

Page 88