BAB 6PEMBEZAAN DAN

PENGAMIRAN BERANGKA

PEMBEZAAN BERANGKATERBITAN PERTAMATERBITAN KEDUA

PENGAMIRAN BERANGKAPETUA TRAPEZIUMPETUA SIMPSONKAMIRAN ROMBERGKUADRATUR GAUSS

PEMBEZAAN BERANGKA Tujuan Penggunaan:

mendptkan terbitan: bg fungsi f(x) yg agak sukar fungsi f(x) tidak diketahui dan hanya di beri maklumatnya dlm bentuk jadual

(set data) Jenis Pembezaan:

Terbitan Pertama Terbitan Kedua

Jenis Kaedah yg digunakan: Terbitan Pertama

Rumus Beza Depan,Beza Belakang (n=2,n=3,n=5) Rumus Beza Tengah (n=3,n=5)

Terbitan Kedua Rumus Beza Tengah (n=3,n=5)

TERBITAN PERTAMA n=2

Rumus Beza Depan

Rumus Beza Belakangh

xfhxf

xx

xfxfxf ii

ii

iii

)()()()()(

1

1

h

hxfxf

xx

xfxfxf ii

ii

iii

)()()()()(

1

1

contohi 0 1 2 3x 0.5 1.0 1.5 2.0f 0.25 1.0 2.25 4.0

Dapatkan f’(1.0) dgn h = 0.5 menggunakan rumus beza depan 2 titik dan beza belakang 2 titik.

Penyelesaian :Rumus beza depan 2 titik

f’(x) = f(x+h) – f(x) f’(1.0) = f(1.5) – f(1.0) h 0.5

f’(1.0) = 2.25 – 1.00.5

= 2.5Rumus beza belakang 2 titikf’(x) = f(x) – f(x-h) f’(1.0) = f(1.0) – f(0.5)

h 0.5f’(1.0) = 1.0 – 0.25

0.5 = 1.5

TERBITAN PERTAMA

n=3 Rumus Beza Depan

Rumus Beza Belakang

Rumus Beza Tengah

)2()(4)(32

1)( hxfhxfxf

hxf iiii

)(3)(4)2(2

1)( iiii xfhxfhxf

hxf

h

hxfhxfxf ii

i 2

)()()(

contohi 0 1 2 3 4x 0 0.5 1.0 1.5 2.0f 0 0.25 1.0 2.25 4.0

Dapatkan f’(1.0) dgn h = 0.5 menggunakan rumus beza depan 3 titik dan beza belakang 3 titik.

Penyelesaian :Rumus beza depan 3 titik

f’(x) = 1 [-3f(x)+4f(x+h)- f(x+2h) 2h

f’(1.0) = 1 (-3(1.0) +4(2.25) – 4.0 2(0.5)

= 2.0Rumus beza belakang 2 titikf’(x) = 1 [3f(x)- 4f(x-h)+ f(x-2h)

2hf’(1.0) = 1 (3(1.0) -4(0.25) + 0.0)

2(0.5) = 2.0

TERBITAN PERTAMA

n=5 Rumus Beza Tengah

Rumus Beza Depan

)2()(8)(8)2(12

1)( hxfhxfhxfhxf

hxf iiiii

)4(3)3(16)2(36)(48)(2512

1)( hxfhxfhxfhxfxf

hxf iiiiii

TERBITAN KEDUA

n=3 Rumus Beza Tengah

n=5 Rumus Beza Tengah

)()(2)(1

)(2

hxfxfhxfh

xf iiii

)2()(16)(30)(16)2(12

1)(

2hxfhxfxfhxfhxf

hxf iiiiii

contoh

Diberi f(x) = x3, dapatkan f’(2.0) dengan h = 0.1 menggunakan rumus beza depan 2 titik & 3 titik

Penyelesaian:Buat jadual sendiri utk nilai x yg berkaitan. I 0 1 2X 2.0 2.1 2.2F

PENGAMIRAN BERANGKA (KUADRATUR)

Pengamiran tentu f(x) berbentuk Tujuan:

mendptkan kamiran: bg fungsi kamiran f(x) yg agak sukar fungsi kamiran f(x) tidak diketahui dan

hanya di beri maklumatnya dlm bentuk jadual (set data)

b

a

dxxf )(

b

a

dxxf )(

Jika f(x) adalah fungsi selanjar pd selang [a,b] maka kamiran tentu mewakili luas di bawah graf y=f(x) yg dibatasi oleh paksi x, garis x=a dan garis x=b

y=f(x)

a b

Kaedah yg akan dibincangkan merupakan kaedah utk menganggarkan luas tersebut sbg penghampiran kpd

kaedah yg selalu digunakan ialah: Kaedah Newton-Cotes. Terdiri drpd:

Petua Trapezium Petua Simpson

Kamiran Romberg Kuadratur Gaussan

b

a

dxxf )(

Jika dlm kaedah interpolasi, f(x) dpt dihampiri dgn polinomial penghampiran Pn(x), maka dgn pengamiran tentu:

dpt dihampiri olhutk sebarang sub selang di dlm

selang [a,b] Penghampiran ini menjadi hampir

tepat jika ralat e=[f(x)-pn(x)] di dlm selang (xk,xk+1) cukup kecil

b

a

n

b

a

dxxpdxxf )()(

b

a

n dxxp )(

nxxx 0

PETUA TRAPEZIUM

Rumus Petua Trapezium

abhbfafh

dxxfb

a

,)()(2

)(

y=f(x)

a b

PETUA TRAPEZIUM

Menggunakan penghampiran polinomial interpolasi linear p1(x) atau garis lurus terhadap fungsi f(x) yg hendak dikamirkan

Rumus Petua Trapezium gubahan dgn n sub selang )...(2)(

2)( 1210 nn

b

a

fffffh

dxxf

y=f(x)

a b

contoh

Nilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=4. Gunakan petua trapezium

2

1

Penyelesaian:N=4, a=1, b= 2 N=(b-a)/h h = (b-a)/N

h = (2-1)/4 h = 0.25

Bina jadual bagi nilai yang diperlukank 0 1 2 3 4x 1 1.25 1.5 1.75 2f(x) 2 2.9531 4.375 6.3594 9

Gunakan rumus trapezium bg n sub-selang

h[f0 +f4 + 2(f1+f2+f3)]2= 0.25 [2+ 9 + 2(2.9531+ 4.375 +6.3594) 2= 4.7969

PETUA SIMPSON Ia menggunakan penghampiran

interpolasi kuadratik P2(x) (atau parabola) terhadap fungsi f(x) yg hendak dikamirkan

Rumus Petua Simpson

Rumus Petua Gubahan Simpson Ada 2 jenis:

Gubahan satu-pertiga Gubahan tiga-perlapan

2

,)()(4)(3

)(ab

hbfhafafh

dxxfb

a

Rumus Petua Gubahan Simpson satu-pertiga

Rumus Petua Gubahan Simpson tiga-perlapan

)..(2)...(4)(3

)( 2421310 nnn

b

a

ffffffffh

dxxf

4

1

3

1313230 2)(3)(

8

3)(

i iiiin

b

a

fffffh

dxxfN/3 (N/3)-1

contoh

Nilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=4. Gunakan petua SIMPSON 1/3

2

1

Penyelesaian:N=4, a=1, b= 2 N=(b-a)/h h = (b-a)/N

h = (2-1)/4 h = 0.25

Bina jadual bagi nilai yang diperlukank 0 1 2 3 4x 1 1.25 1.5 1.75 2f(x) 2 2.9531 4.375 6.3594 9

Gunakan rumus SIMPSON 1/3 bg 4 sub-selang

h[f0 +f3 + 4(f1)+2(f2)]3= 0.25 [2+ 9 + 4(2.9531+ 6.3594)+2(4.375)] 3= 4.75

Penyelesaian:

N=3, a=1, b= 2 N=(b-a)/h h = (b-a)/N

h = (2-1)/3= 0.333 Bina jadual bagi nilai yang diperlukan

k 0 1 2 3

x 1 1.3333 1.6667 2

f(x) 2 3.3702 5.6299 9

contohNilaikan kamiran x3 + 1.dx dengan bilangan selang,N=3. Gunakan petua SIMPSON 3/8

Gunakan rumus SIMPSON 3/8 bg 3 sub-selang

3h[f0 +f4 + 3 (f1+f2)+]8= 3(0.3333) [2+ 9 + 3(3.3702+ 5.6299)+ )] 8= 4.7496

KAMIRAN ROMBERG Berdasarkan kaedah ekstrapolasi Richardson dan

penggunaan Petua Trapezium sbg penghampiran awal

Penyelesaian adalah dgn mendapatkan nilai bagi Ri,1 dan seterusnya Ri,j

Susunan nilai yg dikira digambarkan seperti rajah berikut.

Kiraan ditamatkan apabila bagi suatu nilai yang ditetapkan dan ambil

sebagai penghampiran terbaik

1,, jiji RR

b

a

jiRdxxf ,)(

Rumus Romberg bg mendptkan Ri,1:

Rumus Romberg bg mendptkan Ri,j:

Penggunaan Kamiran Romberg tidak melibatkan kiraan yg rumit tetapi hanya menggunakan nilai sebelum utk mendapatkan nilai yg baru

nifhRRi

kkiii ,...,2,1,

2

122

11211,11,

ijdanniRR

Rj

jijij

ji ,...,3,2 ,...,3,2,14

41

1,11,1

,

y=f(x)

a b

i h R i,1 R i,2 R i,3

1 h1 R 1,1

2 h2 R 2,1

R 2,2

3 h3 R 3,1

R3,2 R 3,3

KUADRATUR GAUSSAN Rumus Newton-Cotes dan Kamiran

Romberg diperolehi berdasarkan beza antara x yang seragam.

Tetapi penghampiran pengamiran menjadi lebih tepat jika titik sampling (x) yg bersesuaian dipilih. (beza selang mungkin tidak seragam)

Justeru itu kaedah kaudaratur gaussan memenuhi penyelesaian ini.

ilustrasi

a b

f(a)f(b) f(x1)

f(x2)

a bx1x2

petua trapezium Petua gauss

Bentuk am rumus kuadratur gauss:

1

1 1

)()(n

iii xf dttf

1

1 1

)()(2

iii xf dttf = 1f(x1) + 2f(x2)

Nilai dan x bergantung kepada nilai n

Jika n = 2 ( 2 titik), rumus tersebut adalah

Ketepatan nilai hampiran bergantung kpd polinomial berdarjah paling tinggi 2n-1

Polinomial paling tinggi berdarjah 3 dpt digunakan sebagai penghampiranDgn mengambil f(t) = 1, t, t2, t3 kita perolehi

f(t) = 1

1f(x1) + 2f(x2) = f(t).dt = 1.dt = 2

1

-1

1

-1

1+ 2 = 2f(t) = t

1f(x1) + 2f(x2) = f(t).dt = t.dt = 0

1

-1

1

-1

1 x1 + 2 x2 = 0f(t) = t2

1f(x1) + 2f(x2) = f(t).dt = t2.dt = 2/3 1

-1

1

-1

1 x12

+ 2 x22 = 2/3

-1

f(t) = t3

1f(x1) + 2f(x2) = f(t).dt = t3.dt = 01 1

-1

1 x13

+ 2 x23 = 0

Diperolehi1= 2 = 1

X1 = -1/3 = -0.5774X2 = 1/3 = 0.5774

Maka rumus kuadratur Gauss 2 titik ialah

1

1

)()( -0.5774) + f(0.5774)fdttf

f(-1/3)

-1 1-1/3 -1/3

f(1/3)

0

dtab

dxdanab

tab

x

dengan

dtab

tab

fab

dxxfb

a

2

22

222)(

1

1

Perhatikan, batas dalam rumus diatas ialah [-1, 1]. Jika diberi masalah dalam sebarang batas [ a, b]. Penukaran batas perlu dilakukan dari [a, b] - ][-1, 1] seperti berikut:-

Contoh

Nilaikan ex .dx dengan menggunakan kamiran gauss 2 titik

0.3

0.1

Penyelesaian:- tukarkan batas a = 0.1, b= 0.3 x = b-a t + b+a

2 2 x = (0.2/2)t + (0.4/2) x = 0.1 t + 0.2

dx = ((b-a)/2) dt 0.1dtGantikan ke dalam persamaan

f(x) .dx 0.1 f(0.1t+0.2).dt0.3

0.1

1

-1

Guna rumus gauss 2 titik

1

)()( -0.5774) + f(0.5774)fdttf

1

0.1 f(0.1t+0.2).dt

1

1

0.1 e 0.1t+0.2 .dt

1

1

0.1[e 0.1(-0.5774)+0.2 + e 0.1(0.5774)+0.2 ]

Rumus Kuadratur Gauss 3 titik

Rumus diperolehi sama seperti sebelum ini Polinomial paling tinggi berdarjah 5 (2n-1) dpt digunakan sebagai penghampiranDgn mengambil f(t) = 1, t, t2, t3,t4, t5 kita perolehi

1

1 1

)()(3

iii xf dttf = 1f(x1) + 2f(x2) + 3f(x3)

1= 3= 5/9 = 0.5556 , 2 = 8/9= 0.8889-x1 = x3 = 3/5 = 0.7746 , x2 = 0