BAB

VI

DISTRIBUSI FUNGSI VARIABEL RANDOM Jika diketahui fungsi distribusi probabilitas variabel random, metode yang digunakan untuk memperoleh fungsi variabel random

1 2 3

Metode Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF) Metode Transformasi Metode Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

6.1 Distribusi Fungsi Variabel Random dengan Metode CDF Misal X variabel random dengan CDF . Jika kita ingin menentukan distribusi dari variabel random Y= U (x) Dengan X variabel random dan U fungsi dari variabel random X Ide metode CDF adalah =P Jika X variabel random kontinyu maka kita menggunakan integral untuk memperoleh distribusi y Sebagai ilustrasi Misal X variabel random kontinyu dengan fungsi distribusi probabilitas ,=

= =

Ini merupakan fungsi distribusi dari Y Maka fungsi distribusi probabilitas y adalah

Contoh

1

Misal X variabel random yang diambil dari populasi yang berdistribusi akan Tentukan distribusi probabilitas dari Jawab : Fungsi distribusi dari Y diberikan oleh

=P =P = = 1= 1- , 1 Fungsi distribusi probabilitas Y adalah

Latihan

1 2

Jika dan merupakan suatu sampel random berukuran 2 dari suatu berdistribusi N(0,1). Tentukan pdf dari Empat nilai , menyatakan nilai observasi dari suatu sampel random dengan ukuran n=4 dari distribusi uniform atas . Menggunakan empat nilai ini, tentukan suatu sampel random yang sesuai dari suatu distribusi yang mempunyai pdf Jika menyatakan suatu sampel random berukuran 2 dari distribusi dengan pdf Tentukan pdf bersama dari dan dimana dari Y . Tentukan distribusi dan pdf

3

4

Jika menyatakan suatu sampel random berukuran 2 dari distribusi dengan pdf Tentukan pdf bersama dari dan dimana . Tentukan distribusi dan pdf dari Y

5

Jika , menyatakan suatu sampel random berukuran 3 dari distribusi dengan pdf Tentukan pdf bersama dari dan dimana largest item dalam sampel . Tentukan distribusi dan pdf dari Y

6

Jika menyatakan suatu sampel random berukuran 2 dari distribusi dengan pdf Tentukan probabilitas bersyarat

6.2; Transformasi

Untuk memperoleh fungsi distribusi dari fungsi variabel random dengan metode transformasi baik satu-satu maupun tidak satu-satu. Misalkan Y=U(x) fungsi yang bernilai real dan merupakan transformasi satu-satu dari himpunan domain A ke himpunan range B, maka persamaan Y=U(x) mempunyai penyelesaian tunggal

6.2.1; Transformasi Satu-satuTeorema6.2.1: Kasus Deskrit Misal x variabel random deskrit dengan pdf dengan Y=U(x) merupakan transformasi satu-satu . Dkl persamaan Y=U(x) dapat diselesaikan dengan tunggal x=W(y) pdf dari y adalah dengan

Bukti:

y)= P (Y=y) = P(U(x) = y ) = Contoh

1

Jika x berdistribusi Geometri (p) Tentukan pdf dari Y=x-1 Jawab:

U(x)=x-1 X=W(y)=Y+1 ,y=0,1,2

2

Jika x berdistribusi Poisson dengan parameter Tentukan fungsi distribusi probabilitas dari Jawab: (x)=, x=0,1,2 +3 mengawankan

=y-3

3

Jika x berdistribusi Binomial (3,) Tentukan pdf dari Y= Jawab: ,x=0,1,2,3

mengawankan

ke satu-satu

mempunyai invers tunggal

, y=0,1,4,9

TEOREMA6.2.2: Kasus kontinyu Misal x variabel random kontinyu dengan fungsi distribusi probabilitas dengan invers transformasi x= W(y) . Jika derivatif kontinyu dan tidak bernilai nol pada B maka pdf dari Y adalah ,y Derivatif dari

Contoh 1 ,x>0 Tentukan pdf dari Y = Jawab: Y= Ln y = x Jacobian

=

= 2 =2

2 Jika x berdistribusi U(-1,1) Tentukan pdf dari Y=ax +b Jawab: X berdistribusi U(-1,1) , -1