BARISAN DAN DERET

ARITMATIKA

NAMA KELOMPOK: SYALOM V WATAK GABRIELA I M E WORANG

A. Barisan Aritmetika Definisi

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.a. 1, 4, 7, 10, 13, ...b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan Aritmatika c. 30, 25, 20, 15, ...

CONTOH !

a. 1, 4, 7, 10, 13, ... +3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ... +6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ... –5 –5 –5Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.

1

U = aU = U + b = a + bU = U + b = (a + b) + b = a + 2bU = U + b = (a + 2b) + b = a + 3bU = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b

. . .U = U + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalahKeterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama b = beda n = banyak suku

U = a + (n – 1)b

1

12

23

34

45

n

n

1n

Contoh 1 :Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawab:–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

U = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.

n8

20

Contoh 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,danU = 40.

Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;40 = –2 + (n – 1)340 = 3n – 53n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

n

n

B. Deret AritmetikaDefinisi

Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S . Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S , perhatikan contoh berikut :

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... + U disebut deret aritmetika, dengan U = a + (n – 1)b.

n n

nn

nn

Contoh 1 :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2S = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2S = 5 x 16

S = S = 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

5

5

5

5 5

5

2165

Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalahU = a + (n – 1)b. Oleh karena itu, U = a = a U = a + b = U – (a – 2)b U = a + 2b = U – (n – 3)b

. . . . . . . . .U = a + (n – 1)b = U

n

n12

3

n

n

n

n

Dengan demikian, diperoleh ;

S = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) + ... + U

............ (1)Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.U = U – bU = U – b = U – 2bU = U – b = U – 3b

Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan

S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U .......... (2)

n

nn n

1n

1n2n

2n3n

n

n

n

n

n n n nn

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) + ... +US = U + (U – b) + (U – 2b) + ... + a

2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) + ... + (a + U )

n sukuDengan demikian, 2S = n(a + U )

S = n(a + U )

S = n(a + (a + (n – 1)b))

S = n(2a + (n – 1)b)

n n n n

n n n n

n n n n n

n n

n

n

n

21

21

21

n

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

Keterangan:S = jumlah n suku

pertamaa = suku pertamab = bedaU = suku ke-nn = banyak suku

S = n(a + U) atau

S =n [2a + (n – 1)b]

Contoh 2:Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8

+....Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.Jawab:

100

21

Contoh 3:

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh

a = 3, b = 3, dan U = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;U = a + (n – 1)b

99 = 3 + (n – 1)3 3n = 99 n = 33Jumlah dari deret tersebut adalah

n

n

S = n (a + U )

S = x 33(3 + 99)

= 1.683Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1.683

n n21

21

33

TERIMA KASIH