Barisan dan deret kompleks

25
Kata Pengantar Segala puja dan puji kami panjatkan kehadirat Allah swt., yang telah melimpahkan petunjuk, bimbingan dan kekuatan lahir batin sehingga makalah ini dapat kami selesaikan. Shalawat dan salam senantiasa dihanturkan pada junjungan kita Nabi besar Muhammad saw., dan keluarganya. Makalah ini dibuat sebagai salah satu tugas mata kuliah analisis kompleks, makalah ini memuat materi tentang Barisan Kompleks, Deret Kompleks, Deret Taylor dan Deret Maclaurin yang diambil dari beberapa sumber. Kami telah berusaha semaksimal mungkin untuk membuat makalah ini dengan sebaik-baiknya. Namun, ibarat pepatah “tak ada gading yang tak retak”. Kami menyadari masih banyak kekurangan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi peningkatan dan penyempurnaan makalah ini. Akhirnya, semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi para mahasiswa khususnya yang mengikuti mata kuliah Analisis Kompleks. Amin. Palembang, April 2009 Penyusun 1

Transcript of Barisan dan deret kompleks

Page 1: Barisan dan deret kompleks

Kata Pengantar

Segala puja dan puji kami panjatkan kehadirat Allah swt., yang telah

melimpahkan petunjuk, bimbingan dan kekuatan lahir batin sehingga makalah ini dapat

kami selesaikan. Shalawat dan salam senantiasa dihanturkan pada junjungan kita Nabi

besar Muhammad saw., dan keluarganya.

Makalah ini dibuat sebagai salah satu tugas mata kuliah analisis kompleks,

makalah ini memuat materi tentang Barisan Kompleks, Deret Kompleks, Deret Taylor

dan Deret Maclaurin yang diambil dari beberapa sumber.

Kami telah berusaha semaksimal mungkin untuk membuat makalah ini dengan

sebaik-baiknya. Namun, ibarat pepatah “tak ada gading yang tak retak”. Kami menyadari

masih banyak kekurangan. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran demi

peningkatan dan penyempurnaan makalah ini.

Akhirnya, semoga makalah ini dapat memberikan manfaat bagi para mahasiswa

khususnya yang mengikuti mata kuliah Analisis Kompleks. Amin.

Palembang, April 2009

Penyusun

1

Page 2: Barisan dan deret kompleks

Daftar Isi

Kata Pengantar ……………………………………………………………………..1

Daftar Isi ……………………………………………………………………..2

Pembahasan :

Barisan Kompleks, Deret Kompleks, Deret Taylor dan Deret Maclaurin

1.1 Barisan Kompleks ……………………………………………………..3

1.1.1 Barisan Konvergen ……………………………………………..3

1.1.2 Barisan Divergen ……………………………………………..4

1.2 Deret Kompleks ……………………………………………………..6

1.2.1 Uji Konvergensi Deret Kompleks ……………………………..6

1.3 Deret Taylor dan Deret Maclaurin ……………………………………11

1.3.1 Deret Pangkat ……………………………………………11

1.3.2 Deret Taylor dan Deret Maclaurin ……………………………11

1.4 Latihan soal dan penyelesaiannya ……………………………………15

1.5 soal dari masing-masing kelompok …………………………………………18

Daftar Pustaka …………………………………………………………………

2

Page 3: Barisan dan deret kompleks

Barisan dan Deret Kompleks

1.1 Barisan Kompleks

Adalah bilangan kompleks yang diurutkan dengan suatu pola tertentu.

Biasanya ditulis dalam bentuk berikut :

Z1, Z2, Z3, … atau { Z1, Z2, Z3, …} atau disingkat {Zn}.

Suku Zn disebut sebagai suku umum atau suku ke- n barisan tersebut.

Dua barisan {Zn}dan {Wn}dikatakan sama jika dan hanya jika suku-suku yang

bersesuaian sama.

Zn = Wn untuk semua n = 1, 2, 3, …

1.1.1 Barisan Konvergen

Sebuah barisan {Zn} disebut Konvergen jika terdapat suatu bilangan z sehingga :

Barisan {Zn}dengan Zn = xn + i.yn untuk n = 1, 2, 3, … maka :

zn , jika dan hanya jika : dan

Contoh soal :

Tentukan barisan berikut konvergen atau tidak !

a.

12

2

n

i n

b.

Penyelesaian :

a. dengan beberapa suku pertama :

3

Page 4: Barisan dan deret kompleks

dengan

b. dengan beberapa suku pertama:

dengan

1.1.2 Barisan Divergen

Ada 2 ciri barisan kompleks disebut barisan divergen, yaitu :

1. Jika n bertambah besar maka suku-suku barisan tersebut bertambah besar nilai

mutlaknya tanpa batas atau dapat ditulis : zn

2. Jika suku-suku dari suatu barisan berosilasi diantara dua titik (atau lebih) maka

barisan tersebut tergolong divergen.

Contoh soal :

a. (2i)n

b. 4i-2n

penyelesaian :

a. (2i)n dengan beberapa suku pertama :

tampak suku ke-n makin lama makin besar seiring

dengan

bertambah besarnya nilai n. Sehingga disebut barisan divergen.

b. 4i-2n dengan beberapa suku pertama :

tampak suku ke-n makin lama makin besar seiring

dengan

bertambah besarnya nilai n. Sehingga disebut barisan divergen.

Contoh – contoh latihan soal :

Tentukanlah apakah barisan berikut konvergen atau divergen !

1. { 1n }

4

Page 5: Barisan dan deret kompleks

2.

Penyelesaian :

1. Beberapa suku pertama barisan ini :{ -1+i, 1+i, -1+i, …}

Disini tampak terjadi pengulangan suku-sukunya. Dengan kata lain, barisan ini

merupakan barisan yang berosilasi pada beberapa titik. Barisan ini bersifat

divergen.

2. Periksa dulu beberapa suku pertama

Suku 1

Suku 2 =

Suku 3 =

=

=

=

Suku 4 =

=

=

Barisan ini makin lama makin kecil dengan seiring dengan bertambah besarnya

nilai n( bersifat konvergen ).

5

Page 6: Barisan dan deret kompleks

1.2 Deret Kompleks

Deret kompleks merupakan penjumlahan suku-suku dari bilangan kompleks. Bila

barisan dinyatakan dengan pola z1, z2, z3, …, maka deret dinyatakan dengan pola :

s1 = z1;

s2 = z1 + z2 ;

s3 = z1+z2+z3 dan seterusnya

Dirumuskan menjadi :

Sn = Z1 + Z2 + Z3 + … + Zn-1 + Zn

1.2.1 Uji Konvergensi pada Deret Kompleks

Untuk menguji konvergensi suatu deret kita harus menguasai beberapa metode,

yaitu :

1. Teorema Divergensi

Jika suatu deret konvergen maka nilai Zn 0

Jika Zn 0 maka deret bersifat divergen

Contoh soal :

Penyelesaian :

Zn 0 maka deret bersifat divergen

6

Sn =

Page 7: Barisan dan deret kompleks

2. Uji Rasio

Andaikan adalah deret dengan suku-suku tak negative, dan bahwa :

Maka :

Jika < 1 deret konvergen

Jika > 1 deret divergen

Jika = 1 deret mungkin konvergen atau divergen

Contoh soal :

, selesaikan dengan uji rasio !

Penyelesaian :

=

<1 maka konvergen

3. Uji Akar

Andaikan adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan bahwa :

Maka :

1) Jika < 1 deret konvergen

2) Jika > 1 deret divergen

3) Jika = 1 deret mungkin konvergen atau divergen

7

Page 8: Barisan dan deret kompleks

Contoh soal :

Penyelesaian :

Karena <1 maka deret tersebut konvergen.

4. Uji Integral

Andaikan adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan bahwa fungsi y =

f (x) didapat dari penggantian n pada suku umum deret dengan peubah kontinu x. Untuk x

1 dan f (x) bertambah kecil maka deret akan konvergen jika dan hanya jika :

f (x)dx juga konvergen

Catatan dari kalkulus :

f (x)dx = f (x)dx

Apabila limit pada ruas kanan ada dan bernilai terhingga, maka integral tak wajar

tersebut konvergen dan memiliki nilai yang sama dengan limit tadi. Jika tidak, integral

tersebut divergen.

Contoh soal :

Penyelesaian :

Karena hasilnya , maka

5. Uji Deret Berganti Tanda

8

Page 9: Barisan dan deret kompleks

Jika diketahui suatu deret Zn , dengan Zn 0, maka :

Zn 0

Zn+1 Zn

Untuk semua n yang lebih besar dari suatu bilangan bulat M tertentu, maka deret

Zn , konvergen.

Contoh soal :

Penyelesaian :

Tampak pada bagian berubah tanda dari i, -1, -i, …

Jadi yang membuat berganti tanda adalah bagian sehingga pemeriksaan

dilakukan terhadap bagian , ternyata dan

Konvergen. Karena , maka deret itu juga konvergen.

6. Uji Pembandingan

Diketahui n adalah deret dengan suku-suku yang negatif, maka

Jika telah diketahui deret n konvergen dan ternyata Zn Kn. Untuk

semua n setelah suatu bilangan tertentu , maka n juga konvergen.

Jika telah diketahui deret n divergen dan ternyata Zn Dn. Untuk semua

n setelah suatu bilangan tertentu , maka n juga divergen.

Contoh soal :

9

Page 10: Barisan dan deret kompleks

Penyelesaian :

karena bersifat konvergen.

Contoh-contoh latihan soal :

1.

2.

Penyelesaian :

1. = =

=

=

= 0

Karena < 1, maka deret kompleks diatas konvergen.

2. Dengan uji integral untuk memeriksa konvergen atau tidak deret :

divergen.

Maka deret juga divergen.

1.3 Deret Taylor dan Deret Maclaurin

1.3.1 Deret Pangkat

Adalah deret kompleks yang memiliki bentuk pangkat dari (Z - Zo).

Bentuk umum deret pangkat :

10

Page 11: Barisan dan deret kompleks

Dimana : Z = peubah kompleks

= koefisien

Zo = titik pusat

= jari-jari konvegensi

Ada 2 cara mencari , yaitu:

1. (formula Cauchy Hadamard)

2.

Ada 3 sifat deret pangkat berdasarkan nilai

1. Jika = 0, maka deret konvergen hanya pada titik Zo dan pada titik lain divergen.

2. Jika 0 < < ,maka deret pasti konvergen mutlak untuk semua nilai Z dengan

< dan untuk semua nilai Z dengan > divergen.

3. Jika = , maka deret konvergen mutlak untuk semua nilai Z (deret tidak pernah

divergen).

1.3.2 Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Misal : analitik di < , maka titik pada

lingkaran dapat dinyatakan sebagai berikut :

= dengan , ( n = 0, 1, 2, 3, … )

Sehingga :

Deret Maclaurin adalah deret Taylor dengan pusat Zo = 0,

Sehingga :

11

Page 12: Barisan dan deret kompleks

Ada beberapa bentuk khusus dari deret Taylor :

1. Deret I ( Fungsi Eksponen )

Diketahui : = ez, cari deret Taylor dan Maclaurin serta turunannya

= ez

= ez

= ez dan seterusnya.

Sehingga deret Taylor

= ez =

Deret Maclaurin :

= ez =

2. Deret 2 ( Fungsi Rasional )

Diketahui = , turunannya adalah

= (1-Z)-1

= (1-Z)-2

= (1-Z)-3

= (1-Z)-4, dan seterusnya

maka :

Sehingga deret Taylor :

, dan

deret Maclaurin :

12

Page 13: Barisan dan deret kompleks

3. Deret 3 ( Fungsi Trigonometri )

Diketahui ,

Turunannya :

dan seterusnya.

Maka deret Maclaurin untuk adalah :

Contoh – contoh latihan soal :

1. Nyatakan fungsi dalam bentuk deret Taylor dan deret Maclaurin !

2. Tentukan jari-jari konvergensi dari deret !

Penyelesaian :

1.

Deret Taylor

13

Page 14: Barisan dan deret kompleks

Z0 = 0

Maka diperoleh deret Maclaurin

,

disederhanakan menjadi :

2. Jari-jari konvergensinya

1.4 Latihan Soal dan Penyelesaiannya

1. Tentukanlah apakah barisan berikut, apakah konvergen atau divergen !

14

Page 15: Barisan dan deret kompleks

a.

b.

2. Periksalah deret kompleks berikut, apakah konvergen atau divergen !

a.

b.

3. Tentukan jari-jari konvergensinya dari !

4. Nyatakan fungsi hz dalam bentuk deret Maclaurin!

5. Tentukan deret Maclaurin dari fungsi !

Penyelesaian :

1.a. periksa beberapa suku pertamanya :

Uji limit : , barisan ini bersifat barisan konvergen.

b. , barisan ini bersifat barisan divergen.

2. a. uji rasio:

15

Page 16: Barisan dan deret kompleks

Berarti , karena < 1 maka deret kompleks di atas konvergen.

b. uji rasio:

Perhatikan bentuk di atas. Jika maka ,

Sehingga :

, karena >1 maka deret ini divergen.

3. Dari bentuk ini, maka pusatnya zo=-1 dan maka

Jari-jari konvergensinya :

4.

16

Page 17: Barisan dan deret kompleks

...6

3

z

z

5.

Deret Taylor :

Untuk Z0 = 0

, Deret Maclaurin

Soal yang diberi oleh kelompok :

Tentukan apakah barisan ini konvergen atau divergen !

1. , ( Rolina Afriyanti )

2. , ( Elda Efriana )

3. , ( Nurvatliyanti )

4. , ( Ilham )

5. , ( Muhammat )

6. , ( Shinta Novita Sari )

Tentukan apakah deret kompleks ini konvergen atau divergen !

7. , ( Riki Afriansyah )

17

Page 18: Barisan dan deret kompleks

8. , ( Enti )

9. , ( Muawwin )

Penyelesaian :

1. = , barisan ini termasuk divergen. Karena nilai n makin

besar maka barisan ini memiliki suku ke-n yang semakin besar.

2. = , barisan ini termasuk divergen. Karena berosilasi

pada beberapa titik.

3. = , barisan ini termasuk konvergen. Karena

4. = , barisan ini termasuk divergen. Karena berosilasi

pada beberapa titik.

5. = , barisan ini termasuk konvergen. Karena

6. = , barisan ini termasuk divergen. Karena

7.

, karena <1 maka deret kompleks tersebut konvergen.

18

Page 19: Barisan dan deret kompleks

8. , berarti ,

Karena maka deret kompleks tersebut konvergen.

9. , berarti ,

Karena maka deret kompleks tersebut konvergen.

DAFTAR PUSTAKA

Edwin J.Purcel & Dale Varberg. 1994. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jakarta:

Erlangga

Hasugian, Jimmy dan Agus Prijono. 2006. Menguasai Analisis Kompleks dalam

Matematika Teknik. Bandung : Rekayasa Sains.

19