BENTUK LAIN TEOREMA VAN AUBEL PADA SEGITIGA

KARISMATIKA p-ISSN : 2443 – 0366 VOL. 4 NO. 3 DESEMBER 2018 e-ISSN : 2528 -- 0279

10

BENTUK LAIN TEOREMA VAN AUBEL PADA SEGITIGA

Wita Maywidia1, Mashadi2, Sri Gemawati3

1FMIPA Universitas Riau dan SMA Alkaromah Aidarusy, [email protected] 2FMIPA Universitas Riau, [email protected] 3FMIPA Universitas Riau, [email protected]

ABSTRACT

In general the Van Aubel Theorem is constructed from any quadrilateral. Some authors have developed in triangles. In this paper the author develops another form of Van Aubel's theorem on triangles. The proofing process is done in a very simple way that uses congruence, similarity, concurrent and colinear. The result obtained are three pairs of sides that are parallel, equal in length and intersect perpendicular. Keywords: Van Aubel’s theorem, similarity, colinear

ABSTRAK

Secara umum Teorema Van Aubel dikontruksi dari segiempat sebarang. Beberapa penulis telah mengembangkan dalam segitiga. Dalam tulisan ini penulis mengembangkan bentuk lain teorema Van Aubel pada segitiga. Proses pembuktiannya dilakukan dengan cara yang sangat sederhana yaitu menggunakan kekongruenan, kesebangunan, kekonkurenan dan kekolinearan. Hasil yang diperoleh adalah terdapat tiga pasang sisi yang sejajar, sama panjang dan berpotongan tegak lurus. Kata kunci:Teorema Van Aubel, kesebangunan, kekolinearan

1. PENDAHULUAN Teorema Van Aubel pertama kali dikemukan oleh Henri Van Aubel pada tahun 1878 [10]. Teorema Van Aubel dikontruksi dari segiempat sebarang, kemudian pada setiap sisi segiempat sebarang dibangun persegi, titik-titik potong diagonal persegi yang berlawanan dihubungkan sehingga terbentuk dua sisi sama panjang dan berpotongan tegak lurus (Gambar 1).

mailto:[email protected]




11

Gambar 1.Ilustrasi teorema Van Aubel padasegiempat

Beberapa pengembangan teorema Van Aubel pada segiempat antara lain [4, 6, 15] serta pengembangan lain juga dilakukan pada teorema Van Aubel yaitu dengan memulai kontruksi dari sebuah segitiga sebarang [1, 3]. Teorema Van Aubel pada segitiga menyatakan bahwa, jika persegi 퐴퐶퐻퐼,퐴퐷퐸퐵 dan 퐵퐹퐺퐶 dengan titik potong diagonal 퐽,퐾 dan 퐿 pada sisi 퐴퐶,퐴퐵dan 퐵퐶 pada △퐴퐵퐶maka sisi 퐽퐿 = 퐶퐾dan 퐽퐿tegak lurus 퐶퐾dinyatakan dengan 퐽퐿 ⊥ 퐶퐾, diilustrasikan pada Gambar 2.

Gambar 2. Ilustrasi teorema Van Aubel padasegitiga Berbagai konsep trigonometri aturan sinus dan kosinus dibahas dalam [2, 7, 8],

sedangkan beberapa konsep pembuktian kolinearan dan kekonkurenan terdapat pada [5, 13, 14, 16]. Kemudian pada tulisan ini untuk membuktikan bentuk lain teorema Van Aubel pada segitiga dikerjakan dengan kekongruenan, kesebangunan, kekonkurenan dan kekolinearan.


12

Pembuktian teorema Van Aubel bisa dijadikan pengayaan dalam mempelajari

materi trigonometri di sekolah menengah atas sekaligus mengasah sejauh mana peserta didik bisa memanfaatkan pengetahuan yang dimilikinya pada materi lain seperti persegi dan kesebangunan. Berdasarkan konsep teorema Van Aubel pada segitiga yaitu menemukan dua sisi yang sama panjang dan tegak lurus, maka penulis tertarik untuk menemukan bentuk lain teorema Van Aubel pada segitiga.

2. Teorema Ceva, Teorema Menelaus, Segitiga Orthologic dan Teorema Van Aubel

pada Segitiga

2.1 Teorema Ceva

Teorema 1. Jika D, E, F masing-masing adalah titik pada sisi 퐵퐶,퐶퐴 dan 퐴퐵 pada △ 퐴퐵퐶 maka garis 퐴퐷,퐵퐸 dan 퐶퐹 adalah kongkuren (bertemu disatu titik) jika dan hanya jika

퐴퐹퐹퐵

퐵퐷퐷퐶

퐶퐸퐸퐴

= 1

Gambar 3. Ilustrasi teorema Ceva pada segitiga

2.2 Teorema Menelaus

Teorema 2.Jika 퐷,퐸 dan 퐹 masing-masing terletak pada sisi 퐵퐶,퐶퐴 dan 퐴퐵 pada △ 퐴퐵퐶 maka titik 퐷,퐸 dan 퐹 adalah segaris jika dan hanya jika

퐴퐹퐹퐵

퐵퐷퐷퐶

퐶퐸퐸퐴

= −1


13

Gambar 4. Ilustrasi teorema Menelaus pada segitiga

2.3 Segitiga Orthologic Definisi 3. △퐴퐵퐶 dikatakan orthologic dengan △퐴 퐵 퐶 jika garis tegak lurus yang ditarik dari titik A, B dan C berturut-turut ke sisi 퐵 퐶 ,퐶 퐴 dan 퐴 퐵 kongkuren.

Gambar 5. Ilustrasi dua segitiga orthologic yang berpotongan

2.4 Teorema Van Aubel pada Segitiga

Teorema 4. Jika persegi 퐴퐵퐺퐹,퐵퐶퐼퐻 dan 퐴퐶퐷퐸 dengan titik potong diagonal 퐽,퐾 dan 퐿 pada sisi 퐴퐵,퐵퐶 dan 퐴퐶 pada △퐴퐵퐶 maka sisi 퐽퐾 = 퐵퐿 dan 퐽퐾 ⊥ 퐵퐿.


14

Gambar 6. Ilustrasi teorema Van Aubel pada segitiga

3. Bentuk Lain Teorema Van Aubel pada Segitiga Beberapa bentuk lain teorema Van Aubel pada segitiga yang dibahas pada tulisan ini yaitu sebagai berikut:

Teorema 5. Pada sebarang segitiga 퐴퐵퐶 dikontruksi persegi luar untuk tiap sisinya sehingga terbentuk persegi 퐴퐶퐻퐼,퐴퐷퐸퐵dan퐵퐹퐺퐶. Titik 푃,푄,푅, 푆,푇 dan푈 secara berturut-turut merupakan titik tengah 퐴퐼,퐴퐷,퐸퐵,퐵퐹,퐺퐶 dan 퐶퐻. Titik 푀,푁 dan푂 secara berturut-turut merupakan titik tengah 퐼퐷,퐸퐹 dan 퐺퐻, maka 푃푆 = 푀푁 dan 푃푆//푀푁.

Gambar 7. Bentuk lain pertama Teorema Van Aubel pada segitiga Bukti: Akan dibuktikan 푃푆 = 푀푁. Buat △ 푃퐶퐴dan △ 푆퐶퐵. Jikapanjang 퐵퐶 = 푎,퐴퐶 = 푏, 퐴퐵 = 푐maka akan selalu berlaku 푃퐶 = √5푏, 푆퐶 = √5푎.

Misal∠푃퐶퐴adalah 휃, sehingga∠푆퐶퐵 = 휃. Diilustrasikan pada Gambar 8.


15

Gambar 8. Ilustrasi pembuktian panjang 푃푆

Selanjutnya, akan ditentukan panjang 푃푆 dengan menggunakan aturan cosinus. Pandang △ 푃푆퐶, diperoleh

푃푆 = 푃퐶 + SC − 2푃퐶. 푆퐶[cos(2휃 + ∠퐴퐶퐵)]

푃푆 =54푏 +

54푎 −

32푎푏 cos∠퐴퐶퐵 +

2010

푎푏 sin∠퐴퐶퐵

푃푆 = 푎 + 푏 − 푎푏 cos∠퐴퐶퐵 + 2푎푏 sin∠퐴퐶퐵(1)

Gambar 9. Ilustrasi pembuktian 푃푆 sejajar 푀푁 Lalu, pandang △푀푃퐼dan △ 퐷퐴퐼, diketahui = = , ∠푃퐼푀 = ∠퐴퐼퐷

(dipakai bersama) karena memenuhi syarat sisi-sudut-sisi, maka △ 푀푃퐼 ∼△퐷퐴퐼. Sehingga berlaku

푃푀 = 푐 (2)

dengan menggunakan aturan cosinus pada △ 퐷퐴퐼 diperoleh


16

퐼퐷 = 퐴퐼 + 퐴퐷 − 2.퐴퐼.퐴퐷 cos∠퐷퐴퐼 퐼퐷 = 푏 + 푐 − 2푏푐 cos(180°−∠퐶퐴퐵)

퐼퐷 = 푏 + 푐 + 2푏푐 푐표푠 ∠퐶퐴퐵 dari △ 퐷퐴퐼 juga diketahui bahwa 퐴푀 adalah garis berat △ 퐷퐴퐼, sehingga diperoleh

퐴푀 =12퐴퐼 +

12퐴퐷 −

14퐼퐷

퐴푀 =12푏 +

12푐 −

14

(푏 + 푐 + 2푏푐 푐표푠∠퐶퐴퐵)

퐴푀 =14푏 +

14푐 −

24푏푐 푐표푠 ∠퐶퐴퐵)

퐴푀 =14푎

퐴푀 = 푎

Disisi lain pandang △푀퐷푄 dan △ 퐼퐷퐴, diketahui bahwa = = , ∠푀퐷푄 = ∠퐼퐷퐴 dipakai bersama), karena memenuhi syarat sisi-sudut-sisi, maka △푀퐷푄 ∼△ 퐼퐷퐴. Sehingga berlaku

푄푀 = 1 2푏

karena 퐴푀 = 푎, 푄푀 = 푏 dan 퐴푄 = 푐 maka △푄퐴푀 sebangun dengan △퐴퐵퐶. Sehingga diperoleh ∠푄퐴푀 = ∠퐴퐵퐶,∠퐴푀푄 = ∠퐴퐶퐵 dan ∠푀푄퐴 = 퐵퐴퐶.

Gambar 10. Ilustrasi pembuktian △ 푄퐴푀, △ 퐵푅푁 sebangun dengan△퐴퐵퐶 Selanjutnya, kontruksi titik 푉 ditengah 퐴퐵. Lalu, pandang △ 푉퐴푀 pada

Gambar 10, diperoleh ∠푉퐴푀 = 90° + ∠퐴퐵퐶

dari △ 푉퐵푆 diperoleh ∠푉퐵푆 = 90° + ∠퐴퐵퐶

karena 퐴푀 = 퐵푆 = 푎, 퐴푉 = 푉퐵 dan ∠푉퐴푀 = ∠푉퐵푆 maka △ 푉퐴푀 =△ 푉퐵푆 sehingga didapat bahwa


17

푀푉 = 푉푆 (3)

Pandang △ 퐹푆푁 dan △ 퐹퐵퐸, diketahui = = dan∠푁퐹푆 = ∠퐸퐹퐵 (dipakai bersama), karena memenuhi syarat sisi-sudut-sisi, maka △ 퐹푆푁 ∼△ 퐹퐵퐸. Sehingga berlaku

푆푁 = 푐 (4)

Selanjutnya, dengan menggunakan aturan cosinus pada △퐵퐸퐹diperoleh

퐸퐹 = 퐵퐹 + 퐵퐸 − 2.퐵퐹.퐵퐸 cos∠퐸퐵퐹 퐸퐹 = 퐵퐹 + 퐵퐸 − 2.퐵퐹.퐵퐸 cos (180°−∠퐴퐵퐶)

퐸퐹 = 푎 + 푐 + 2푎푐 cos∠퐴퐵퐶

Pada △ 퐹퐵퐸 diketahui bahwa 퐵푁 adalah garis berat △퐵퐸퐹, sehingga didapat

퐵푁 =12퐵퐹 +

12퐵퐸 −

14퐸퐹

퐵푁 =12푎 +

12푐 −

14

(푎 + 푐 + 2푎푐 cos∠퐴퐵퐶)

퐵푁 =14푎 +

14푐 −

24푎푐 cos∠퐴퐵퐶

퐵푁 =14푏

퐵푁 =12푏

Pandang △푁푅퐸 dan △ 퐹퐵퐸 pada Gambar 10, diketahui = = dan

∠푅퐸푁 = ∠퐵퐸퐹 (dipakai bersama) karena memenuhi syarat sisi-sudut-sisi, maka △ 푁푅퐸 ∼△ 퐹퐵퐸. Sehingga berlaku

푅푁 = 푎

karena 퐵푅 = 푐, 퐵푁 = 푏 dan 푅푁 = 푎 maka didapat △퐵푅푁 sebangun dengan

△ 퐴퐵퐶. Sehingga diperoleh ∠퐵푅푁 = ∠퐴퐵퐶 ,∠푁퐵푅 = ∠퐵퐴퐶 dan ∠푅푁퐵 = ∠퐴퐶퐵. Selanjutnya, pandang △푁퐵푉 pada Gambar 6, diperoleh

∠푁퐵푉 = 90 + ∠퐵퐴퐶 disisi lain juga diketahui bahwa

∠푃퐴푉 = 90 + ∠퐵퐴퐶 karena ∠푁퐵푉 = ∠푃퐴푉, 퐴푉 = 푉퐵 dan 퐴푃 = 퐵푁 sehingga dapat disimpulkan bahwa

푃푉 = 푉푁 (5)

Dari persamaan (2), (3), (4) dan (5) diperoleh bahwa 푃푀 = 푆푁 (6)

dan


18

푃푀 // 푆푁 (7)

Selanjutnya dari persamaan (2), (3), (4), (5), (6) dan (7) diperoleh bahwa 푃푆 = 푀푁 (8)

artinya, 푀푁 = 푎 + 푏 − 푎푏 cos∠퐴퐶퐵 + 2푎푏 sin∠퐴퐶퐵(9)

dan 푃푆 //푀푁 (10)

Berdasarkan persamaan (8) dan (10) maka terbuktilah teorema ini.∎

Akibat 6. Jika diketahui 푀,푁,푂 secara berturut-turut merupakan titik tengah 퐼퐷,퐸퐹,퐺퐻 dan titik 푃,푄,푅, 푆,푇 danU secara berturut-turut adalah titik tengah 퐼퐴,퐴퐷,퐸퐵,퐵퐹,퐺퐶 dan 퐶퐻 maka 푃푀푁푆,푅푁푂푈 dan 푀푄푇푂 adalah jajar genjang.

Gambar 11. Jajar genjang 푃푀푁푆,푅푁푂푈 dan 푀푄푇푂 Bukti: Berdasarkan persamaan (3), (5), (6), (7), (8), (10) dan diketahui ∠푃푀푁 +∠푀푁푆 = ∠푁푆푃+ ∠푆푃푀 = ∠푆푃푀 + ∠푃푀푁 = ∠푀푁푆 + ∠푁푆푃 = 180 (sudut dalam sepihak), juga diketahui ∠푃푀푁 = ∠푁푆푃 dan ∠푆푃푀 = ∠푀푁푆 (sudut-sudut yang berhadapan), dapat disimpulkan 푃푀푁푆 adalah jajar genjang. Langkah pembuktian yang sama berlaku untuk 푅푁푂푈 dan 푀푄푇푂. Teorema 7.Pada sebarang △ 퐴퐵퐶 dikontruksi persegi luar untuk tiap sisinya sehingga terbentuk persegi 퐴퐶퐻퐼,퐴퐷퐸퐵,퐵퐹퐺퐶 dan 퐽,퐾, 퐿 merupakan titik potong diagonalnya. Titik 푀,푁,푂 secara berturut-turut adalah titik tengah 퐼퐷,퐸퐹,퐺퐻, maka 퐾푂 = 푀푁 dan 퐾푂 ⊥ 푀푁.


19

Gambar 12. Bentuk lain kedua Teorema Van Aubel padasegitiga Bukti: Dari persamaan (9) diperoleh 푀푁 = 푎 + 푏 − 푎푏 cos∠퐴퐶퐵 +2푎푏 sin∠퐴퐶퐵 . Selanjutnya, akan ditentukan panjang 퐾푂. Buat △퐻퐾퐺 seperti yang terlihat pada Gambar 13.

Gambar 13. Ilustrasi pembuktian 퐾푂

Diketahui 푂 adalah titik tengah 퐺퐻, sehingga 퐾푂 merupakan garis berat △ 퐻퐾퐺 dan panjang 퐾푂 dapat ditentukan dengan mengetahui panjang 퐻퐾,퐺퐾 dan 퐻퐺. Buat △ 퐻퐴퐾 untuk memperoleh panjang 퐻퐾 dan △퐾퐵퐺 untuk menentukan panjang 퐺퐾, seperti yang terlihat pada Gambar 14.


20

Gambar 14. Ilustrasi pembuktian 퐾푂 dengan bantuan △ 퐻퐴퐾 dan △ 퐾퐵퐺 dari △ 퐻퐴퐾 diperoleh

퐻퐾 = 퐴퐻 + 퐴퐾 − 2 퐴퐻퐴퐾 cos (90° + ∠퐵퐴퐶)

퐻퐾 = 푏√2 +푐2√2 − 2 푏√2

푐2√2 cos (90° + ∠퐵퐴퐶)

퐻퐾 = 2푏 + 푐 + 2푏푐푐 sin∠퐵퐴퐶 (11) dari △ 퐾퐵퐺 diperoleh

퐺퐾 = 퐵퐺 + 퐵퐾 − 2.퐵퐺.퐵퐾 cos (90° +∠퐴퐵퐶)

퐺퐾 = 푎√2 +푐2√

2 − 2 푎√2푐2√

2 cos (90° + ∠퐴퐵퐶)

퐺퐾 = 2푎 + 푐 + 2푏푐 sin∠퐵퐴퐶 (12) Setelah memperoleh panjang 퐻퐾dan 퐺퐾 akan ditentukan panjang 퐻퐺.

Gambar 15. Ilustrasi pembuktian 퐾푂 dengan bantuan △ 퐻퐶퐺


21

Pandang △퐻퐶퐺 pada Gambar 15, dengan menggunakan aturan cosinus diperoleh

퐺퐻 = 퐶퐺 + CH − 2퐶퐺.퐶퐻 cos (180°−∠퐴퐶퐵) 퐺퐻 = 푎 + 푏 − 2푎푏 (− cos∠퐴퐶퐵)

퐺퐻 = 푎 + 푏 + 2푎푏 cos∠퐴퐶퐵 (13)

퐾푂adalah garis berat △ 퐻퐾퐺, berdasarkan teorema Garis Berat maka berlaku 퐾푂 = 퐻퐾 + 퐺퐾 − 퐺퐻 (14)

Selanjutnya, substitusi nilai persamaan (11), (12) dan (13) ke persamaan (14),

sehingga diperoleh 퐾푂 = 푎 + 푏 + 푐 + 2 푏푐 sin∠퐵퐴퐶 − 푎푏 cos∠퐴퐶퐵 (15)

dari △ 퐴퐵퐶 dengan menggunakan aturan cosinus pada ∠C diperoleh

푐 = 푎 + 푏 − 2푎푏 cos∠퐴퐶퐵 (16) serta dengan menggunakan aturan sinus pada △퐴퐵퐶 diperoleh

sin퐴 = (17)

Dengan mensubstitusikan persamaan (16) dan (17) ke persamaan (15) maka didapat

퐾푂 =34푎 +

34푏 +

24

(푎 + 푏 − 2푎푏 cos∠퐴퐶퐵) + 2 푏푐 sin(푎 sin 퐶푐

)−

24푎푏 cos∠퐴퐶퐵

퐾푂 = 푎 + 푏 − 푎푏 cos∠퐴퐶퐵 + 2푎푏 sin∠퐴퐶퐵 (18)

Jadi, dari persamaan (9) dan (18) dapat disimpulkan bahwa 퐾푂 = 푀푁 (19)

Selanjutnya, akan dibuktikan 퐾푂 ⊥ 푀푁. Langkah pertama adalah dengan

membuat lingkaran dengan pusat 푀 dan jari-jari 푀퐾. Lalu, buat pula lingkaran yang berpusat di 푁dengan panjang jari-jari 푁퐾 (퐾 adalah titik potong diagonal persegi 퐴퐷퐸퐵 dan juga berada pada lingkaran berpusat di 푀 dan 푁). Sehingga diperoleh titik 푊 yang berada pada lingkaran yang berpusat di 푀dan 푁, seperti yang terlihat pada Gambar 16.


22

Gambar 16. Ilustrasi pembuktian layang-layang

Kemudian, pandang △퐾푀푊, diketahui 푀퐾 = 푀푊, sehingga diperoleh △ 퐾푀푊 adalah segitiga sama kaki dan

∠푀퐾푊 = ∠푀푊퐾 (20)

Lalu, pandang △퐾푁푊, diketahui 푁퐾 = 푁푊, sehingga △ 퐾푁푊 adalah segitiga sama kaki dan

∠푁퐾푊 = ∠푁푊퐾 (21)

Dari persamaan (20) dan (21) didapat ∠푀퐾푊 + ∠푁퐾푊 = ∠푀푊퐾 + ∠푁푊퐾 (22)

Oleh sebab itu, segiempat 푀퐾푁푊 adalah layang-layang dengan diagonalnya

푊퐾 dan 푀푁 yang berpotongan tegak lurus di titik 푋. Diilustrasikan pada Gambar 17.

Gambar 17.Segiempat layang-layang 푀퐾푁푊

Kemudian akan ditunjukkan titik 퐾,푊,푂 segaris. Perpanjang sisi 푀퐾 sehingga

memotong sisi 퐵퐸 dititik 푀′. Perpanjang sisi 푀′푊 sehingga memotong sisi 푀푂


23

dititik 푊′. Sehingga membentuk △ 푀푊′푀′. Selanjutnya, misalkan titik 푉 pada 푀푀′, sedemikian sehingga garis 푊′푉 sejajar 푂퐾 dan juga sejajar 푊퐾. Diilustrasikan pada Gambar 18.

Gambar 18.Ilustrasi pembuktian titik 퐾,푊,푂 segaris

Pandang △푊 ′푀푉 dan △ 푂푀퐾, ∠푊 ′푀푉 = ∠푂푀퐾, ∠푀푊 ′푉∠푀푂퐾, sehingga △푊 ′푀푉~ △ 푂푀퐾, yang mengakibatkan

′= (23)

Lalu, pandang △푀′푊퐾 dan △푀′푊 ′푉, ∠푊푀′퐾 = ∠푊 ′푀′푉, ∠푀′퐾푊 =

푀′푉푊 ′, sehingga △ 푀′푊퐾 ~ △푀′푊′푉, yang mengakibatkan ′

′ =′

(24)

Dari persamaan (23) dan (24) diperoleh 푀′푊푊푊 ′

푊 ′푂푂푀

푀퐾퐾푀′ =

푀′퐾퐾푉

푉퐾퐾푀

푀퐾퐾푀′

′

′

′

′ = −1 (25) karena persamaan (25) memenuhi teorema Menelaus, maka titik 푊 ada di garis 푂퐾 atau titik 푂,푊,퐾 segaris.

Berdasarkan pembuktian di atas, diperoleh bahwa 푊퐾 tegak lurus 푀푁 dan 푂,푊,퐾 segaris, maka

퐾푂 ⊥ 푀푁 (26) Berdasarkan persamaan (19) dan (26) maka terbuktilah teorema ini. ∎ Akibat 8. Pada sebarang △ABC dikontruksi persegi luar untuk tiap sisinya sehingga terbentuk persegi 퐴퐶퐻퐼,퐴퐷퐸퐵,퐵퐹퐺퐶 dan 퐽,퐾, 퐿 merupakan titik potong diagonalnya. Titik 푀,푁 dan 푂 secara berturut-turut merupakan titik tengah 퐼퐷,퐸퐹


24

dan 퐺퐻. Titik 푃,푄,푅, 푆,푇 dan 푈 secara berturut-turut adalah titik tengah 퐼퐴,퐴퐷,퐸퐵,퐵퐹,퐺퐶 dan 퐶퐻, maka퐾푂 = 푃푆 dan 퐾푂 ⊥ 푃푆.

Gambar 19. Akibat bentuk lain kedua Teorema Van Aubel pada segitiga

Bukti:Berdasarkan persamaan (8) dan (19) jelas bahwa 퐾푂 = 푃푆. Lalu, dari persamaan (10) serta persamaan (26), jelas bahwa 퐾푂 ⊥ 푃푆. Sehingga terbukti 퐾푂 = 푃푆 dan 퐾푂 ⊥ 푃푆.∎

4. KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan didapatkan beberapa antara lain terdapat bentuk lain dari teorema Van Aubel pada yaitu adanya tiga pasang garis yang sejajar dan sama panjang, sehingga menghasilkan tiga jajar genjang, serta terdapat tiga pasang garis yang tegak lurus dan sama panjang. Konsekuensi dari hal ini adalah terbentuknya tiga pasang garis yang tegak lurus dan panjang yang lain.

REFERENSI

[1] Alsina C. dan Nelsen R. B. Charming Proofs: A Journey into Elegant Mathematics.

Washington DC: The Mathematical Association of America, 2010. [2] Baharuddin A., Mashadi., Saleh H. dan Hasriati. Modifikasi Teorema Van Aubel pada

Segitiga, Jurnal Matematics Paedagogic, Vol 7, 111-118, 2017 [3] Gardner M. Mathematical Circus. Washington DC:The Mathematical Association of

America, 1992. [4] Glaister P. A Van Aubel Theorem Revisited, Applied Probability Trust, 33-36, 2015.


25

[5] Januarti P., Mashadi, Sri G. dan Hasriati. Some Result on Excircle of Quadrilateral,

JP Journal of Mathematics Sciences,Vol14, 41-56, 2015. [6] Krishna D. N. V. A New Consequence of Van Aubel’s Theorem, Department of

Mathematic, 1-9, 2016. [7] Mashadi.Geometri Lanjut. Pekanbaru: Unri Press, 2015. [8] Mashadi. Pengajaran Matematika. Pekanbaru: UR Press, 2016. [9] Mulyadi., Mashadi., Habibis S. dan Hasriati. Pengembangan Teorema Van Aubel

pada Segienam, Jurnal Mathematic Paedagogic, Vol 1, 119-128, 2017. [10] Nishiyama, Y. The Beautiful Geometri theorem of Van Aubel, International

Journal of Pureand Applied Mathematic,Vol1, 71-80, 2011. [11] Patrascu I. dan Smarandache F. Pantazi’s Theorem Regarding the Biorthological

Triangles, Smarandache Nations Jaournal, Vol 1, 1-5, 2010. [12] Patrascu I. dan Smarandache F. A Theorem about Simultaneous Orthological and

Homological Triangles, Smarandache Nations Jaournal, Vol 1, 1-13, 2010. [13] Valentika C., Mashadi. dan Sri G. The Development of Napoleon’s Theorem on

Quadrilateral with Congruence and Trigonometry, Bulletin of Mathematics,Vol 8, 97-108, 2016.

[14] Valentika C., Mashadi. dan Sri G. Development of Napoleon’s Theorem on the

Rectangles in Case of Inside Direction, International Journal of Theoretical and Applied Mathematics,Vol 3, 54-57, 2017.

[15] Villiers M. D.Generalizing Van Aubel Using Duality, Mathematic Magazine, Vol 4,

303-307, 2000. [16] Zukrianto., Mashadi. dan Sri G. A Noncovex Quadrilateral and Semi Gergonne

Points on It: Some Result and Analysis, Fundamental Journal of Mathematics and Mathematical Sciences,Vol 6, 111-124, 2016.

BENTUK LAIN TEOREMA VAN AUBEL PADA SEGITIGA

Documents

Transcript of BENTUK LAIN TEOREMA VAN AUBEL PADA SEGITIGA