oleh

BAHAN AJAR KALKULUS II

TIM DOSEN KALKULUSDepartemen Teknik Kimia

Fakultas Teknik USUMedan2016

INTEGRAL TAK WAJAR

(Disarikan dari Purcel edisi 8

Pendahuluan

Dalam teori limit sebelumnya dijelaskan limit dengan bentuk tertentu 0/0 diselesaikan secara aljabar misalnya dengan cara pemfaktoran

1. Bentuk tertentu jenis 0/0

Hitunglah :

6

9lim

2

2

3

xx

xx

penyelesaian

0

0

633

93lim

6

9lim

2

2

32

2

3

xx xx

x

diselesaikan dengan aljabar

5

6

)2).(3(

)3).(3(lim

6

9lim

32

2

3

xx

xx

xx

xxx

Teorima A : aturan I’hospital untuk bentuk jenis 0/0andaikan

0)(lim)(lim

xgxfuxux

jika

)(

)(lim

'

'

xg

xfux

Aturan I’Hospital

Berbentuk bilangan terhingga (finite) atau tak berhingga (infinite) dalam hal ini, jika limit ini bilangan terhingga, atau, atau

maka

)(

)(lim

)(

)(lim

'

'

xg

xf

xg

xfuxux

dimana u mewakili simbol atauaaa ,,,

interprestasi geometrik aturan I’Hospital

qx

px

xg

xfxx 00lim

)(

)(lim

)(

)(lim

)(

)(lim

'

'

00 xg

xf

q

p

xg

xfxx

)(

)(lim

)(

)(lim

'

'

00 xg

xf

xg

xfxx

contoh 1

gunakan aturan hospital untuk menunjukkan

1sin

lim0

x

xx

0cos1

lim0

x

xx

penyelesaian

11

1

1

0cos

1

coslim

sinlim

sinlim

000

x

xD

xD

x

xx

x

x

xx

1

sin0lim

cos1lim

cos1lim

000

x

xD

xD

x

xx

x

x

xx

01

0

1

0sin

1

sin0lim

cos1lim

00

x

x

xxx

contoh 2

tentukanlah44

103lim

2

2

2

xx

xxx6

9lim

2

2

3

xx

xx

penyelesaian

bentuk kedua limit adalah 0/0

0

0

633

93

6

9lim

2

2

2

2

3

xx

xx

0

0

4)2(42

10)2(32

44

103lim

2

2

2

2

2

xx

xxx

dengan pemfaktoran dan penyederhanaan

)6(

9lim

6

9lim

2

2

32

2

3

xxD

xD

xx

x

x

x

xx

5

6

13.2

3.2

12

2lim

6

9lim

32

2

3

x

x

xx

xxx

?6

9lim

2

2

3

xx

xx

menggunakan aturan Hospital

5

6

)2(

)3(lim

)3)(2(

)3)(3(lim

6

9lim

332

2

3

x

x

xx

xx

xx

xxxx

?44

103lim

2

2

2

xx

xxx

dengan pemfaktoran dan penyederhanaan

)2)(2(

)5)(2(lim

44

103lim

22

2

2

xx

xx

xx

xxxx

0

7

22

52

)2(

)5(lim

44

103lim

22

2

2 x

x

xx

xxxx

menggunakan aturan Hospital

44

103lim

44

103lim

2

2

22

2

2

xxD

xxD

xx

xx

x

x

xx

0

7

42

32lim

44

103lim

22

2

2 x

x

xx

xxxx

contoh 3

tentukanlah

?)1ln(

2tanlim

0

x

xx

penyelesaian

pembilang dan penyebut mempunyai limit 0

0

0

)01ln(

0.2tan

)1ln(

2tanlim

0

x

xx

menggunakan aturan Hospital

21

2

)1(

12sec.2

lim))1((ln

)2(tanlim

2

00

x

x

xd

xdxx

kadang kala, lim f’(x)/g’(x) juga mempunyai bentuk tak tentu 0/0

Hitunglah 30

sinlim

x

xxx

contoh 4

penyelesaian

3030

sinlim

sinlim

xD

xxD

x

xx

x

x

xx

2030 3

1coslim

sinlim

x

x

x

xxxx

)3(

)1(coslim

sinlim

2030 xD

xD

x

xx

x

x

xx

x

x

x

xxxx 6

sinlim

sinlim

030

6

coslim

)6(

)sin(lim

sinlim

0030

x

xD

xD

x

xxx

x

x

xx

6

1

6

0cos

6

coslim

sinlim

030

x

x

xxxx

Secara khusus kita harus memastikan bahwa limitnya mempunyai bentuk tak tentu 0/0, jika tidak justru akan melakukan kesalahan

Hitunglah

penyelesaian xx

xx 3

cos1lim

20

)3(

)cos1(lim

3

cos1lim

2020 xxD

xD

xx

x

x

x

xx

contoh 5

03

0

3)0(2

0sin

32

sinlim

3

cos1lim

020

x

x

xx

xxx

limitnya mempunyai bentuk tak tentu bukan 0/0 {0/3 (konstanta)}

proses diferensial di hentikan jika pembilang atau penyebut tidak sama dengan nol

sehingga

)32(

)(sinlim

32

sinlim

3

cos1lim

0020

xD

xD

x

x

xx

x

x

x

xxx

2

1

2

0cos

)2(

)(coslim

3

cos1lim

020

x

xx

xxx

jawaban salah

ada kalanya syarat-syarat aturan hospital terpenuhi, tetapi aturan hospital tidak membantu penyelesaian

contoh 6

Hitunglah ?lim1

x

e x

x

penyelesaian

0

01

1

1

1

limlim1

e

x

ex

e x

x

x

x

karena pembilang dan penyebut cendrung menuju nol, maka limitnya berbentuk 0/0. syarat-syarat teorima A terpenuhi, kita dapat menerapkan aturan hospital

3221 2limlimlimlim

x

e

x

e

x

e

x

e x

x

x

x

x

x

x

x

dengan menerapkan aturan hospital membuat soal menjadi lebih rumit

dilakukan proses aljabar

xx

x

x

x

x e

x

x

ex

e

lim

1

1

limlim1

Bentuk ini akan di bahas pada sub bab selanjutnya

Teorima nilai rata-rata Cauchy

pembuktian aturan I’Hospital berdasarkan perluasan teori A.L Cauchy

Teorima B : Teorima nilai rata-rata cauchy

Misalkan fungsi f dan g dapat didiferensialkan pada (a,b) dan kontinyu pada [a,b].

Jika Untuk seluruh x di (a,b), maka akan terdapat sebuah bilangan c di (a,b) sedemikian rupa sehingga

0)(' xg

cgcf

agbg

afbf'

'

untuk menerapkan teorima nilai rata-rata baik pada pembilang maupun penyebut pada ruas kiri persamaan diatas, maka akan diperoleh

abcfafbf 1'.1 dan

abcgagbg 2'.2

untuk pilihan-pilihan c1 dan c2 yang sesuai. hanya jika c1 dan c2 mempunyai nilai yang sama maka kita dapat membagi persamaan pertama dengan kedua dan menyelesaikannnya

Tetapi kita dapat selalu berharap atas kebetulan semacam ini. Meskipun demikian upaya ini tidak sepenuhnya salah karena (2) menghasilkan informasi yang berharga dimana suatu fakta yang akan kita perlukan kemudian (hasil ini diperoleh dari hipotesis bahwa untuk seluruh x di (a,b).

0 agbg

0)(' xg

Ingat kembali bahwa pembuktian teorima nilai rata-rata untuk turunan (teorima 4.7A) berakhir pada suatu pendahuluan tentang sebuah fungsi tambahan (auxiliary fungtion) s

kita mencoba untuk meniru bukti ini, maka kita akan memperoleh suatu pilihan untuk s(x), yang dimisalkan

agxg

agbg

afbfafxfxs

)(

disini kita mencoba pembagian dengan nol karena sebelumnya kita telah menentukan bahwa perhatikan bahwa s(a)=0 = s(b). Juga s kontinu pada [a,b] dan dapat dideferensialkan pada (a,b) dimana hal ini berdasarkan fakta-fakta yang terkait untuk f dan g, jadi dengan menggunakan teorima nilai rata-rata untuk turunan akan terdapat sebuah bilangan c di (a,b) sedemikian rupa

0 agbg

0

00)('

abab

asbscs tetapi

0.)( '''

cg

agbg

afbfcfcs sehingga

agbg

afbf

cg

cf

'

'

soal-soal

tentukan limitnya x

xxx

sin2lim

0

penyelesaian

0

0

0

0sin0.2sin2lim

0

x

xxx

karena bentuknya 0/0 maka gunakan aturan hospital

)(

sin2lim

sin2lim

00 xD

xxD

x

xx

x

x

xx

1

1

0cos2

)1(

cos2lim

sin2lim

00

x

x

xxxx

tentukan limitnya x

xxx tan

2sinlim

0

penyelesaian

0

0

0tan

0.2sin0

tan

2sinlim

0

x

xxx

karena bentuknya 0/0 maka gunakan aturan hospital

)(tan

2sinlim

tan

2sinlim

00 xD

xxD

x

xx

x

x

xx

1

1

21

sec

2cos21lim

tan

2sinlim

200

x

x

x

xxxx

latihan 1tentukan limitnya

xx

xxx 22sin

tanlim.1

0

xx

xx sinlim.2

2

0

3

1

0 8

tanlim.3

x

xxx

2. Bentuk taktentu lainnya

Teorima A : aturan I’hospital untuk bentuk-bentuk jenis ∞/∞

andaikan

)(lim)(lim xgxfuxux

jika

)(

)(lim

'

'

xg

xfux

ada dalam nilai terhingga

atau tak terhingga

maka )(

)(lim

)(

)(lim

'

'

00 xg

xf

xg

xfxx

atauaaa ,,,disini u merupakan simbol dari

a. Bentuk taktentu ∞/∞

contoh 1

tentukan xx e

xlim

penyelesaian

Nilai x maupun ex cendrung menuju ∞ ketika x ∞.Dengan menggunakan aturan hospital

0111

lim)(

)(limlim

eeeD

xD

e

xxxx

x

x

xxx

contoh 2Tunjukkan bahwa, jika a adalah bilangan real positip tertentu, maka

oe

xx

a

x

lim

penyelesaian andaikan untuk sebuah kasus khusus a = 2,5, maka dengan penerapan tiga kali aturan hospital akan menghasilkan

0)5,0).(5,1).(5,2(

lim)5,1).(5,2(

lim.5,2

limlim5,0

5,05,15,2

xxxxxxxx exe

x

e

x

e

x

argumentasi yang sama juga berlaku untuk a > 0. misalkan m melambangkan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari a. maka penerapan m+1 menggunakan aturan hospital akan menghasilkan

0

1.lim

1.lim

.limlim

1

21

xamxx

a

xx

a

xx

a

x ex

maaa

e

xaa

e

xa

e

x

contoh 3

Tunjukkan bahwa, jika a adalah sebarang bilangan real positip maka

0ln

lim ax x

x

penyelesaian

baik ln x maupun ax cendrung menuju ∞ ketika x∞, jadi dengan menerapkan satu kali aturan hospital akan menghasilkan

01

.

1lim

.

/1lim

)(

)(lnlim

lnlim

1

axaxax

x

xax xaxa

x

xD

xD

x

x

Contoh 2 dan 3 diatas mengimplikasikan satu hal yang harus di ingat, untuk nilai x yang cukup besar ex bertambah lebih cepat ketika x meningkat dibandingkan dengan pangkat konstan apapun dari x. sementara ln x bertambah lebih lambat dibandingkan dengan pangkat konstan dengan x100 dan ln x bertambah lebih lambat dibandingkan 100 x

Ilustrasi digambarkan

contoh 4

tentukan ?cot

lnlim0

x

xx

penyelesaian ketika 0x xln xcotdengan menggunakan aturan hospital

xec

x

xD

xD

x

xx

x

x

xx 2000 cos

/1lim

)(cot

)(lnlim

cot

lnlim

Persamaan merupakan bentuk taktentu, Jika menerapkan kembali aturan hospital akan memperburuk keadaan

x

x

xec

x

x

xxxx

2

0200

sinlim

cos

/1lim

cot

lnlim

x

xx

x

x

x

xxxx

sin.sinlim

sinlim

cot

lnlim

0

2

00

x

xx

x

xxxx

sinlim.sinlim

cot

lnlim

000

01.0cot

lnlim0

x

xx

b. Bentuk taktentu (0.∞) dan (∞- ∞)

contoh 5

tentukan xxx

sinln.tanlim2

penyelesaian

karena 0sinlnlim2

xx

x

x

tanlim2

merupakan sebuah taktentu (0.∞),kita dapat menulis ulang dalam bentuk 0/0 dengan cara yang sederhana yaitu dengan mengubah tanx menjadi 1/cot x

x

xxx

xx cot

sinlnlimsinln.tanlim

22

dengan menggunakan aturan hospital

)(cot

)sin(lnlimsinln.tanlim

22xD

xDxx

x

x

xx

xec

xxxx

xx2

22cos

cos.sin1

limsinln.tanlim

0sin.coslimsinln.tanlim22

xxxxxx

contoh 6

tentukan ?ln

1

1lim1

xx

xx

penyelesaian

1ln

1

11

1

ln

1

1lim1 xx

xx

limit ini mempunyai bentuk taktentu (∞- ∞)

xx

xxx

xx

xxx ln.1

1(1ln.lim

ln

1

1lim

11

xx

xxx

xx

xxx ln.1

1ln.lim

ln

1

1lim

11

dengan menggunakan aturan hospital

xxD

xxxD

xx

x

x

x

xx ln.1

1ln.lim

ln

1

1lim

11

xxx

xxx

xx

xxx /1.1ln.1

1/1.ln.1lim

ln

1

1lim

11

xxx

x

xx

xxx /1.1ln

lnlim

ln

1

1lim

11

.1ln.

ln.lim

ln

1

1lim

11

xxx

xx

xx

xxx

dengan menggunakan aturan hospital

1ln

)ln(lim

ln

1

1lim

11

xxxD

xxD

xx

x

x

x

xx

1/1.ln.1

/1.ln.1lim

ln

1

1lim

11

xxx

xxx

xx

xxx

2

1

20

10

2ln

1lnlim

ln

1

1lim

11

x

x

xx

xxx

c. Bentuk taktentu (00),(∞0) dan (1∞)

Sekarang kita beralih pada tiga bentuk taktentu jenis eksponensial, disini cara-cara yang digunakan bukan mengacu pada persamaan asli tetapi cendrung pada penggunaan logaritmanya, aturan hospital akan berlaku pada logaritma.contoh 7

tentukan ?1lim cot

0

x

xx

penyelesaian

soal ini menggunakan bentuk taktentu (1∞)

1101lim 0cotcot

0

x

xx

xxy cot1

xxy cot1lnln 1ln.cotln xxy

x

xy

xx tan

1lnlimlnlim00

gunakan aturan hospital untuk bentuk 0/0 kita peroleh

x

xxD

xDy

xx

x

xx 2000 sec11

limtan

1lnlimlnlim

1sec

11

limlnlim200

xxy

xx

ex

xyxx

lnsec

11

limlnlim200

eyx

0

lim

ex x

x

cot

01lim

contoh 8tentukan x

x

x cos

2

tanlim

penyelesaian

02

coscos

2

2tantanlim

x

x

x bentuk taktentu (∞0)

misalkan xxy costan

x

xxxxy x

sec

tanlntanln.costanlnln cos

x

xy

xxsec

tanlnlimlnlim

22

gunakan aturan hospital

xD

xDy

x

x

xxsec

tanlnlimlnlim

22

xxx

x

xD

xDy

xx

x

xxtan.sectan1

.seclim

sec

tanlnlimlnlim

2

222

x

x

x

xy

xxx

2

2

2

22

sin

coslim

tan

seclimlnlim

0

2

2

ln

2sin

2cos

lnlim eyx

1lim 0

2

eyx

1tanlim cos

2

x

x

x

contoh 9

tentukan x

x

x cot

0

sinlim

penyelesaian

00sinsinlim 0cotcot

0

x

x

x bentuk taktentu (0∞)

bentuk taktentu (0∞),tetapi bukan bentuk taktentu. Perhatikan bahwa sinx mendekati nol, dan meningkatkannya menjadi eksponen cot x. sebuah peningkatan bilangan yang cukup besar, membuat pendekatan menuju nol semakin menjadi lebih cepat sehingga 0sinlim cot

0

x

x

x

Latihan 2tentukan limitnya

x

x

x cos

2

sinlim.1

x

x

xtan

5sec3lim.2

2

x

x

xx ln1

1lim.3

1

xx

xlim.4

3. Integral takwajar : Limit takterhingga dari integral defenisi integral tentu

b

a

dxxf

Integral diatas disebut juga integral tak wajar (improper integral) dengan limit-limit tak berhingga

pada aplikasi bidang tertentu (fisika, ekonomi, statistika peluang biasanya mengubah a atau b (atau keduanya menjadi ∞ atau -∞, seperti simbol simbol integral :

021

1dx

x

1

2

. dxex x

dxex x2.2

a. Sebuah limit takterhingga

Grafik f(x) = e-x pada [0,∞] seperti pada gambar

x

y

xexf )(1

b0

integral b

x dxe0

Sepenuhnya diterima, terlepas dari seberapa kita menentukan nilai b, kenyataanya dapat diuji secara integral eksplisit

obbxb

xb

x eeexdedxe 000

bbb

x eedxe 110

sekarang

1011

11

11

1lim1lim

eee

bb

b

b

sehingga akan tampak wajar untuk mendifenisikan

10

dxe x

defenisi

dxxfdxxfb

aa

b

lim)(

dxxfdxxfa

ba

lim)(

jika limit-limit di ruas kanan dan mempunyai nilai terhingga, maka kita mengatakan bahwa integral-integral takwajar yang berhubungan akan konvergen dan memiliki nilai tersebut. Jika sebaliknya, maka integral-integral tersebut dikatakan divergen

contoh 1Jika memungkinkan, tentukan

1

2

. dxex x

penyelesaian

1

21

22

2

1.

a

x

a

x xdedxex

ax

ax

x

a

x eeedxex

11

1

2

1

2

1.

22

eeeedxex a

a

x 11

2

1

2

1lim. 1

12

edxex x

2

1.

12

Integral konvergen mempunyai nilai -1/2e

contoh 2Jika memungkinkan, tentukan

0

sin dxxpenyelesaian

b

x

b

xxdxxdxx

000

sinlimsinlimsin

bdxxx

cos1limsin0

nilai limitnya tak ada kita simpulkan integral tersebut divergen

bila ditinjau dari grafik y = sinx

harga x memiliki nilai tertentu

contoh 3Menurut hukum kuadrat invers newton, gaya yang dikerahkan bumi terhadap sebuah pesawat ruang angkasa adalah –k/x2

dimana x adalah jarak (misalnya dalam mil) dari pesawat tersebut ketitik pusat bumi seperti pada gambar. Maka gaya F (x) yang diperlukan untuk mengangkat pesawat tersebut adalah F (x) = k/x2. Berapa besarkah gaya yang diperlukan untuk mengangkat pesawat seberat 1000 pon agar keluar dari medan grafitasi bumi

penyelesaian Kita dapat menghitung nilai k dengan memperhatikan bahwa ketika x = 3960 mil (jari-jari bumi) F = 1000 pon. Ini bearti k = 1000.(3960)2= 1,568. 1010 . Jadi gaya (dalam mil-pon) yang dibutuhkan adalah

x

b

bdx

x

1

3960

10

39602

10 10.568,1lim1

10.568,1

3960

1110.568,1lim

110.568,1 10

39602

10

bdx

x b

610

39602

10 10.96,33960

10.568,1110.568,1

dxx

b. kedua limit takterhingga

defenisi limit

dxxf

jika

0

dxxf jika

0

dxxf keduanya konvergen

maka

dxxf

dikatakan konvergen dan mempunyai nilai

o

dxxfdxxfdxxf0

jika sebaliknya

dxxf divergen

contoh 4

hitunglah

dx

x21

1

atau buktikan bahwa integral tersebut divergen

penyelesaian

b

bdx

xdx

x 020

02 1

1lim

1

1

1lim1

1tan 00

02

b

bdx

x

2

0tantanlim1

10

02

bdxx b

karena integran sebuah fungsi genap

21

1

1

1

02

0

2

dxx

dxx

dengan demikian

221

1

1

1

1

1

02

0

22dx

xdx

xdx

x

c. Fungsi kerapatan peluang

Fungsi kerapatan peluang untuk semua acak kontinyu x adalah fungsi f yang didefinisikan pada [-∞,∞] dengan sifat-sifat

1. f(x) ≥ 0 untuk semua x

1.2

dxxf

peluang dimana peubah acak x mempunyai nilai diantara a dan b adalah

b

a

dxxf

Sebagai contoh, umur lampu pijar (dalam ribuan jam) dapat berupa sebuah peubah acak kontinu x yang mempunyai fungsi kerapatan peluang seperti yang ditunjukkan pada gambar. Peluang bahwa lampu pijia ini akan putus dalam waktu 4000 sampai 6000 jam

b

a

dxxf

Karena lampu pijar tidak mungkin mempunyai umur negatif, maka peluang bahwa nilai x akan berada di dalam selang tertentu yang sepenuhnya berada di ruas kiri titik nol pastilah 0, ini berarti bahwa fungsi kerapatan peluang akan nol untuk seluruh nilai x negatif

Rata-rata darisebuah peubah acak yang mempunyai fungsi kerapatan peluang f(x) dapat didefinisikan

dxxfx.

Pada subbab 6.6 telah didefenisikan pusat massa dari distribusi massa kontiyu di sepanjang sebuah garis akan mempunyai kerapatan δ (x)

dxx

dxxx

m

M

.

dalam kontek peluang kita cendrung menggunakan istilah kerapatan peluang dibandingkan kerapatan massa. Perhatikan bahwa kita menggantikan kerapatan massa δ dengan kerapatan peluang f maka penyebutnya

1

dxxfdxx

berdasarkan sifat 1 dari fungsi kerapatan peluang, pusat massa untuk kerapatan peluang

dxxfx

dxxfx

dxxf

dxxfx

.1

..

karakteristik penting lainnya dari sebuah fungsi kerapatan peluang adalah ragam atau varian di notasikan σ2 yang didefenisikan

dxxfx 22

ragam adalah ukuran dari penyebaran atau “ke-tersebar-an”. Ketika σ2 nilainya kecil, maka distribusi peluang secara kasar, terkelompokkan sangat dekat di sekitar nilai rata-rata dan σ2 nilainya besar, maka distribusi peluangnya lebih tersebar

contoh 5fungsi kerapatan peluang yang paling penting adalah apa yang disebut dengan normal standar yang didefenisikan sebagai

2/2

2

1)( xexf

gambar berikut memperlihatkan y = f(x) yang mengejutkan tidak mudah bagi kita menunjukkan bahwa

12

1 2/2

xe

gunakan fakta ini untuk menunjukkan bahwa fungsi kerapatan ini mempunyai rata-rata 0 dan ragam 1, yaitu dengan menunjukkan persamaan berikut

0.2

1. 2/2

dxexa x

1.2

1. 2/2 2

dxexb x

penyelesaian

b

x

b

x dxxedxexa0

2/2/ 22

2

1lim.

2

1.

b

x

b

x edxexa0

2/2/ 22

2

1lim.

2

1.

2

1.

2

1. 2/2

dxexa x

karena

2/2. xex adalah sebuah fungsi ganjil

dengan demikian

0

2/0

2/2/ 222

.2

1.

2

1.

2

1dxexdxexdxex xxx

02

1

2

1.

2

1 2/2

dxex x

karena

2/2xe adalah sebuah fungsi genap dan karena

12

1 2/2

xe 2

1

2

1

0

2/2

dxe x

kemudian kita menerapkan integral parsial dan aturan hospital

dxxexdxexb

x

b

x

0

2/

0

2/2 ..)(2

1lim.

2

1 22

bx

bx

b

x dxeexdxex0

2/0

2/

0

2/2 222

.2

1lim.

2

1

2

10

2

1lim.

2

1

0

2/

0

2/2 22

bx

b

x dxedxex

karena 2/2 2

. xex adalah sebuah fungsi genap

maka kita memperoleh kontribusi yang serupa disebelah kiri nol sehingga

12

1

2

1.

2

1 2/2 2

dxex x

4. Integral takwajar : Integran takterhinggaKita memberikan defenisi tersebut untuk kasus dimana f cendrung menuju takterhingga pada titik ujung kanan dari selang suatu integral. Terdapat sebuah defenisi analogi yang sempurna untuk kasus dimana f cendrung menuju takterhingga pada titik ujung kiri

defenisi

Misalkan f kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) dan andaikan

)(lim xfbx

maka

t

abt

b

a

dxtfdxxf )(lim

asalkan limit ini ada dan terhingga, dimana kita mengatakan bahwa integral tersebut bersifat konvergen, jika sebaliknya, kita mengatakan bahwa integral tersebut bersifat divergen. interprestasi geometrik diperlihatkan seperti gambar dibawah ini

contoh 1

Jika memungkinkan, hitunglah integral tak wajar

2

024 x

dx

penyelesaian

perhatikan bahwa integrannya cendrung menuju di titik 2

t

t

t

t

x

x

dx

x

dx

0

1

20

22

2

02 2

sinlim4

lim4

22

0sin

2sinlim

4

11

2

2

02

t

dxx

dxt

contoh 2

jika memungkinkan, hitunglah 16

04

1dx

xpenyelesaian

164/3

0

16

0

4/1

0

16

04 3

4limlim

1

ttt

xdxxdxx

3

32

3

4

3

32lim

1 4/3

0

16

04

tdxx t

contoh 3

jika memungkinkan, hitunglah 1

0

1dxx

penyelesaian

10

1

0

1

0

lnlim1

lim1

tt

tt

xdxx

dxx

tdx

x tlnlim

10

1

0

disimpulkan bahwa integral tersebut divergen

contoh 4

Tunjukkan bahwa 1

0

1dx

x p

konvergen jika 1p divergen jika 1p

penyelesaian

1lim

1lim

1 1

0

1

0

1

0 p

xdx

xdx

x

p

tt

ptp

1

11

11

.1

1

1

1lim

110

1

0 pjika

pjikap

tppdx

x ptp

Bahan Bacaan

Purcell, 2009 “ Kalkulus dan Analisis Geometris, Penerbit Erlangga, Jilid II Edisi 8