Deret fourier

download Deret fourier

of 8

  • date post

    26-Jun-2015
  • Category

    Science

  • view

    390
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Deret fourier

  • 1. Deret Fourier Arjuni Budi P Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK-Universitas Pendidikan Indonesia DERET FOURIER 1. Pendahuluan Teorema Fourier: Suatu fungsi periodik terhadap waktu, xp(t), dengan perioda dasar T0 , dapat dinyatakan sebagai jumlah tak hingga dari gelombang-gelombang sinusoidal. Fungsi periodik: xp(t) = xp(t + T0) (1.1) dapat dinyatakan dalam bentuk Deret Fourier sebagai berikut: (1.2) Di mana, an, bn : keffisien Fourier (1.3) n= 1,2, (1.4) n=1,2, (1.5) 2. Sifat-Sifat Simetri 2.1. Fungsi Genap f(t) dikatakan suatu fungsi genap jika memenuhi: f(t) = f(-t) untuk setiap t (1.6)

2. Deret Fourier Arjuni Budi P Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK-Universitas Pendidikan Indonesia Gambar 1 Fungsi Genap (1.7) contoh: ~ f(t)= t2 ~ f(t)= cos(t) 2.2 Fungsi Ganjil f(t) dikatakan suatu fungsi genap jika memenuhi: f(t) = -f(-t) untuk setiap t (1.8) Gambar 2. Fungsi Ganjil -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t f(t)=sin2 (t) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t f(t)=sint 3. Deret Fourier Arjuni Budi P Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK-Universitas Pendidikan Indonesia (1.9) contoh: ~ f(t) = t ~ f(t) = sin t 2.3 Perkalian Antar Fungsi Fungsi genap x fungsi genap = fungsi genap Fungsi ganjil x fungsi ganjil = fungsi genap fungsi genap x fungsi ganjil = fungsi ganjil 2.4 Penerapan Sifat Simetri Pada Deret Fourier Ambil: f(t) = xp(t) cos n0t g(t) = xp(t) sin n0t (i) Jika xp(t) adalah fungsi genap, maka: f(t) = fungsi genap x fungsi genap = fungsi genap sehingga berlaku: g(t) = fungsi genap x fungsi ganjil = fungsi ganjil sehingga berlaku: Persamaan (1.4) dan (1.5) menjadi: n= 0,1,2, (1.10) n=1,2, (1.11) 4. Deret Fourier Arjuni Budi P Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK-Universitas Pendidikan Indonesia (ii) Jika xp(t) adalah fungsi ganjil, maka: f(t) = fungsi ganjil x fungsi genap = fungsi ganjil sehingga berlaku: g(t) = fungsi ganjil x fungsi ganjil = fungsi genap sehingga berlaku: Persamaan (1.4) dan (1.5) menjadi: n= 0,1,2, (1.12) n=1,2, (1.13) 2.5 Simetri Gelombang Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri gelombang jika memenuhi: f(t+T/2) = -f(t) untuk setiap t (1.14) f(t) -T -T/2 T/2 T t Gambar 3. Fungsi Simetri Gelombang Pada kondisi ini, persamaan (1.4) dan (1.5) menjadi: 5. Deret Fourier Arjuni Budi P Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK-Universitas Pendidikan Indonesia untuk n genap untuk n ganjil (1.15) dan, untuk n genap untuk n ganjil (1.16) Contoh soal: f(t) -2 - 2 t - Gambar 4. Gelombang Gigi Gergaji Gelombang gigi gergaji dengan persamaan: f(t) = t untuk - < t < f(t+2) = f(t) Tentukan deret Fouriernya! Solusi: f(t) merupakan fungsi ganjil, sehingga berlaku: n= 0,1,2, n=1,2, 6. Deret Fourier Arjuni Budi P Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK-Universitas Pendidikan Indonesia T= 2 0 = 2/T = 2/2 = 1 ======================================================== ========================================================= didapat: ~ untuk n genap: cos n = 1 bn = - 1/n ~ untuk n ganjil: cos n = -1 bn = 1/n sehingga, = 7. Deret Fourier Arjuni Budi P Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK-Universitas Pendidikan Indonesia Gambar 5. Deret Fourier dari Gelombang Gigi Gergaji 3. Deret Fourier Eksponensial Kompleks Deret Fourier eksponensial kompleks menggambarkan respon frekuensi dan mengandung seluruh komponen frekuensi (harmonisa dari frekuensi dasar) dari sinyal. Tinjau rumus Euleur berikut: (1.17) Sustitusi rumus Euleur ke persamaan (1.2) menjadi: = (1.18) pasangan konjugasi kompleks -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 deret fourier gel. gigi gergaji t f(t) sin(x) sin(2*x)/2 sin(3*x)/3 8. Deret Fourier Arjuni Budi P Jurusan Pendidikan Teknik Elektro FPTK-Universitas Pendidikan Indonesia di mana, (1.19) Ambil, cn, suatu koefisien kompleks dengan hubungan: (1.20) Persamaan (1.18) menjadi Deret Fourier Eksponensial Kompleks, (1.21) di mana, ; n= 0, + 1, +2, (1.22) Fungsi dasar nilai kompleks dan komponen frekuensi negative tidak mempunyai arti fisis, penampakannya hanya untuk memberikan gambaran matematis secara utuh dari sinyal periodik. Karena cn merupakan bilangan kompleks, maka secara umum dapat dituliskan sebagai, (1.23) di mana, (i) : amplituda komponen harmonic ke n dari sinyal xp(t). Plot terhadap frekuensi menghasilkan spectrum amplitude diskrit. (ii) arg(cn) : sududt fasa dari cn. Plot cn terhadap frekuensi menghasilkan spectrum fasa diskrit. Jika xp(t) merupakan fungsi periodik dengan nilai riil, maka dari persamaan (1.22) didapat: c-n = c* (konjugasi kompleks dari cn, sehingga, simetri: fungsi genap dari n (1.24) arg(c-n) = - arg(cn) asimetri: fungsi ganjil dari n (1.25)