Deret Tak Hingga

24
DERET TAK HINGGA RETNO ANGGRAINI

Transcript of Deret Tak Hingga

Page 1: Deret Tak Hingga

DERET TAK HINGGA

RETNO ANGGRAINI

Page 2: Deret Tak Hingga

BARISAN Barisan adalah fungsi yg domainya

himpunan bilangan asli Contoh : a1,a2,……,an ditulis {an} Barisan dikatakan konvergen jika : - Limit an = ada n ~ Barisan yang divergen jika Limit an = ~ n ~

Page 3: Deret Tak Hingga

DERET Deret adalah jumlah dari barisan ~ ∑ an disebut deret

n=1 Jumlah parsial ke n dari deret (Sn)

merupakan jumlah deret hingga suku ke n Sn = a1 + a2 +a3+……+an

Page 4: Deret Tak Hingga

DERET TAK BERHINGGA Deret tak berhingga adalah jumlah dari

suatu barisan dengan suku ke n adalah sampai pada batas yang tak terhingga

~ ∑ an disebut deret tak berhingga

n=1 karena suku ke n yang diinginkan sampai batas tidak terhingga

Page 5: Deret Tak Hingga

Deret konvergen dan divergen Deret konvergen jika barisan {Sn} dari

jumlah parsial ke n adalah konvergen Deret divergen jika barisan {Sn} dari

jumlah parsial ke n adalah divergen a1 + a2 + …+ an = S jika {Sn} divergen ke ~ maka deret

divergen ke ~ jika {Sn} konvergen ke S maka deret

konvergen ke S atau jumlahnya sama dengan S

Page 6: Deret Tak Hingga

DERET GEOMETRI Deret Geometri = a + ar + ar2+….+arn

konvergen jika a=0 atau jika lrl < 1 jika a = 0 dan lrl < 1 maka ~ ∑ ar n-1 = 1 / (1-r) n=1 jika a = 0 dan lrl > 1 maka DERET ADALAH DIVERGEN

Page 7: Deret Tak Hingga

DERET “P” DERET P ADALAH 1 + 1/2P + 1/3P + ….+1/NP

Deret akan konvergen jika p > 1 dan deret akan divergen ke ~ jika p < 1 jika p =1 deret menjadi 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n maka deret disebut sebagai deret harmonis dan akan divergen ke ~

Page 8: Deret Tak Hingga

DERET EKSPONEN Deret eksponen adalah 1+ r/1! +r2/2!+…+ r n-1/(n-1)!

Dimana deret akan konvergen untuk setiap nilai r

Jika r = 1 deret menjadi 1+1/1!+1/2!+1/3!+….+ 1/(n-1)!

Page 9: Deret Tak Hingga

SIFAT DASAR DERETJika ∑ an dan ∑ bn merupakan dua deret n=1 n=1

yg konvergen dan k konstanta maka: 1. ∑ (an + bn ) konvergen

2. ∑ k an konvergen

~ ~

~

~n=1

n=1

Page 10: Deret Tak Hingga

TES KONVERGENSI1. Test Deret ∑ an akan divergen jika lim an = 0

n=1 akan konvergen jika lim an=0 2. Test Leibnitz Deret berayun : a1–a2+a3-…+(-1)n-1 a + ….

dgn an semuanya pos / neg konvergen jika :

i. an ≥ a n+1 utk setiap n

ii. Lim an = 0

n ~

Page 11: Deret Tak Hingga

Test PerbandinganDeret Positif : ∑ an konvergen jika ada

Konvergen positif ∑ bn sedemikian hingga an ≤ bn

Divergen positif sede,ikiam hingga an ≥ bn

Page 12: Deret Tak Hingga

Test rasio utk deret positifPada deret positif ∑ an Jika : Lim an+1 < 1, konvergen

an > 1, divergen = 1 test gagal

Page 13: Deret Tak Hingga

Test Rasio UmumPada sembarang deret tk berhingga : ∑ an dgn an ≠ 0, utk setiap n

Maka jika Lim an+1 < 1, deret konvergen mutlak ~ an > 1, deret divergen = 1 , atau tdk ada, test gagal

Page 14: Deret Tak Hingga

Test IntegralAndaikan : f(x) continu, tdk negatif dan turun utk 1≤x≤~ Maka deret: ∑ f(n) konvergen

Jika ∫ f(x) dx konvergen

Page 15: Deret Tak Hingga

Test akar ke n Jika: Lim √ lunl = A Maka : ∑ un

1. Konvergen mutlak kalau A < 12. Divergen kalau A> 13. Tak dpt disimpulkan kalau A=1

n

Page 16: Deret Tak Hingga

Konvergensi mutlakDeret : a1+a2+…+an+… disebut konvergen mutlak jika Deret : a1 + a2 + …. + an konvergen

Theorama : Jika suatu deret konvergen mutlak maka deret tersebut juga konvergen. Suatu deret yg konvergen tetapi tdk konvergen mutlak disebut konvergen bersyarat

Page 17: Deret Tak Hingga

DERET FUNGSI

Deret fungsi adalah deret yang suku sukunya

adalah suatu fungsi yaitu : ∑ fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…….Himpunan nilai x utk deret ini konvergensi ke lim L(x) dinamakan daerah konvergensi deret fungsi, dan limit L(x) dinamakan jumlah deret fungsi

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…….Utk x dlm daerah konvergensi L(x) =Lim Sn (x)

Selisih L & Sn dinamakan sisa Rn (x) = L(x) – Sn(x)

N ~

Page 18: Deret Tak Hingga

DERET PANGKAT/deret kuasa• Adalah deret fungsi yang sukunya fungsi

pangkat cnxn

∑ = c0 + c1x + c2x2 + ….

• Nilai x utk mana deret ini konvergen dpt diperoleh dgn test rasio umum.

• Deret pangkat juga dapat dlm bentuk (x-a) yaitu : co + c1(x-a)+c2(x-a)2+….

Page 19: Deret Tak Hingga

Daerah konvergensiDaerah konvergensi utk deret pangkat dlm (x-a) dpt diperoleh dgn :

-R < x-a < R atau a-R < x < a+RDimana Lim cn = R

Titik x=a adalah pusat konvergensi yg radiusnya R. Dipinggir daerah konvergensi mk deret dpt konvergenatau divergen. Diluar daerah konvergen nilainya dalah Divergen.

~ Cn+1

Page 20: Deret Tak Hingga

THEORAMA TAYLOR DAN SUKU SISA LAGRANGE

Jika suatu f(x) adalah sedemikian hingga :1. f(x),f’(x),f’’(x),…f(n-1)(x) adalah kontinu dlm selang

{a,a+h}2. f(n)(x) ada dlm selang {a,a+h} maka f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h2 f’’(a)+…h(n-1)f(n-1)(a)+Rn

Dimana

Rn = hn/n! f(n) (a+θh) : 0< θ <1

Bentuk sisa Rn ini disebut sisa suku lagrange

2! (n-1)!

Page 21: Deret Tak Hingga

DERET TAYLOR• Jika f(x) dpt dikembangkan (diekspansikan) menurut deret

pangkat dari (x-a) maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+…

• Jika Polinomial f(x) dibagi (x-a) maka sisa : S = f(a)

jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa :

S = f(a)+(x-a) f’(a)• Syarat perlu dan cukup bahwa a adalah akar rangkap k

dari persm polinomial f(x) = 0 adalah: f(a)=f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=f(k-1)(a) = 0 dan fk(a) ≠ 0

2! 3! 4!

Page 22: Deret Tak Hingga

DERET MC LAURINMerupakan deret khusus dari deret taylor dengan nilai a = 0, Maka :f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+..

Shg dgn a = 0 maka:f(x)=f(0)+(x-0) f’(0)+(x-0)2/2! f’’(0)+ (x-0)3 /3! f’’’(0)+.. =f(0)+xf’(0)+x2/2! f’’(0)+ x3/3! f’’’(0)+..

22

2! 3! 4!

Page 23: Deret Tak Hingga

DERET BINOMIALMerupakan deret Mclaurin yang khusus dimana untuk f(x) =(1+x)m, dgn m bil riil, shg : f(x) =(1+x)m : f(0) =1 f(x)’ = m(1+x)m-1 : f’(0) = m f(x)’’=m(m-1)(1+x)m-2 : f’’(0) = m(m-1) f(x)’’’=m(m-1)(m-2)(1+x)m-3 : f’’’(0) = m(m-1)(m-2)Maka :(1+x)m = 1+mx+m(m-1)/2! x2+m(m-1)(m-2)/3! x3+..Dengan x < 1 disebut deret binomial

Page 24: Deret Tak Hingga

Contoh