DIFERENSIABEL KONTINU

Dibuat Untuk Memenuhi Tugas Akhir Mata Kuliah

Analisis Riil 1

Disusun Oleh:

Bobby Reynaldo (3125121983)

Program Studi Matematika

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Jakarta

2014

Daftar Isi

Daftar Isi i

Daftar Gambar ii

1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Pembatasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Manfaat Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 PEMBAHASAN 3

2.1 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Diferensiabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Kekontinuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Diferensiabel Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 KESIMPULAN 11

Bibliografi 12

i

Daftar Gambar

2.1 Suatu fungsi yang tidak dapat diturunkan . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Grafik Pengenalan kekontinuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

ii

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada kesempatan kali ini, akan ditunjukan beberapa materi seperti Limit

Fungsi, Turunan, Diferensiabel, Kekontinuan dan apa hubungan dari Diferen-

siabel dan Kekontinuan. Yang pertama dibahas adalah limit fungsi, karena

Limit fungsi akan mendefinisikan turunan dan kekontinuan. Setelah itu ma-

teri Turunan, Diferensiabel, Kekontinuan, lalu hubungan antara keduanya.

Pembahasan ini juga akan memberikan contoh suatu persoalan dari beberapa

materinya. Berdasarkan uraian tadi, permasalahan yang diambil adalah ba-

gaimana cara menentukan hubungan diferensiabel dengan kekontinuan meng-

gunakan limit fungsi yang mendefinisikan difereniabel dan kontinu.

1.2 Pembatasan Masalah

Dari permasalahan yang dihadapi tersebut yang akan dikaji atau dipela-

jari hanya ada beberapa saja diantaranya yang berkaitan dengan limit fungsi,

diferensiabel, dan kekontinuan.

1.3 Rumusan Masalah

1. Apakah yang dimaksud dengan diferensiabel?

2. Apakah yang dimaksud dengan kontinu?

3. Bagaimana hubungan antara diferensiabel dengan kekontinuan?

1

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan dari tugas akhir ini adalah :

1. Mengetahui yang dimaksud dengan diferensiabel

2. Mengetahui yang dimaksud dengan kontinu

3. Mengetahui hubungan antara diferensiabel dengan kekontinuan

1.5 Manfaat Penulisan

1. Bagi Penulis :

(a) Menyelesaikan tugas akhir mata kuliah Analisis Riil 1

(b) Mendapat Ilmu baru tentang Diferensiabel dan Kontinu

2. Bagi Pembaca :

Memperkaya pengetahuan tentang diferensiabel dan kontinu serta hu-

bungan keduanya

1.6 Sistematika Penulisan

Karya tulis ini secara keseluruhan terdiri dari 3 bab yaitu Pendahuluan,

Pembahasan dan Kesimpulan, dilengkapi dengan daftar pustaka yang memuat

sumber-sumber materi referensi. Sistematika pembahasan pada tugas akhir ini

adalah sebagai berikut : Bab I Pendahuluan, pada bab ini dijelaskan tentang

latar belakang masalah, perumusan masalah yang dihadapi di dalam menyusun

karya tulis, pembatasan masalah, tujuan dibuatnya karya tulis dan sistematika

pembahasan laporan karya tulis yang menjelaskan sekilas dari isi tiap bab yang

terdapat pada karya tulis ini. Bab II Pembahasan, pada bab ini dibahas meng-

enai limit fungsi pada ruang metrik. Bab III Kesimpulan, bab ini merupakan

bab akhir laporan yang memuat kesimpulan dari pembahasan masalah yang

ada dalam karya tulis ini. Selain itu juga dimuat mengenai saran-saran penu-

lis untuk mengembangkan sistem pendukung keputusan dalam tugas akhir ini.

Dan terakhir daftar pustaka pada bagian akhir makalah yang memuat daftar

sumber materi yang ada dalam karya tulis ini.

2

Bab 2

PEMBAHASAN

Materi pertama dibahas adalah limit fungsi, karena Limit fungsi akan men-

definisikan turunan dan kekontinuan. Setelah itu dilanjukan membahas materi

turunan, diferensiabel, kekontinuan, lalu apa hubungan antara diferensiabel

dan kekontinuan.

2.1 Limit Fungsi

Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apa-

bila variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang

mendekati suatu nilai tertentu.

Dinotasikan:

limx→a

f(x) = L (2.1)

Definisi 2.1.1. Limit Fungsi adalah nilai pendekatan di sekitar sutau titil.

Perhitungan nilai limit disekitar titik dapat dilakukan dengan pendekatan dari

kiri (limit kiri) dan pendekekatan dari kanan (limit kanan).

limx→c

f(x) = L⇔ ∀ε,∃δ > 0 3

0 < [x− c] < δ → [f(x)− L] < ε

Contoh 1. jika menemukan sebuah persamaan seperti :

f(x) =x2 − 4

x− 2

saat x = 2 maka persamaan tersebut tidak akan terdefinisi. tetapi berbeda

bila kita menggunakan limit, karena x hanya akan mendekati 2 tetapi tidak

3

sama dengan 2 maka:

limx→2

x2 − 4

x− 2= 4

karena x hanya mendekati 2 maka nilai (x−2) hanya mendekati 0 tetapi tidak

sama dengan 0 karena itu persamaan tersebut dapat disederhanakan.

bukti:

= limx→2

[x2 − 4

x− 2

]

= limx→2

[(x− 2) (x+ 2)

(x− 2)

]

= limx→2

(x+ 2)

= 4 Q.E.D.

∴ Dari contoh diatas maka terbukti bahwa limx→2

[x2−4x−2

]= 4

2.2 Turunan

Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah se-

iring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana

suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Pada Sub bab

sebelumnya karena sebuah limit fungsi sudah terdefini maka Turunan bisa

didefinisikan.

Definisi 2.2.1. Secara umum turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f ′

yang nilainya pada sebarang bilangan adalah

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h(2.2)

asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞

4

Gambar 2.1: Suatu fungsi yang tidak dapat diturunkan

Contoh 2. carilah f ′(c) dari f(x) = x2

= limh→0

[f(x+ h)− f(x)

h

]

= limh→0

(x+ h)2 − x2

h

= limh→0

(2x+ h) (h)

(h)

= limh→0

(2x+ h) = 2h Q.E.D.

∴ Jadi turunan dari f(x) = x2 di titik c adalah f ′(x) = 2x

2.3 Diferensiabel

Pada Sub bab sebelumnya terdapat penjelasan secara umum mengenai tu-

runan. Diferensiabel hanyalah nama lain dari proses sebuah turunan hanya

saja syarat dari turunannya bertambah, jika turunan mencakup seluruh ling-

kup sebuah interval, sedangkan diferensiabel hanyalah turunan disuatu titik

tertentu. Jika titik terntetu ada disuatu interval maka dapat dikatakan turun-

an dan diferensiabel dapat dikatakan equivalen.

Definisi 2.3.1. Diberikan interval I ⊆ R, fungsi f : I → R, dan c ∈ I.

bilangan real L disebut diferensiabel (dapat diturunkan disuatu titik c),

jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap

x ∈ [a, b] dengan sifat 0 < |x− c| < δ berlaku∣∣∣∣f(x)− f(c)

x− c− L

∣∣∣∣ < ε

5

dalam hal ini fungsi f dikatakan differensibel dititik c dan ditulis f ′(c) = L

atau dapat dinyatakan dengan:

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)

x− c(2.3)

asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞.

Contoh 3. carilah f ′(c) dari f(x) = x2

= limx→c

[f(x)− f(c)

x− c

]

= limx→c

x2 − c2

x− c

= limx→c

(x− c) (x+ c)

(x− c)

= limx→c

(x+ c) = 2c Q.E.D.

∴ Jadi diferensiabel dari f(x) = x2 di titik c adalah f ′(c) = 2c

2.4 Kekontinuan

Sebuah fungsi ternyata ada yang tidak memenuhi persyaratan kontinu.

maka untuk mengetahui sebuah persamaan tersebut kontinu atau tidak maka

harus memenuhi persaratan (definisi) yang jelas.

Definisi 2.4.1. Diberikan interval [a, b] ⊆ R, fungsi f : [a, b] → R, dan

c ∈ [a, b]. dikatan kontinu jika dan hanya jika memenuhi

limx→c

f(x), ada (2.4a)

dan

limx→c

f(x) = f(c) (2.4b)

Pada (2.4a) menyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan harus ada atau ter-

definisi, sedangkan pada (2.4b) menyatakan nilai limit dan nilai fungsi juga

mempunyai pendekatan yang nilainya sama, maka bila mengambil f sebuah

6

fungsi yang memenuhi (2.4a) dan (2.4b), f akan dikatakan kontinu.

Gambar bawah menjelaskan bahwa:

1. saat x = −2 fungsi dikatakan diskontinu

2. saat x = −1 fungsi dikatakan tidak terdefinisi

3. saat x = 1 fungsi dikatakan tidak terdefinisi

4. saat x = 2 fungsi dikatakan kontinu

Gambar 2.2: Grafik Pengenalan kekontinuan

Kekontinuan juga dapat diperlihatkan lewat grafik, bisa dilihat bahwa jika

titiknya terputus pada fungsi seperti saat x = −2 maka fungsi tersebut sudah

tidak kontinu lagi, akan tetapi jika titiknya tidak ada seperti saat x = −1

maka funsi tersebut bukan hanya tidak kontinu namun tidak terdefinisi dititik

tersebut.

Contoh 4. Tunjukan f(x) = |x| kontinu di titik 0 atau tidak. dengan mende-

finisikan f(x) = |x|, baru bisa ditentukan apakah fungsi tersebut kontinu atau

tidak.

|x| =

{x, untuk x ≥ 0,

−x, untuk x < 0.

limx→0

f(x) = limx→0|x| = lim

x→0+x = lim

x→0−−x = lim

x→00 = 0 (2.5a)

dan

f(x) = |x| → f(0) = |0| = 0 (2.5b)

7

dari (2.5a) limit kanan dan limit kiri |x| tentunya sama, karena itu definisi

(2.4a) terpenuhi. dan karena f(0) = 0 definisi (2.4b) lim f(x) sama dengan

f(x) juga terpenuhi.

∴ dari penjabaran diatas maka f(x) = |x| kontinu Q.E.D

2.5 Diferensiabel Kontinu

Teorema 2.5.1. Jika f(x) diferensiabel di x = c maka f kontinu di x = c.

Dengan memanggil definisi (2.3.1) dan (2.4.1), maka Theorema dapat dibuk-

tikan.

Bukti:

⇒ f(x)− f(c) = f(x)− f(c)

⇒ f(x)− f(c) =

[f(x)− f(c)

(x− c).(x− c)

]jika x 6= c

⇒ limx→c

(f(x)− f(c)) = limx→c

[f(x)− f(c)

(x− c).(x− c)

]

⇒ limx→c

(f(x)− f(c)) = limx→c

[f(x)− f(c)

(x− c)

]. limx→c

(x− c)

⇒ limx→c

(f(x)− f(c)) = f ′(c).0 mengikuti definisi (2.3)

⇒ limx→c

(f(x)− f(c)) = 0

⇒ limx→c

f(x) = limx→c

f(c)

⇒ limx→c

f(x) = f(c)

∴ mengikuti (2.4a), f(c) adalah sebuah konstanta di R, maka limitnya ada,

dan pada akhir pembuktian ternyata mengikuti (2.4b). Maka f kontinu saat

8

x = c Q.E.D.

Contoh 5. Untuk menunjukkan Teorema (2.5.1), diberikan suatu f sebuah

fungsi yang diferensiabel di suati titik c ∈ R, maka fungsi itu akan kontinu

dititik tersebut.

Ambil f(x) = x2 yang telah terbukti terdiferensiabel di contoh 3 Sekarang

hanya tinggal dibuktikan apakah f(x) = x2 kontinu.

Ambil titik sebarang x, misalnya x = 0.

dengan:

f(0) = 02 = 0

maka menurut definisi kekontinuan :

limx→0

f(x) = limx→0−

x2 = limx→0+

x2 = 0 (2.6a)

dan

limx→c

f(x) = limx→c

x2 = 02 = 0 = f(c) (2.6b)

∴ pada (2.6a), karena limit kanan dan limit kiri sama, lalu pada (2.6b) ditun-

jukkan limx→0

f(x) sama dengan f(c). maka terbukti bahwa fungsi f(x) = x2

kontinu.

Contoh 6. Sekarang kita akan mencari tahu apakah berlaku sebaliknya yaitu,

Jika f kontinu di x = c, maka f(x) diferensiabel di x = c

Andaikan benar maka untuk semua f sebuah fungsi kontinu akan selalu

Diferensiabel disebuah titik misalnya c ∈ R. Ambil f(x) = |x| yang telah

terbukti kontinu dari pembuktian (2.5a) dan (2.5b). Sekarang hanya tinggal

dibuktikan apakah f(x) = |x| diferensiabel di suatu titik sebarang.

Bukti:

Ambil titik sebarang x, misalnya x = 0.

f ′(0) = limx→0

f(x)− f(0)

x− 0= lim

x→0

|x| − |0|x− 0

= limx→0

|x|x

9

Untuk Limit Kanan

limx→0+

|x|x

= limx→0+

x

x= lim

x→0+1 = 1 (2.7a)

Untuk Limit Kiri

limx→0−

|x|x

= limx→0−

−xx

= limx→0−

−1 = −1 (2.7b)

∴ karena limit kanan (2.7a) dan limit kiri (2.7b) berbeda, maka limx→0

|x|x

tidak

terdefinisi atau tidak ada. Ini menunjukan bahwa diferensiabel dari f(x) = |x|ternyata tidak ada.

10

Bab 3

KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan, yang dimaksud dengan diferensiabel adalah se-

buah turunan hanya saja disuatu titik tertentu, itu artinya turunan dan di-

ferensiabel sebenarnya sama atau nilainya equivalen. Dan yang dimaksud de-

ngan kontinu adalah sebuah fungsi yang terdefinisi seluruhnya disuatu interval

serta tidak dibatasi oleh apapun.

Pendefinisian diferensiabel dan kekontinuan yang menggunakan limit mem-

ngungkinkan keduanya mempunyai hubungan, dari yang sudah dipaparkan da-

pat menyimpulkan hubungan antar keduanya, kesimpulan yang diperoleh dari

hubungan antara Diferensiabel dan Kontinu adalah:

1. Pada Teorema (2.5.1) dan contoh 5 terbukti jika suatu fungsi terdife-

rensiabel disuatu titik sebarang, maka fungsi tersebut juga akan kontinu

dititik tersebut. Artinya Teorema (2.5.1) menyatakan diferensiabel da-

pat menyebabkan kekontinuan atau diferensiabel mengimplikasikan

kontinu.

2. Berdasarkan Contoh 6 tidak terbukti jika suatu fungsi kontinu disuatu

titik sebarang, maka fungsi tersebut juga akan terdiferensiabel dititik

tersebut. Artinya Contoh 6 menyatakan kekontinuan tidak menjamin

fungsi tersebut akan terdiferensiabel atau kekontinuan tidak meng-

implikasikan diferensiabel.

11

Bibliografi

[1] Ahmad, Sopandi. 2010. Definis dan Teorema. [ON LINE]. Tersedia ht-

tp://matemakita.com (diakses tanggal 9 April 2014 pukul 18.21).

[2] Amalia,lis. dan Eka Fitri Puspa Sari. 2011. Diferensial. Palembang: Uni-

versitas Sriwijaya.

[3] Thobirin, Herawan. 2002. Derivati (Turunan). Jakarta.

[4] Waner, Stevan dan Steven Costenoble. 2009. Differensibility and Continui-

ty. [ON LINE]. Tersedia http://eople.hofstra.edu (diakses tanggal 9 April

2014 pukul 18.34).

12