DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA...
Transcript of DIFERENSIAL KALKULUS DARI FUNGSI BEBERAPA...
DIFERENSIAL KALKULUS DARI
FUNGSI BEBERAPA VARIABEL
MATEMATIKA LANJUT 1
Jurusan: Teknik Informatika
Fakultas: Teknologi Industri
Dwi Ermawati
TURUNAN PARSIAL
1. Turunan parsial pertama dari fungsi dua
variabel
Turunan parsial dari f(x,y) terhdp x dimana hanya variabel x saja yg
diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Begitupun sebaliknya.
Misal z = F(x,y) turunan parsial pertama z terhadap x dan y
dinotasikan denganππ
ππdan
ππ
ππ
Contoh:
2. Turunan parsial pertama dari fungsi tiga variabel
Contoh:
Turunan Parsial Tingkat Tinggi
β’ Turuna Parsial Kedua Suatu Fungsi dua peubah dapat diperoleh
dari turunan parsial pertamanya.
β’ Karena ada dua turunan parsial pertama, ππ dan ππ, dan masing-
masing mempunyai dua turunan parsial, maka kita akan
mendapatkan empat turunan parsial kedua, Yaitu:
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
ππππ= πππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
ππππ= πππ
Contoh:
β’ Turuna Parsial Ketiga: Suatu Fungsi yang dapat
diperoleh dari turunan parsial kedua.
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
πππ
πππ=
πππ
πππ= ππππ= ππππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
πππ
πππ=
πππ
πππ= ππππ = ππππ
π
ππ
ππ
ππ=
πππ
πππ= πππ
π
ππ
πππ
πππ=
πππ
πππ= ππππ = ππππ
Contoh:
SOAL LATIHAN
DIFERENSIAL TOTALMisal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan
y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y
yang secara berturut-turut dinotasikan dengan
ππ
ππ=
ππ(π,π)
ππ(1)
ππ
ππ=
ππ(π,π)
ππ(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
dz = ππ(π,π)
ππdx dan dz =
ππ(π,π)
ππdy
Jumlah diferensialnya diperoleh:
dz = ππ(π,π)
ππdx +
ππ(π,π)
ππdy
β’ Bila dipunya suatu fungsi z = f (x,y) maka Diferensial Total dari z atau
Diferensial dari z adalah
β’ Banyaknya suku yang terbentuk sesuai dengan banyaknya variabel
bebas yang dimiliki oleh fungsi itu, dari contoh di atas fungsi z memiliki
dua buah variabel bebas sehingga diferensialnya memiliki dua buah suku.
Bentuk di atas dapat diperluas
β’ Bila dipunya suatu fungsi z = f (ππ, ππ, ππ,β¦ ππ) maka Diferensial Total
dari z atau Diferensial dari z adalah
Aturan Rantai (Chain Rule)
β’ Misalkan y = f(x) dan x = g(t) dengan f dan g keduanya
adalah fungsi yang terdiferensial. Maka y terdiferensial
di t seperti yang terlihat pada aturan rantai berikut:
β’ Untuk fungsi lebih dari satu variabel, aturan rantai
terbagi kedalam dua versi sebagai berikut:
1. Aturan rantai versi 1
Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(t)
dan y = h(t) keduanya merupakan fungsi yang terdiferensial di t. Fungsi z
adalah fungsi yang terdiferensial di t
Karena z = f(x, y)
Contoh:
2. Aturan rantai versi 2
Misalkan bahwa z = f(x, y) suatau fungsi yang terdiferensial, dimana x = g(s, t)
dan y = h(s, t) keduanya fungsi yang terdiferensial di s dan t.
Contoh:
3. Aturan rantai versi umum
Misalkan u suatu fungsi yang terdiferensial dengan n variabel ππ, ππ, ..., ππ, dan setiap
ππ merupakan suatu fungsi yang terdiferensial pada m variabel ππ, ππ, ..., ππ. Maka u
adalah suatu fungsi dari ππ, ππ, ..., ππ dengan i = 1, 2, ..., m.
Contoh:
FUNGSI IMPLISIT
β’ Misalkan F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit
sebagai suatu fungsi x, katakan y = g(x), tetapi fungsi g
sukar untuk ditentukan. Suatu dy/dx dari kasus ini masih
dapat ditentukan dengan menerapakan aturan rantai
sebagai berikut:
Contoh:
β’ Selanjutnya, misalkan z suatu fungsi implisit dari f(x, y, z) = 0, maka
diferensiasi kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap
adalah sebagai berikut:
Karena y tetap maka
ππ¦
ππ₯= 0
β’ Sehingga:
dan
Contoh: