DIFERENSIASI NUMERIK.ppt
-
Upload
novitafaruqi -
Category
Documents
-
view
461 -
download
47
description
Transcript of DIFERENSIASI NUMERIK.ppt
![Page 1: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/1.jpg)
DIFERENSIASI NUMERIK
Oleh :Siti Khabibah, S.Si, M.Sc
![Page 2: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/2.jpg)
APROKSIMASI DERIVATIF
Derivatif f di titik x0 adalah:
y = f(x)
x0 x0+h
f(x0)
f(x0+h)f(x0+h) – f(x0)
h
Sederhananya, aproksimasi derivatif f’(x0) adalah
dengan mengambil h cukup kecil.
![Page 3: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/3.jpg)
APROKSIMASI DERIVATIF PERTAMA
Formula untuk menentukan aproksimasi derivatif pertama:Formula 2 titik (selisih maju dan selisih mundur) Formula 3 titik (Formula Selisih Terpusat ) Formula 5 titik
![Page 4: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/4.jpg)
Untuk x = x0 diperoleh: . Akhirnya,diambil:
)(2
)()()( 0
0 fh
h
xfhxfxf
h
xfhxfxf
)()()( 0
0
dengan kesalahan (error): )(
2f
hE
Untuk h>0, formula ini disebut aproksimasi selisih maju (forward-difference).
Untuk h<0, diperoleh aproksimasi selisih mundur (backward-difference).
h
xfhxfxf
)()()( 00
0
dengan kesalahan (error): )(
2f
hE
FORMULA 2 TITIK
![Page 5: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/5.jpg)
CONTOH : Tentukan aproksimasi derivatif fungsi f(x) = ln x di x0=1.8. Gunakan formula selisih maju dengan h = 0.1, 0.01 dan 0.001 dan berikan analisis kesalahannya.
PENYELESAIAN : formula selisih maju diberikan oleh
dengan error dimana
Diperoleh tabel:
Bandingkan dengan error sesungguhnya dimana derivatif eksaknya f’(1.8) = 0.55555 . . .
![Page 6: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/6.jpg)
Formula 3 Titik Fungsi f diekspansi dalam deret Taylor disekitar x0, kemudian
dievaluasidi titik x0+h dan x0-h diperoleh:
dan dimana .Persamaan kedua
dikurangkan dari persamaan pertama, diperoleh :
Berdasarkan teorema nilai antara, terdapat ξ diantara ξ0 dan ξ-1 sehingga
![Page 7: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/7.jpg)
dimana terletak diantara dan Jadi aproksimasinyaadalah
dengan error E =
•Diperhatikan jika h diperkecil, maka suku h2 lebih cepat menuju nol dari pada suku h. Error aproksimasi yang memuat suku hp disebut mempunyai order aproksimasi p, dan ditulis dengan O(hp).•Formula selisih terpusat ini disebut juga formula tiga titik, karena melibat kan tiga titik x0-h, x0 dan x0+h. Formula tiga titik lainnya melibatkan titik x0, x0+h, x0+2h, yaitu
dimana 0 diantara x0 dan x0+2h.
h
hxfhxfxf
2
)()()( 00
0
Diperoleh :
![Page 8: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/8.jpg)
FORMULA LIMA TITIK
dimana diantara x0-2h dan x0+2h.
1.
2.
dimana diantara x0 dan x0+4h.
![Page 9: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/9.jpg)
CONTOH : Beberapa nilai dari f(x) = x ex diberikan pada tabel berikut.
Karena f’(x) = (x+1)ex maka nilai eksak derivatif f di x=2.0adalah f’(2.0) = 22.167168.
Gunakan berbagai macam formula untuk menghitungaproksimasi derivatifnya. Banding errornya dan formulamana yang paling akurat.
PENYELESAIAN: Gunakan h = 0.1, terapkan dua formula 2 titik (selisih maju danselisih mundur), dua formula 3 titik dan dua formula 5 titik.
Order kesalahan aproksimasi :
1. Formula 2 titik (selisih maju, selisih mundur) mempunyai order 1.2. Formula 3 titik mempunyai order 2.3. Formula 5 titik mempunyai order 4.
Semakin tinggi order aproksimasi semakin akurat aproksimasi yang dihasilkan.
![Page 10: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/10.jpg)
APROKSIMASI DERIVATIF KEDUA Fungsi f diekspansi dalam deret Taylor disekitar x0, kemudian
dievaluasidi titik x0+h dan x0-h diperoleh:
dan dimana Kedua bentuk ini
dijumlahkan, diperoleh:
Berdasarkan teorema nilai antara, terdapat ξ diantara ξ0 dan ξ-1 sehingga
![Page 11: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/11.jpg)
Aproksimasi derivatif kedua (Lanjutan) Diperoleh:
CONTOH: Kembali perhatikan fungsi f(x) = xex. Fungsi ini mempunyai derivatif kedua f’’(x) = (x+2)ex. Untuk x0=2.0 diperoleh derivatif eksak adalah f’’(2.0) = 29.556224. Hitunglah aproksimasi derivatif kedua dengan menggunakan h=0.1 dan h=0.2.
PENYELESIAN : h = 0.1
h = 0.2
Error masing-masing adalah .
≈ f’’(x0) Error
![Page 12: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/12.jpg)
APROKSIMASI INTEGRAL
FORMULA QUADRATURE SEDERHANA METODA TITIK TENGAH METODA TRAPESIUM METODA SIMPSON
FORMULA QUADRATURE BERSUSUN INTEGRASI GAUSS.
![Page 13: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/13.jpg)
FORMULA SEDERHANA
Diperhatikan integral . Formula qudrature berbentuk
jumlahan digunakan sebagai aproksimasi untuk integral,yaitu
≈
xi disebut koordinat dan ai disebut bobot.
Seperti pada aproksimasi, fungsi f terlebih dahulu diaproksimasi oleh polinomial interpolasi, kemudian integral dari polinomial ini diambil sebagai aproksimasi integral fungsi f.
![Page 14: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/14.jpg)
1. METODA TITIK TENGAH (MIDPOINT)
a b
f(a)f(b)
c = (a+b)/2
f(c)
y = f(x) Fungsi f diaproksimasi oleh polinomialderajat nol (fungsi konstan):
f(x) ≈ P(x) = c,
kemudian diintegralkan, diperoleh:
2)()(
bafabdxxf
b
a
2. METODA TRAPESIUM
a b
y = f(x)
f(a)
f(b)
Fungsi f diaproksimasi oleh polinomial inter-polasi derajat satu pada titik x0:=a dan x1:= b,
)()()(
)()( axab
afbfafxf
Diintegralkan, diperoleh :
)()(2
)( bfafab
dxxfb
a
![Page 15: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/15.jpg)
3. METODA SIMPSON
a b
y = f(x)
f(a)
f(b)
c
y = P(x)
Fungsi f diaproksimasi oleh polinomialinterpolasi derajat dua di titik-titikx0= a, x1= c:= (a+b)/2 dan x3 = b, yaitu
))(](,,[)](,[)()( cxaxbcafaxcafafxf
2
0
)( dxxf
Diperoleh )()(4)(6
)( 2 bffafab
dxxf ba
b
a
CONTOH : Terapakan metoda midpoint, trapesium dan Simpson untukmenghitung integral :
dimana f adalah beberapa fungsi dasarMetoda manakah yang paling akurat?
xexxx
xxxf ,sin,1,1
1,,)( 242
![Page 16: DIFERENSIASI NUMERIK.ppt](https://reader034.fdokumen.site/reader034/viewer/2022052120/55cf9b45550346d033a56159/html5/thumbnails/16.jpg)
PENYELESAIAN:untuk f(x) = x2, eksaknya adalah = 2.667.
1. Midpoint M = (2-0)f(1) = 2.000,2. Trapesium T = (2-0)/2 [f(0)+f(2)] = 4.000,3. Simpson S = (1/3)[f(0) + 4 f(1) + f(2)] = 2.667.
2
0
33312 )02(dxx
Untuk SOAL lainnya diselesaikan sendiri !
ESTIMASI ERRORNYA ?