Dist Normal

36
Analisa Data Statistik Distribusi Probabilitas Kontinu

description

distribusi normal

Transcript of Dist Normal

  • Analisa Data Statistik Distribusi Probabilitas Kontinu

  • Daftar IsiDIstribusi Uniform KontinuDistribusi NormalHubungan Distribusi Normal dan BinomialDistribusi Gamma dan ExponentialDistribusi Chi-Squared

  • Distribusi Uniform KontinuFungsi rapat probabilitas dari distribusi variabel random X yang bersifat uniform dan kontinu dalam interval [A,B] diberikan oleh:f(x)1/(B-A)ABxMean atau rata-rata:

    Variansinya:

  • Contoh.Sebuah ruang rapat di suatu perusahaan hanya bisa dipakai tak lebih dari 4 jam. Pemakaian ruang tsb untuk rapat singkat maupun panjang sama seringnya. Bisa diasumsikan bahwa jika X menyatakan lamanya sebuah rapat di ruang tsb, maka distribusinya uniform.Turunkan fungsi rapat probabilitasnyaBerapa probabilitasnya sebuah rapat di ruang tsb akan berlangsung paling lama 3 jam?Berapakah lama rata-rata rapat di ruang tsb?

    Jawab:B = 4 dan A=0, maka (B-A) = 4 dan fungsi rapat probabilitasnya adalah: f(x) = untuk 0x 4 dan f(x)=0 untuk x di luar itu.Probabilitas lama rapat kurang dari 3 jam: P(x

  • Distribusi NormalDistribusi probabilitas yg terpenting dalam statistik adalah distribusi normal atau Gaussian. Fungsi rapat probabilitas variabel random X dengan mean dan variansi 2 yang memiliki distribusi normal adalah:

  • Distribusi Normal : SifatContoh variabel random yg memiliki distribusi normal misalnya:distribusi error dalam pengukuran pengukuran dalam meteorologipengukuran curah hujan sebagai pendekatan bagi distribusi binomialdan distribusi hipergeometrik, dan lainnyaSifat-Sifat Distribusi Normal:Rata-ratanya (mean) dan standard deviasinya = Mode (maximum) terjadi di x=Bentuknya simetrik thd x=Titik belok tepat di x=Kurva mendekati nol secara asimptotis semakin x jauh dari x=Total luasnya = 1

  • Distribusi Normal : SifatBentuk distribusi normal ditentukan oleh dan .12 1 < 2 1 = 2 12 1 < 2 1 < 2

  • Luas di Bawah Kurva dan ProbabilitasP(x1
  • Kurva Distribusi Normal StandardDistribusi normal standard adalah distribusi normal dengan mean =0 dan standard deviasi =1.

    Transformasi memetakan distribusi normal menjadi

    distribusi normal standard, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean =0 dan standard deviasi = 1. Transformasi ini juga mempertahankan luas dibawah kurvanya, artinya:

    Luas dibawah kurva distribusi normal antara x1 dan x2

    Luas dibawah kurva distribusi normal standard antara z1 dan z2

    =Dengan z1 = (x1-)/ dan z2 = (x2-)/.Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal standard kumulatif saja!

  • Tabel Distribusi Normal Standard KumulatifZ-3.4-3.3-3.2-3.1-3.0

  • Contoh: Hitung LuasPergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luas daerah :Di sebelah kanan z=1.84Antara z=-1.97 s/d z=0.86

  • Jawab.Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif adalah luas dari z=- s/d z0 tertentu: P(z1.84) = 1 P(z1.84) = 1 -0.9671 = 0.0329P(-1.97
  • Contoh: Cari zCarilah nilai z=k di distribusi normal standard sehingga P(Z>k) = 0.3015P(k
  • Jawab:P(Z>k) = 0.3015 berarti P(Zk) = 1 0.3015 = 0.6985Dari tabel terbaca luas ke kiri = 0.6985 adalah untuk z=0.52.

    b) P(k

  • Contoh: Luas di bawah kurva normal non standardContoh.Variabel X terdistribusi normal dengan mean 50 dan standard deviasi =10. Carilah probabilitas untuk menemukan X bernilai antara 45 dan 62?

  • Jawab. Dalam soal ini = 50 dan =10. x1 = 45 dan x2 =62Pertama kita mapping x ke z (melakukan normalisasi atau standardisasi):z1 = (x1 -)/ z1 = (45-50)/10 = -0.5z2 = (x2 -)/ z2 = (62-50)/10 = 1.2SehinggaP(45
  • Memakai Distribusi Normal Dalam Arah KebalikanDiketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan yang terkait dengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X yg terkait.

    Contoh.Misalkan distribusi normal memiliki =40 =6, carilah nilai x sehingga:P(xx0)=14%

    Jawab.Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.P(z

  • Memakai Distribusi Normal Dalam Arah KebalikanJawab.b) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.P(z>z0) = 14% P(zz0) = 1-0.14 = 0.86P(z
  • Contoh Penerapan Distribusi NormalSebuah perusahaan bola lampu mengetahui bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah bolam produksinya akan:Berumur antara 778 jam dan 834 jamBerumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

  • Jawab. = 800 =40.a) P(778
  • Contoh Penerapan Distribusi Normalb) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam= 800 =40.P(x< 750 atau x>900)x1=750 z1 = (x1-)/ = (750-800)/40 = -1.25x2=900 z2 = (x2-)/ = (900-800)/40 = 2.5P(x< 750 atau x>900) = P(z2.5)= P(z
  • SoalDiameter ball-bearing yg diproduksi sebuah pabrik memiliki mean 3cm dengan standard deviasi 0.005 cm. Pembeli hanya mau menerima jikalau ball bearingnya memiliki diameter 3.00.01cm.a) berapakah persenkah dari produksi pabrik tersebut yg tidak bisa diterima pembeli?b) jikalau dalam sebulan pabrik tsb memproduksi 10000 ball-bearing, berapa banyak yg harus dibuang tiap bulan karena ditolak pembeli?

  • SoalSebuah pengukur diameter bola besi dipasang secara otomatis dalam sebuah pabrik. Pengukur tsb hanya akan meloloskan diameter bola 1.50d cm. Diketahui bahwa bola produksi pabrik tersebut memiliki diameter yg terdistribusi normal dengan rata-rata 1.50 dan standard deviasi 0.2 cm. Jikalau diinginkan bahwa 95% produksinya lolos seleksi berapakah nilai d harus ditetapkan?

  • SoalRata-rata nilai kuliah statistik diketahui 65 dengan standard deviasi 15. a) Jikalau diinginkan 15% murid mendapat nilai A dan diketahui distribusi nilai normal, berapakah batas bawah nilai agar mendapat A? (b) Selanjutanya diinginkan yg mendapat B adalah sebanyak 25%. Berapakah batas bawah B? (c) Seandainya diinginkan yg tidak lulus paling banyak 25%, berapakah batas bawah agar siswa lulus?

  • Normal Approximation to BinomialJika X adalah variabel random dengan rata-rata =np dan variansi 2=npq, maka jika n dan p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka bentuk distribusi variabel Z :

    adalah distribusi normal standard. Contoh berikut ini untuk n=15, p=0.4

    Chart1

    0.0004701850.0014167278

    0.00470184980.0065281761

    0.02194196590.0227855736

    0.06338790160.0602407976

    0.12677580320.120637993

    0.18593784480.182995385

    0.20659760530.2102610435

    0.17708366170.182995385

    0.11805577450.120637993

    0.06121410530.0602407976

    0.02448564210.0227855736

    0.00741989150.0065281761

    0.00164886480.0014167278

    0.00025367150.0002328861

    0.00002415920.0000289977

    0.00000107370.0000027349

    Binom

    normal

    Distribusi Normal-Binomial

    Sheet1

    n=15mu=6

    p=0.4sigma=1.8973665961

    q=0.6

    xbinomnorm

    00.0004701850.0014167278

    10.00470184980.0065281761

    20.02194196590.0227855736

    30.06338790160.0602407976

    40.12677580320.120637993

    50.18593784480.182995385

    60.20659760530.2102610435

    70.17708366170.182995385

    80.11805577450.120637993

    90.06121410530.0602407976

    100.02448564210.0227855736

    110.00741989150.0065281761

    120.00164886480.0014167278

    130.00025367150.0002328861

    140.00002415920.0000289977

    150.00000107370.0000027349

    Sheet1

    Binom

    normal

    Distribusi Normal-Binomial

    Sheet2

    Sheet3

  • ContohProbabilitas seorang pasien sembuh dari sebuah penyakit adalah 0.4. Jika 100 orang menderita sakit tsb, berapakah probabilitasnya bahwa yg sembuh kurang dari 30 orang?

    Jawab.Ini adalah distribusi binomial, dengan n=100, p=0.4, q=1-0.4=0.6, jika x adalah jumlah orang yg sembuh, maka ingin dicari adalah:P(x

  • Distribus GammaDefinisi fungsi gamma :Dengan sifat ()= (-1) (-1), sehingga untuk =n yg berupa bilangan bulat positif, maka (n) = (n-1)!

    Definisi distribusi gamma:Variabel random X memiliki distribusi gamma dengan parameter dan , jika fungsi rapat probabilitasnya diberikan oleh:

  • Distribus Gamma : Ilustrasi

    Chart1

    100

    0.90483741810.09048374180.0001508062

    0.81873075310.16374615060.001091641

    0.74081822070.22224546620.003333682

    0.67032004610.26812801840.0071500805

    0.60653065970.30326532990.0126360554

    0.54881163610.32928698170.0197572189

    0.49658530380.34760971270.0283881265

    0.44932896410.35946317130.0383427383

    0.40656965980.36591269380.0493982137

    0.36787944120.36787944120.0613132402

    0.33287108370.36615819210.0738419021

    0.30119421190.36143305430.086743933

    0.2725317930.3542913310.0997920582

    0.2465969640.34523574950.1127770115

    0.22313016020.33469524030.1255107151

    0.2018965180.32303442880.137828023

    0.18268352410.31056199090.149587359

    0.16529888820.29753799880.1606705194

    0.14956861920.28418037650.1709818599

    0.13533528320.27067056650.1804470443

    0.12245642830.25715849940.189011497

    0.11080315840.24376694840.1966386717

    0.10025884370.23059534060.2033082253

    0.09071795330.21772308790.2090141644

    0.08208499860.20521249660.2137630173

    0.07427357820.19311130340.2175720685

    0.06720551270.18145488440.2204676846

    0.06081006260.17026817540.2224837492

    0.05502322010.15956733820.223660219

    0.04978706840.14936120510.2240418077

    0.04504920240.13965252740.2236767981

    0.0407622040.13043905270.2226159834

    0.03688316740.12171445240.2209117312

    0.033373270.11346911790.2186171671

    0.03019738340.1056908420.2157854691

    0.02732372240.09836540080.2124692658

    0.02472352650.09147704790.2087201311

    0.02237077190.08500893310.2045881656

    0.02024191140.07894345460.2001216575

    0.01831563890.07326255560.1953668148

    0.01657267540.06794796920.1903675603

    0.01499557680.06298142270.1851653826

    0.0135685590.05834480380.1797992369

    0.01227733990.05402029560.1743054871

    0.01110899650.04999048440.1687178849

    0.01005183570.04623844440.1630675807

    0.00909527710.04274780240.1573831591

    0.0082297470.03950278580.1516906976

    0.00744658310.03648825710.146013842

    0.0067379470.0336897350.1403738958

    alfa=1 beta=1

    alfa=2 beta=1

    alfa=4 beta=1

    x

    Distribusi Gamma

    Sheet1

    -2.0412329047

    B(r=30;n=100, p=0.4)

    0.0247828231

    -1.9391712594

    dx0.1

    alfa124

    beta111

    xg(x)g(x)g(x)

    0100

    0.10.90483741810.09048374180.0001508062

    0.20.81873075310.16374615060.001091641

    0.30.74081822070.22224546620.003333682

    0.40.67032004610.26812801840.0071500805

    0.50.60653065970.30326532990.0126360554

    0.60.54881163610.32928698170.0197572189

    0.70.49658530380.34760971270.0283881265

    0.80.44932896410.35946317130.0383427383

    0.90.40656965980.36591269380.0493982137

    10.36787944120.36787944120.0613132402

    1.10.33287108370.36615819210.0738419021

    1.20.30119421190.36143305430.086743933

    1.30.2725317930.3542913310.0997920582

    1.40.2465969640.34523574950.1127770115

    1.50.22313016020.33469524030.1255107151

    1.60.2018965180.32303442880.137828023

    1.70.18268352410.31056199090.149587359

    1.80.16529888820.29753799880.1606705194

    1.90.14956861920.28418037650.1709818599

    20.13533528320.27067056650.1804470443

    2.10.12245642830.25715849940.189011497

    2.20.11080315840.24376694840.1966386717

    2.30.10025884370.23059534060.2033082253

    2.40.09071795330.21772308790.2090141644

    2.50.08208499860.20521249660.2137630173

    2.60.07427357820.19311130340.2175720685

    2.70.06720551270.18145488440.2204676846

    2.80.06081006260.17026817540.2224837492

    2.90.05502322010.15956733820.223660219

    30.04978706840.14936120510.2240418077

    3.10.04504920240.13965252740.2236767981

    3.20.0407622040.13043905270.2226159834

    3.30.03688316740.12171445240.2209117312

    3.40.033373270.11346911790.2186171671

    3.50.03019738340.1056908420.2157854691

    3.60.02732372240.09836540080.2124692658

    3.70.02472352650.09147704790.2087201311

    3.80.02237077190.08500893310.2045881656

    3.90.02024191140.07894345460.2001216575

    40.01831563890.07326255560.1953668148

    4.10.01657267540.06794796920.1903675603

    4.20.01499557680.06298142270.1851653826

    4.30.0135685590.05834480380.1797992369

    4.40.01227733990.05402029560.1743054871

    4.50.01110899650.04999048440.1687178849

    4.60.01005183570.04623844440.1630675807

    4.70.00909527710.04274780240.1573831591

    4.80.0082297470.03950278580.1516906976

    4.90.00744658310.03648825710.146013842

    50.0067379470.0336897350.1403738958

    Sheet1

    alfa=1 beta=1

    alfa=2 beta=1

    alfa=4 beta=1

    x

    Distribusi Gamma

    Sheet2

    Sheet3

  • Tabel : Fungsi Gamma Tak Lengkap

  • Distribus Gamma : IlustrasiPerhatikan kecuali untuk =1 dan =1 distribusi gamma berawal dari x=0. Untuk =1 distribusi gamma dikenal dengan nama distribusi exponensial. Secara eksplisit untuk =1, berarti : (1)=0!=1, dan distribusinya adalah:

    Mean dan variansi dari distribusi gamma adalah:= 2= 2

    Sehingga untuk kasus distribusi exponensial mean dan variansinya:= 2= 2 memiliki interpretasi sebagai waktu rata-rata antara 2 kejadian berturut-turut

  • Hubungan dengan Distribusi PoissonDistribusi Poisson memiliki satu parameter yg diartikan rata-rata kejadian per unit waktu atau area. Menurut distribusi Poisson bahwa tidak terjadi sesuatu (berarti x=0) selama waktu t akan diberikan oleh:

    Jika didefiniskan variabel random X yang menyatakan lamanya waktu yg diperlukan untuk terjadinya peristiwa Poisson pertama kali, tentunya probabilitasnya = probabilitas tidak terjadi sesuatu selama x:P (X>x) = e-t Dengan distribusi kumulatifnya:P(0 X x) = 1 - e-t Turunan dari distribusi kumulatif ini = distribusi Poisson!

  • Aplikasi Distribusi Gamma & EksponensialKomponen elektronik di sebuah komputer mempunyai lama waktu sebelum rusak selama T tahun. Diketahui variabel random T dapat dimodelkan dengan distribusi eksponensial dengan waktu rata-rata sebelum rusak (mean time before failure = MTBF) =5. Sebanyak 5 komponen dipakai dalam 5 komputer berbeda, berapakah probabilitasnya bahwa setelah 8 tahun paling tidak 2 buah komponen masih baik berfungsi?Jawab:Probabilitas sebuah komponen masih berfungsi setelah 8 tahun diberikan oleh:

    Selanjutnya, misalkan X menyatakan jumlah komponen yg masih berfungsi setelah 8 tahun.

  • Aplikasi Distribusi Gamma & EksponensialSekarang persoalan adalah distribusi binomial, dengan probabilitas sukses p=0.2 (berfungsi setelah 8 tahun), banyak percobaan (yaitu banyak komponen yg diuji n=5, dan yg ingin diketahui adalah sebanyak 5 sukses, x=5.

    Jadi probabilitas bahwa setelah 8 tahun, sebanyak paling tidak 2 komponen masih berfungsi diberikan :

  • Aplikasi Distribusi Gamma & EksponensialDalam studi thd tikus, dipelajari efek racun thd waktu survival-nya. Diketahui bahwa untuk dosis tertentu racun, waktu survivalnya mengikuti pola distribusi gamma dengan =5 dan =10 dalam satuan minggu. Berapakah probabilitasnya bahwa seekor tikus akan masih selamat (survive) tak lebih dari 60 minggu.

    Jawab:Misal X adalah variabel random yg menyatakan waktu hidup (survival time), berarti probabilitasnya bahwa X60 adalah:

    Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F:

  • Aplikasi Distribusi Gamma & EksponensialJadi didefinisikan x/=y, berarti x= y dx= dy dan x=60 jadi y= 60/10=6 sehingga: Dengan definisi fungsi gamma tak lengkap F(x;) jadi:

    P (X60)= F(x=6; =5) = 0.715

  • Aplikasi Distribusi Gamma & EksponensialJadi didefinisikan x/=y, berarti x= y dx= dy dan x=60 jadi y= 60/10=6 sehingga:

    **n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n