disusun oleh -...

25
Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) “Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika” disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

Transcript of disusun oleh -...

Page 1: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Catatan Kuliah

Pengantar Statistika Matematik(a)

“Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika”

disusun oleh

Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPAInstitut Teknologi Bandung

2014

Page 2: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Tentang Pengantar Statistika Matematik(a)

A. Jadwal kuliah:

• Senin, 13.00-17.00

• Kamis, 08.00-12.00

B. Silabus:

• Peubah acak dan distribusi

• Distribusi diskrit

• Distribusi kontinu

• Fungsi peluang bersama

• Peluang dan ekspektasi bersyarat

C. Buku teks:

• Sheldon M Ross; A First Course in Probability.

• Mathematical Statistics.

D. Penilaian:

1. Ujian 1 (45%) - Kamis, 3.4.2014

2. Ujian 2 (45%) - Kamis, 23.5.2014

3. PR/Kuis (10%)

Pengantar Statistika Matematik(a) i K. Syuhada, PhD.

Page 3: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

D. Matriks kegiatan perkuliahan:

Table 1: Matriks perkuliahan Analisis Data.

Minggu- Materi Keterangan

1-2 Pengantar Penjelasan kuliahPeubah acak dan distribusi

3-4 Distribusi diskrit5-6 Distribusi kontinu7 UTS Kamis, 3.4.20148 “Praktik Nyata Peluang” Nyoblos!8-9 Fungsi peluang bersama10,12 Peluang dan ekspektasi bersyarat14 UAS Kamis, 22.5.2014

Pengantar Statistika Matematik(a) ii K. Syuhada, PhD.

Page 4: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Daftar Isi

1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi 11.1 Peubah Acak Diskrit dan Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Tentang Fungsi Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Ekspektasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Fungsi Pembangkit Momen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Distribusi Diskrit 12.1 Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Distribusi Geometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Lebih Jauh Tentang Distribusi Diskrit . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Distribusi Kontinu 13.1 Peubah Acak Kontinu dan Transformasi . . . . . . . . . . . . . 13.2 Beberapa Distribusi Kontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Aplikasi Dalam Asuransi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Antrean Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

iii

Page 5: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

BAB 1

Peubah Acak dan FungsiDistribusi

Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, fungsi distribusi, fungsipeluang.

Statistika Matematik(a) adalah perkuliahan yang menitikberatkan pada kajianpeluang secara matematik. Untuk itu, peluang yang harus ditekankan adalahpeluang pada nilai peubah acak.

Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari peubah acak dan distribusiadalah:

1. memahami dan membedakan peubah acak diskrit dan kontinu

2. menghitung peluang pada nilai peubah acak

3. menentukan fungsi distribusi dan transformasi peubah acak (serta dis-tribusi peluang yang menyertainya)

4. menghitung ekspektasi dan fungsi pembangkit momen

1.1 Peubah Acak Diskrit dan Kontinu

Apa yang dapat kita katakan tentang peubah acak?

• Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”

• Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan ruang sampel S ke bilan-gan real R

1

Page 6: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

DefinisiPeubah acakX dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan{ai, i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga

P(∪

i

{X = ai})=∑i

P (X = ai) = 1

Catatan:Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.

FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung{ai, i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi, i = 1, 2, . . . } dari bilanganpositif yang bersesuaian sedemikian hingga∑

i

pi = 1

dan

FX(x) =∑ai≤x

pi

Jika diberikan himpunan terhitung {ai, i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif{pi, i = 1, 2, . . . } sdh

∑i pi = 1, fungsi peluang pX(x) adalah

pX(x) = pi = P (X = ai),

dengan x = ai

Catatan:

• P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

• P (X ≤ b) ̸= P (X < b)

P (X < b) = P

(limn→∞

{X ≤ b− 1

n

})= lim

n→∞P

(X ≤ b− 1

n

)= lim

n→∞F

(b− 1

n

)

Pengantar Statistika Matematik(a) 2 K. Syuhada, PhD.

Page 7: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

DefinisiMisalkanX peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi(densitas) peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,

fX(x) =d

dxFX(x); f(x) ≥ 0, ∀x

atau dengan kata lain

FX(x) =

∫ x

−∞fX(t) dt

Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi (densitas) peluang adamaka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu.

Catatan:

1 = FX(∞) =

∫ ∞

−∞fX(t) dt

P (a ≤ X ≤ b) = FX(b)− FX(a) =

∫ b

a

fX(t) dt

P (X = a) =

∫ a

a

fX(t) dt = 0

LATIHAN:

1. Misalkan X ∼ Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah...

2. Misalkan X peubah acak dengan ‘support’ S = [a, b], b > 0. Misalkanpeluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang se-lang. Dengan kata lain,

P (x1 ≤ X ≤ x2) = λ (x2 − x1),

untuk a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Untuk menentukan λ, misalkan x1 = a danx2 = b. Maka,

P (a ≤ X ≤ b) = 1 = λ (b− a) ⇒ λ = 1/(b− a).

Fungsi distribusinya adalah...Fungsi peluangnya adalah...

Pengantar Statistika Matematik(a) 3 K. Syuhada, PhD.

Page 8: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

1.2 Tentang Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi berperan dalam kajian peluang pada peubah acak. Jika kitamemiliki fungsi distribusi maka fungsi peluang dapat (dengan mudah) diten-tukan. Namun, hal sebaliknya tidak berlaku. Pada kajian statistika lanjut,seperti konsep Copula, fungsi distribusi akan “lebih bermanfaat” dibandingkandengan fungsi peluang.

Sifat-sifat fungsi distribusi:

• F (−∞) = 0 dan F (∞) = 1

• F merupakan fungsi tidak turun; F (a) ≤ F (b) untuk a ≤ b

• F adalah fungsi kontinu kanan; limϵ→0+

F (x+ ϵ) = F (x)

Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x).

• Jika b ≥ a, maka P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a)

• Untuk setiap x,

P (X = x) = limϵ→0+

P (x− ϵ < X ≤) = F (x)− F (x−)

(Perhatikan notasi F (x−) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinukiri)

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX(x).

• Misalkan g(X) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada didaerah hasil dari g, fungsi invers x = g−1(y) ada. Misalkan Y = g(X).Fungsi distribusi dari Y adalah...

• Misalkan g(X) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada didaerah hasil dari g, fungsi invers x = g−1(y) ada. Misalkan Y = g(X).Fungsi distribusi dari Y adalah...

• Misalkan X mempunyai fungsi peluang f(x) = 1 dan Y = g(X) =hX + k, h < 0. Maka

X = g−1(Y ) = · · ·

FX(x) = · · ·

FY (y) = · · ·

Y ∼ · · ·

Pengantar Statistika Matematik(a) 4 K. Syuhada, PhD.

Page 9: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

LATIHAN:

1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi FX(x)yang naik murni. Misalkan Y = FX(X). Tentukan distribusi dari Y .

2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U(0, 1). Misalkan FX(x) fungsidistribusi yang naik murni dariX. Tentukan fungsi distribusi dari peubahacak F−1

X (U).

3. Misalkan U1, U2, . . . , Un sampel acak dari U(0, 1). Bangkitkan sampelacak dari FX(x) (ambil contoh misalnya untuk FX(x) = 1− e−λx, x > 0)

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX(x). MisalkanY = g(X) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsiyang monoton,

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y)

dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g−1(y) digunakan untuk menen-tukan FY (y) dengan menggunakan FX(g

−1(y)). Untuk X ∼ U(−1, 2) dang(X) = Y = X2, kita dapatkan fungsi distribusi dari Y :

FY (y) = · · ·

LATIHAN:

1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1− e−λx, maka f(x) = · · ·

2. *Misalkan f(x) = c/(1 + x2) untuk −∞ < x < ∞ dan c konstanta.Fungsi f(x) tak negatif dan

∫∞−∞ (1 + x2)−1 dx = π. Berapa nilai c agar

f(x) menjadi fungsi peluang? Tentukan fungsi distribusinya.

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) dan Y = g(X)fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y :

fY (y) = fX(g−1(y))

∣∣∣∣ ddyg−1(y)

∣∣∣∣untuk ‘support’ Y = g(X). Komponen

J(y) =d

dyg−1(y)

adalah transformasi Jacobian.

Pengantar Statistika Matematik(a) 5 K. Syuhada, PhD.

Page 10: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yangterpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X ∼U(−1, 2) dan Y = g(X) = X2. Maka untuk y ∈ [0, 1], terdapat 2 fungsi inversyaitu · · · , dan satu fungsi invers untuk y ∈ (1, 4] yaitu · · · . Fungsi peluangdari Y adalah

f(y) = · · ·

1.3 Ekspektasi

Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x). Nilai harapan atauekspektasi dari X, jika ada, adalah

E(X) = µX =

∫ ∞

−∞f(x)dx

Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga.

Misalkan X p.a. dengan f.p. f(x). Maka nilai harapan/ekspektasi dari g(X),jika ada, adalah

E[g(X)] =

∫ ∞

−∞g(x)f(x)dx.

Operator integral bersifat linier. Jika g1(X) dan g2(X) fungsi-fungsi yangmemiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka

E[ag1(X) + bg2(X) + c] = aE[g1(X)] + bE[g2(X)] + c

LATIHAN:

1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapannya ada makaE(X) = c.

2. Misalkan X ∼ U(a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrikdisekitar (a+ b)/2.

3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang

f(x) =1

σπ[1 + (x−µ)2

σ2

] ,

Pengantar Statistika Matematik(a) 6 K. Syuhada, PhD.

Page 11: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

dengan µ, σ konstanta yang memenuhi |µ| < ∞ dan σ ∈ (0, σ). Tun-jukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinyabukanlah µ.

4. Misalkan X ∼ Exp(λ). Nilai harapan/ekspektasi dari X adalah...

1.4 Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah

MX(t) = E(etX) =

∫ ∞

−∞etxf(x)dx,

asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidakada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkitmomen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang

MX(t) = GX(et)

asalkan GX(t) ada untuk t disekitar 1. Jika MX(t) adalah fungsi pembangkitpeluang maka MX(0) = 1.

Contoh/Latihan:

1. Jika fX(x) = λe−λx I0,∞(x), maka

MX(t) = · · ·

2. Jika MX(t) ada maka

Ma+bX(t) = · · ·

3. Jika Xi, i = 1, . . . , n saling bebas, MXi(t) ada untuk setiap i, dan S =∑

Xi, maka

MS(t) = · · ·

4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memilikifungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkitmomen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jikafungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebutsecara unik menentukan distribusinya. Beri contoh.

Pengantar Statistika Matematik(a) 7 K. Syuhada, PhD.

Page 12: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

5. Pandang turunan dari MX(t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apayang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen ordetinggi?

6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contohdistribusi Geometrik dengan parameter p.

7. Misalkan Y ∼ U(a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk men-dapatkan momen pusat

E((Y − µY )2) = E

((Y − a+ b

2

)r)

Pengantar Statistika Matematik(a) 8 K. Syuhada, PhD.

Page 13: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

BAB 2

Distribusi Diskrit

Silabus: Distribusi binomial, geometrik, Poisson; “varian” distribusi: kelasdistribusi (a, b, 0); zero-modified and zero-truncated distributions

Fungsi peluang dan/atau fungsi distribusi dari suatu peubah acak seringkalidiberikan (tidak perlu ditentukan). Hal ini terjadi karena f.p. tersebut su-dah dikenal atau dianggap sering dipakai/cocok dengan fenomena sehari-hari(umum). Tiga diantara distribusi tersebut adalah binomial, geometrik danPoisson.

Secara khusus, aplikasi distribusi tersebut akan diperlihatkan pada bidangasuransi. Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihakasuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua uku-ran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency)dan besar atau severitas klaim (claim severity).

Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari distribusi diskrit yang telahdikenal adalah:

1. mempelajari dan menghitung peluang dari peubah acak yang berdis-tribusi binomial, geometrik dan Poisson

2. memahami “varian” distribusi

2.1 Distribusi Binomial

Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusidiskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Mis-alkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari

1

Page 14: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

semua klaim yang masuk. Misalkan X ∼ B(n, θ), maka fungsi peluangnya

P (X = k) = Cnk θk (1− θ)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n

Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkanfungsi peluang (fp), yaitu

E(Xm) =n∑

k=0

xm P (X = k).

Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = · · · , dst. Momen ke-m dapat puladitentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm):

MX(t) = · · ·

Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan dis-tribusi peubah acak tersebut.

Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang da-pat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif?Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp?

Misalkan X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari X yang berdistribusi binomial den-gan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metodelikelihood maksimum sbb:

• Fungsi likelihood dan log-likelihood: ...

• Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ...

• Penaksir θ̂: ...

• Turunan kedua terhadap parameter: ...

2.2 Distribusi Geometrik

Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalahdistribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepatuntuk menggambarkan distribusi ini?

Misalkan X ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang

p(x) = (1− α)x−1 α, x = 1, 2, . . .

Pengantar Statistika Matematik(a) 2 K. Syuhada, PhD.

Page 15: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya,

E(X) =1

α, V ar(X) =

1

α2,

dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X ∼ Geo(α), kita dapat pulamenentukan sifat distribusi dari X + 1.

Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanyadimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!

2.3 Distribusi Poisson

Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim padasuatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ.Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ,

E(X) = V ar(X) = λ.

Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean samadengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion danunderdispersion)

Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaatyang dapat kita ambil?

TeoremaJika X1, . . . , Xn peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan Xi ∼POI(λi) maka

X = X1 + · · ·+Xn ∼ POI(λ1 + . . .+ λn).

Pengantar Statistika Matematik(a) 3 K. Syuhada, PhD.

Page 16: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Misalkan X dan Y peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1

dan λ2. Kita dapat menentukan distribusi X|X + Y = n sebagai berikut

P (X = k|X + Y = n)

=P (X = k,X + Y = n)

P (X + Y = n)

=P (X = k, Y = n− k)

P (X + Y = n)

=P (X = k)P (Y = n− k)

P (X + Y = n)

=exp(−λ1)λ

k1 (k!)

−1 exp(−λ2)λn−k2 ((n− k)!)−1

exp(−(λ1 + λ2)) (λ1 + λ2)n (n!)−1

=n!

k!(n− k)!

(λ1

λ1 + λ2

)k (λ2

λ1 + λ2

)n−k

.

Dengan kata lain, X|X + Y = n ∼ B(n, λ1/(λ1 + λ2)).

2.4 Lebih Jauh Tentang Distribusi Diskrit

Kelas Distribusi (a, b, 0)

Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ):

f(x) =e−λ λx

x!, x = 0, 1, 2, . . .

yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untukX = x− 1,

f(x− 1) =e−λ λx−1

(x− 1)!.

Diperoleh

f(x)

f(x− 1)=

e−λ λx

x!

/ e−λ λx−1

(x− 1)!

x

atau

f(x) =

x

)f(x− 1), x = 1, 2, . . .

Pengantar Statistika Matematik(a) 4 K. Syuhada, PhD.

Page 17: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, ge-ometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Ke-las Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif:

f(x) =

(a+

b

x

)f(x− 1), x = 1, 2, . . . ,

dengan a, b konstanta dan f(0) diberikan.Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.

Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions

Misalkan X ∼ B(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagaiberikut:

X P (X = k)

0 0.2161 0.4322 0.2883 0.064

Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena di-mana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (X = 0) = 0.3,atau bahkan mungkin tidak ada, P (X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanyamodifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagaizero-modified and zero-truncated distributions.

Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi pelu-ang f(x). Misalkan fM(x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi darif(x); fM(x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk fM(0) yangditentukan, hubungan antara fM(x) dan f(x) adalah

fM(x) = c f(x), x = 1, 2, . . .

dengan c konstanta.Catatan: Fungsi peluang fM(x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya,c dapat diperoleh,

c =1− fM(0)

1− f(0).

Untuk distribusi Binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghi-

Pengantar Statistika Matematik(a) 5 K. Syuhada, PhD.

Page 18: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

tung fM(k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut:

fM(1) =1− fM(0)

1− f(0)f(1)

=1− 0.3

1− 0.2160.432

= 0.386.

Dengan cara sama, kita peroleh fM(2) = 0.258 dan fM(3) = 0.056.

Untuk zero-truncated distribution, nilai P (X = 0) = 0. Diperoleh nilai sepertitabel berikut:

X P (X = k) Zero-Modified Zero-Truncated

0 0.216 0.3 01 0.432 0.3862 0.288 0.2583 0.064 0.056

Latihan:1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poissondengan parameter 2.52. Misalkan X∗ adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsipeluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalah fX(x) danPX(t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X∗

Pengantar Statistika Matematik(a) 6 K. Syuhada, PhD.

Page 19: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

BAB 3

Distribusi Kontinu

Silabus: Distribusi uniform, normal, gamma; fungsi kesintasan; CTE; aplikasi:deductibles dan policy limit; antrean eksponensial

Tujuan yang ingin dicapai dalam memahami distribusi kontinu dan aplikasidalam asuransi dan antrean adalah

1. mempelajari distribusi uniform dan “manfaat”nya dalam membangundata berbagai distribusi

2. mengkaji distribusi normal sebagai “kesepakatan” dalam memahami fenom-ena riil

3. memahami dan menghitung peluang dan ekspektasi pada peubah acakkontinu dalam bidang asuransi

4. menentukan peluang dalam aplikasi antrean eksponensial

3.1 Peubah Acak Kontinu dan Transformasi

MisalkanX peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsipeluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,

fX(x) =d

dxFX(x)

atau dengan kata lain

FX(x) =

∫ x

−∞fX(t) dt

1

Page 20: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Catatan:

1 = FX(∞) =

∫ ∞

−∞fX(t) dt

P (a ≤ X ≤ b) = FX(b)− FX(a) =

∫ b

a

fX(t) dt

P (X = a) =

∫ a

a

fX(t) dt = 0

Latihan:

1. Diketahui

f(x) = c e−2x, x > 0,

Hitung (i) c, (ii) P (X > 2)

2. Suatu peubah acak X memiliki fungsi peluang

f(x) = k (1− x2),

untuk −1 < x < 1. Tentukan FX(x)

Beberapa cara dapat digunakan untuk memanipulasi suatu peubah acak men-jadi peubah acak baru. Peubah acak baru ini diperoleh dengan membentukfungsi peubah acak. Sebagai contoh, diketahui peubah acak X dengan fungsidistribusi tertentu. Kita dapat membentuk fungsi peubah acak

Y =X

λ;Y = X

1α ,

dsb. Contoh lain, misalkan X1, . . . , Xn peubah acak dengan fungsi peluangfX1 , . . . , fXn . Peubah acak baru X dapat dibentuk dengan fungsi peluang

fX(x) = p1 fX1(x) + · · ·+ pn fXn(x),

dengan pi ≥ 0,∑n

i=1 pi = 1.

3.2 Beberapa Distribusi Kontinu

Distribusi UniformPeubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi Uniform pada selang [a, b] jika

Pengantar Statistika Matematik(a) 2 K. Syuhada, PhD.

Page 21: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

fungsi peluang fX nya sebagai berikut

fX(x) =1

b− a, a ≤ x ≤ b.

Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinuF , jika kita definisikan peubah acak X sbb:

X = F−1(U)

maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F .

Contoh.Jika F (x) = 1− e−x maka F−1(u) adalah nilai x sedemikian hingga

1− e−x = u

atau

x = − log(1− u)

Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka

F−1(U) = − log(1− U)

adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1).

Distribusi NormalRiset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil penguku-ran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian,sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu.Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalahbahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitarmean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh darimean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berben-tuk bel (bell-shaped curve) yang disebut distribusi normal.

Peubah acak kontinu X adalah peubah acak normal atau Gauss dengan pa-rameter µ dan σ2 jika fungsi peluangnya adalah

fX(x) =1√2π σ

exp

(− 1

2σ2(x− µ)2

),

untuk −∞ ≤ x ≤ ∞.

Pengantar Statistika Matematik(a) 3 K. Syuhada, PhD.

Page 22: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Teorema Limit DeMoivre-LaplaceJika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan inde-penden, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b,

P

(a ≤ Sn − np√

np(1− p)≤ b

)→ Φ(b)− Φ(a),

untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1−p)besar, np(1− p) ≥ 10)

Latihan:

1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P (X > 1/2)

2. Tentukan mean dan variansi dari peubah acak Uniform pada selang noldan satu

3. Jika X ∼ N(1, 4), hitung P (2 < X < 3)

4. Peubah acak normal dengan parameter (0, 1) dikatakan sebagai peubahacak normal standar. Tentukan c sedemikian hingga P (|X| < c) = 0.5

Distribusi GammaDefinisi Fungsi Gamma:

Γ(t) =

∫ ∞

0

xt−1 e−x dx

Catatan:Γ(t+ 1) = tΓ(t), t > 0

Diskusi.

Γ(n) = (n− 1)! n = 1, 2, . . .

Γ

(n+

1

2

)=

(2n)!

n! 22n√π

Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya‘sukses’ yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan pa-rameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandangbanyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dan terma-suk) sukses ke-r, maka kita dapatkan peubah acak beristribusi Binomial negatif

Pengantar Statistika Matematik(a) 4 K. Syuhada, PhD.

Page 23: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam ben-tuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandangpeubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukseske-r.

Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi pelu-ang (pdf)

f(x) =λα

Γ(α)xα−1 e−λx, x > 0

dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusiGamma dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ).

Diskusi.

• α = 1

• α < 1

• α > 1

• Jika α membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsipeluang Normal. Berikan ilustrasi pada λ = 2 dan α = 1/2, 1, 5/2, 5

Catatan:

1. Fungsi kesintasan (survival function) merupakan komplemen dari fungsidistribusi. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi kesintasan S(x) adalahnilai kumulatif peluang yang lebih besar dari x atau

S(x) = 1− F (x) = P (X > x),

dengan sifat-sifat sbb:...

2. Suatu peubah acak X dapat berdistribusi kontinu dan diskrit,

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞f(x) dx+

∑x

P (X = x)

dengan sifat ekspektasi...Contoh: Misalkan X ∼ U(0, 10). Misalkan Y = X − 2 untuk X > 2.

Pengantar Statistika Matematik(a) 5 K. Syuhada, PhD.

Page 24: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

3.3 Aplikasi Dalam Asuransi

Severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaimasuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinunonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Paretoserta sifat-sifat yang menyertainya seperti sifat ekor dan kuantil.

Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khususpeubah acak seperti sifat ekor, kuantil dll adalah manfaat atau aplikasi dalambidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankanpada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya padakasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage).

Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidakjarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyaki-nan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikanmasalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asur-ansi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limits dancoinsurance.

Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatukejadian kerugian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau dise-but ground-up loss. MisalkanXL menyatakan besar uang yang dibayar dimanaada modifikasi cakupan atau cost per loss; XP menyatakan besar uang yangdibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event) dimana ada mod-ifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, paymentevent terjadi hanya jika pihak asuransi membayar kerugian.

DeductiblesSuatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar padapemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengand; akan membayar pemegang polis sebesar X − d jika kerugian X lebih dari d.Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL, adalah

XL = X − d, untuk X > d,

dan XL = 0 untuk X ≤ d. Distribusi peluang untuk XL adalah...

Peubah acak XP (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran,yaitu saat X > d,

XP = X − d|X > d.

Fungsi kesintasan SXPadalah...

Pengantar Statistika Matematik(a) 6 K. Syuhada, PhD.

Page 25: disusun oleh - personal.fmipa.itb.ac.idpersonal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/catkuliah...BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak

Catatan:XL memiliki censored distribution, XP memiliki truncated distribution.

Latihan.MisalkanX dan Y , dengan deductible d = 0.25. Hitung E(XL), E(XP ), E(YL), E(YP ),jika X berdistribusi eksponensial dan Y berdistribusi lognormal.

Policy limitModifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u yang di-tentukan dari awal dengan aturan

XU = u, untuk X ≥ u,

dan XU = X untuk X < u. Notasi: XU = X ∧ u.

3.4 Antrean Eksponensial

Misalkan X peubah acak eksponensial. Fungsi distribusi dan fungsi hazard-nya dapat ditentukan sbb. Distribusi eksponensial sering digunakan untukmenentukan distribusi waktu antar-kedatangan.

Pengantar Statistika Matematik(a) 7 K. Syuhada, PhD.