ECCENTRIC-DISTANCE SUM PADA KOMPLEMEN GRAF … · eccentric-distance sum pada komplemen graf invers...
Transcript of ECCENTRIC-DISTANCE SUM PADA KOMPLEMEN GRAF … · eccentric-distance sum pada komplemen graf invers...
ECCENTRIC-DISTANCE SUM PADA KOMPLEMEN GRAF INVERS
GRUP DIHEDRAL
SKRIPSI
OLEH
MUSTIKA ANA KURFIA
NIM. 13610060
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2017
ECCENTRIC-DISTANCE SUM PADA KOMPLEMEN GRAF INVERS
GRUP DIHEDRAL
SKRIPSI
Diajukan Kepada
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
Oleh
Mustika Ana Kurfia
NIM. 13610060
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2017
ECCENTRIC-DISTANCE SUM PADA KOMPLEMEN GRAF INVERS
GRUP DIHEDRAL
SKRIPSI
Oleh
Mustika Ana Kurfia
NIM. 13610060
Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji
Tanggal 28 Agustus 2017
Pembimbing I, Pembimbing II,
H. Wahyu H. Irawan, M.Pd
NIP. 19710420 200003 1 003
Abdul Aziz, M.Si
NIP. 19760318 200604 1 002
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Dr. Usman Pagalay, M.Si
NIP. 19650414 200312 1 001
ECCENTRIC-DISTANCE SUM PADA KOMPLEMEN GRAF INVERS
GRUP DIHEDRAL
SKRIPSI
Oleh
Mustika Ana Kurfia
NIM. 13610060
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi
dan Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan
untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
Tanggal 13 September 2017
Penguji Utama
Ketua Penguji
Sekretaris Penguji
Anggota Penguji
:
:
:
:
Dr. Abdussakir, M.Pd
Dr. Usman Pagalay, M.Si
H. Wahyu H. Irawan, M.Pd
Abdul Aziz, M.Si
......................................
......................................
......................................
......................................
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Dr. Usman Pagalay, M.Si
NIP. 19650414 200312 1 001
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Mustika Ana Kurfia
NIM : 13610060
Jurusan : Matematika
Fakultas : Sains dan Teknologi
Judul Skripsi : Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers
Grup Dihedral
menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar
merupakan hasil karya sendiri, bukan merupakan pengambilan data, tulisan, atau
pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri,
kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar rujukan. Apabila di
kemudian hari terbukti atau dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia
menerima sanksi atas perbuatan saya tersebut.
Malang, 28 Agustus 2017
Yang membuat pernyataan,
Mustika Ana Kurfia
NIM. 13610060
MOTO
م خي ر لكم بأموالكم وأن فسكم في سبيل الله ذلك انفروا خفافا وثقال وجاهدوا تم ت علمون إن كن
“Berangkatlah kamu baik dalam keadaan merasa ringan maupun berat dan
berjihadlah kamu dengan harta dan dirimu di jalan Allah, yang demikian itu
adalah lebih baik bagimu jika kamu mengetahui” (QS. At-Taubah/9:41).
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan untuk:
Ibunda tercinta Mas’unah yang selalu memotivasi dan mendoakan penulis.
Ayahanda tersayang Yaseni Bachtiar yang selalu memberikan inspirasi dan
ide-ide terbaik kepada penulis.
Nenek terbaik H. Makbulah yang selalu mendoakan penulis.
Adik terhebat Bimantara Adhitama yang selalu perhatian dan memberi semangat
kepada penulis.
viii
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Segala puji bagi Allah Swt. atas rahmat, taufik, dan hidayah-Nya sehingga
penulis mampu menyelesaikan penyusunan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar sarjana dalam bidang matematika di Fakultas Sains dan
Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Shalawat serta
salam semoga senantiasa tercurahkan kepada nabi Muhammad Saw. yang telah
membimbing manusia dari jalan kegelapan menuju jalan yang terang benderang yaitu
agama Islam.
Selama proses penulisan skripsi ini, penulis banyak mendapat saran,
bimbingan, arahan, doa, dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis
sampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya serta penghargaan yang
setinggi-tingginya kepada:
1. Prof. Dr. H. Abdul Haris, M.Ag, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana
Malik Ibrahim Malang.
2. Dr. Sri Harini, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
3. Dr. Usman Pagalay, M.Si, selaku ketua Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan
Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
4. H. Wahyu H. Irawan, M.Pd, selaku dosen pembimbing I yang telah banyak
memberikan arahan, nasihat, motivasi, dan berbagi pengalaman yang berharga
kepada penulis.
ix
5. Abdul Aziz, M.Si, selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan saran dan
bantuan dalam penulisan skripsi ini.
6. Segenap civitas akademika Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang terutama seluruh
dosen, terima kasih atas segala ilmu dan bimbingannya.
7. Ayah dan Ibu tercinta yang telah mencurahkan kasih sayang, doa, bimbingan,
dan motivasi hingga terselesaikannya skripsi ini.
8. Saudara-saudara tersayang yang telah memberikan semangat kepada penulis.
9. Seluruh teman-teman di Jurusan Matematika angkatan 2013, terutama Nianatus
Sholihah, Ismi Rizqa Lina, Setia Alam, Rika Saputri, Kusnia Nur Hadiyah, dan
M. Hasan Asnawi yang berjuang bersama-sama untuk meraih mimpi dan terima
kasih untuk kenang-kenangan indah yang dirajut bersama dalam menggapai
impian.
10. Semua pihak yang ikut membantu dalam menyelesaikan skripsi ini baik moril
maupun materiil.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi penulis dan
pembaca.
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Malang, Agustus 2017
Penulis
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
HALAMAN PENGAJUAN
HALAMAN PERSETUJUAN
HALAMAN PENGESAHAN
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
HALAMAN MOTO
HALAMAN PERSEMBAHAN
KATA PENGANTAR ...................................................................................... viii
DAFTAR ISI ..................................................................................................... x
DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xiv
ABSTRAK ........................................................................................................ xv
ABSTRACT ...................................................................................................... xvi
xvii .................................................................................................................... ملخص
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................. 4
1.3 Tujuan Penelitian .............................................................................. 4 1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................ 4
1.5 Metode Penelitian ............................................................................. 4
1.6 Sistematika Penulisan ....................................................................... 6
BAB II KAJIAN PUSTAKA
2.1 Himpunan ......................................................................................... 7 2.2 Operasi Biner .................................................................................... 8 2.3 Grup .................................................................................................. 8
2.3.1 Definisi Grup ........................................................................... 8
2.3.2 Grup Berhingga ....................................................................... 10 2.3.3 Grup Dihedral .......................................................................... 10
2.4 Graf ................................................................................................... 11
2.4.1 Definisi Graf ............................................................................ 11 2.4.2 Terhubung Langsung, Terkait Langsung, Order, dan
Ukuran ..................................................................................... 12 2.4.3 Derajat Titik ............................................................................. 13
2.4.4 Komplemen dari Graf .............................................................. 13
xi
2.4.5 Jalan dan Lintasan ................................................................... 14 2.4.6 Graf Terhubung ....................................................................... 15
2.4.7 Jarak pada Graf ........................................................................ 15 2.4.8 Eksentrisitas Titik .................................................................... 16
2.5 Graf Invers dari Grup Berhingga ...................................................... 17 2.6 Eccentric-Distance Sum .................................................................... 18 2.7 Kajian Graf dalam Perspektif Islam ................................................. 19
BAB III PEMBAHASAN
3.1 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝐷6 ............. 22
3.1.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝐷6 .................................. 22 3.1.2 Graf Invers Grup Dihedral-6 ................................................... 23
3.1.3 Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷6) ......................................................... 24
3.1.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝐺𝑆(𝐷6) .................... 24
3.1.5 Eksentrisitas Titik pada 𝐺𝑆(𝐷6) ............................................... 25
3.1.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷6) ..................................... 26
3.2 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝐷8 ............. 26
3.2.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝐷8 .................................. 27 3.2.2 Graf Invers Grup Dihedral-8 ................................................... 28
3.2.3 Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷8) ......................................................... 28
3.2.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝐺𝑆(𝐷8) .................... 29
3.2.5 Eksentrisitas Titik pada 𝐺𝑆(𝐷8) ............................................... 30
3.2.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷8) ..................................... 31
3.3 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝐷10 ............ 32
3.3.1 Invers dari masing-masing anggota 𝐷10 .................................. 33 3.3.2 Graf Invers Grup Dihedral-10 ................................................. 33
3.3.3 Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷10) ........................................................ 34
3.3.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝐺𝑆(𝐷10) ................... 34
3.3.5 Eksentrisitas Titik pada 𝐺𝑆(𝐷10) ............................................. 34
3.3.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷10) .................................... 35
3.4 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝐷12 ............ 35
3.4.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝐷12 ................................ 36 3.4.2 Graf Invers Grup Dihedral-12 ................................................. 36
3.4.3 Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷12) ........................................................ 37
3.4.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝐺𝑆(𝐷12) ................... 38
3.4.5 Eksentrisitas Titik pada 𝐺𝑆(𝐷12) ............................................. 38
3.4.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷12) .................................... 38
3.5 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝐷14 ............ 39
3.5.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝐷14 ................................ 39 3.5.2 Graf Invers Grup Dihedral-14 ................................................. 40
3.5.3 Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷14) ........................................................ 41
3.5.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝐺𝑆(𝐷14) ................... 41
3.5.5 Eksentrisitas Titik pada 𝐺𝑆(𝐷14) ............................................. 42
3.5.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷14) .................................... 42
xii
3.6 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝐷16 ............ 43
3.6.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝐷16 ................................ 43 3.6.2 Graf Invers Grup Dihedral-16 ................................................. 44
3.6.3 Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷16) ........................................................ 44
3.6.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝐺𝑆(𝐷16) ................... 45
3.6.5 Eksentrisitas Titik pada 𝐺𝑆(𝐷16) ............................................. 45
3.6.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷16) .................................... 46
3.7 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝐷18 ............ 46
3.7.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝐷18 ................................ 47 3.7.2 Graf Invers Grup Dihedral-18 ................................................. 48
3.7.3 Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷18) ........................................................ 48
3.7.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝐺𝑆(𝐷18) ................... 49
3.7.5 Eksentrisitas Titik pada 𝐺𝑆(𝐷18) ............................................. 49
3.7.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷18) .................................... 50
3.8 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Inverse 𝐷20 .......... 50
3.8.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝐷20 ................................ 51 3.8.2 Graf Invers Grup Dihedral-20 ................................................. 52
3.6.3 Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷20) ........................................................ 52
3.6.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝐺𝑆(𝐷20) ................... 53
3.6.5 Eksentrisitas Titik pada 𝐺𝑆(𝐷20) ............................................. 53
3.6.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷20) .................................... 54
3.9 Pola Eccentric-Distance Sum pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) .................................... 54
BAB IV PENUTUP
3.1 Kesimpulan ....................................................................................... 69 3.2 Saran ................................................................................................. 70
DAFTAR RUJUKAN ..................................................................................... 71
RIWAYAT HIDUP
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 3.1 Tabel Cayley Grup Dihedral-6 ......................................................... 22
Tabel 3.2 Tabel Cayley Grup Dihedral-8 ......................................................... 27
Tabel 3.3 Tabel Cayley Grup Dihedral-10 ....................................................... 32
Tabel 3.4 Tabel Cayley Grup Dihedral-12 ....................................................... 35
Tabel 3.5 Tabel Cayley Grup Dihedral-14 ....................................................... 39
Tabel 3.6 Tabel Cayley Grup Dihedral-16 ....................................................... 43
Tabel 3.7 Tabel Cayley Grup Dihedral-18 ....................................................... 47
Tabel 3.8 Tabel Cayley Grup Dihedral-20 ....................................................... 51
Tabel 3.9 Unsur di 𝑆 dan Banyaknya Anggota 𝑆 dari Grup Dihedral .............. 55
Tabel 3.10 Eksentrisitas Titik dan Jumlah Jarak Titik dari 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ................. 56
Tabel 3.11 Eccentric-Distance Sum dari 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ............................................. 63
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Graf 𝐺 ............................................................................................ 12
Gambar 2.2 Graf 𝐺 dan Komplemennya ........................................................... 14
Gambar 2.3 Jalan dan Lintasan pada Graf 𝐿 ..................................................... 14
Gambar 2.4 Graf Terhubung dan Graf Tak Terhubung .................................... 15
Gambar 2.5 Eksentrisitas Titik Graf 𝐿 .............................................................. 16
Gambar 2.6 Graf Invers Grup Modulo Bilangan Bulat 3 .................................. 17
Gambar 2.7 Graf 𝐹 ............................................................................................ 19
Gambar 3.1 Graf Invers Grup Dihedral-6 (𝐺𝑆(𝐷6)) ....................................... 23
Gambar 3.2 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-6 (𝐺𝑆(𝐷6) ) ................. 24
Gambar 3.3 Graf Invers Grup Dihedral-8 (𝐺𝑆(𝐷8)) ....................................... 28
Gambar 3.4 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-8 (GS(D8) ) .................. 29
Gambar 3.5 Graf Invers Grup Dihedral-10 (𝐺𝑆(𝐷10)) ................................... 33
Gambar 3.6 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-10 (𝐺𝑆(𝐷10) ) ............... 34
Gambar 3.7 Graf Invers Grup Dihedral-12 (𝐺𝑆(𝐷12)) ................................... 37
Gambar 3.8 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-12 (𝐺𝑆(𝐷12) ) ............... 37
Gambar 3.9 Graf Invers Grup Dihedral-14 (𝐺𝑆(𝐷14)) ................................... 40
Gambar 3.10 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-14 (𝐺𝑆(𝐷14) ) ............... 41
Gambar 3.11 Graf Invers Grup Dihedral-16 (𝐺𝑆(𝐷16)) ................................... 44
Gambar 3.12 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-16 (𝐺𝑆(𝐷16) ) ............... 45
Gambar 3.13 Graf Invers Grup Dihedral-18 (𝐺𝑆(𝐷18)) ................................... 48
Gambar 3.14 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-18 (𝐺𝑆(𝐷18) ) ............... 49
Gambar 3.15 Graf Invers Grup Dihedral-20 (𝐺𝑆(𝐷20)) ................................... 52
Gambar 3.16 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-20 (𝐺𝑆(𝐷20) ) .............. 53
Gambar 3.17 Representasi Silaturrahim dalam Graf ......................................... 68
xv
ABSTRAK
Kurfia, Mustika Ana. 2017. Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf
Invers Grup Dihedral. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan
Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
Pembimbing: (I) H. Wahyu H. Irawan, M.Pd. (II) Abdul Aziz, M.Si.
Kata kunci: eccentric-distance sum, graf invers, grup dihedral.
Misal (Γ, ∗) adalah grup berhingga dan 𝑆 himpunan bagian dari Γ yang
memuat semua anggota Γ yang tidak invers ke dirinya sendiri. Graf invers dari Γ
𝐺𝑆(Γ) adalah graf yang himpunan titiknya adalah semua anggota di Γ sedemikian
sehingga setiap titik yang berbeda 𝑢 dan 𝑣 adalah terhubung langsung jika dan
hanya jika 𝑢 ∗ 𝑣 atau 𝑣 ∗ 𝑢 ada di 𝑆. Misal 𝐺 adalah graf terhubung, eccentric-
distance sum dari graf 𝐺 didefinisikan 𝜉𝑑𝑠(𝐺) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)𝑢∈𝑉(𝐺) , 𝑒(𝑢)
merupakan eksentrisitas titik 𝑢 di 𝐺 dan 𝐷(𝑢) merupakan jumlah jarak titik 𝑢 di 𝐺.
Tujuan dari penelitian ini adalah mencari pola eccentric-distance sum pada
komplemen graf invers grup dihedral yang nantinya dijadikan teorema. Hasil
penelitian ini adalah:
1. |𝑆| = 𝑛 − 1 untuk 𝑛 ganjil dan |𝑆| = 𝑛 − 2 untuk 𝑛 genap.
2. Eksentrisitas setiap titik pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) adalah 2.
3. Jumlah jarak pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , ∀𝑛 ≥ 5 adalah
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 2 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
untuk 𝑛 ganjil,
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
untuk 𝑛 genap dan 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ, dan
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛4 , 𝑢 ≠ 𝑟𝑛−
𝑛4
3𝑛 − 3 , 𝑢 lainnya
untuk 𝑛 genap dan 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ.
4. Eccentric-distance sum pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , ∀𝑛 ≥ 5 adalah
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) = {
12𝑛2 − 10𝑛 + 2 , jika 𝑛 ganjil
12𝑛2 − 14𝑛 + 4 , jika 𝑛 genap , 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ
12𝑛2 − 14𝑛 + 8 , jika 𝑛 genap , 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ
Bagi penelitian selanjutnya diharapkan dapat menemukan pola dari eccentric-
distance sum dari graf invers grup berhingga lainnya.
xvi
ABSTRACT
Kurfia, Mustika Ana. 2017. Eccentric-Distance Sum of Complement of Inverse
Graph of Dihedral Group. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of
Science and Technology, Maulana Malik Ibrahim State Islamic University
Malang. Advisor: (I) H. Wahyu H. Irawan, M.Pd. (II) Abdul Aziz, M.Si.
Keyword: eccentric-distance sum, inverse graph, dihedral group.
Let (Γ, ∗) be a finite group and 𝑆 a possibly empty subset of Γ containing
its non-invertible elements. The inverse graph 𝐺𝑆(Γ) of Γ is the graph whose set of
vertices coincides with Γ such that two distinct vertices 𝑢 and 𝑣 are adjacent if and
only if either 𝑢 ∗ 𝑣 ∈ 𝑆 or 𝑣 ∗ 𝑢 ∈ 𝑆. Let 𝐺 be a connected graph. The eccentric-
distance sum of 𝐺 is defined as 𝜉𝑑𝑠(𝐺) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)𝑢∈𝑉(𝐺) , where 𝑒(𝑢) is the
eccentricity of the vertex 𝑢 in 𝐺 and 𝐷(𝑢) is the distance sum of the vertex 𝑢 in 𝐺.
The purpose of this research is to find a formula of eccentric-distance sum
of complement of inverse graph of dihedral group which will be stated as theorem.
The results of this research are:
1. |𝑆| = 𝑛 − 1 for 𝑛 is odd and |𝑆| = 𝑛 − 2 for 𝑛 is even.
2. The eccentricity of every vertex of 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) is 2.
3. The distance sum of 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , ∀𝑛 ≥ 5 are
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 2 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
for 𝑛 is odd,
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
for 𝑛 is even and 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ, and
𝐷(𝑢) = { 3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛4 , 𝑢 ≠ (𝑟
𝑛4)−1
3𝑛 − 3 , 𝑢 others
for 𝑛 is even and 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ.
4. The eccentric-distance sum of 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , ∀𝑛 ≥ 5 are
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) = {12𝑛2 − 10𝑛 + 2 , if 𝑛 is odd
12𝑛2 − 14𝑛 + 4 , if 𝑛 is even , 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ
12𝑛2 − 14𝑛 + 8 , if 𝑛 is even , 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ
For further research, it is suggested to find the formula of eccentric-distance sum of
inverse graph of another finite groups.
xvii
ملخص
زمرةكس لا المع المخطط مكملةفى Eccentric-Distance Sum.7102كورفيا، مستيكا آنا. ولنا اإلسالمية الحكوميه م جامعةالالرياضيات، كلية العلوم والتكنولوجيا، شعبة .زوجىة
( عبد 7) ج واهيو هينجكي إراوان الماجستير( الح0مالك إبراهيم مالنج. المشرف: ) العزيز الماجستير.
زمرة زوجية. ،المعاكس المخطط، Eccentric-Distance Sum :الرئىسىةكلمات ال
,Γ)على سبيل المثال التي تحتوي Γ مجموعة فرعية من 𝑆 هي مجموعة محدودة و (∗يكون المخططهو Γ 𝐺𝑆(Γ) المعاكس المخطط. على جميع األعضاء غير معكوس ألنفسهم
متصلة مباشرة إذا 𝑣 و 𝑢 مختلفة رؤوسبحيث تكون كل Γ فيه جميع األعضاء في رؤوسمجموع 𝑢 وفقط إذا كانت ∗ 𝑣أو 𝑣 ∗ 𝑢 في 𝑆 .المثال 𝐺 متصل، ويعرف خططمعبارة عن eccentric-
distance sum خططلم 𝐺 تعريف𝜉𝑑𝑠(𝐺) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)𝑢∈𝑉(𝐺) حيث𝑒(𝑢) هو النحراف 𝐺.في 𝑢 يمثل عدد النقاط المسافة 𝐷 (𝑢) و 𝐺في 𝑢من النقطة
eccentric-distance sum والغرض من هذه الدراسة هو البحث عن أنماط لمسافات
والتي ستكون نظرية. نتائج هذه الدراسة هي: زمرة زوجىةالمعاكس ل المخطط فى مكملة0. |𝑆| = 𝑛 − |𝑆|و فردى 𝑛 إلى 2 = 𝑛 − . زوجى 𝑛 لى إ 2𝐺𝑆(𝐷2𝑛) على رؤوسالنحراف في كل .7 2.هو 𝑛∀ مقدار المسافة في .3 ≥ 5 ،𝐺𝑆(𝐷2𝑛) غير
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 2 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
، فردى 𝑛 إذا𝐷(𝑢) = {
3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
𝑛و زوجى 𝑛 إذا = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ و ،
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟
𝑛4 , 𝑢 ≠ (𝑟
𝑛4)−1
3𝑛 − 3 , 𝑢 أكثر
𝑛.و زوجى 𝑛 إذا = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ
xviii
4. Eccentric-distance sum في ∀𝑛 ≥ 5 ،𝐺𝑆(𝐷2𝑛) غير
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) =
{
12𝑛2 − 10𝑛 + إذا 𝑛 فردى , 212𝑛2 − 14𝑛 + 4 , 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ ,زوجى 𝑛 إذا 12𝑛2 − 14𝑛 + 8 , 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ ,زوجى 𝑛 إذا
فى مكملة eccentric-distance sumلمزيد من البحث ومن المتوقع أن تجد نمطا من مسافات مجموعات محدودة أخرى. لالمعاكس المخطط
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Allah Swt. berfirman di dalam al-Quran surat an-Nisa/4:1, yang berbunyi
Artinya: “Hai sekalian manusia, bertakwalah kepada Tuhan kalian yang telah
menciptakan kalian dari seorang diri, dan darinya Allah menciptakan istrinya; dan
dari keduanya Allah memperkembangbiakkan laki-laki dan perempuan yang
banyak. Dan bertakwalah kepada Allah yang dengan (mempergunakan) nama-Nya
kalian saling meminta satu sama lain, dan peliharalah hubungan silaturrahim.
Sesungguhnya Allah selalu menjaga dan mengawasi kalian.”
Pada QS. an-Nisa/4:1, Allah Swt. berfirman memerintahkan kepada
makhluk-Nya agar bertakwa kepada-Nya semata dan tidak membuat sekutu bagi-
Nya. Allah Swt. juga memerintahkan kepada manusia untuk senantiasa bertakwa
kepada-Nya. Maksudnya, bertakwalah kalian kepada Allah Swt. dengan taat
kepada-Nya. Menurut Ad-Dahhak, ‘bertakwalah kalian kepada Allah Swt. yang
kalian telah berjanji dan berikrar menyebut namanya’. Bertakwalah kalian kepada
Allah Swt. dalam silaturrahim. Dengan kata lain, janganlah kalian memutuskannya
melainkan hubungkanlah dan berbaktilah untuknya (Katsir, 2001:228).
Berdasarkan hikmah dari al-Quran surat an-Nisa/4:1, kita sebagai umat
manusia diperintahkan untuk saling menjaga hubungan silaturrahim dan tidak
memutuskannya. Silaturrahim bertujuan menyambungkan kasih sayang atau
kekerabatan yang menghendaki kebaikan. Dengan bersilaturrahim, kita bisa
2
menjalin hubungan yang baik dan mempererat hubungan satu sama lain. Kajian
tentang keterhubungan dalam ilmu matematika juga dijelaskan yakni tentang teori
graf.
Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari
sifat-sifat graf. Graf 𝐺 adalah pasangan (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dengan 𝑉(𝐺) adalah
himpunan tidak kosong dari objek-objek yang disebut titik, dan 𝐸(𝐺) adalah
himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di 𝑉(𝐺)
yang disebut sisi. Jika 𝑢𝑣 merupakan sisi dari 𝐺, maka 𝑢 dan 𝑣 adalah titik yang
terhubung langsung (Chartand, dkk, 2016:3).
Perkembangan terbaru dari teori graf yang banyak dikaji oleh
matematikawan adalah membahas graf yang dibangun dari grup. Misal (Γ, ∗)
adalah grup berhingga dan 𝑆 himpunan bagian dari Γ yang memuat semua anggota
Γ yang tidak invers ke dirinya sendiri. Graf invers dari Γ (𝐺𝑆(Γ)) adalah graf yang
himpunan titiknya adalah semua anggota di Γ sedemikian sehingga setiap titik yang
berbeda 𝑢 dan 𝑣 adalah terhubung langsung di 𝐺𝑆(Γ) jika dan hanya jika 𝑢 ∗ 𝑣 atau
𝑣 ∗ 𝑢 ada di 𝑆 (Alfuraidan dan Zakariya, 2017:143).
Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung, 𝑢 dan 𝑣 adalah titik di 𝐺 (tidak harus
berbeda). Jalan 𝑢 − 𝑣 pada 𝐺 adalah barisan berhingga yang berselang-seling
𝑊:𝑢 = 𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣2, … , 𝑒𝑛, 𝑣𝑛 = 𝑣 antara titik dan sisi yang dimulai dari titik
dan diakhiri dengan titik, dengan 𝑒𝑖 = (𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖), ∀𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 adalah sisi di 𝐺.
𝑛 menyatakan panjang dari 𝑊. Jika 𝑣0 ≠ 𝑣𝑛, maka 𝑊 disebut jalan terbuka. Jalan
terbuka yang semua titiknya berbeda disebut lintasan (Abdussakir, dkk, 2009:51).
Misalkan 𝑢 dan 𝑣 adalah dua titik yang berbeda di graf terhubung 𝐺. Jarak
𝑑(𝑢, 𝑣) merupakan panjang lintasan terpendek dari titik 𝑢 ke titik 𝑣 dan jumlah
3
jarak 𝐷(𝑢) merupakan jumlah jarak antara titik 𝑢 dengan semua titik yang berbeda
di 𝐺. Eksentrisitas titik 𝑢 pada graf 𝐺 adalah jarak maksimal atau jarak terjauh
antara titik 𝑢 dengan sebarang titik di 𝐺. Eccentric-distance sum dari suatu graf 𝐺
adalah penjumlahan dari hasil perkalian antara eksentrisitas dan jumlah jarak dari
masing-masing titik pada graf 𝐺 (Padmapriya dan Mathad, 2017:52).
Alfuraidan dan Zakariya (2017) mendefinisikan graf invers dan menuliskan
sifat-sifat dari graf invers tersebut. Sifat-sifat yang ditulis berupa sifat derajat titik
dari graf invers, diameter dari graf invers, dan sifat Hamiltonian dari beberapa graf
invers. Padmapriya dan Mathad (2017) menganalisis dan membuktikan bentuk
umum atau pola dari eccentric-distance sum dari graf roda, graf bintang, graf sapu,
graf planar, dan graf lolipop.
Mengacu pada kedua penelitian tersebut, peneliti tertarik untuk
mengembangkan dan menggabungkan keduanya sehingga diperoleh kajian tentang
eccentric-distance sum pada graf invers dari grup berhingga. Grup dihedral
merupakan salah satu grup berhingga yang sering diminati dan diteliti oleh
matematikawan sehingga dapat dibentuk suatu graf invers dari grup dihedral. Agar
graf yang dibangun terhubung, maka graf yang digunakan adalah komplemen dari
graf invers grup dihedral. Oleh karena itu, kajian tentang eccentric-distance sum
pada komplemen graf invers yang dibangun dari grup dihedral menarik untuk
dikaji.
Berdasarkan uraian di atas, maka judul dari penelitian ini adalah “Eccentric-
Distance Sum pada Komplemen Graf Invers Grup Dihedral”.
4
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian
ini yaitu bagaimana pola eccentric-distance sum pada komplemen graf invers grup
dihedral?
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan yang ingin dicapai
dalam penelitian ini yaitu untuk mengetahui pola eccentric-distance sum pada
komplemen graf invers grup dihedral.
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah dapat memperkaya informasi
dalam perkembangan teori graf tentang eccentric-distance sum pada komplemen
graf invers grup dihedral yang nantinya juga dapat dijadikan sebagai bahan rujukan
untuk penelitian selanjutnya.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian yang dilakukan adalah dengan pendekatan penelitian kualitatif.
Jenis penelitian yang digunakan berupa studi kepustakaan (library research), yaitu
teknik pengumpulan data dengan mengadakan studi penelaahan terhadap buku-
buku, catatan-catatan, dan hasil penelitian ilmiah lain yang berhubungan dengan
objek permasalahan.
Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
a. Merumuskan masalah.
5
b. Mencari dan mengumpulkan berbagai literatur yang dijadikan acuan dalam
pembahasan. Penulis menggunakan jurnal utama karya Afuraidan dan Zakariya
(2017) serta karya Padmapriya dan Mathad (2017).
c. Analisis data dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menjabarkan anggota dan membentuk tabel Cayley dari grup dihedral
𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14, 𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20.
2. Mencari invers dari masing-masing anggota pada 𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14, 𝐷16,
𝐷18, dan 𝐷20.
3. Membentuk himpunan bagian 𝑆 dari 𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14, 𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20
yang anggotanya merupakan semua anggota dari masing-masing grup
dihedral yang inversnya bukan dirinya sendiri.
4. Membangun dan menggambar graf invers dari grup dihedral
𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14, 𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20.
5. Menggambar komplemen graf invers grup dihedral 𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14,
𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20.
6. Mencari jumlah jarak dari masing-masing titik pada komplemen graf invers
grup dihedral 𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14, 𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20.
7. Mencari nilai eksentrisitas titik pada komplemen graf invers grup dihedral
𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14, 𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20.
8. Mencari nilai eccentric-distance sum pada komplemen graf invers grup
dihedral 𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14, 𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20.
9. Merumuskan pola dari eccentric-distance sum pada komplemen graf invers
grup dihedral.
6
10. Membuktikan pola dari eccentric-distance sum pada komplemen graf invers
grup dihedral.
d. Membuat kesimpulan dari analisis data.
e. Menulis laporan hasil penelitian.
1.6 Sistematika Penulisan
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan sistematika penulisan yang
terdiri dari empat bab, masing–masing bab dibagi dalam subbab dengan sistematika
penulisan sebagai berikut:
Bab I Pendahuluan
Berisi latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat
penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.
Bab II Kajian Pustaka
Berisi literatur pendukung objek permasalahan antara lain tentang
himpunan, operasi biner, grup, grup berhingga, grup dihedral, graf,
komplemen dari graf, graf terhubung, jumlah jarak pada graf, eksentrisitas
titik, graf invers dari grup berhingga, eccentric-distance sum, dan kajian
silaturrahim dalam Islam.
Bab III Pembahasan
Berisi pembahasan mengenai pola dari eccentric-distance sum pada
komplemen graf invers grup dihedral.
Bab IV Penutup
Berisi kesimpulan dan saran.
7
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Himpunan
Himpunan didefinisikan sebagai suatu koleksi objek-objek yang terdefinisi
dengan jelas. Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital dan terkadang
dinyatakan dengan mendaftar semua anggotanya (Gilbert dan Gilbert, 2015:1).
Contoh 2.1
𝑆 adalah himpunan bilangan prima yang lebih dari 5 dan kurang dari 20.
Sehingga 𝑆 = {7, 11, 13, 17, 19}.
Definisi 2.1
Misalkan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan. 𝐴 disebut himpunan bagian dari 𝐵 jika
dan hanya jika setiap anggota himpunan 𝐴 adalah anggota dari himpunan 𝐵.
Salah satu notasi 𝐴 ⊆ 𝐵 atau notasi 𝐵 ⊇ 𝐴 mengindikasikan bahwa 𝐴 adalah
himpunan bagian dari 𝐵 (Gilbert dan Gilbert, 2015:2).
Contoh 2.2
Diketahui himpunan 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 𝐵 = {1, 3, 5}. Maka dapat
dikatakan bahwa 𝐵 merupakan himpunan bagian dari 𝐴 atau dinotasikan 𝐵 ⊆ 𝐴
karena semua anggota 𝐵 ada di 𝐴. Namun 𝐴 bukan himpunan bagian dari 𝐵 atau
𝐴 ⊈ 𝐵 karena ada sebagian anggota 𝐴 yang tidak ada di 𝐵.
Diketahui 𝐴 dan 𝐵 adalah dua himpunan. Jika 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝐴 maka dapat
dikatakan 𝐴 dan 𝐵 sama, dinotasikan dengan 𝐴 = 𝐵. Jika 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐴 ≠ 𝐵 maka
dapat dikatakan 𝐴 himpunan bagian sejati dari 𝐵, dinotasikan 𝐴 ⊂ 𝐵 (Raisinghania
dan Anggarwal, 1980:3).
8
Contoh 2.3
1. Jika 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝐵 = {𝑏, 𝑎, 𝑐}, 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝐴 maka 𝐴 = 𝐵.
2. Jika 𝐴 = {𝑎, 𝑏} dan 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝐴 ⊂ 𝐵.
2.2 Operasi Biner
Definisi 2.2
Suatu operasi biner pada himpunan tak kosong 𝐴 merupakan pemetaan 𝑓 dari
𝐴 × 𝐴 ke 𝐴 (Gilbert dan Gilbert, 2015:30).
Contoh 2.4
Diberikan ℕ yaitu himpunan semua bilangan asli dan ∗ adalah operasi pada
ℕ dengan syarat ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏. Karena 𝑎 ∈ ℕ dan 𝑏 ∈ ℕ, maka
penjumlahan dari kedua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli, dinotasikan
𝑎 + 𝑏 ∈ ℕ. Jadi operasi ∗ merupakan operasi biner pada ℕ.
2.3 Grup
2.3.1 Definisi Grup
Definisi 2.3
Misalkan operasi biner ∗ terdefinisi pada unsur di himpunan 𝐺. Maka 𝐺
merupakan suatu grup dengan operasi ∗ jika memenuhi aksioma sebagai
berikut (Gilbert dan Gilbert, 2015:141):
1. Operasi ∗ bersifat asosiatif di 𝐺. Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺, maka 𝑥 ∗
(𝑦 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧.
2. 𝐺 memiliki identitas 𝑒 terhadap operasi ∗. Terdapat suatu 𝑒 di 𝐺 sedemikian
sehingga 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺.
9
3. 𝐺 memuat invers terhadap operasi ∗. Untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺, terdapat 𝑏 ∈ 𝐺
sedemikian sehingga 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒.
Contoh 2.5
Misalkan ℤ adalah himpunan bilangan bulat, maka (ℤ,+) adalah grup karena
berlaku:
i. Operasi penjumlahan (+) pada ℤ merupakan operasi biner yang terdefinisi di ℤ
karena untuk setiap (𝑘, 𝑙) ∈ ℤ × ℤ berlaku 𝑘 + 𝑙 ∈ ℤ. Sehingga ℤ tertutup
terhadap operasi +.
ii. Untuk setiap 𝑘, 𝑙,𝑚 ∈ ℤ maka 𝑘 + (𝑙 + 𝑚) = (𝑘 + 𝑙) + 𝑚. Jadi operasi +
bersifat asosiatif di ℤ.
iii. Terdapat anggota identitas terhadap operasi + di ℤ yaitu 0 ∈ ℤ sedemikian
sehingga 𝑘 + 0 = 0 + 𝑘 = 𝑘, untuk setiap 𝑘 ∈ ℤ.
iv. Untuk 𝑘 ∈ ℤ terdapat 𝑘−1 yaitu (−𝑘) ∈ ℤ sedimikian sehingga 𝑘 + (−𝑘) =
(−𝑘) + 𝑘 = 0.
Berdasarkan i, ii, iii, dan iv maka terbukti bahwa (ℤ,+) adalah grup.
Definisi 2.4
Misalkan 𝐺 adalah grup dengan operasi ∗. Maka 𝐺 disebut grup komutatif atau
grup abelian jika operasi ∗ bersifat komutatif di 𝐺, yaitu 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 untuk
setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 (Gilbert dan Gilbert, 2015:142).
Contoh 2.6
Grup (ℤ,+) adalah grup abelian karena ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℤ berlaku 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥.
10
2.3.2 Grup Berhingga
Definisi 2.5
Jika suatu grup 𝐺 mempunyai anggota yang berhingga, maka 𝐺 disebut grup
berhingga. Banyaknya anggota di 𝐺 disebut order dari 𝐺 dan dinotasikan 𝑜(𝐺)
atau |𝐺|. Jika 𝐺 tidak memiliki anggota yang berhingga, maka 𝐺 disebut grup
tak berhingga (Gilbert dan Gilbert, 2015:145).
Contoh 2.6
Grup (ℤ4, +) dengan ℤ4 = {0, 1, 2, 3} adalah grup berhingga dan memiliki order
𝑜(ℤ4) = 4.
2.3.3 Grup Dihedral
Grup dihedral adalah grup dari himpunan simetri-simetri dari segi-𝑛
beraturan, dinotasikan 𝐷2𝑛, untuk setiap 𝑛 bilangan bulat positif dan 𝑛 ≥ 3. Dalam
buku lain ada yang menuliskan grup dihedral dengan 𝐷𝑛 (Dummit dan Foote,
1991:23).
Misalkan 𝐷2𝑛 suatu grup yang didefinisikan oleh 𝑠𝑡 untuk 𝑠, 𝑡 ∈ 𝐷2𝑛 yang
diperoleh dari simetri (simetri sebagai fungsi pada segi-𝑛, sehingga 𝑠𝑡 adalah fungsi
komposisi). Jika 𝑠, 𝑡 akibat permutasi titik berturut-turut 𝜎, 𝜏, maka 𝑠𝑡 akibat dari
𝜎 ∘ 𝜏. Operasi biner pada 𝐷2𝑛 adalah assosiatif karena fungsi komposisi adalah
assosiatif. Identitas dari 𝐷2𝑛 adalah identitas dari simetri (yang meninggalkan
semua titik tetap), dinotasikan dengan 1, dan invers dari 𝑠 ∈ 𝐷2𝑛 adalah kebalikan
semua putaran dari simetri 𝑠 (jadi jika 𝑠 akibat permutasi pada titik 𝜎, 𝑠−1 akibat
dari 𝜎−1) (Dummit dan Foote, 1991:24).
11
Karena grup dihedral akan digunakan secara luas, maka perlu beberapa notasi dan
beberapa hitungan yang dapat menyederhanakan perhitungan selanjutnya dan
membantu mengamati 𝐷2𝑛 sebagai grup abstrak, yaitu (Dummit dan Foote,
2004:25):
1. 1, 𝑟, 𝑟2, … , 𝑟𝑛−1 adalah seluruh anggota yang berbeda dan 𝑟𝑛 = 1, jadi |𝑟| = 𝑛.
2. |𝑠| = 2.
3. 𝑠 ≠ 𝑟𝑖 , ∀𝑖.
4. 𝑠𝑟𝑖 ≠ 𝑠𝑟𝑗 , ∀ 0 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 − 1 dengan 𝑖 ≠ 𝑗.
Jadi 𝐷2𝑛 = {1, 𝑟, 𝑟2, … , 𝑟𝑛−1, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, … , 𝑠𝑟𝑛−1}, yaitu setiap anggota dapat
dituliskan secara tunggal dalam bentuk 𝑠𝑘𝑟𝑖 untuk 𝑘 = 0 atau 1 dan 0 ≤ 𝑖 ≤
𝑛 − 1.
5. 𝑠𝑟 = 𝑟−1𝑠.
6. 𝑠𝑟𝑖 = 𝑟−𝑖𝑠 untuk semua 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Sebagai contoh 𝐷6 adalah grup dihedral yang memuat semua simetri (rotasi
dan refleksi) pada bangun segitiga sehingga 𝐷6 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2}.
2.4 Graf
2.4.1 Definisi Graf
Graf 𝐺 adalah pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan tidak
kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik dan 𝐸 adalah himpunan
(mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik yang berbeda di 𝑉 yang
disebut sebagai sisi. Untuk menegaskan bahwa 𝑉 dan 𝐸 adalah himpunan titik dan
himpunan sisi dari graf 𝐺, biasanya 𝑉 dinotasikan sebagai 𝑉(𝐺) dan 𝐸 dinotasikan
sebagai 𝐸(𝐺) (Chartand, dkk, 2016:3). Sebagai contoh, graf 𝐺 dengan himpunan
12
titik 𝑉(𝐺) = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦} dan himpunan sisi 𝐸(𝐺) = {(𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑦), (𝑣, 𝑥), (𝑣, 𝑦),
(𝑤, 𝑦), (𝑤, 𝑥)} ditunjukkan pada Gambar 2.1 sebagai berikut:
Gambar 2.1 Graf 𝐺
2.4.2 Terhubung Langsung, Terkait Langsung, Order, dan Ukuran
Sisi 𝑒 = (𝑢, 𝑣) dikatakan menghubungkan titik 𝑢 dan 𝑣. Jika 𝑒 = (𝑢, 𝑣)
adalah sisi di graf 𝐺, maka 𝑢 dan 𝑣 disebut terhubung langsung (adjacent), 𝑣 dan 𝑒
serta 𝑢 dan 𝑒 disebut terkait langsung (incident), dan titik 𝑢 disebut ujung dari 𝑒.
Dua sisi berbeda (𝑢, 𝑣) dan (𝑣, 𝑤) disebut terhubung langsung jika terkait langsung
pada satu titik yang sama (Abdussakir, dkk, 2009:6).
Banyaknya titik pada graf 𝐺 disebut order dari 𝐺 dan banyaknya sisi pada
graf 𝐺 disebut ukuran dari 𝐺. Biasanya order dari graf 𝐺 dinotasikan sebagai 𝑛 dan
ukuran dari graf 𝐺 dinotasikan sebagai 𝑚. Suatu graf dengan order 1 disebut graf
trivial. Suatu graf dengan ukuran 0 disebut graf kosong (Chartand, dkk, 2016:4).
Berdasarkan graf 𝐺 pada Gambar 2.1, maka titik 𝑢 dan 𝑣 terhubung
langsung, demikian juga dengan 𝑢 dan 𝑦, 𝑣 dan 𝑥, 𝑣 dan 𝑦, 𝑤 dan 𝑦, serta 𝑤 dan 𝑥.
Titik 𝑢 dan 𝑤 tidak terhubung langsung, demikian juga dengan titik 𝑢 dan 𝑥, 𝑣 dan
𝑤, serta 𝑥 dan 𝑦. Sisi (𝑢, 𝑣) terkait langsung dengan titik 𝑢 dan 𝑣, namun tidak
terkait langsung dengan titik 𝑢 dan 𝑦. Sisi (𝑢, 𝑣) dan (𝑢, 𝑦) terhubung langsung
𝑢
𝑣
𝑤 𝑥
𝑦 𝐺:
13
karena terkait langsung pada satu titik yang sama, yaitu titik 𝑢. Sisi (𝑢, 𝑣) dan
(𝑤, 𝑥) tidak terhubung langsung karena tidak terkait langsung pada titik yang sama.
Order dari graf 𝐺 adalah 5 dan ukurannya adalah 6.
2.4.3 Derajat Titik
Derajat titik 𝑣 dari graf 𝐺 merupakan banyaknya titik di 𝐺 yang terhubung
langsung dengan 𝑣. Derajat dari titik 𝑣 pada graf 𝐺 dinotasikan dengan deg𝐺 𝑣 atau
deg 𝑣. Suatu titik yang berderajat 0 disebut titik terasing dan titik yang berderajat
1 disebut titik ujung atau daun. Derajat terbesar dari semua titik di 𝐺 disebut derajat
maksimum dari 𝐺 dan dinotasikan dengan Δ(𝐺). Derajat minimum dari 𝐺
dinotasikan dengan 𝛿(𝐺). Oleh karena itu, jika 𝑣 merupakan titik dari graf 𝐺
dengan order 𝑛, maka 0 ≤ 𝛿(𝐺) ≤ deg 𝑣 ≤ Δ(𝐺) ≤ 𝑛 − 1 (Chartand, dkk,
2016:5). Berdasarkan Gambar 2.1, maka diperoleh bahwa deg 𝑢 = deg𝑤 =
deg 𝑥 = 2 dan deg 𝑣 = deg 𝑦 = 3. Jadi, 𝛿(𝐺) = 2 dan Δ(𝐺) = 3.
2.4.4 Komplemen dari Graf
Misalkan 𝐺 graf dengan himpunan titik 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi 𝐸(𝐺).
Komplemen dari graf 𝐺, ditulis �� adalah graf dengan himpunan titik 𝑉(𝐺)
sedemikian sehingga dua titik akan terhubung langsung di �� jika dan hanya jika
dua titik tersebut tidak terhubung langsung di 𝐺. Jadi, diperoleh bahwa 𝑉(��) =
𝑉(𝐺) dan (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸(��) jika dan hanya jika (𝑢, 𝑣) ∉ 𝐸(𝐺). Jika 𝐺 adalah graf
dengan order 𝑛 dan ukuran 𝑚, maka graf �� mempunyai order 𝑛 dan ukuran ��
dengan �� =𝑛(𝑛−1)
2= (
𝑛2) (Abdussakir, dkk, 2009:29). Suatu graf 𝐺 dan
komplemennya ditunjukkan pada Gambar 2.2 sebagai berikut:
14
Gambar 2.2 Graf 𝐺 dan Komplemennya
2.4.5 Jalan dan Lintasan
Misalkan 𝐺 adalah graf. Misalkan 𝑢 dan 𝑣 adalah titik di 𝐺 (tidak harus
berbeda). Jalan 𝑢 − 𝑣 pada 𝐺 adalah barisan berhingga yang berselang-seling
𝑊:𝑢 = 𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣2, … , 𝑒𝑛, 𝑣𝑛 = 𝑣 antara titik dan sisi yang dimulai dari titik
dan diakhiri dengan titik, dengan 𝑒𝑖 = (𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖), ∀𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 adalah sisi di 𝐺.
𝑣0 disebut titik awal, 𝑣𝑛 disebut titik akhir, titik 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1 disebut titik internal,
dan 𝑛 menyatakan panjang dari 𝑊. Jika 𝑣0 ≠ 𝑣𝑛, maka 𝑊 disebut jalan terbuka.
Jika 𝑣0 = 𝑣𝑛, maka 𝑊 disebut jalan tertutup. Jalan yang tidak mempunyai sisi
disebut jalan trivial (Abdussakir, dkk, 2009:49). Karena dalam graf dua titik hanya
akan dihubungkan oleh tepat satu sisi, maka jalan 𝑢 − 𝑣 dapat ditulis menjadi
𝑊:𝑢 = 𝑣0, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛 = 𝑣 (Abdussakir, dkk, 2009:50). Jalan terbuka yang
semua titiknya berbeda disebut lintasan (Abdussakir, dkk, 2009:51).
Perhatikan graf 𝐿 pada Gambar 2.3 sebagai berikut.
Gambar 2.3 Jalan dan Lintasan pada Graf 𝐿
𝑎
𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 𝐺:
𝑎
𝑏
𝑐 𝑑
𝑒 ��:
𝑝 𝑞
𝑜
𝑡 𝑠
𝑟 𝐿:
15
Berdasarkan Gambar 2.3, maka 𝑊1 = 𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑝, 𝑡, 𝑜 dan 𝑊2 = 𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑝, 𝑡
adalah jalan di 𝐿. 𝑊1 adalah jalan tertutup dan 𝑊2 adalah jalan terbuka. 𝑊1
mempunyai panjang 7 dan 𝑊2 mempunyai panjang 6. 𝑊3 = 𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡 adalah
lintasan di 𝐿 karena semua titiknya berbeda.
2.4.6 Graf Terhubung
Misalkan 𝑢 dan 𝑣 titik berbeda pada graf 𝐺. Titik 𝑢 dan 𝑣 dikatakan
terhubung, jika terdapat lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺. Suatu graf 𝐺 dikatakan terhubung, jika
untuk setiap titik 𝑢 dan 𝑣 yang berbeda di 𝐺 terhubung (Abdussakir, dkk, 2009:55).
Dengan kata lain, suatu graf 𝐺 dikatakan terhubung, jika untuk setiap 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺
terdapat lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺. Sebaliknya, jika ada dua titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺 tetapi tidak
ada lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺, maka 𝐺 dikatakan tak terhubung (Abdussakir, dkk,
2009:56). Graf 𝐹 dari Gambar 2.4 adalah graf terhubung sedangkan graf 𝐻 adalah
graf tak terhubung.
Gambar 2.4 Graf Terhubung dan Graf Tak Terhubung
2.4.7 Jarak pada Graf
Jika 𝑢 dan 𝑣 adalah titik yang berbeda pada graf terhubung 𝐺, maka terdapat
suatu lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺. Sehingga, bisa jadi terdapat beberapa lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺
dengan kemungkinan panjang yang berbeda. Jarak 𝑑𝐺(𝑢, 𝑣) dari titik 𝑢 ke titik 𝑣
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4 𝑥5
𝐹:
𝑦1
𝑦2 𝑦3
𝑦4 𝑦5
𝐻:
16
pada graf terhubung 𝐺 merupakan panjang terkecil dari suatu lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺.
Jarak dari titik 𝑢 ke titik 𝑣 pada suatu graf 𝐺 biasanya dinotasikan dengan 𝑑(𝑢, 𝑣)
(Chartand, dkk, 2016:44). Jumlah jarak dari titik 𝑢 pada suatu graf 𝐺 yang
dinotasikan 𝐷(𝑢) merupakan jumlah jarak antara titik 𝑢 dan semua titik dari graf 𝐺
(Padmapriya dan Mathad, 2017:51). Jumlah jarak dari titik 𝑢 pada suatu graf 𝐺
didefinisikan sebagai
𝐷(𝑢) = ∑ 𝑑(𝑢, 𝑣)
𝑣∈𝑉(𝐺)
(Ilic, dkk, 2011:590).
Berdasarkan Gambar 2.3, diperoleh bahwa 𝑑(𝑝, 𝑞) = 1 karena panjang
terkecil dari lintasan 𝑝 − 𝑞 adalah satu. Begitu juga dengan 𝑑(𝑝, 𝑠) = 𝑑(𝑝, 𝑡) =
𝑑(𝑝, 𝑜) = 1. 𝑑(𝑝, 𝑟) = 2 karena panjang terkecil lintasan 𝑝 − 𝑟 adalah dua.
2.4.8 Eksentrisitas Titik
Eksentrisitas titik 𝑣 pada suatu graf terhubung 𝐺 disimbolkan 𝑒(𝑣) adalah
jarak terbesar antara titik 𝑣 dengan sebarang titik pada graf 𝐺. Eksentrisitas titik 𝑣
didefinisikan sebagai 𝑒(𝑣) = max{𝑑(𝑢, 𝑣)| 𝑢 ∈ 𝑉(𝐺)} (Padmapriya dan Mathad,
2017:51). Eksentrisitas titik graf 𝐿 pada Gambar 2.3 ditunjukkan pada Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Eksentrisitas Titik Graf 𝐿
2 2
3
2 2
3 𝐿:
17
2.5 Graf Invers dari Grup Berhingga
Definisi 2.6
Misalkan (Γ, ∗) adalah grup berhingga dan 𝑆 = {𝑢 ∈ Γ|𝑢 ≠ 𝑢−1}.
Didefinisikan graf invers dari Γ (𝐺𝑆(Γ)) adalah graf yang himpunan titiknya
adalah semua anggota Γ sedemikian sehingga dua titik yang berbeda 𝑢 dan 𝑣
adalah terhubung langsung jika dan hanya jika 𝑢 ∗ 𝑣 ∈ 𝑆 atau 𝑣 ∗ 𝑢 ∈ 𝑆
(Alfuraidan dan Zakariya, 2017:143).
Contoh 2.7
Diketahui grup (ℤ3, +) dengan ℤ3 = {0, 1, 2}.
0−1 = 0, 1−1 = 2, dan 2−1 = 1. Maka 𝑆 = {1, 2}. Sehingga dapat dibentuk suatu
graf invers dari ℤ3 (𝐺𝑆(ℤ3)) pada Gambar 2.6 sebagai berikut.
Gambar 2.6 Graf Invers Grup Modulo Bilangan Bulat 3
Identitas adalah anggota trivial yang invers terhadap dirinya sendiri dalam
sebarang grup berhingga Γ. Maka identitas pasti bukan anggota dari 𝑆. Sehingga
menyebabkan banyaknya anggota 𝑆 kurang dari banyaknya anggota Γ. Jika Γ adalah
grup berhingga yang tidak memuat anggota yang invers terhadap dirinya sendiri
selain identitas, maka |𝑆| = |Γ| − 1. Oleh karena itu, jika banyaknya anggota Γ
ganjil maka |𝑆| = |Γ| − 1, dikarenakan setiap anggota Γ memiliki pasangan invers
yang berbeda selain identitas itu sendiri. Jika banyaknya anggota Γ genap, maka
0
1 2
𝐺𝑆(ℤ3):
18
terdapat anggota Γ sebanyak ganjil dan identitas yang invers terhadap dirinya
sendiri. Sehingga banyaknya anggota 𝑆 selalu genap.
Setiap anggota 𝑥 pada grup berhingga Γ jika dioperasikan dengan identitas
𝑒 maka hasilnya adalah dirinya sendiri. Sehingga, jika 𝑥 adalah anggota di 𝑆, maka
titik 𝑒 dan titik 𝑥 terhubung langsung di 𝐺𝑆(Γ). Jika 𝑥 bukan anggota di 𝑆, maka
titik 𝑒 dan titik 𝑥 tidak terhubung langsung di 𝐺𝑆(Γ). Oleh karena itu, titik 𝑒 pasti
terhubung langsung dengan semua titik di 𝑆. Sehingga diperoleh deg 𝑒 = |𝑆| untuk
sebarang graf invers.
2.6 Eccentric-Distance Sum
Suatu invarian graf baru dalam memprediksi sifat biologis dan fisik jumlah
jarak eksentrik atau eccentric-distance sum diperkenalkan oleh S. Gupta, M. Singh,
dan A.K. Madan pada tahun 2002. Eccentric-distance sum merupakan penjumlahan
dari hasil perkalian antara eksentrisitas dan jumlah jarak masing-masing titik dalam
suatu graf 𝐺. Eccentric-distance sum didefinisikan sebagai:
𝜉𝑑𝑠(𝐺) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺)
dengan 𝑒(𝑢) merupakan eksentrisitas titik 𝑢 dan 𝐷(𝑢) merupakan jumlah jarak titik
𝑢 (Padmapriya dan Mathad, 2017:52).
Contoh 2.7
Misalkan graf 𝐹 ditunjukkan pada Gambar 2.7 sebagai berikut.
19
Gambar 2.7 Graf 𝐹
Berdasarkan Gambar 2.7, dapat diketahui bahwa 𝑒(𝑦) = 𝑒(𝑤) = 1 dan 𝑒(𝑣) =
𝑒(𝑥) = 2. Selain itu, dapat diketahui bahwa 𝐷(𝑦) = 𝐷(𝑤) = 3 dan 𝐷(𝑣) =
𝐷(𝑥) = 4. Sehingga diperoleh
𝜉𝑑𝑠(𝐺) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺)
= 𝑒(𝑣)𝐷(𝑣) + 𝑒(𝑤)𝐷(𝑤) + 𝑒(𝑥)𝐷(𝑥) + 𝑒(𝑦)𝐷(𝑦)
= (2 ⋅ 4) + (1 ⋅ 3) + (2 ⋅ 4) + (1 ⋅ 3) = 22.
2.7 Kajian Graf dalam Perspektif Islam
Graf adalah pasangan himpunan tidak kosong dari objek-objek yang disebut
titik, dan himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik
berbeda yang disebut sisi. Jika tedapat sisi antara dua titik yang berbeda maka dapat
dikatakan kedua titik tersebut terhubung langsung. Sehingga terdapat
keterhubungan antara kedua titik tersebut. Sebagaimana dalam al-Quran yang
menjelaskan tentang keterhubungan yaitu silaturrahim.
Silaturrahim berasal dari kata silah yang berarti hubungan dan ar-rahim
yang berarti rahim atau kerabat. Sehingga secara bahasa, silaturrahim merupakan
hubungan kekerabatan. Perintah silaturrahim terdapat pada al-Quran surat an-
Nisa/4:1, yang berbunyi
𝑦 𝑣
𝑥 𝑤
𝐹:
20
Artinya: “Hai sekalian manusia, bertakwalah kepada Tuhan kalian yang telah
menciptakan kalian dari seorang diri, dan darinya Allah menciptakan istrinya; dan
dari keduanya Allah memperkembangbiakkan laki-laki dan perempuan yang
banyak. Dan bertakwalah kepada Allah yang dengan (mempergunakan) nama-Nya
kalian saling meminta satu sama lain, dan peliharalah hubungan silaturrahim.
Sesungguhnya Allah selalu menjaga dan mengawasi kalian.”
Ayat tersebut menjelaskan tentang perintah Allah Swt. kepada umatnya agar
senantiasa saling menyambung silaturrahim dan tidak memutuskannya. Seperti
ditekankan pada penggalan al-Quran surat an-Nisa/4:1, yaitu
Artinya: “Dan bertakwalah kepada Allah yang dengan (mempergunakan) nama-
Nya kalian saling meminta satu sama lain, dan peliharalah hubungan
silaturrahim”.
Terdapat beberapa cara atau bentuk yang bisa dilakukan untuk mewujudkan
silaturrahim. Salah satunya yakni dengan memberi bantuan kepada kerabat seperti
yang dituliskan dalam al-Quran surat an-Nahl/16:90, yang berbunyi
Artinya: “Sesungguhnya Allah menyuruh (kamu) berlaku adil dan berbuat
kebajikan, memberi kepada kaum kerabat, dan Allah melarang dari perbuatan keji,
kemungkaran, dan permusuhan. Dia memberi pengajaran kepada kalian agar
kalian dapat mengambil pelajaran”.
Allah Swt. menyebutkan bahwa Dia memerintahkan kepada hamba-hamba-
Nya untuk berlaku adil, yakni pertengahan dan seimbang. Allah Swt.
memerintahkan untuk berbuat kebajikan. Yang dimaksud dengan firman-Nya
21
Artinya: “dan memberi kepada kaum kerabat”. (An-Nahl:90)
yaitu hendaknya dia menganjurkan untuk bersilaturrahim (Katsir, 2003:97).
Selain itu, dalam surat ar-Rum/30:38 juga tertulis ayat tentang memberi
bantuan kepada kerabat, orang miskin, dan orang yang sedang dalam perjalanan.
“Maka berikanlah kepada kerabat yang terdekat akan haknya, demikian (pula)
kepada fakir miskin dan orang-orang yang dalam perjalanan. Itulah yang lebih
baik bagi orang-orang yang mencari keridhaan Allah; dan mereka itulah orang-
orang yang beruntung”.
Allah Swt. berfirman, memerintahkan (kepada kaum muslim) agar
memberikan kepada kerabat terdekat mereka akan haknya, yakni berbuat dan
menghubungkan silaturrahim, juga orang miskin. Yang dimaksud orang miskin
ialah orang yang tidak mempunyai sesuatu pun untuk ia belanjakan buat dirinya
atau memiliki sesuatu tetapi masih belum mencukupinya. Juga kepada ibnu sabil,
yaitu seorang musafir yang memerlukan biaya dan keperluan hidupnya dalam
perjalanan, karena biayanya kehabisan di tengah jalan (Katsir, 2004:377).
22
BAB III
PEMBAHASAN
Bab ini membahas tentang pola eccentric-distance sum pada komplemen
graf invers grup dihedral. Dalam pencarian pola, terlebih dahulu dicari dan
ditunjukkan nilai eccentric-distance sum pada komplemen graf invers
𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14, 𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20.
3.1 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝑫𝟔
Himpunan anggota dari grup dihedral-6 adalah 𝐷6 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2}.
Jika setiap anggota pada grup dihedral-6 dioperasikan dengan operasi “∘”, maka
diperoleh tabel Cayley pada Tabel 3.1.
Tabel 3.1 Tabel Cayley Grup Dihedral-6
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
1 1 𝑟 𝑟2 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟 𝑟 𝑟2 1 𝑠𝑟2 𝑠 𝑠𝑟
𝑟2 𝑟2 1 𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 1 𝑟 𝑟2
𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠 𝑟2 1 𝑟
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠 𝑠𝑟 𝑟 𝑟2 1
3.1.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝑫𝟔
Berdasarkan Tabel 3.1, dapat dicari invers dari masing-masing anggota 𝐷6
yaitu sebagai berikut.
1 ∘ 1 = 1 maka 1−1 = 1
𝑟 ∘ 𝑟2 = 𝑟2 ∘ 𝑟 = 1 maka 𝑟−1 = 𝑟2
𝑟2 ∘ 𝑟 = 𝑟 ∘ 𝑟2 = 1 maka (𝑟2)−1 = 𝑟
23
𝑠 ∘ 𝑠 = 1 maka 𝑠−1 = 𝑠
𝑠𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 1 maka 𝑠𝑟−1 = 𝑠𝑟
𝑠𝑟2 ∘ 𝑠𝑟2 = 1 maka (𝑠𝑟2)−1 = 𝑠𝑟2
Berdasarkan uraian invers dari masing-masing anggota 𝐷6, didapatkan
bahwa 1, 𝑠, 𝑠𝑟, dan 𝑠𝑟2 invers terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu, dapat
dibangun suatu himpunan bagian 𝑆 dari 𝐷6 yang memuat anggota-anggota dari 𝐷6
yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga diperoleh 𝑆 = {𝑟, 𝑟2}.
3.1.2 Graf Invers Grup Dihedral-6
Berdasarkan Definisi 2.6, graf invers yang dibentuk dari grup dihedral-6
disimbolkan 𝐺𝑆(𝐷6). Himpunan titik pada graf invers 𝐺𝑆(𝐷6) adalah 𝑉(𝐺𝑆(𝐷6)) =
{1, 𝑟, 𝑟2, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2}. Dua titik berbeda 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷6)) akan terhubung langsung
jika dan hanya jika 𝑢 ∘ 𝑣 ∈ 𝑆 atau 𝑣 ∘ 𝑢 ∈ 𝑆. Sehingga berdasarkan Tabel 3.1
diperoleh 𝐸(𝐺𝑆(𝐷6)) = {(1, 𝑟), (1, 𝑟2), (𝑠, 𝑠𝑟), (𝑠, 𝑠𝑟2), (𝑠𝑟, 𝑠𝑟2)}. Oleh karena
itu, graf invers grup dihedral-6 𝐺𝑆(𝐷6) ditunjukkan pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Graf Invers Grup Dihedral-6 (𝐺𝑆(𝐷6 ))
1
𝑟
𝑟2 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
24
3.1.3 Komplemen dari 𝑮𝑺(𝑫𝟔)
Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷6) disimbolkan dengan 𝐺𝑆(𝐷6) merupakan graf yang
memuat himpunan titik 𝑉(𝐺𝑆(𝐷6)) yang dua titik adalah terhubung langsung di
𝐺𝑆(𝐷6) jika dan hanya jika kedua titik tersebut tidak terhubung langsung di 𝐺𝑆(𝐷6).
Sehingga 𝑉(𝐺𝑆(𝐷6) ) = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2} dan 𝐸(𝐺𝑆(𝐷6) ) = {(1, 𝑠), (1, 𝑠𝑟),
(1, 𝑠𝑟2), (𝑟, 𝑟2), (𝑟, 𝑠), (𝑟, 𝑠𝑟), (𝑟, 𝑠𝑟2), (𝑟2, 𝑠), (𝑟2, 𝑠𝑟), (𝑟2, 𝑠𝑟2)}. Oleh karena itu,
komplemen graf invers grup dihedral-6 (𝐺𝑆(𝐷6) ) ditunjukkan pada Gambar 3.2.
Gambar 3.2 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-6 (𝐺𝑆(𝐷6) )
3.1.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟔)
Berdasarkan Gambar 3.2, dapat dicari jumlah jarak masing-masing titik
pada 𝐺𝑆(𝐷6) . Jumlah jarak titik 𝑢 𝐷(𝑢) pada 𝐺𝑆(𝐷6) merupakan jumlah jarak
antara titik 𝑢 dengan semua titik di 𝐺𝑆(𝐷6) . Berikut adalah nilai jumlah jarak
masing-masing titik pada 𝐺𝑆(𝐷6) .
𝐷(1) = 𝑑(1, 𝑟) + 𝑑(1, 𝑟2) + 𝑑(1, 𝑠) + 𝑑(1, 𝑠𝑟) + 𝑑(1, 𝑠𝑟2)
= 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7
𝐷(𝑟) = 𝑑(𝑟, 1) + 𝑑(𝑟, 𝑟2) + 𝑑(𝑟, 𝑠) + 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟2)
1
𝑟
𝑟2 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
25
= 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6
𝐷(𝑟2) = 𝑑(𝑟2, 1) + 𝑑(𝑟2, 𝑟) + 𝑑(𝑟2, 𝑠) + 𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟2)
= 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6
𝐷(𝑠) = 𝑑(𝑠, 1) + 𝑑(𝑠, 𝑟) + 𝑑(𝑠, 𝑟2) + 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟2)
= 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 7
𝐷(𝑠𝑟) = 𝑑(𝑠𝑟, 1) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟2) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑠) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑠𝑟2)
= 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 7
𝐷(𝑠𝑟2) = 𝑑(𝑠𝑟2, 1) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟2) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠𝑟)
= 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 7
Sehingga, dapat disimpulkan bahwa 𝐷(𝑢) = 6 , ∀𝑢 ∈ 𝑆 dan 𝐷(𝑢) = 7 , ∀𝑢 ∉ 𝑆.
3.1.5 Eksentrisitas Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟔)
Berdasarkan Gambar 3.2, dapat dicari eksentrisitas titik 𝑢 𝑒(𝑢) pada 𝐺𝑆(𝐷6)
yang merupakan jarak terjauh dari titik 𝑢 ke sebarang titik di 𝐺𝑆(𝐷6) . Eksentrisitas
titik pada 𝐺𝑆(𝐷6) dijabarkan sebagai berikut.
𝑒(1) = max{𝑑(1, 𝑟), 𝑑(1, 𝑟2), 𝑑(1, 𝑠), 𝑑(1, 𝑠𝑟), 𝑑(1, 𝑠𝑟2)}
= max{2, 2, 1, 1, 1} = 2
𝑒(𝑟) = max{𝑑(𝑟, 1), 𝑑(𝑟, 𝑟2), 𝑑(𝑟, 𝑠), 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟), 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟2)}
= max{2, 1, 1, 1, 1} = 2
𝑒(𝑟2) = max{𝑑(𝑟2, 1), 𝑑(𝑟2, 𝑟), 𝑑(𝑟2, 𝑠), 𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟), 𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟2)}
= max{2, 1, 1, 1, 1} = 2
𝑒(𝑠) = max{𝑑(𝑠, 1), 𝑑(𝑠, 𝑟), 𝑑(𝑠, 𝑟2), 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟), 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟2)}
= max{1, 1, 1, 2, 2} = 2
26
𝑒(𝑠𝑟) = max{𝑑(𝑠𝑟, 1), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟2), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑠), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑠𝑟2)}
= max{1, 1, 1, 2, 2} = 2
𝑒(𝑠𝑟2) = max{𝑑(𝑠𝑟2, 1), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟2), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠𝑟)}
= max{1, 1, 1, 2, 2} = 2
Dapat disimpulkan bahwa eksentrisitas setiap titik pada komplemen graf invers
grup dihedral-6 (𝐺𝑆(𝐷6) ) adalah sama yaitu 2.
3.1.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟔)
Setelah diketahui jumlah jarak dan eksentrisitas masing masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷6) , dapat dihitung eccentric-distance sum dari 𝐺𝑆(𝐷6) sebagai berikut.
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷6) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺𝑆(𝐷6) )
= (𝑒(1)𝐷(1)) + (𝑒(𝑟)𝐷(𝑟)) + (𝑒(𝑟2)𝐷(𝑟2)) + (𝑒(𝑠)𝐷(𝑠)) +
(𝑒(𝑠𝑟)𝐷(𝑠𝑟)) + (𝑒(𝑠𝑟2)𝐷(𝑠𝑟2))
= (2 ⋅ 7) + (2 ⋅ 6) + (2 ⋅ 6) + (2 ⋅ 7) + (2 ⋅ 7) + (2 ⋅ 7) = 80
Jadi, dapat diketahui bahwa eccentric-distance sum pada komplemen graf invers
grup dihedral-6 (𝐺𝑆(𝐷6) ) adalah 80.
3.2 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝑫𝟖
Himpunan anggota dari grup dihedral-8 adalah 𝐷8 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠, 𝑠𝑟,
𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3}. Jika setiap anggota pada grup dihedral-8 dioperasikan dengan operasi
“∘”, maka diperoleh tabel Cayley pada Tabel 3.2.
27
Tabel 3.2 Tabel Cayley Grup Dihedral-8
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 1 𝑠𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟2 𝑟2 𝑟3 1 𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠 𝑠𝑟
𝑟3 𝑟3 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 1 𝑟 𝑟2 𝑟3
𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠 𝑟3 1 𝑟 𝑟2
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑟2 𝑟3 1 𝑟
𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟 𝑟2 𝑟3 1
3.2.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝑫𝟖
Berdasarkan Tabel 3.2 dapat dicari invers dari masing-masing anggota 𝐷8
yaitu sebagai berikut:
1 ∘ 1 = 1 maka 1−1 = 1
𝑟 ∘ 𝑟3 = 𝑟3 ∘ 𝑟 = 1 maka 𝑟−1 = 𝑟3
𝑟2 ∘ 𝑟2 = 1 maka (𝑟2)−1 = 𝑟2
𝑟3 ∘ 𝑟 = 𝑟 ∘ 𝑟3 = 1 maka (𝑟3)−1 = 𝑟
𝑠 ∘ 𝑠 = 1 maka 𝑠−1 = 𝑠
𝑠𝑟 ∘ 𝑠𝑟 = 1 maka 𝑠𝑟−1 = 𝑠𝑟
𝑠𝑟2 ∘ 𝑠𝑟2 = 1 maka (𝑠𝑟2)−1 = 𝑠𝑟2
𝑠𝑟3 ∘ 𝑠𝑟3 = 1 maka (𝑠𝑟3)−1 = 𝑠𝑟3
Berdasarkan uraian invers dari masing-masing anggota 𝐷8, didapatkan
bahwa 1, 𝑟2, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, dan 𝑠𝑟3 invers terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu,
dapat dibangun suatu himpunan bagian 𝑆 dari 𝐷8 yang memuat anggota-anggota
dari 𝐷8 yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga didapatkan 𝑆 = {𝑟, 𝑟3}.
28
3.2.2 Graf Invers Grup Dihedral-8
Berdasarkan Definisi 2.6, graf invers yang dibentuk dari grup dihedral-8
disimbolkan 𝐺𝑆(𝐷8). Himpunan titik pada 𝐺𝑆(𝐷8) adalah himpunan semua anggota
pada 𝐷8, sehingga 𝑉(𝐺𝑆(𝐷8)) = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3}. Dua titik yang
berbeda 𝑢 dan 𝑣 pada 𝑉(𝐺𝑆(𝐷8)) akan terhubung langsung jika dan hanya jika 𝑢 ∘
𝑣 ∈ 𝑆 atau 𝑣 ∘ 𝑢 ∈ 𝑆. Berdasarkan Tabel 3.2 diperoleh 𝐸(𝐺𝑆(𝐷8)) =
{(1, 𝑟), (1, 𝑟3), (𝑟, 𝑟2), (𝑟2, 𝑟3), (𝑠, 𝑠𝑟), (𝑠, 𝑠𝑟3), (𝑠𝑟, 𝑠𝑟2), (𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3)}. Sehingga,
graf invers grup dihedral-8 (𝐺𝑆(𝐷8)) ditunjukkan pada Gambar 3.3.
Gambar 3.3 Graf Invers Grup Dihedral-8 (𝐺𝑆(𝐷8 ))
3.2.3 Komplemen dari 𝑮𝑺(𝑫𝟖)
Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷8) disimbolkan dengan 𝐺𝑆(𝐷8) . Dengan cara yang
sama dengan komplemen graf invers grup dihedral-6 maka diperoleh 𝑉(𝐺𝑆(𝐷8) ) =
{1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3} dan 𝐸(𝐺𝑆(𝐷8) ) = {(1, 𝑟2), (1, 𝑠), (1, 𝑠𝑟), (1, 𝑠𝑟2),
(1, 𝑠𝑟3), (𝑟, 𝑟3), (𝑟, 𝑠), (𝑟, 𝑠𝑟), (𝑟, 𝑠𝑟2), (𝑟, 𝑠𝑟3), (𝑟2, 𝑠), (𝑟2, 𝑠𝑟), (𝑟2, 𝑠𝑟2), (𝑟2, 𝑠𝑟3),
(𝑟3, 𝑠), (𝑟3, 𝑠𝑟), (𝑟3, 𝑠𝑟2), (𝑟3, 𝑠𝑟3), (𝑠, 𝑠𝑟2), (𝑠𝑟, 𝑠𝑟3)}. Oleh karena itu,
komplemen graf invers grup dihedral-8 (𝐺𝑆(𝐷8) ) ditunjukkan pada Gambar 3.4.
1
𝑟
𝑟2
𝑟3 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
29
Gambar 3.4 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-8 (𝐺𝑆(𝐷8) )
3.2.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟖)
Berdasarkan Gambar 3.4, dapat dicari jumlah jarak masing-masing titik
pada 𝐺𝑆(𝐷8) . Jumlah jarak titik 𝑢 𝐷(𝑢) pada 𝐺𝑆(𝐷8) merupakan jumlah jarak
antara titik 𝑢 dengan semua titik di (𝐺𝑆(𝐷8) ). Berikut adalah jumlah jarak masing-
masing titik pada 𝐺𝑆(𝐷8) .
𝐷(1) = 𝑑(1, 𝑟) + 𝑑(1, 𝑟2) + 𝑑(1, 𝑟3) + 𝑑(1, 𝑠) + 𝑑(1, 𝑠𝑟) + 𝑑(1, 𝑠𝑟2) +
𝑑(𝑟, 𝑠𝑟3)
= 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
𝐷(𝑟) = 𝑑(𝑟, 1) + 𝑑(𝑟, 𝑟2) + 𝑑(𝑟, 𝑟3) + 𝑑(𝑟, 𝑠) + 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟2) +
𝑑(𝑟, 𝑠𝑟3)
= 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
𝐷(𝑟2) = 𝑑(𝑟2, 1) + 𝑑(𝑟2, 𝑟) + 𝑑(𝑟2, 𝑟3) + 𝑑(𝑟2, 𝑠) + 𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟2) +
𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟3)
= 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
𝐷(𝑟3) = 𝑑(𝑟3, 1) + 𝑑(𝑟3, 𝑟) + 𝑑(𝑟3, 𝑟2) + 𝑑(𝑟3, 𝑠) + 𝑑(𝑟3, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑟3, 𝑠𝑟2) +
1
𝑟
𝑟2
𝑟3 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
30
𝑑(𝑟3, 𝑠𝑟3)
= 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9
𝐷(𝑠) = 𝑑(𝑠, 1) + 𝑑(𝑠, 𝑟) + 𝑑(𝑠, 𝑟2) + 𝑑(𝑠, 𝑟3) + 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟2) +
𝑑(𝑠, 𝑠𝑟3)
= 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 9
𝐷(𝑠𝑟) = 𝑑(𝑠𝑟, 1) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟2) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟3) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑠) + 𝑑(𝑠𝑟, 𝑠𝑟2) +
𝑑(𝑠𝑟, 𝑠𝑟3)
= 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 = 9
𝐷(𝑠𝑟2) = 𝑑(𝑠𝑟2, 1) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟2) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟3) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠) +
𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3)
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 9
𝐷(𝑠𝑟3) = 𝑑(𝑠𝑟3, 1) + 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑟) + 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑟2) + 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑟3) + 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑠) +
𝑑(𝑠𝑟3, 𝑠𝑟) + 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑠𝑟2)
= 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 9
Sehingga, dapat disimpulkan bahwa 𝐷(𝑢) = 9, ∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷8) ).
3.2.5 Eksentrisitas Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟖)
Berdasarkan Gambar 3.4, dapat dicari eksentrisitas titik 𝑢 𝑒(𝑢) pada 𝐺𝑆(𝐷8)
yang merupakan jarak maksimal atau jarak terjauh dari titik 𝑢 ke sebarang titik di
𝐺𝑆(𝐷8) . Eksentrisitas titik pada 𝐺𝑆(𝐷8) dijabarkan sebagai berikut:
𝑒(1) = max{𝑑(1, 𝑟), 𝑑(1, 𝑟2), 𝑑(1, 𝑟3), 𝑑(1, 𝑠), 𝑑(1, 𝑠𝑟), 𝑑(1, 𝑠𝑟2), 𝑑(1, 𝑠𝑟3)}
= max{2, 1, 2, 1, 1, 1, 1} = 2
𝑒(𝑟) = max{𝑑(𝑟, 1), 𝑑(𝑟, 𝑟2), 𝑑(𝑟, 𝑟3), 𝑑(𝑟, 𝑠), 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟), 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟2), 𝑑(𝑟, 𝑠𝑟3)}
= max{2, 1, 2, 1, 1, 1, 1} = 2
31
𝑒(𝑟2) = max{𝑑(𝑟2, 1), 𝑑(𝑟2, 𝑟), 𝑑(𝑟2, 𝑟3), 𝑑(𝑟2, 𝑠), 𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟), 𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟2),
𝑑(𝑟2, 𝑠𝑟3)}
= max{1, 2, 2, 1, 1, 1, 1} = 2
𝑒(𝑟3) = max{𝑑(𝑟3, 1), 𝑑(𝑟3, 𝑟), 𝑑(𝑟3, 𝑟2), 𝑑(𝑟3, 𝑠), 𝑑(𝑟3, 𝑠𝑟), 𝑑(𝑟3, 𝑠𝑟2),
𝑑(𝑟3, 𝑠𝑟3)}
= max{2, 1, 2, 1, 1, 1, 1} = 2
𝑒(𝑠) = max{𝑑(𝑠, 1), 𝑑(𝑠, 𝑟), 𝑑(𝑠, 𝑟2), 𝑑(𝑠, 𝑟3), 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟), 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟2), 𝑑(𝑠, 𝑠𝑟3)}
= max{1, 1, 1, 1, 2, 1, 2} = 2
𝑒(𝑠𝑟) = max{𝑑(𝑠𝑟, 1), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟2), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑟3), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑠), 𝑑(𝑠𝑟, 𝑠𝑟2),
𝑑(𝑠𝑟, 𝑠𝑟3)}
= max{1, 1, 1, 1, 2, 2, 1} = 2
𝑒(𝑠𝑟2) = max{𝑑(𝑠𝑟2, 1), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟2), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑟3), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠), 𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠𝑟),
𝑑(𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3)}
= max{1, 1, 1, 1, 1, 2, 2} = 2
𝑒(𝑠𝑟3) = max{𝑑(𝑠𝑟3, 1), 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑟), 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑟2), 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑟3), 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑠), 𝑑(𝑠𝑟3, 𝑠𝑟),
𝑑(𝑠𝑟3, 𝑠𝑟2)}
= max{1, 1, 1, 1, 2, 1, 2} = 2
Dapat disimpulkan bahwa eksentrisitas setiap titik pada komplemen graf invers
grup dihedral-8 (𝐺𝑆(𝐷8) ) adalah sama yaitu 2.
3.2.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟖)
Setelah diketahui jumlah jarak dan eksentrisitas masing masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷8) , dapat dihitung eccentric-distance sum dari 𝐺𝑆(𝐷8) sebagai berikut:
32
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷8) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺𝑆(𝐷8) )
= (𝑒(1)𝐷(1)) + (𝑒(𝑟)𝐷(𝑟)) + (𝑒(𝑟2)𝐷(𝑟2)) + (𝑒(𝑟3)𝐷(𝑟3)) +
(𝑒(𝑠)𝐷(𝑠)) + (𝑒(𝑠𝑟)𝐷(𝑠𝑟)) + (𝑒(𝑠𝑟2)𝐷(𝑠𝑟2)) +
(𝑒(𝑠𝑟3)𝐷(𝑠𝑟3))
= (2 ⋅ 9) + (2 ⋅ 9) + (2 ⋅ 9) + (2 ⋅ 9) + (2 ⋅ 9) + (2 ⋅ 9) + (2 ⋅ 9)
+(2 ⋅ 9)
= 144
Jadi, dapat diketahui bahwa eccentric-distance sum dari komplemen graf invers
grup dihedral-8 (𝐺𝑆(𝐷8) ) adalah 144.
3.3 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝑫𝟏𝟎
Himpunan anggota dari grup dihedral-10 adalah 𝐷10 = {1, 𝑟,
𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4}. Jika setiap anggota pada grup dihedral-10
dioperasikan dengan operasi “∘”, maka diperoleh tabel Cayley pada Tabel 3.3.
Tabel 3.3 Tabel Cayley Grup Dihedral-10
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4
1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4
𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 1 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 1 𝑟 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟3 𝑟3 𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟
𝑟4 𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4
𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑟4 1 𝑟 𝑟2 𝑟3
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑟3 𝑟4 1 𝑟 𝑟2
𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 1 𝑟
𝑠𝑟4 𝑠𝑟4 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 1
33
3.3.1 Invers dari masing-masing anggota 𝑫𝟏𝟎
Berdasarkan Tabel 3.3 dapat dicari invers dari masing-masing anggota 𝐷10
yaitu sebagai berikut:
1−1 = 1, 𝑟−1 = 𝑟4, (𝑟2)−1 = 𝑟3, (𝑟3)−1 = 𝑟2, (𝑟4)−1 = 𝑟,
𝑠−1 = 𝑠, 𝑠𝑟−1 = 𝑠𝑟, (𝑠𝑟2)−1 = 𝑠𝑟2, (𝑠𝑟3)−1 = 𝑠𝑟3, (𝑠𝑟4)−1 = 𝑠𝑟4.
Berdasarkan uraian invers dari masing-masing anggota 𝐷10, didapatkan
bahwa 1, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, dan 𝑠𝑟4 invers terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu,
dapat dibangun suatu himpunan bagian 𝑆 dari 𝐷10 yang memuat anggota-anggota
dari 𝐷10 yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga didapatkan 𝑆 =
{𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4}.
3.3.2 Graf Invers Grup Dihedral-10
Berdasarkan Definisi 2.6, graf invers yang dibentuk dari grup dihedral-10
disimbolkan 𝐺𝑆(𝐷10). Himpunan titik pada graf invers dihedral-10 adalah
𝑉(𝐺𝑆(𝐷10)) = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4}. Dengan menggunakan cara
yang sama dengan 3.1.2 maka graf invers grup dihedral-10 (𝐺𝑆(𝐷10)) ditunjukkan
pada Gambar 3.5.
Gambar 3.5 Graf Invers Grup Dihedral-10 (𝐺𝑆(𝐷10))
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
34
3.3.3 Komplemen dari 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟎)
Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷10) disimbolkan dengan 𝐺𝑆(𝐷10) . Dengan cara yang
sama dengan komplemen graf invers grup dihedral-6 pada 3.1.3 maka diperoleh
komplemen graf invers grup dihedral-10 (𝐺𝑆(𝐷10) ) ditunjukkan pada Gambar 3.6.
Gambar 3.6 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-10 (𝐺𝑆(𝐷10) )
3.3.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟎)
Berdasarkan gambar 3.6, dapat dicari jumlah jarak masing-masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷10) . Jumlah jarak titik 𝑢 𝐷(𝑢) pada 𝐺𝑆(𝐷10) merupakan jumlah jarak antara
titik 𝑢 dengan semua titik di (𝐺𝑆(𝐷10) ). Dengan menggunakan cara yang sama pada
3.1.4 maka dapat disimpulkan bahwa pada 𝐺𝑆(𝐷10) berlaku 𝐷(𝑢) = 12 , ∀𝑢 ∈ 𝑆
dan 𝐷(𝑢) = 13 , ∀𝑢 ∉ 𝑆.
3.3.5 Eksentrisitas Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟎)
Berdasarkan Gambar 3.6, dapat dicari eksentrisitas titik 𝑢 𝑒(𝑢) pada
𝐺𝑆(𝐷10) yang merupakan jarak terjauh dari titik 𝑢 ke sebarang titik di 𝐺𝑆(𝐷10) .
Dengan menggunakan cara yang sama pada 3.1.5 maka dapat disimpulkan bahwa
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
35
eksentrisitas setiap titik pada komplemen graf invers grup dihedral-10 (𝐺𝑆(𝐷10) )
adalah sama yaitu 2.
3.3.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟎)
Setelah diketahui jumlah jarak dan eksentrisitas masing masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷10) , dapat dihitung eccentric-distance sum dari 𝐺𝑆(𝐷10) sebagai berikut:
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷10) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺𝑆(𝐷10) )
= (𝑒(1)𝐷(1)) + (𝑒(𝑟)𝐷(𝑟)) + (𝑒(𝑟2)𝐷(𝑟2)) + (𝑒(𝑟3)𝐷(𝑟3)) +
(𝑒(𝑟4)𝐷(𝑟4)) + (𝑒(𝑠)𝐷(𝑠)) + (𝑒(𝑠𝑟)𝐷(𝑠𝑟)) +
(𝑒(𝑠𝑟2)𝐷(𝑠𝑟2)) + (𝑒(𝑠𝑟3)𝐷(𝑠𝑟3)) + (𝑒(𝑠𝑟4)𝐷(𝑠𝑟4))
= (2 ⋅ 13) + (2 ⋅ 12) + (2 ⋅ 12) + (2 ⋅ 12) + (2 ⋅ 12) + (2 ⋅ 13)
+(2 ⋅ 13) + (2 ⋅ 13) + (2 ⋅ 13) + (2 ⋅ 13) = 252
Jadi, dapat diketahui bahwa eccentric-distance sum dari komplemen graf invers
grup dihedral-10 (𝐺𝑆(𝐷10) ) adalah 252.
3.4 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝑫𝟏𝟐
Himpunan anggota dari grup dihedral-12 adalah 𝐷12 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4,
𝑟5, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5}. Jika setiap anggota pada grup dihedral-12 dioperasikan
dengan operasi “∘”, maka diperoleh tabel Cayley pada Tabel 3.4.
Tabel 3.4 Tabel Cayley Grup Dihedral-12
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5
1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5
𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 1 𝑠𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4
𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 1 𝑟 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
36
𝑟3 𝑟3 𝑟4 𝑟5 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟4 𝑟4 𝑟5 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠 𝑠𝑟
𝑟5 𝑟5 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5
𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠 𝑟5 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑟4 𝑟5 1 𝑟 𝑟2 𝑟3
𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 1 𝑟 𝑟2
𝑠𝑟4 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 1 𝑟
𝑠𝑟5 𝑠𝑟5 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 1
3.4.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝑫𝟏𝟐
Berdasarkan Tabel 3.4 dapat dicari invers dari masing-masing anggota 𝐷12
yaitu sebagai berikut:
1−1 = 1, 𝑟−1 = 𝑟5, (𝑟2)−1 = 𝑟4, (𝑟3)−1 = 𝑟3, (𝑟4)−1 = 𝑟2,
(𝑟5)−1 = 𝑟, 𝑠−1 = 𝑠, 𝑠𝑟−1 = 𝑠𝑟, (𝑠𝑟2)−1 = 𝑠𝑟2, (𝑠𝑟3)−1 = 𝑠𝑟3,
(𝑠𝑟4)−1 = 𝑠𝑟4, (𝑠𝑟5)−1 = 𝑠𝑟5.
Berdasarkan uraian invers dari masing-masing anggota 𝐷12, didapatkan
bahwa 1, 𝑟3, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, dan 𝑠𝑟5 invers terhadap dirinya sendiri. Oleh
karena itu, dapat dibangun suatu himpunan bagian 𝑆 dari 𝐷12 yang memuat
anggota-anggota dari 𝐷12 yang tidak invers terhadap dirinya sendiri. Sehingga
didapatkan 𝑆 = {𝑟, 𝑟2, 𝑟4, 𝑟5}.
3.4.2 Graf Invers Grup Dihedral-12
Graf invers yang dibangun dari grup dihedral-12 disimbolkan 𝐺𝑆(𝐷12).
Berdasarkan Tabel 3.4 dan dengan cara yang sama dengan 3.1.2 maka graf invers
grup dihedral-12 (𝐺𝑆(𝐷12)) ditunjukkan pada Gambar 3.7.
37
Gambar 3.7 Graf Invers Grup Dihedral-12 (𝐺𝑆(𝐷12))
3.4.3 Komplemen dari 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟐)
Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷12) disimbolkan dengan 𝐺𝑆(𝐷12) . Dengan cara yang
sama pada 3.1.3 maka diperoleh komplemen graf invers grup dihedral-12
(𝐺𝑆(𝐷12) ) ditunjukkan pada Gambar 3.8.
Gambar 3.8 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-12 (𝐺𝑆(𝐷12) )
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
38
3.4.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟐)
Berdasarkan Gambar 3.8, dapat dicari jumlah jarak masing-masing titik
pada 𝐺𝑆(𝐷12) . Jumlah jarak titik 𝑢 𝐷(𝑢) pada 𝐺𝑆(𝐷12) merupakan jumlah jarak
antara titik 𝑢 dengan semua titik di (𝐺𝑆(𝐷12) ). Dengan menggunakan cara yang
sama pada 3.1.4 maka dapat disimpulkan bahwa pada 𝐺𝑆(𝐷12) berlaku 𝐷(𝑢) =
14, ∀𝑢 ∈ 𝑆 dan 𝐷(𝑢) = 15 , ∀𝑢 ∉ 𝑆.
3.4.5 Eksentrisitas Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟐)
Berdasarkan Gambar 3.8, dapat dicari eksentrisitas titik 𝑢 pada 𝐺𝑆(𝐷12)
𝑒(𝑢) yang merupakan jarak terjauh dari titik 𝑢 ke sebarang titik di 𝐺𝑆(𝐷12) . Dengan
menggunakan cara yang sama pada 3.1.5 maka dapat disimpulkan bahwa
eksentrisitas setiap titik pada komplemen graf invers grup dihedral-12 (𝐺𝑆(𝐷12) )
adalah sama yaitu 2.
3.4.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟐)
Setelah diketahui jumlah jarak dan eksentrisitas masing masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷12) , dapat dihitung eccentric-distance sum dari 𝐺𝑆(𝐷12) sebagai berikut:
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷12) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺𝑆(𝐷10) )
= (𝑒(1)𝐷(1)) + (𝑒(𝑟)𝐷(𝑟)) + (𝑒(𝑟2)𝐷(𝑟2)) + (𝑒(𝑟3)𝐷(𝑟3)) +
(𝑒(𝑟4)𝐷(𝑟4)) + (𝑒(𝑟5)𝐷(𝑟5)) + (𝑒(𝑠)𝐷(𝑠)) + (𝑒(𝑠𝑟)𝐷(𝑠𝑟))
+(𝑒(𝑠𝑟2)𝐷(𝑠𝑟2)) + (𝑒(𝑠𝑟3)𝐷(𝑠𝑟3)) + (𝑒(𝑠𝑟4)𝐷(𝑠𝑟4)) +
(𝑒(𝑠𝑟5)𝐷(𝑠𝑟5))
= (2 ⋅ 15) + (2 ⋅ 14) + (2 ⋅ 14) + (2 ⋅ 15) + (2 ⋅ 14) + (2 ⋅ 14)
39
+(2 ⋅ 15) + (2 ⋅ 15) + (2 ⋅ 15) + (2 ⋅ 15) + (2 ⋅ 15) + (2 ⋅ 15)
= 352
Jadi, dapat diketahui bahwa eccentric-distance sum dari komplemen graf invers
grup dihedral-12 (𝐺𝑆(𝐷12) ) adalah 352.
3.5 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝑫𝟏𝟒
Himpunan anggota dari grup dihedral-14 adalah 𝐷14 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5,
𝑟6, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5, 𝑠𝑟6}. Jika setiap anggota pada grup dihedral-14
dioperasikan dengan operasi “∘”, maka diperoleh tabel Cayley pada Tabel 3.5.
Tabel 3.5 Tabel Cayley Grup Dihedral-14
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6
1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6
𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 1 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5
𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 1 𝑟 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4
𝑟3 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
𝑟4 𝑟4 𝑟5 𝑟6 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟5 𝑟5 𝑟6 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟
𝑟6 𝑟6 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6
𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑟6 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑟5 𝑟6 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4
𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟4 𝑟5 𝑟6 1 𝑟 𝑟2 𝑟3
𝑠𝑟4 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 1 𝑟 𝑟2
𝑠𝑟5 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 1 𝑟
𝑠𝑟6 𝑠𝑟6 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 1
3.5.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝑫𝟏𝟒
Berdasarkan Tabel 3.5 dapat dicari invers dari masing-masing anggota 𝐷14
yaitu sebagai berikut:
40
1−1 = 1, 𝑟−1 = 𝑟6, (𝑟2)−1 = 𝑟5, (𝑟3)−1 = 𝑟4,
(𝑟4)−1 = 𝑟3, (𝑟5)−1 = 𝑟2, (𝑟6)−1 = 𝑟, 𝑠−1 = 𝑠,
𝑠𝑟−1 = 𝑠𝑟, (𝑠𝑟2)−1 = 𝑠𝑟2, (𝑠𝑟3)−1 = 𝑠𝑟3, (𝑠𝑟4)−1 = 𝑠𝑟4,
(𝑠𝑟5)−1 = 𝑠𝑟5, (𝑠𝑟6)−1 = 𝑠𝑟6.
Berdasarkan uraian invers dari masing-masing anggota 𝐷14, didapatkan
bahwa 1, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5, dan 𝑠𝑟6 invers terhadap dirinya sendiri. Oleh
karena itu, 𝑆 = {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑟6}.
3.5.2 Graf Invers Grup Dihedral-14
Graf invers yang dibentuk dari grup dihedral-14 disimbolkan 𝐺𝑆(𝐷14).
Berdasarkan Tabel 3.5 dan dengan cara yang sama dengan 3.1.2 maka graf invers
grup dihedral-14 (𝐺𝑆(𝐷14)) ditunjukkan pada Gambar 3.9.
Gambar 3.9 Graf Invers Grup Dihedral-14 (𝐺𝑆(𝐷14))
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
𝑟6 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
𝑠𝑟6
41
3.5.3 Komplemen dari 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟒)
Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷14) disimbolkan dengan 𝐺𝑆(𝐷14) . Dengan cara yang
sama dengan komplemen graf invers grup dihedral-6 pada 3.1.3 maka (𝐺𝑆(𝐷14) )
ditunjukkan pada Gambar 3.10.
Gambar 3.10 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-14 (𝐺𝑆(𝐷14) )
3.5.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟒)
Berdasarkan Gambar 3.10, dapat dicari jumlah jarak masing-masing titik
pada 𝐺𝑆(𝐷14) . Jumlah jarak titik 𝑢 𝐷(𝑢) pada 𝐺𝑆(𝐷14) merupakan jumlah jarak
antara titik 𝑢 dengan semua titik di (𝐺𝑆(𝐷14) ). Dengan menggunakan cara yang
sama pada 3.1.4 maka dapat disimpulkan bahwa pada 𝐺𝑆(𝐷14) berlaku 𝐷(𝑢) =
18 , ∀𝑢 ∈ 𝑆 dan 𝐷(𝑢) = 19 , ∀𝑢 ∉ 𝑆.
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
𝑟6 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
𝑠𝑟6
42
3.5.5 Eksentrisitas Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟒)
Berdasarkan Gambar 3.10, dapat dicari eksentrisitas titik 𝑢 𝑒(𝑢) pada
𝐺𝑆(𝐷14) yang merupakan jarak terjauh dari titik 𝑢 ke sebarang titik di 𝐺𝑆(𝐷14) .
Dengan menggunakan cara yang sama pada 3.1.5 maka dapat disimpulkan bahwa
nilai eksentrisitas setiap titik pada komplemen graf invers grup dihedral-14
(𝐺𝑆(𝐷14) ) adalah sama yaitu 2.
3.5.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟒)
Setelah diketahui jumlah jarak dan eksentrisitas masing masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷14) , dapat dihitung eccentric-distance sum dari 𝐺𝑆(𝐷14) sebagai berikut:
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷14) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺𝑆(𝐷14) )
= (𝑒(1)𝐷(1)) + (𝑒(𝑟)𝐷(𝑟)) + (𝑒(𝑟2)𝐷(𝑟2)) + (𝑒(𝑟3)𝐷(𝑟3)) +
(𝑒(𝑟4)𝐷(𝑟4)) + (𝑒(𝑟5)𝐷(𝑟5)) + (𝑒(𝑟6)𝐷(𝑟6)) + (𝑒(𝑠)𝐷(𝑠))
+(𝑒(𝑠𝑟)𝐷(𝑠𝑟)) + (𝑒(𝑠𝑟2)𝐷(𝑠𝑟2)) + (𝑒(𝑠𝑟3)𝐷(𝑠𝑟3)) +
(𝑒(𝑠𝑟4)𝐷(𝑠𝑟4)) + (𝑒(𝑠𝑟5)𝐷(𝑠𝑟5)) + (𝑒(𝑠𝑟6)𝐷(𝑠𝑟6))
= (2 ⋅ 19) + (2 ⋅ 18) + (2 ⋅ 18) + (2 ⋅ 18) + (2 ⋅ 18) + (2 ⋅ 18)
+(2 ⋅ 18) + (2 ⋅ 19) + (2 ⋅ 19) + (2 ⋅ 19) + (2 ⋅ 19) + (2 ⋅ 19)
+(2 ⋅ 19) + (2 ⋅ 19)
= 520
Jadi, dapat diketahui bahwa eccentric-distance sum dari komplemen graf invers
grup dihedral-14 (𝐺𝑆(𝐷14) ) adalah 520.
43
3.6 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝑫𝟏𝟔
Himpunan anggota dari grup dihedral-16 adalah 𝐷16 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5,
𝑟6, 𝑟7, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5, 𝑠𝑟6, 𝑠𝑟7}. Jika setiap anggota pada grup dihedral-16
dioperasikan dengan operasi “∘”, maka diperoleh tabel Cayley pada Tabel 3.6.
Tabel 3.6 Tabel Cayley Grup Dihedral-16
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7
1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7
𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6
𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5
𝑟3 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4
𝑟4 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
𝑟5 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟6 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟
𝑟7 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7
𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5
𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4
𝑠𝑟4 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑟2 𝑟3
𝑠𝑟5 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑟 𝑟2
𝑠𝑟6 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1 𝑟
𝑠𝑟7 𝑠𝑟7 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 1
3.6.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝑫𝟏𝟔
Berdasarkan Tabel 3.6, invers dari masing-masing anggota 𝐷16 yaitu
sebagai berikut:
1−1 = 1, 𝑟−1 = 𝑟7, (𝑟2)−1 = 𝑟6, (𝑟3)−1 = 𝑟5,
(𝑟4)−1 = 𝑟4, (𝑟5)−1 = 𝑟3, (𝑟6)−1 = 𝑟2, (𝑟7)−1 = 𝑟,
𝑠−1 = 𝑠, 𝑠𝑟−1 = 𝑠𝑟, (𝑠𝑟2)−1 = 𝑠𝑟2, (𝑠𝑟3)−1 = 𝑠𝑟3,
44
(𝑠𝑟4)−1 = 𝑠𝑟4, (𝑠𝑟5)−1 = 𝑠𝑟5, (𝑠𝑟6)−1 = 𝑠𝑟6. (𝑠𝑟7)−1 = 𝑠𝑟7.
Sehingga didapatkan bahwa 1, 𝑟4, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5, 𝑠𝑟6, dan 𝑠𝑟7
invers terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu, dapat dibangun suatu himpunan
bagian 𝑆 dari 𝐷16 yang memuat anggota-anggota dari 𝐷16 yang tidak invers
terhadap dirinya sendiri. Sehingga didapatkan 𝑆 = {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟5, 𝑟6, 𝑟7}.
3.6.2 Graf Invers Grup Dihedral-16
Graf invers yang dibentuk dari grup dihedral-16 disimbolkan 𝐺𝑆(𝐷16).
Berdasarkan Tabel 3.6 dan dengan cara yang sama dengan 3.1.2 maka graf invers
grup dihedral-16 𝐺𝑆(𝐷16) ditunjukkan pada Gambar 3.11.
Gambar 3.11 Graf Invers Grup Dihedral-16 (𝐺𝑆(𝐷16))
3.6.3 Komplemen dari 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟔)
Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷16) disimbolkan dengan 𝐺𝑆(𝐷16) . Dengan cara yang
sama dengan komplemen graf invers grup dihedral-6 pada 3.1.3 maka (𝐺𝑆(𝐷16) )
ditunjukkan pada Gambar 3.12.
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
𝑟6
𝑟7 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
𝑠𝑟6
𝑠𝑟7
45
Gambar 3.12 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-16 (𝐺𝑆(𝐷16) )
3.6.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟔)
Berdasarkan Gambar 3.12, dapat dicari jumlah jarak masing-masing titik
pada 𝐺𝑆(𝐷16) . Jumlah jarak titik 𝑢 𝐷(𝑢) pada 𝐺𝑆(𝐷16) merupakan jumlah jarak
antara titik 𝑢 dengan semua titik di (𝐺𝑆(𝐷16) ). Dengan menggunakan cara yang
sama pada 3.1.4 maka dapat disimpulkan bahwa pada 𝐺𝑆(𝐷16) berlaku 𝐷(𝑢) =
20 , ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛
4 , 𝑢 ≠ 𝑟𝑛−𝑛
4 dan 𝐷(𝑢) = 21 , ∀𝑢 lainnya.
3.6.5 Eksentrisitas Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟔)
Berdasarkan Gambar 3.12, dapat dicari eksentrisitas titik 𝑢 𝑒(𝑢) pada
𝐺𝑆(𝐷16) yang merupakan jarak terjauh dari titik 𝑢 ke sebarang titik di 𝐺𝑆(𝐷16) .
Dengan menggunakan cara yang sama pada 3.1.5 maka dapat disimpulkan bahwa
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
𝑟6
𝑟7 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
𝑠𝑟6
𝑠𝑟7
46
eksentrisitas masing-masing titik pada komplemen graf invers grup dihedral-16
(𝐺𝑆(𝐷16) ) adalah sama yaitu 2.
3.6.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟔)
Setelah diketahui jumlah jarak dan eksentrisitas masing masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷16) , dapat dihitung eccentric-distance sum dari 𝐺𝑆(𝐷16) sebagai berikut:
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷16) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺𝑆(𝐷16) )
= (𝑒(1)𝐷(1)) + (𝑒(𝑟)𝐷(𝑟)) + (𝑒(𝑟2)𝐷(𝑟2)) + (𝑒(𝑟3)𝐷(𝑟3)) +
(𝑒(𝑟4)𝐷(𝑟4)) + (𝑒(𝑟5)𝐷(𝑟5)) + (𝑒(𝑟6)𝐷(𝑟6)) +
(𝑒(𝑟7)𝐷(𝑟7)) + (𝑒(𝑠)𝐷(𝑠)) + (𝑒(𝑠𝑟)𝐷(𝑠𝑟)) +
(𝑒(𝑠𝑟2)𝐷(𝑠𝑟2)) + (𝑒(𝑠𝑟3)𝐷(𝑠𝑟3)) + (𝑒(𝑠𝑟4)𝐷(𝑠𝑟4)) +
(𝑒(𝑠𝑟5)𝐷(𝑠𝑟5)) + (𝑒(𝑠𝑟6)𝐷(𝑠𝑟6)) + (𝑒(𝑠𝑟7)𝐷(𝑠𝑟7))
= (2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 20) + (2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 20) + (2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 20)
+(2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 20) + (2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 21)
+(2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 21) + (2 ⋅ 21)
= 664
Jadi, dapat diketahui bahwa eccentric-distance sum dari komplemen graf invers
grup dihedral-16 (𝐺𝑆(𝐷16) ) adalah 664.
3.7 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers 𝑫𝟏𝟖
Himpunan anggota dari grup dihedral-18 adalah 𝐷18 = {1, 𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5,
𝑟6, 𝑟7, 𝑟8, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5, 𝑠𝑟6, 𝑠𝑟7, 𝑠𝑟8}. Jika setiap anggota pada grup
dihedral-18 dioperasikan dengan operasi “∘”, maka diperoleh Tabel 3.7.
47
Tabel 3.7. Tabel Cayley Grup Dihedral-18
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8
1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8
𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7
𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6
𝑟3 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5
𝑟4 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4
𝑟5 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
𝑟6 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟7 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟
𝑟8 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8
𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6
𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5
𝑠𝑟4 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4
𝑠𝑟5 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2 𝑟3
𝑠𝑟6 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟 𝑟2
𝑠𝑟7 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1 𝑟
𝑠𝑟8 𝑠𝑟8 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 1
3.7.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝑫𝟏𝟖
Berdasarkan Tabel 3.7 dapat dicari invers dari masing-masing anggota 𝐷18
yaitu sebagai berikut:
1−1 = 1, 𝑟−1 = 𝑟8, (𝑟2)−1 = 𝑟7, (𝑟3)−1 = 𝑟6,
(𝑟4)−1 = 𝑟5, (𝑟5)−1 = 𝑟4, (𝑟6)−1 = 𝑟3, (𝑟7)−1 = 𝑟2,
(𝑟8)−1 = 𝑟, 𝑠−1 = 𝑠, 𝑠𝑟−1 = 𝑠𝑟, (𝑠𝑟2)−1 = 𝑠𝑟2,
(𝑠𝑟3)−1 = 𝑠𝑟3, (𝑠𝑟4)−1 = 𝑠𝑟4, (𝑠𝑟5)−1 = 𝑠𝑟5, (𝑠𝑟6)−1 = 𝑠𝑟6.
(𝑠𝑟7)−1 = 𝑠𝑟7, (𝑠𝑟8)−1 = 𝑠𝑟8.
48
Berdasarkan uraian invers dari masing-masing anggota 𝐷18, didapatkan
bahwa 𝑆 = {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑟6, 𝑟7, 𝑟8}.
3.7.2 Graf Invers Grup Dihedral-18
Graf invers yang dibentuk dari grup dihedral-18 disimbolkan 𝐺𝑆(𝐷18).
Berdasarkan Tabel 3.7 dan dengan cara yang sama dengan 3.1.2 maka graf invers
grup dihedral-18 𝐺𝑆(𝐷18) ditunjukkan pada Gambar 3.13.
Gambar 3.13 Graf Invers Grup Dihedral-18 (𝐺𝑆(𝐷18))
3.7.3 Komplemen dari 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟖)
Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷18) disimbolkan dengan 𝐺𝑆(𝐷18) . Dengan cara yang
sama dengan komplemen graf invers grup dihedral-6 pada 3.1.3 maka (𝐺𝑆(𝐷18) )
ditunjukkan pada Gambar 3.14.
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
𝑟6
𝑟7 𝑟8 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
𝑠𝑟6
𝑠𝑟7
𝑠𝑟8
49
Gambar 3.14 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-18 (𝐺𝑆(𝐷18) )
3.7.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟖)
Berdasarkan Gambar 3.14, dapat dicari jumlah jarak masing-masing titik
pada 𝐺𝑆(𝐷18) . Jumlah jarak titik 𝑢 𝐷(𝑢) pada (𝐺𝑆(𝐷18) ) merupakan jumlah jarak
antara titik 𝑢 dengan semua titik di (𝐺𝑆(𝐷18) ). Dengan menggunakan cara yang
sama pada 3.1.4 maka dapat disimpulkan bahwa pada 𝐺𝑆(𝐷18) berlaku 𝐷(𝑢) =
24 , ∀𝑢 ∈ 𝑆 dan 𝐷(𝑢) = 25 , ∀𝑢 ∉ 𝑆.
3.7.5 Eksentrisitas Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟖)
Berdasarkan Gambar 3.14, dapat dicari eksentrisitas titik 𝑢 𝑒(𝑢) pada
𝐺𝑆(𝐷18) yang merupakan jarak terjauh dari titik 𝑢 ke sebarang titik di 𝐺𝑆(𝐷18) .
Dengan menggunakan cara yang sama pada 3.1.5 maka dapat disimpulkan bahwa
nilai eksentrisitas masing-masing titik pada komplemen graf invers grup dihedral-
18 (𝐺𝑆(𝐷18) ) adalah sama yaitu 2.
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
𝑟6
𝑟7 𝑟8 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
𝑠𝑟6
𝑠𝑟7 𝑠𝑟8
50
3.7.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟏𝟖)
Setelah diketahui jumlah jarak dan eksentrisitas masing masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷18) , dapat dihitung eccentric-distance sum dari 𝐺𝑆(𝐷18) sebagai berikut:
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷18) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺𝑆(𝐷18) )
= (𝑒(1)𝐷(1)) + (𝑒(𝑟)𝐷(𝑟)) + (𝑒(𝑟2)𝐷(𝑟2)) + (𝑒(𝑟3)𝐷(𝑟3)) +
(𝑒(𝑟4)𝐷(𝑟4)) + (𝑒(𝑟5)𝐷(𝑟5)) + (𝑒(𝑟6)𝐷(𝑟6)) +
(𝑒(𝑟7)𝐷(𝑟7)) + (𝑒(𝑟8)𝐷(𝑟8)) + (𝑒(𝑠)𝐷(𝑠)) + (𝑒(𝑠𝑟)𝐷(𝑠𝑟))
+(𝑒(𝑠𝑟2)𝐷(𝑠𝑟2)) + (𝑒(𝑠𝑟3)𝐷(𝑠𝑟3)) + (𝑒(𝑠𝑟4)𝐷(𝑠𝑟4)) +
(𝑒(𝑠𝑟5)𝐷(𝑠𝑟5)) + (𝑒(𝑠𝑟6)𝐷(𝑠𝑟6)) + (𝑒(𝑠𝑟7)𝐷(𝑠𝑟7)) +
(𝑒(𝑠𝑟8)𝐷(𝑠𝑟8))
= (2 ⋅ 25) + (2 ⋅ 24) + (2 ⋅ 24) + (2 ⋅ 24) + (2 ⋅ 24) + (2 ⋅ 24)
+(2 ⋅ 24) + (2 ⋅ 24) + (2 ⋅ 24) + (2 ⋅ 25) + (2 ⋅ 25) + (2 ⋅ 25)
+(2 ⋅ 25) + (2 ⋅ 25) + (2 ⋅ 25) + (2 ⋅ 25) + (2 ⋅ 25) + (2 ⋅ 25)
= 884
Jadi, dapat diketahui bahwa eccentric-distance sum dari komplemen graf invers
grup dihedral-18 (𝐺𝑆(𝐷18) ) adalah 884.
3.8 Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Inverse 𝑫𝟐𝟎
Himpunan anggota dari grup dihedral-20 adalah 𝐷20 = {1, 𝑟, 𝑟2,
𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑟6, 𝑟7, 𝑟8, 𝑟9, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, 𝑠𝑟3, 𝑠𝑟4, 𝑠𝑟5, 𝑠𝑟6, 𝑠𝑟7, 𝑠𝑟8, 𝑠𝑟9}. Jika setiap
anggota pada grup dihedral-20 dioperasikan dengan operasi “∘”, maka diperoleh
tabel Cayley pada Tabel 3.8.
51
Tabel 3.8 Tabel Cayley Grup Dihedral-20
∘ 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9
1 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9
𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8
𝑟2 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7
𝑟3 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6
𝑟4 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5
𝑟5 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4
𝑟6 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3
𝑟7 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2
𝑟8 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟
𝑟9 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟9 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠
𝑠 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9
𝑠𝑟 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8
𝑠𝑟2 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7
𝑠𝑟3 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6
𝑠𝑟4 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5
𝑠𝑟5 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4
𝑠𝑟6 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2 𝑟3
𝑠𝑟7 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟 𝑟2
𝑠𝑟8 𝑠𝑟8 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1 𝑟
𝑠𝑟9 𝑠𝑟9 𝑠 𝑠𝑟 𝑠𝑟2 𝑠𝑟3 𝑠𝑟4 𝑠𝑟5 𝑠𝑟6 𝑠𝑟7 𝑠𝑟8 𝑟 𝑟2 𝑟3 𝑟4 𝑟5 𝑟6 𝑟7 𝑟8 𝑟9 1
3.8.1 Invers dari Masing-masing Anggota 𝑫𝟐𝟎
Berdasarkan Tabel 3.8, invers dari masing-masing anggota 𝐷20 yaitu
sebagai berikut:
1−1 = 1, 𝑟−1 = 𝑟9, (𝑟2)−1 = 𝑟8, (𝑟3)−1 = 𝑟7,
(𝑟4)−1 = 𝑟6, (𝑟5)−1 = 𝑟5, (𝑟6)−1 = 𝑟4, (𝑟7)−1 = 𝑟3,
(𝑟8)−1 = 𝑟2, (𝑟9)−1 = 𝑟, 𝑠−1 = 𝑠, 𝑠𝑟−1 = 𝑠𝑟,
(𝑠𝑟2)−1 = 𝑠𝑟2, (𝑠𝑟3)−1 = 𝑠𝑟3, (𝑠𝑟4)−1 = 𝑠𝑟4, (𝑠𝑟5)−1 = 𝑠𝑟5,
(𝑠𝑟6)−1 = 𝑠𝑟6. (𝑠𝑟7)−1 = 𝑠𝑟7. (𝑠𝑟8)−1 = 𝑠𝑟8. (𝑠𝑟9)−1 = 𝑠𝑟9.
52
Berdasarkan uraian invers dari masing-masing anggota 𝐷20, didapatkan
bahwa 𝑆 = {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟6, 𝑟7, 𝑟8, 𝑟9}.
3.8.2 Graf Invers Grup Dihedral-20
Graf invers yang dibentuk dari grup dihedral-20 disimbolkan 𝐺𝑆(𝐷20).
Berdasarkan Tabel 3.8 dan dengan cara yang sama dengan 3.1.2 maka graf invers
grup dihedral-20 𝐺𝑆(𝐷20) ditunjukkan pada Gambar 3.15.
Gambar 3.15 Graf Invers Grup Dihedral-20 (𝐺𝑆(𝐷20))
3.6.3 Komplemen dari 𝑮𝑺(𝑫𝟐𝟎)
Komplemen dari 𝐺𝑆(𝐷20) disimbolkan dengan 𝐺𝑆(𝐷20) . Dengan cara yang
sama pada 3.1.3 maka (𝐺𝑆(𝐷20) ) ditunjukkan pada Gambar 3.16.
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
𝑟6
𝑟7
𝑟8 𝑟9 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
𝑠𝑟6
𝑠𝑟7
𝑠𝑟8 𝑠𝑟9
53
Gambar 3.16 Komplemen Graf Invers Grup Dihedral-20 (𝐺𝑆(𝐷20) )
3.6.4 Jumlah Jarak Masing-masing Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟐𝟎)
Berdasarkan Gambar 3.16, dapat dicari jumlah jarak masing-masing titik
pada 𝐺𝑆(𝐷20) . Jumlah jarak titik 𝑢 𝐷(𝑢) pada (𝐺𝑆(𝐷20) ) merupakan jumlah jarak
antara titik 𝑢 dengan semua titik di (𝐺𝑆(𝐷20) ). Dengan menggunakan cara yang
sama pada 3.1.4 maka dapat disimpulkan bahwa 𝐷(𝑢) = 26 , ∀𝑢 ∈ 𝑆 dan 𝐷(𝑢) =
27 , ∀𝑢 ∉ 𝑆.
3.6.5 Eksentrisitas Titik pada 𝑮𝑺(𝑫𝟐𝟎)
Berdasarkan Gambar 3.16, dapat dicari eksentrisitas titik 𝑢 𝑒(𝑢) pada
𝐺𝑆(𝐷20) yang merupakan jarak terjauh dari titik 𝑢 ke sebarang titik di 𝐺𝑆(𝐷20) .
Dengan menggunakan cara yang sama pada 3.1.5 maka dapat disimpulkan bahwa
nilai eksentrisitas masing-masing titik pada komplemen graf invers grup dihedral-
20 (𝐺𝑆(𝐷20) ) adalah sama yaitu 2.
1
𝑟
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑟5
𝑟6
𝑟7
𝑟8 𝑟9 𝑠
𝑠𝑟
𝑠𝑟2
𝑠𝑟3
𝑠𝑟4
𝑠𝑟5
𝑠𝑟6
𝑠𝑟7
𝑠𝑟8 𝑠𝑟9
54
3.6.6 Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟐𝟎)
Setelah diketahui jumlah jarak dan eksentrisitas masing masing titik pada
𝐺𝑆(𝐷20) , dapat dihitung eccentric-distance sum dari 𝐺𝑆(𝐷20) sebagai berikut:
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷20) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑉(𝐺𝑆(𝐷20) )
= (𝑒(1)𝐷(1)) + (𝑒(𝑟)𝐷(𝑟)) + (𝑒(𝑟2)𝐷(𝑟2)) + (𝑒(𝑟3)𝐷(𝑟3)) +
(𝑒(𝑟4)𝐷(𝑟4)) + (𝑒(𝑟5)𝐷(𝑟5)) + (𝑒(𝑟6)𝐷(𝑟6)) +
(𝑒(𝑟7)𝐷(𝑟7)) + (𝑒(𝑟8)𝐷(𝑟8)) + (𝑒(𝑟9)𝐷(𝑟9)) + (𝑒(𝑠)𝐷(𝑠))
+(𝑒(𝑠𝑟)𝐷(𝑠𝑟)) + (𝑒(𝑠𝑟2)𝐷(𝑠𝑟2)) + (𝑒(𝑠𝑟3)𝐷(𝑠𝑟3)) +
(𝑒(𝑠𝑟4)𝐷(𝑠𝑟4)) + (𝑒(𝑠𝑟5)𝐷(𝑠𝑟5)) + (𝑒(𝑠𝑟6)𝐷(𝑠𝑟6)) +
(𝑒(𝑠𝑟7)𝐷(𝑠𝑟7)) + (𝑒(𝑠𝑟8)𝐷(𝑠𝑟8)) + (𝑒(𝑠𝑟9)𝐷(𝑠𝑟9))
= (2 ⋅ 27) + (2 ⋅ 26) + (2 ⋅ 26) + (2 ⋅ 26) + (2 ⋅ 26) + (2 ⋅ 27)
+(2 ⋅ 26) + (2 ⋅ 26) + (2 ⋅ 26) + (2 ⋅ 26) + (2 ⋅ 27) + (2 ⋅ 27)
+(2 ⋅ 27) + (2 ⋅ 27) + (2 ⋅ 27) + (2 ⋅ 27) + (2 ⋅ 27) + (2 ⋅ 27)
+(2 ⋅ 27) + (2 ⋅ 27)
= 1064
Jadi, dapat diketahui bahwa eccentric-distance sum dari komplemen graf invers
grup dihedral-20 (𝐺𝑆(𝐷20) ) adalah 1064.
3.9 Pola Eccentric-Distance Sum pada 𝑮𝑺(𝑫𝟐𝒏)
Berdasarkan pengamatan pada beberapa komplemen graf invers grup
𝐷6, 𝐷8, 𝐷10, 𝐷12, 𝐷14𝐷16, 𝐷18, dan 𝐷20, maka diperoleh pola unsur-unsur di 𝑆 dan
banyaknya anggota 𝑆 yang ditunjukkan pada Tabel 3.9 sebagai berikut.
55
Tabel 3.9 Unsur di 𝑆 dan Banyaknya Anggota 𝑆 dari Grup Dihedral
𝑛 Unsur-unsur dari 𝑆 Banyaknya anggota 𝑆
(|𝑆|)
𝐷6 3 {𝑟, 𝑟2} 2
𝐷8 4 {𝑟, 𝑟3} 2
𝐷10 5 {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4} 4
𝐷12 6 {𝑟, 𝑟2, 𝑟4, 𝑟5} 4
𝐷14 7 {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑟6} 6
𝐷16 8 {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟5, 𝑟6, 𝑟7} 6
𝐷18 9 {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑟6, 𝑟7, 𝑟8} 8
𝐷20 10 {𝑟, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟6, 𝑟7, 𝑟8𝑟,9 } 8
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐷2𝑛 𝑛
{𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1} , untuk 𝑛 ganjil
{𝑟𝑖|𝑖 ≠𝑛
2 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1} , untuk 𝑛 genap
𝑛 − 1 , untuk 𝑛 ganjil
𝑛 − 2 , untuk 𝑛 genap
Teorema 3.1
Untuk setiap grup dihedral 𝐷2𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3 dan 𝑆 adalah himpunan anggota
𝐷2𝑛 yang tidak invers ke dirinya sendiri, maka
i) |𝑆| = 𝑛 − 1 untuk 𝑛 ganjil
ii) |𝑆| = 𝑛 − 2 untuk 𝑛 genap.
Bukti
i) Untuk grup dihedral 𝐷2𝑛 = {1, 𝑟, 𝑟2, … , 𝑟𝑛−1, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, … , 𝑠𝑟𝑛−1} dengan 𝑛
bernilai ganjil, diperoleh bahwa 1 dan 𝑠𝑟𝑖, ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 memiliki invers
terhadap dirinya sendiri. Sehingga diperoleh unsur-unsur dari 𝑆 adalah
{𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1}. Oleh karena itu, |𝑆| = 𝑛 − 1.
ii) Untuk grup dihedral 𝐷2𝑛 = {1, 𝑟, 𝑟2, … , 𝑟𝑛−1, 𝑠, 𝑠𝑟, 𝑠𝑟2, … , 𝑠𝑟𝑛−1} dengan 𝑛
bernilai genap, diperoleh bahwa 1, 𝑟𝑛
2 dan 𝑠𝑟𝑖, ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 memiliki invers
56
terhadap dirinya sendiri. Sehingga diperoleh unsur-unsur dari 𝑆 adalah
{𝑟𝑖|𝑖 ≠𝑛
2 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1}. Oleh karena itu, |𝑆| = 𝑛 − 2. ∎
Selain itu, diperoleh pola eksentrisitas titik dan jumlah jarak titik pada
komplemen graf invers grup dihedral 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) yang ditunjukkan pada Tabel 3.10
sebagai berikut.
Tabel 3.10 Eksentrisitas Titik dan Jumlah Jarak Titik dari 𝐺𝑆(𝐷2𝑛)
𝑛 Eksentrisitas titik Jumlah jarak titik
𝐺𝑆(𝐷6)
3 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷6) )
𝐷(𝑢) = 6 , ∀𝑢 ∈ 𝑆
𝐷(𝑢) = 7 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
𝐺𝑆(𝐷8) 4 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷8) ) 𝐷(𝑢) = 9 , ∀𝑢 ∈ 𝐷8
𝐺𝑆(𝐷10) 5 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷10) )
𝐷(𝑢) = 12 , ∀𝑢 ∈ 𝑆
𝐷(𝑢) = 13 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
𝐺𝑆(𝐷12) 6 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷12) )
𝐷(𝑢) = 14 , ∀𝑢 ∈ 𝑆
𝐷(𝑢) = 15 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
𝐺𝑆(𝐷14) 7 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷14) )
𝐷(𝑢) = 18 , ∀𝑢 ∈ 𝑆
𝐷(𝑢) = 19 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
𝐺𝑆(𝐷16) 8 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷16) )
𝐷(𝑢) = 20 , ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛4 , 𝑢 ≠ 𝑟𝑛−
𝑛4
𝐷(𝑢) = 21 , 𝑢 lainnya
𝐺𝑆(𝐷18) 9 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷18) )
𝐷(𝑢) = 24 , ∀𝑢 ∈ 𝑆
𝐷(𝑢) = 25 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
𝐺𝑆(𝐷20) 10 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷20) )
𝐷(𝑢) = 26 , ∀𝑢 ∈ 𝑆
𝐷(𝑢) = 27 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝐺𝑆(𝐷2𝑛) 𝑛 𝑒(𝑢) = 2 ,
∀𝑢 ∈ 𝑉(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) )
∀𝑛 ≥ 5
Untuk 𝑛 ganjil
𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∈ 𝑆
𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 2 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
Untuk 𝑛 genap
57
Jika 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ maka
𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 4, ∀𝑢 ∈ 𝑆
𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
Jika 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ maka
𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 4, ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛
4 , 𝑢 ≠ 𝑟𝑛−𝑛
4
𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 3 , 𝑢 lainnya
Teorema 3.2
Eksentrisitas setiap titik pada graf komplemen dari graf invers dari grup
dihedral 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) adalah 2.
Bukti
Pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛), untuk setiap 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 titik 𝑟𝑖 tidak akan terhubung langsung
dengan titik 𝑠𝑟𝑗 karena 𝑟𝑖 ∘ 𝑠𝑟𝑗 ∉ 𝑆. Sehingga pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) titik 𝑟𝑖 terhubung
langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑗. Karena setiap titik 𝑠𝑟𝑗 juga terhubung langsung dengan
titik 𝑟𝑘, ∀, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, maka terdapat lintasan 𝑟𝑖 − 𝑟𝑘 dengan panjang 2. Begitu
juga, karena setiap titik 𝑟𝑖 juga terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑙, ∀𝑙 = 1, 2, . . , 𝑛,
maka terdapat lintasan 𝑠𝑟𝑗 − 𝑠𝑟𝑙 dengan panjang 2. Sehingga terdapat 𝑑(𝑟𝑖, 𝑟𝑘) =
2 dan 𝑑(𝑠𝑟𝑗 , 𝑠𝑟𝑙) = 2.
Misalkan terdapat 𝑑(𝑟𝑚, 𝑟𝑖) > 2, ∀𝑚 = 1, 2, … , 𝑛, maka terdapat lintasan 𝑟𝑚 − 𝑟𝑖
dengan panjang lebih dari 2. Titik 𝑟𝑚 terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑗 , ∀𝑗 =
1, 2, … , 𝑛. Karena panjang lintasan 𝑟𝑚 − 𝑟𝑖 lebih dari 2, maka titik 𝑠𝑟𝑗 belum tentu
terhubung langsung dengan titik 𝑟𝑖. Hal tersebut kontradiksi dengan pernyataan
bahwa pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) titik 𝑟𝑖 terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑗. Sehingga
haruslah jarak maksimal setiap titik pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) adalah 2. Oleh karena itu,
eksentrisitas setiap titik pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) adalah 2. ∎
58
Teorema 3.3
Misalkan 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) adalah komplemen graf invers grup dihedral dengan 𝑛 ≥ 5.
Jika 𝑛 ganjil, maka berlaku:
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 2 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
Jika 𝑛 genap dan 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ maka berlaku:
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
Jika 𝑛 genap dan 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ maka berlaku:
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛4 , 𝑢 ≠ 𝑟𝑛−
𝑛4
3𝑛 − 3 , 𝑢 lainnya
Bukti
Untuk setiap grup dihedral 𝐷2𝑛, berdasarkan Teorema 3.1 bahwa jika 𝑛 ganjil maka
𝑆 = {𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1}. Sehingga unsur-unsur yang bukan merupakan anggota
dari 𝑆 adalah {1, 𝑠𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}. Jika 𝑛 genap maka 𝑆 = {𝑟𝑖|𝑖 ≠𝑛
2 , 𝑖 =
1, 2, … , 𝑛 − 1}. Sehingga unsur-unsur yang bukan merupakan anggota dari 𝑆 adalah
{1, 𝑟𝑛
2 , 𝑠𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}.
Kasus 1. Jika 𝑛 ganjil.
i) Misalkan 𝑢 ∈ 𝑆, maka 𝑢 ∈ {𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1}. Pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢
terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑘, ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛 dan terhubung langsung
dengan titik 𝑟𝑛−𝑖. Namun titik 𝑢 tidak terhubung langsung dengan titik 𝑟𝑗, ∀𝑗 ≠
𝑖, 𝑗 ≠ 𝑛 − 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. Sehingga,
𝐷(𝑢) = 𝑑(𝑢, 𝑟𝑛−𝑖) +∑𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+ ∑ 𝑑(𝑢, 𝑟𝑗)
𝑛
𝑗=1𝑗≠𝑖𝑗≠𝑛−𝑖
59
= 1 + 1 + 1 +⋯+ 1⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2 ⏟ 𝑛−2
= 1 + 𝑛 + 2(𝑛 − 2)
= 3𝑛 − 3
ii) Misalkan 𝑢 ∉ 𝑆, 𝑢 = 1, maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢 terhubung langsung dengan
titik 𝑠𝑟𝑘, ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛. Namun titik 𝑢 tidak terhubung langsung dengan titik
𝑟𝑖, ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1. Sehingga,
𝐷(𝑢) = ∑𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+∑𝑑(𝑢, 𝑟𝑖)
𝑛−1
𝑖=1
= 1 + 1 +⋯+ 1 ⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2⏟ 𝑛−1
= 𝑛 + 2(𝑛 − 1)
= 3𝑛 − 2
Misalkan 𝑢 ∉ 𝑆, 𝑢 ≠ 1 maka 𝑢 ∈ {𝑠𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}. Pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢
terhubung langsung dengan titik 𝑟𝑗 , ∀𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. Namun titik 𝑢 tidak
terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑘, ∀𝑘 ≠ 𝑖, 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛. Sehingga,
𝐷(𝑢) =∑𝑑(𝑢, 𝑟𝑗)
𝑛
𝑗=1
+∑𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1𝑘≠𝑖
= 1 + 1 +⋯+ 1⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2⏟ 𝑛−1
= 𝑛 + 2(𝑛 − 1)
= 3𝑛 − 2
Berdasarkan (i) dan (ii) maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) dengan 𝑛 ganjil berlaku 𝐷(𝑢) = 3𝑛 −
3, ∀𝑢 ∈ 𝑆 dan 𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 2, ∀𝑢 ∉ 𝑆.
60
Kasus 2. Jika 𝑛 genap dan 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ.
i) Misalkan 𝑢 ∈ 𝑆 maka 𝑢 ∈ {𝑟𝑖|𝑖 ≠𝑛
2, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1}. Pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢
terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑘, ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, titik 𝑢 juga terhubung
langsung dengan titik 𝑟𝑛−𝑖 dan titik 𝑟(𝑛−𝑖)+
𝑛
2. Namun titik 𝑢 tidak terhubung
langsung dengan titik 𝑟𝑗 , ∀𝑗 ≠ 𝑖, 𝑗 ≠ 𝑛 − 𝑖, 𝑗 ≠ (𝑛 − 𝑖) +𝑛
2, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛.
Sehingga,
𝐷(𝑢) = 𝑑(𝑢, 𝑟𝑛−𝑖) + 𝑑 (𝑢, 𝑟(𝑛−𝑖)+
𝑛2) +∑𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+ ∑ 𝑑(𝑢, 𝑟𝑗)
𝑛
𝑗=1𝑗≠𝑖𝑗≠𝑛−𝑖
𝑗≠(𝑛−𝑖)+𝑛2
= 1 + 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 ⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2 ⏟ 𝑛−3
= 2 + 𝑛 + 2(𝑛 − 3)
= 3𝑛 − 4
ii) Misalkan 𝑢 ∉ 𝑆, 𝑢 ∈ {𝑟𝑖|𝑖 = 𝑛 atau 𝑖 =𝑛
2}, maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢
terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑘, ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, titik 𝑢 juga terhubung
langsung dengan titik 𝑟𝑚, ∀𝑚 ≠ 𝑖,𝑚 = 𝑛 atau 𝑚 =𝑛
2. Namun titik 𝑢 tidak
terhubung langsung dengan titik 𝑟𝑗 , ∀𝑗 ≠𝑛
2, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1. Sehingga,
𝐷(𝑢) = 𝑑(𝑢, 𝑟𝑚) +∑𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+∑𝑑(𝑢, 𝑟𝑗)
𝑛−1
𝑗=1
𝑗≠𝑛2
= 1 + 1 + 1 +⋯+ 1⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2⏟ 𝑛−2
= 1 + 𝑛 + 2(𝑛 − 2)
= 3𝑛 − 3
61
Misalkan 𝑢 ∉ 𝑆, 𝑢 ∈ {𝑠𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}, maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢 terhubung
langsung dengan titik 𝑟𝑘, ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛 dan juga terhubung langsung dengan
titik 𝑠𝑟𝑖+𝑛
2. Namun titik 𝑢 tidak terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑗 , ∀𝑗 ≠ 𝑖, 𝑗 ≠
𝑖 +𝑛
2, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. Sehingga,
𝐷(𝑢) = 𝑑 (𝑢, 𝑠𝑟𝑖+𝑛2) +∑𝑑(𝑢, 𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+ ∑ 𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑗)
𝑛
𝑗=1𝑗≠𝑖
𝑗≠𝑖+𝑛2
= 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 ⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2⏟ 𝑛−2
= 1 + 𝑛 + 2(𝑛 − 2)
= 3𝑛 − 3
Berdasarkan (i) dan (ii) maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) dengan 𝑛 genap dan 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈
ℕ berlaku 𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 4, ∀𝑢 ∈ 𝑆 dan 𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 3, ∀𝑢 ∉ 𝑆.
Kasus 3. Jika 𝑛 genap dan 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ.
i) Misalkan 𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛
4 , 𝑢 ≠ 𝑟𝑛−𝑛
4 maka 𝑢 ∈ {𝑟𝑖|𝑖 ≠𝑛
2, 𝑖 ≠
𝑛
4, 𝑖 ≠ 𝑛 −
𝑛
4, 𝑖 =
1, 2, … , 𝑛 − 1}. Pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢 terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑘, ∀𝑘 =
1, 2, … , 𝑛, titik 𝑢 juga terhubung langsung dengan titik 𝑟𝑛−𝑖 dan titik 𝑟(𝑛−𝑖)+
𝑛
2.
Namun titik 𝑢 tidak terhubung langsung dengan titik 𝑟𝑗 , ∀𝑗 ≠ 𝑖, 𝑗 ≠ 𝑛 − 𝑖, 𝑗 ≠
(𝑛 − 𝑖) +𝑛
2, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. Sehingga,
𝐷(𝑢) = 𝑑(𝑢, 𝑟𝑛−𝑖) + 𝑑 (𝑢, 𝑟(𝑛−𝑖)+
𝑛2) +∑𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+ ∑ 𝑑(𝑢, 𝑟𝑗)
𝑛
𝑗=1𝑗≠𝑖𝑗≠𝑛−𝑖
𝑗≠(𝑛−𝑖)+𝑛2
= 1 + 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 ⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2 ⏟ 𝑛−3
62
= 2 + 𝑛 + 2(𝑛 − 3)
= 3𝑛 − 4
ii) Misalkan 𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ∈ {𝑟𝑖|𝑖 =𝑛
4 atau 𝑖 = 𝑛 −
𝑛
4} maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢
terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑘, ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛 dan titik 𝑢 juga terhubung
langsung dengan titik 𝑟𝑚, ∀𝑚 ≠ 𝑖,𝑚 =𝑛
4 atau 𝑚 = 𝑛 −
𝑛
4. Namun titik 𝑢 tidak
terhubung langsung dengan titik 𝑟𝑗 , ∀𝑗 ≠𝑛
4, 𝑗 ≠ 𝑛 − (
𝑛
4) , 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛.
Sehingga,
𝐷(𝑢) = 𝑑(𝑢, 𝑟𝑚) +∑𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+ ∑ 𝑑(𝑢, 𝑟𝑗)
𝑛
𝑗=1
𝑗≠𝑛4
𝑗≠𝑛−𝑛4
= 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 ⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2 ⏟ 𝑛−2
= 1 + 𝑛 + 2(𝑛 − 2)
= 3𝑛 − 3
Misalkan 𝑢 ∉ 𝑆, 𝑢 ∈ {𝑟𝑖|𝑖 = 𝑛 atau 𝑖 =𝑛
2}, maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢
terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑘, ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, titik 𝑢 juga terhubung
langsung dengan titik 𝑟𝑚, ∀𝑚 ≠ 𝑖,𝑚 = 𝑛 atau 𝑚 =𝑛
2. Namun titik 𝑢 tidak
terhubung langsung dengan titik 𝑟𝑗 , ∀𝑗 ≠𝑛
2, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1. Sehingga,
𝐷(𝑢) = 𝑑(𝑢, 𝑟𝑚) +∑𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+∑𝑑(𝑢, 𝑟𝑗)
𝑛−1
𝑗=1
𝑗≠𝑛2
= 1 + 1 + 1 +⋯+ 1⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2⏟ 𝑛−2
= 1 + 𝑛 + 2(𝑛 − 2)
63
= 3𝑛 − 3
Misalkan 𝑢 ∉ 𝑆, 𝑢 ∈ {𝑠𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}, maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , titik 𝑢 terhubung
langsung dengan titik 𝑟𝑘, ∀𝑘 = 1, 2, … , 𝑛 dan juga terhubung langsung dengan
titik 𝑠𝑟𝑖+𝑛
2. Namun titik 𝑢 tidak terhubung langsung dengan titik 𝑠𝑟𝑗 , ∀𝑗 ≠ 𝑖, 𝑗 ≠
𝑖 +𝑛
2, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. Sehingga,
𝐷(𝑢) = 𝑑 (𝑢, 𝑠𝑟𝑖+𝑛2) +∑𝑑(𝑢, 𝑟𝑘)
𝑛
𝑘=1
+ ∑ 𝑑(𝑢, 𝑠𝑟𝑗)
𝑛
𝑗=1𝑗≠𝑖
𝑗≠𝑖+𝑛2
= 1 + 1 + 1 +⋯+ 1 ⏟ 𝑛
+ 2 + 2 +⋯+ 2⏟ 𝑛−2
= 1 + 𝑛 + 2(𝑛 − 2)
= 3𝑛 − 3
Berdasarkan (i) dan (ii) maka pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) dengan 𝑛 genap dan 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈
ℕ berlaku 𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 4, ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛
4 , 𝑢 ≠ 𝑟𝑛−𝑛
4 dan 𝐷(𝑢) = 3𝑛 − 3, ∀𝑢
lainnya. ∎
Setelah diperoleh pola eksentrisitas titik dan pola jumlah jarak pada
𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , diperoleh pula pola eccentric-distance sum pada komplemen graf invers
grup dihedral 𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) ditunjukkan pada Tabel 3.11 sebagai berikut.
Tabel 3.11 Eccentric-Distance Sum dari 𝐺𝑆(𝐷2𝑛)
𝑛 Eccentric-distance sum (𝜉𝑑𝑠)
𝐺𝑆(𝐷6) 3 80
𝐺𝑆(𝐷8) 4 144
𝐺𝑆(𝐷10) 5 252
𝐺𝑆(𝐷12) 6 352
𝐺𝑆(𝐷14) 7 520
64
𝐺𝑆(𝐷16) 8 664
𝐺𝑆(𝐷18) 9 884
𝐺𝑆(𝐷20) 10 1064
⋮ ⋮ ⋮
𝐺𝑆(𝐷2𝑛) 𝑛 ∀𝑛 ≥ 5
Untuk 𝑛 ganjil
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛)) = 12𝑛2 − 10𝑛 + 2
Untuk 𝑛 genap
Jika 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ maka
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛)) = 12𝑛2 − 14𝑛 + 4
Jika 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ maka
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛)) = 12𝑛2 − 14𝑛 + 8
Teorema 3.4
Untuk setiap 𝑛 ≥ 5, eccentric-distance sum pada komplemen graf invers grup
dihedral 𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) adalah
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) = {
12𝑛2 − 10𝑛 + 2 , jika 𝑛 ganjil
12𝑛2 − 14𝑛 + 4 , jika 𝑛 genap , 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ
12𝑛2 − 14𝑛 + 8 , jika 𝑛 genap , 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ
Bukti
Kasus 1. Jika 𝑛 bernilai ganjil.
Berdasarkan Teorema 3.1, 3.2, dan 3.3 maka diperoleh
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) =∑𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑆
+∑𝑒(𝑣)𝐷(𝑣)
𝑣∉𝑆
= 2(3𝑛 − 3)(𝑛 − 1) + 2(3𝑛 − 2)(𝑛 + 1)
= 12𝑛2 − 10𝑛 + 2
∴ 𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) = 12𝑛2 − 10𝑛 + 2 jika 𝑛 ganjil.
65
Kasus 2. Jika 𝑛 bernilai genap dan 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ.
Berdasarkan Teorema 3.1, 3.2, dan 3.3 diperoleh
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) =∑𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)
𝑢∈𝑆
+∑𝑒(𝑣)𝐷(𝑣)
𝑣∉𝑆
= 2(3𝑛 − 4)(𝑛 − 2) + 2(3𝑛 − 3)(𝑛 + 2)
= 12𝑛2 − 14𝑛 + 4
∴ 𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) = 12𝑛2 − 14𝑛 + 4 jika 𝑛 genap dan 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ.
Kasus 3. Jika 𝑛 bernilai genap dan 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ.
Berdasarkan Teorema 3.1, 3.2, dan 3.3 diperoleh
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) = ∑ 𝑒(𝑢)𝐷(𝑢)𝑢∈𝑆
𝑢≠𝑟𝑛4 ,𝑢≠𝑟
𝑛−𝑛4
+∑𝑒(𝑣)𝐷(𝑣)
𝑣∉𝑆
+ 𝑒 (𝑟𝑛4)𝐷 (𝑟
𝑛4)
+𝑒 (𝑟𝑛−𝑛4)𝐷 (𝑟𝑛−
𝑛4)
= 2(3𝑛 − 4)(𝑛 − 4) + 2(3𝑛 − 3)(𝑛 + 2) + 4(3𝑛 − 3)
= 12𝑛2 − 14𝑛 + 8
∴ 𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) = 12𝑛2 − 14𝑛 + 8 jika 𝑛 genap dan 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ. ∎
Berdasarkan uraian di atas, dapat diketahui bahwa pola-pola yang
didapatkan dalam pembahasan ini yang disajikan dalam beberapa teorema antara
lain pola unsur-unsur di 𝑆 dan banyaknya anggota 𝑆 yakni anggota yang tidak invers
ke dirinya sendiri, pola eksentrisitas titik, pola jumlah jarak, dan pola eccentric-
distance sum pada graf komplemen dari graf invers grup dihedral.
Allah Swt. berfirman dalam al-Quran surat an-Nur/24:45 yang berbunyi:
66
Artinya: “Dan Allah telah menciptakan semua jenis hewan dari air, maka sebagian
dari hewan itu ada yang berjalan di atas perutnya dan sebagian berjalan dengan
dua kaki sedang sebagian (yang lain) berjalan dengan empat kaki. Allah
menciptakan apa yang dikehendaki-Nya. Sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas
segala sesuatu”.
Allah Swt. menyebutkan tentang Kekuasaan-Nya Yang Maha Sempurna
dan Pengaruh-Nya Yang Maha Agung dalam menciptakan makhluk-Nya yang
beraneka ragam bentuk, warna, dan sepak terjangnya yang semuanya itu Dia
ciptakan dari satu air (Katsir, 2004:72). Ayat tersebut menjelaskan tentang
sekumpulan binatang. Dalam kelompok binatang tersebut ada sekelompok yang
berjalan tanpa kaki (melata), ada yang berjalan dengan dua kaki, empat, atau
bahkan lebih.
Sebagaimana dalam konsep matematika, kelompok atau kumpulan objek-
objek yang terdefinisi secara jelas disebut sebagai himpunan. Seperti himpunan
binatang yang berkaki empat yakni {sapi, kucing, singa, harimau, kambing}. Begitu
pula himpunan 𝑆 yakni {𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1} untuk 𝑛 ganjil dan {𝑟𝑖|𝑖 ≠𝑛
2 , 𝑖 =
1, 2, … , 𝑛 − 1} untuk 𝑛 genap.
Jarak 𝑑(𝑢, 𝑣) pada suatu graf merupakan panjang lintasan antara titik 𝑢 ke
titik 𝑣 pada graf tersebut. Eksentrisitas titik 𝑢 merupakan jarak maksimal dari titik
𝑢 ke sebarang titik pada suatu graf. Sedangkan jumlah jarak titik 𝑢 merupakan
jumlah dari jarak antara titik 𝑢 ke semua titik pada suatu graf. Menyinggung tentang
jarak, Allah Swt. berfirman dalam al-Quran surat Saba/34:18 yang berbunyi:
67
Artinya: “Dan Kami jadikan antara mereka dan antara negeri-negeri yang Kami
limpahkan berkat kepadanya, beberapa negeri yang berdekatan dan Kami tetapkan
antara negeri-negeri itu (jarak-jarak) perjalanan. Berjalanlah kamu di kota-kota
itu pada malam dan siang hari dengan aman.
Allah Swt. menceritakan apa yang diperoleh mereka berupa kenikmatan,
kemewahan hidup, kesenangan, negeri yang makmur, tempat-tempat yang aman,
dan kota-kota yang saling berdekatan satu sama lain yang dipenuhi pepohonan,
tanaman, dan hasil buah-buahan yang melimpah. Sehingga, orang yang melakukan
perjalanan dapat beristirahat siang hari di suatu kota, lalu menginap di kota lainnya
menurut kondisi dan keadaan yang diperlukan dalam perjalanan (Katsir, 2004:563).
Rasulullah Saw. bersabda:
)رواه البخاري ومسلم( سط له في رزقه وي نسأ له في أثره ف ليصل رحمه من أحب أن ي ب Artinya: “Barang siapa yang ingin dilapangkan rizkinya dan dipanjangkan
umurnya, maka hendaklah ia menyambung silaturrahim.” (HR Bukhari dan
Muslim).
Begitulah hadits yang diriwayatkan oleh Bukhari dan Muslim tersebut menjelaskan
bahwa seseorang yang menyambung hubungan kekerabatan atau silaturrahim akan
dilapangkan rizkinya dan dipanjangkan umurnya.
Mencari nilai eccentric-distance sum haruslah pada suatu graf terhubung.
Jika suatu graf tidak terhubung, maka tidak dapat dicari nilai eccentric-distance sum
dari graf tersebut. Sehingga keterhubungan antar titik pada suatu graf diperlukan
agar graf tersebut menjadi graf terhubung. Semakin banyak anggota pada himpunan
titik dari suatu graf, maka semakin banyak pula sisi yang menghubungkan antar
titik tersebut dan semakin besar nilai eccentric-distance sum dari graf tersebut.
68
Sama halnya dengan silaturrahim, semakin banyak seseorang bersilaturrahim maka
akan dilapangkan rizkinya dan dipanjangkan umurnya.
Gambar 3.17. Representasi Silaturrahim dalam Graf
Misalkan Gambar 3.17 merupakan representasi silaturrahim dalam bentuk
graf. Dimisalkan titik A, B, C, D adalah kerabat, titik A dan titik B terhubung
langsung jika dan hanya jika si A dan si B saling bersilaturrahim. Graf 𝑆 memiliki
nilai eccentric-distance sum lebih besar daripada graf 𝑅 karena graf 𝑆 memiliki
anggota dan keterhubungan lebih banyak daripada graf 𝑅.
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝑅:
𝐴 𝐵
𝐶
𝑆:
69
BAB IV
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan yang sudah diperoleh pada Bab III, maka
dapat diambil kesimpulan pola eccentric-distance sum pada komplemen graf invers
grup dihedral adalah sebagai berikut:
1. Himpunan anggota 𝑆 dari 𝐷2𝑛 adalah {𝑟𝑖|𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1} untuk 𝑛 ganjil dan
{𝑟𝑖|𝑖 ≠𝑛
2 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1} untuk 𝑛 genap. Sehingga |𝑆| = 𝑛 − 1 untuk 𝑛
ganjil dan |𝑆| = 𝑛 − 2 untuk 𝑛 genap.
2. Eksentrisitas setiap titik pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) adalah 2.
3. Jumlah jarak pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , ∀𝑛 ≥ 5 adalah
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 2 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
untuk 𝑛 ganjil,
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆3𝑛 − 3 , ∀𝑢 ∉ 𝑆
untuk 𝑛 genap dan 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ, dan
𝐷(𝑢) = {3𝑛 − 4 , ∀𝑢 ∈ 𝑆, 𝑢 ≠ 𝑟𝑛4 , 𝑢 ≠ 𝑟𝑛−
𝑛4
3𝑛 − 3 , 𝑢 lainnya
untuk 𝑛 genap dan 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ.
4. Eccentric-distance sum pada 𝐺𝑆(𝐷2𝑛) , ∀𝑛 ≥ 5 adalah
𝜉𝑑𝑠(𝐺𝑆(𝐷2𝑛) ) = {
12𝑛2 − 10𝑛 + 2 , jika 𝑛 ganjil
12𝑛2 − 14𝑛 + 4 , jika 𝑛 genap , 𝑛 = 4𝑘 + 2, 𝑘 ∈ ℕ
12𝑛2 − 14𝑛 + 8 , jika 𝑛 genap , 𝑛 = 4(𝑘 + 1), 𝑘 ∈ ℕ
70
3.2 Saran
Penelitian ini hanya difokuskan pada pokok masalah mengenai eccentric-
distance sum pada komplemen graf invers grup dihedral. Dengan demikian untuk
penelitian selanjutnya, penulis menyarankan kepada pembaca untuk meneliti
eccentric-distance sum dari graf invers grup berhingga lainnya.
71
DAFTAR RUJUKAN
Abdussakir, Azizah, N.N., dan Nofandika, F.F. 2009. Teori Graf Topik Dasar
untuk Tugas Akhir/Skripsi. Malang: UIN-Malang Press.
Alfuraidan, M.R dan Zakariya, Y.F. 2017. Inverse Graphs Associated with Finite
Groups. Electronic Journal of Graph Theory and Aplications, 5(1): 142-
154.
Chartand, G., Lesniak, L., dan Zhang, P. 2016. Graphs and Digraphs Sixth
Edition. Boca Raton: CRC Press.
Dummit, D.S dan Foote, R.M. 2004. Abstract Algebra Third Edition. Hoboken:
John Wiley and Sons, Inc.
Gilbert, L dan Gilbert, J. 2015. Elements of Modern Algebra Eighth Edition.
Stamford: Nelson Education, Ltd.
Ilic, A., Yu, G., dan Feng, L. 2011. On the Eccentric Distance Sum of Graphs. J.
Math. Anal. Appl, 381: 590-600.
Katsir, I. 2001. Tafsir Ibnu Katsir, Jilid 2. Terjemahan M. Ghoffar. Bogor:
Pustaka Imam asy-Syafi’i.
Katsir, I. 2003. Tafsir Ibnu Katsir, Jilid 5. Terjemahan M. Ghoffar. Bogor:
Pustaka Imam asy-Syafi’i.
Katsir, I. 2004. Tafsir Ibnu Katsir, Jilid 6. Terjemahan M. Ghoffar. Bogor:
Pustaka Imam asy-Syafi’i.
Padmapriya, P dan Mathad, V. 2017. The Eccentric-Distance Sum of Some
Graphs. Electronic Journal of Graph Theory and Aplications, 5(1): 51-62.
Raisinghania, M.D dan Anggarwal, R.S. 1980. Modern Algebra. New Delhi: S.
Chand & Company Ltd.
RIWAYAT HIDUP
Mustika Ana Kurfia, biasa dipangil Tika atau Ana, lahir
di Banyuwangi pada 27 Februari 1995. Ia tinggal di Perumahan
Permata Harmony Blok A Nomor 7-8 RT 01 RW 03 Pengatigan
Kecamatan Rogojampi Kabupaten Banyuwangi. Anak pertama
dari bapak Yaseni Bachtiar dan ibu Mas’unah serta kakak dari
Bimantara Adhitama.
Pendidikan dasarnya ditempuh di MI Islamiyah Rogojampi pada tahun 2001
hingga 2007, pendidikan menengah pertamanya ditempuh di SMP Bustanul
Makmur Genteng pada tahun 2007 hingga 2010, dan pendidikan menengah ke
atasnya ditempuh di MAN 1 Jember pada tahun 2010 hingga 2013. Selanjutnya
pada tahun 2013, ia menempuh kuliah di Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana
Malik Ibrahim Malang mengambil Jurusan Matematika.
Selama menempuh pendidikannya, ia berprestasi dalam bidang menari baik
tari tradisional maupun tari modern dan sering mengikuti kompetisi serta mengisi
acara. Selain itu, ia berperan aktif dalam kegiatan Palang Merah Remaja (PMR)
pada tahun 2010 hingga 2013. Ia pernah menjabat sebagai sekertaris bidang bakat
dan minat di Himpunan Mahasiswa Jurusan (HMJ) Matematika UIN Maulana
Malik Ibrahim Malang periode 2013/2014.
KEMENTRIAN AGAMA RI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
Jl. Gajayana No. 50 Dinoyo Malang Telp./Fax.(0341)558933
BUKTI KONSULTASI SKRIPSI
Nama : Mustika Ana Kurfia
NIM : 13610060
Fakultas/ Jurusan : Sains dan Teknologi/ Matematika
Judul Skripsi : Eccentric-Distance Sum pada Komplemen Graf Invers Grup
Dihedral
Pembimbing I : H. Wahyu H. Irawan, M.Pd
Pembimbing II : Abdul Aziz, M.Si
No Tanggal Hal Tanda Tangan
1. 10 Mei 2017 Konsultasi BAB I dan II 1.
2. 29 Mei 2017 Konsultasi BAB III 2.
3. 13 Juni 2017 ACC BAB I, II, dan III 3.
4. 14 Juni 2017 Konsultasi Keagamaan BAB I
dan II
4.
5. 15 Juni 2017 ACC Keagamaan BAB I dan II 5.
6. 27 Juli 2017 Revisi BAB III 6.
7. 02 Agustus 2017 Konsultasi Keagamaan BAB III 7.
8. 07 Agustus 2017 Revisi Keagamaan BAB III 8.
9. 23 Agustus 2017 Revisi BAB IV 9.
10. 28 Agustus 2017 ACC Keseluruhan 10.
11. 28 Agustus 2017 ACC Agama Keseluruhan 11.
Malang, 28 Agustus 2017
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Dr. Usman Pagalay, M.Si
NIP. 19650414 200312 1 001