Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

8/18/2019 Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

1/22

GEOMETRI TRANSFORMASI

HASIL KALI TRANSFORMASI

Disusun oleh :

Fajar Arif Setyaan !"#$#"$%$&'(

Arif )u*i Setyaan !"#$#"$%$&+(

,e-i- Satyaa*a !"#$#"$%$&.(

Rah/an Setiaan !"#$#"$%$&0(

12R2SAN MATEMATIKA

FAK2LTAS MATEMATIKA DAN ILM2 3ENGETAH2AN ALAM

2NI4ERSITAS NEGERI SEMARANG

&$$0


2/22

HASIL KALI TRANSFORMASIDefinisi :

Andaikan F dan G dua transformasi, dengan

F : V V

G : V V

Maka komposisi dari F dan G yang ditulis sebagai G F didefinisikan sebagai:

(GF) (P) = G[F(P), ∀ P∈V

Teore/a :

!ika F : V V dan G : V V masing"masing suatu transformasi maka #asil kali $ =

GF : V V adala# %uga suatu transformasi&

)u5ti :

Akan dibuktikan $ = GF suatu transformasi&

'ntuk ini #arus dibuktikan dua #al yaitu $ sur%ektif dan $ in%ektif&

1) Akan dibuktikan $ sur%ektif&

arena F transformasi maka daera# nilai F adala# seluru# bidang V, dan

daera# asal G %uga seluru# V sebab G suatu transformasi&

Ambil ∈ y V, apaka# ada x se#ingga $( x) = y Akan dibuktikan y = $( x)&

arena G transformasi maka ∈∀ y V ∈∃ z V y∋ = G( z )&

arena F suatu transformasi maka pada ∈∃ x z V z ∋ = F( x)&

Maka y = G[F( x) atau y = GF ( x)&

!adi y = $( x)&

1a*i H surje5tif6

2) Akan dibuktikan $ in%ektif&

Artinya, !ika P * maka $(P) $(*) ∀ P,* + V&

Ambil P,* + V dan P *& arena F in%ektif maka F(P) F(*)&

!elas G(F(P)) G(F(*)) karena G in%ektif&

-iperole#, !ika P * maka G(F(P)) G(F(*)) ∀P,* + V&

1a*i H inje5tif6

arena $ sur%ektif dan $ in%ektif maka H suatu transfor/asi6

1a*i H 7 GF suatu transfor/asi6


3/22

.atatan : -engan %alan yang serupa dapat pula dibuktikan ba#/a #asil kali F G

%uga suatu transformasi&

Soal8soal

1). -iketa#ui : garis"garis g dan h dan titik"titik P,* dan &

0ukisla# :

a). A = Mg[M#(P)

b). 1 = M#[Mg(P)

c). . = M#[M#(P)

d). - = Mg[M#()

e). 2 se#ingga M#[Mg(2) = *

f). Apaka# MgM# = M#Mg

!a/ab:

a)&

b)&

3)&

M#(P)

A

g

h

P

*

1

g

h

Mg(P)

P


4/22

d)&

e)&

f)& 4idak, sebab terli#at pada nomor (a) dan (b), diperole# Mg[M#(P)≠

M#[Mg(P)&

2). -iketa#ui : 4 dan 5 isometri

5elidiki :

a). 45 sebua# isometri

g

h

M#(P)

P = M#[M

#(P)

= -

g

h

P

*

2

g

h

P

*

M#(*)


5/22

b). 45 = 54

c). !ika g sebua# garis maka g 6 = (45)( g ) %uga sebua# garis&

d). !ika g 77 h dan g 6 = (45)( g ), h6 = (45)(h) maka g 6 77 h6

!a/ab :

a). 4 dan 5 adala# isometri"isometri se#ingga 4 dan 5 adala# suatu

transformasi

1erdasarkan teorema 8!ika F : V V dan G : V V masing"masing suatu

transformasi, maka #asil kali $ = G F : V V adala# %uga suatu

transformasi9, maka 45 %uga transformasi&

Adb apaka# 45 isometri

Ambil sebarang titik A, 1∈V

5(A) = A6, 5(1) = 16

arena 5 isometri se#ingga A1 = A616

4(A6) = A9, 4(16) = 19

arena 4 suatu isometri se#ingga A616 = A919

-engan demikian A1 = A616 = A919

45(A) = 4[5(A) 45(A) = 4[5(A)

= 4(A6) = 4(16)

= A9 = 19

arena A1 = A919 se#ingga 45 sebua# isometri&

!adi 45 adala# suatu isometri&

b). Adb 45 = 54

c). Apabila g sebua# garis maka g 6 = 45( g ) %uga sebua# garis

4ela# diketa#ui ba#/a 45 sebua# isometri

1erdasarkan teorema 8sebua# isometri memetakan garis men%adi garis9

Maka g 6 = 45( g ) adala# sebua# garis

!adi pernyataan 8%ika g sebua# garis maka g 6 = 45( g ) %uga sebua# garis9

benar&

d). Apabila g 77 h dan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h) maka g 677 h6

arena 45 sebua# isometri, berdasarkan teorema 8sebua# isometri

menga/etkan kese%a%aran dua garis9


6/22

5e#ingga diperole# g 677 h6 dengan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h), g 77 h

!adi pernyataan 8Apabila g 77 h dan g 6 = 45( g ), h6 = 45(h) maka g 677 h69

benar&

3). -iketa#ui : garis"garis g dan h, A∈ g , 1∈ h, . ∈ h

0ukisla# :

a). Mg[M#(∆A1.)

b). M#[Mg(∆A1.)

c). se#ingga Mg[M#() =

d). 2 se#ingga M#[Mg(2) = -

!a/ab:

a).

M#(A) = A6

M#(1) = 16 (karena 1 h∈ maka M#(1) = 16)

M#(.) = .6

Mg(A6) = A9

Mg(16) = 19

Mg(.6) = .9

!adi, Mg[M#(A1.) = A919.9

19

A9

.9

.6

A6

1.

A

h

g


7/22

b).

Mg(A) = A6 = A (karena A g ∈ )

Mg(1) = 16

Mg(.) = .6

M#(A6) = A9

M#(16) = 19

M#(.6) = .9

!adi, M#[Mg(A1.) = A919.9

c). Akan dilukis se#ingga Mg[M#() =

Mg[M#() = ⇔ (MgM#)() =

$asil kali persamaan (MgM#)() = #anya akan ter%adi pada titik potong

antara garis g dan garis h& le# karena itu adala# titik potong garis g

dan garis h&

d). Akan dilukiskan titik 2 se#ingga M#[Mg(2) = -

arena - h∈ maka -6 = M#(-) = -

5e#ingga diperole# Mg(2) = -

16

19

.6

.9

A9

1.

A = A6

h

g

h

g


8/22

!adi, 2 adala# prapeta - ole# Mg

4). -iketa#ui : garis"garis g , h, k dengan g 77 k

0ukisla# :

a). g 6 = M#[Mg( g )

b). g 6 = Mg[M#( g )

c). k 6 = Mg[M#(k )

!a/ab:

a). g 6 = M#[Mg( g )

b). g 6 = Mg[M#( g )

-

2

h

g

g ;

k

h g

g ;

M#( g )

k

h g


9/22

c). k6 = Mg[M#(k )

5). -iketa#ui : dua garis g dan h yang berpotongan

0ukisla# :

a). k se#ingga Mg[M#(k ) = g

b). m se#ingga M#[Mg(m) = g

c). n se#ingga M#[Mg(n) membagi sama besar sudut lan3ip antara g dan h

!a/ab:

6). -iketa#ui : padanan 5 dan 4 sebagai berikut

-aera# asal 5 adala# g , 5(


10/22

b). arena 45(


11/22

= ( ){ } R y y ∈,,=

!adi, diperole# M#[Mg( g ) adala# sumbu"@ sebua# sistem sumbu

ortogonal& Persamaan garis M#[Mg( g ) adala# x = &

b). Akan ditentukan P9 = M#[Mg(P) dengan P = (,>)

M#[Mg(P) = M#[Mg(,>)

= M#[(,">)

= (">,)

!adi P9 = (">,)&

c). Akan ditentukan *9 = Mg[M#(*) dengan * = (>,"?)M#(*) = M#(>,"?)

= ("?,>)

!adi, *9 = Mg[M#(*)

= Mg("?,>)

= ("?,">)

d). Akan ditentukan 29 = Mg[M#(2) dengan 2 = ( x, y)

29 = Mg[M#(2)

= Mg[M#( x, y)

= Mg( y, x)

= ( y," x)

e). m(∠229) = &&&

Misalkan m(∠229) =

29( y," x)

2( x, y)

(,)


12/22

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )

°=°=⇔

=⇔

=+−⇔

+−+++=++++−⇔

−++−−+++=++−⇔

−+=

BC=atauD=

=3os

=3osB

3osBBB

3osB

3os2E2 B2E2 22E

BB

BBBBBBBBBB

BBBBBBBBBB

BBB

y x

y x x y y x x xy y y xy x

x y y x x y y x x y y x

!adi, m(∠229) = D

8). -iketa#ui : dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P

1uktikan : Mg[M#(A) = P %ika dan #anya %ika A = P

1ukti :

Garis g dan h berpotongan di titik P, maka P g ∈ dan P h∈

(1) ( )⇒ -iketa#ui Mg[M#(A) = P &&&&&&&&&&(i)

Akan dibuktikan %ika Mg[M#(A) = P maka A = P

arena P , g ∈ menurut definisi pen3erminan,

Mg(P) = P &&&&&&&&&&(ii)

-ari (i) dan (ii) diperole#

Mg[M#(A) = P = Mg(P)⇔ M#(A) = P &&&&&&&&&&(iii)

arena P ,h∈ menurut definisi pen3erminan,

M#(P) = P &&&&&&&&&&(i)

-ari (iii) dan (i) diperole#

M#(A) = P = M#(P)⇔ A = P

!adi, %ika Mg[M#(A) = P maka A = P (terbukti)

(2) ( )⇐ -iketa#ui A = P

Akan dibuktikan %ika A = P maka Mg[M#(A) = P

arena A = P dan P ,h∈ menurut definisi pen3erminan,

M#(A) = M#(P) = P

arena P , g ∈ menurut definisi pen3erminan,

Mg(P) = P = Mg[M#(A) se#ingga Mg[M#(A) = P


13/22

!adi, %ika A = P maka Mg[M#(A) = P (terbukti)

-ari (?) dan (B) diperole# :

!ika dua garis g dan h yang berbeda berpotongan di P, maka

Mg[M#(A) = P %ika dan #anya %ika A = P (terbukti)

D)& -iketa#ui : andaikan g sumbu < dan h =( ){ } x y y x =,

5 adala# padanan yang didefinisikan sebagai berikut :

!ika P g ∈ maka 5(P) = P, %ika P g ∉ maka 5(P) adala# titik tenga# ruas garis

tegak lurus dari P pada g

-itanyakan :

a). 1uktikan 5 suatu transformasi

b). !ika P = (H,y) sebua# titik sembarang, tentukan koordinat"koordinat titik

5[Mg(P)

c). 5elidiki apaka# 5 Mg = Mg 5

d). 5elidiki apaka# 5 M# = M# 5

!a/ab:

a). 5 : V VAkan dibuktikan 5 bi%ektif

(i). Akan dibuktikan 5 sur%ektif

(?)& 'ntuk P g ∈

Ambil sebarang P∈V

!elas prapeta P = P sebab 5(P) = P

(B)& 'ntuk P g ∉

le# karena V bidang eu3lide maka terdapat dengan tunggal P

dengan P P4∈ dimana 4 g ∈ dan P4 g

5e#ingga P< =


14/22

Ambil sebarang P, *∈V dengan P≠ *

(?)& 'ntuk P, *

g ∈

!elas 5(P) = P dan 5(*) = *

arena P≠ * maka 5(P)≠ 5(*)

(B)& 'ntuk P g ∈ dan * g ∉

!elas 5(P) = P dan 5(*) = )& 'ntuk P, * g ∉

!elas 5(P) = @, dimana @ titik tenga# ruas garis tegak lurus dari

P pada g dan 5(*) = < titik tenga# ruas garis tegak lurus dari *

pada g &

Andaikan 5(P) = 5(*) atau @ = <

arena @ titik tenga# ruas garis tegak lurus dari P pada g ,

misalkan ruas garis tersebut dinamakan P4 dimana 4 g ∈ &

Maka @ P4∈ dan P@ = @4

arena < = @ maka < P4∈ dan P< =


15/22

5[Mg(P) =)

B

?,( y x −

c). Ambil sebarang P = ( x, y)

(i)& 'ntuk P g ∈

[5(P)M(P)[M5 P(P)M[5(P)M maka P5(P)

P5(P)(P)[M5 maka P(P)M

gg

gg

gg=

===

===

(ii)& 'ntuk P g ∉

[5(P)M(P)[M5 )

B

?,(M[5(P)M maka )

B

?,(5(P)

)B

?,(5(P)(P)[M5 maka ),((P)M

gg

gg

gg

=

−=−=

−==−=

y x y x

y x y x

!adi,[5(P)M(P)[M5 gg =

d). Ambil sebarang P = ( x, y)

(i)& 'ntuk P g ∈

(P)[M5[5(P)M

),=([5(P)M maka )=,(5(P)

)B

?,=((P)[M5 maka ),=((P)M

##

#

## ≠

==

==

x x

x x

(ii)& 'ntuk P g ∉

(P)[M5[5(P)M

),B

?([5(P)M maka )

B

?,(5(P)

)B

?,((P)[M5 maka ),((P)M

##

#

##

≠

==

==

x y y x

x y x y

!adi, (P)[M5[5(P)M ## ≠

?)& -iketa#ui : g =( ){ }=, = y y x

dan h =( ){ } x y y x =,

5 transfomasi (yang didefinisikan seperti nomor D)

A = (B,"J) dan P = ( x, y)

4entukan koordinat"koordinat titik"titik berikut :

a). M# Mg 5(A) d)& M# 5 Mg(A)

b). Mg 5 M#(A) e)& 5B M#(A)

c). 5 M# 5(A) f)& 5 MB

g(A)


16/22

!a/ab:

a). A = (B, "J)

A6 = 5(A)

5esuai definisi 5 (%ika P g ∈ maka 5(P) adala# titik tenga# ruas garis

tegak lurus dari P pada g ) maka A6 adala# titik tenga# garis yang melalui

A dan g &

A6 =)K,B()

B

)J(=,

B

BB( −=

−++

!adi, 5(A) = (B,"K)

A9 = Mg5(A) = Mg(B,"K)

5esuai definisi pen3erminan, maka garis g adala# garis sumbu titik (B, "K)

dan A9& Misal:

A9 = (a, b), maka:

K,B)BB,

B?()=,B()

B

K,

B

B()=,B( ==⇔−+=⇔

+−+= ba

baba

!adi, A9 = Mg5(A) = Mg(B,K)

A96 = M#(A9) = M#Mg5(A) = M#(B,K)

5esuai definisi pen3erminan, maka garis h adala# garis sumbu titik (B,K)

dan A96& Misal A96 = (a6, b6), maka:

'ntuk men3ari titik tenga# A9 dan A96

Misal titik tenga# A9 dan A96 adala# L, maka L h∈

arena h adala# garis y = x, maka nilai absis sama dengan ordinat,

gradien h = ?

Misal L = (m,m)

Persamaan garis melalui A9 dan L:

)K(?B +−=⇔−−=− x y x y (dengan gradien(m) = ?)

5ubtitusikan L(m,m) pada +−= x y maka >B =⇔=⇔+−= mmmm

!adi, L(>,>)&

11). -iketa#ui : andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus


17/22

A, 1, . adala# tiga bua# titik, se#ingga Mg(A) = 1 dan M#(A) = .

-itanyakan : tentukan titik"titik

a). M>g(A) 3)& M#MgM#M#Mg(A)

b). M#MgM#(A) d)& MB

gM>#(A)

!a/ab:

Misalkan seperti gambar berikut:

a). M>g(A) = (MgMgMg)(A) 3)& M#MgM#M#Mg(A)

= (MgMg)[Mg(A) = (M#MgMB#)[Mg(A)

= (MgMg)(1) = (M#MgMB#)(1)

= Mg[Mg(A) = (M#Mg)[MB

#(1)

= Mg(A) = (M#Mg)(1)

= 1 = M#[Mg(1)

= M#(A)

= .

b). (M#MgM#)(A)= (M#Mg)[M#(A) d)& MBgM

>#(A) = (M

BgM#)[M

B# (A)

= (M#Mg)(.) = (MBgM#)(A)

= M#[Mg(.) = MBg[M#(A)

= M#(-) = MBg(.)

= 1 = .

?B)& -iketa#ui : dua garis, g 77 h, titik"titik P dan *, P g ∉ dan P h∉

-itanyakan :

a). 0ukisla# P9 = MgM#(P) dan *9 = MgM#(*)

h

g

-( x," y).(" x," y)

A(" x, y) 1( x, y)


18/22

b). 1erbentuk apaka# segiempat PP9**9

c). 1uktikan pendapat anda

!a/ab:

a).

b). 5egiempat PP9*9* berbentuk %a%argen%ang

c). g 77 h, P9 = MgM#(P), dan *9 = MgM#(*)

!adi, *EPE = MgM#(P* )

arena pen3erminan suatu isometri, maka *EPE 77 P* dan*EPE

=P*

,

dengan demikian segiempat PP9*9* suatu %a%argen%ang (berdasarkan

teorema 8segiempat yang memiliki sepasang sisi yang se%a%ar dan sama

pan%ang adala# %a%argen%ang9)&

13). -iketa#ui : g =( ){ },>, = y y x

h =( ){ },?, −= y y x

dan k sebua# garis yang

melalui A = (?,K) dan 1 = ("?,"B)

4entukanla# :

a). Persamaan k 6 = MgM#(k )

b). 0uas segiempat AA9119 apabila A9 = MgM#(A) dan 19 = MgM#(1)

c). oordinat P9 = MgM#(P), P9 = MgM#(P) apabila P = ( x, y)

MgM

#(*) = *9

MgM

#(P) = P9

*6 = M#(*)

P6 = M#(P) P

*

h g


19/22

d). Nilai dalam persamaan garis( ){ }, == y y xh

apabila

( ){ },B, == x y x g A = (O,?), dan A9 = M#Mg(A) = (">,?)

!a/ab:

a). k 6 = MgM#(k )

arena A k ∈ dan 1 k ∈ , se#ingga A9=MgM#(A) k ∈ dan 19=MgM#(1)

k ∈ &

A9 = (?,?B), 19 = ("?,)& Misal A9 = ),( ?? y x dan 19 = ),( BB y x &

Persamaan garis k 6:

??

?

?B

?B

?B

?

?B

?

−−

−=

−

−⇔

−

−=

−

− x y

x x

x x

y y

y y

D>

>>?B

)?(>?B

B

?

?B

+=⇔

−=−⇔

−=−⇔−

−=

−

−⇔

x y

x y

x y

x y

!adi, persamaan garis D>:; += x yk

b). AA9191 membentuk bangun %a%argen%ang dengan alas(a) = B d an

tinggi(t ) = J& 0uas = a H t = B H J = ?

!adi, luas AA9191 = ? satuan luas&

3)& P ),( y x & Pen3erminan titik P ter#adap garis h M#(P) = P6);,;( y x

arena garis h merupakan sumbu PP6, se#ingga "? merupakan titik

tenga# dari y dan y6:

B;B;?B

;−−=⇔−=−⇔−=

− y y y y

y y

dan x x =;

!adi, koordinat titik P6( x, " y B)

Pen3erminan titik P6 ter#adap garis g Mg[M#(P) = P9)E,E( y x

arena garis g merupakan sumbu P6P9, se#ingga > merupakan titik

tenga# dari y6 dan y9:


20/22

JE)B(E;EE;>B

E;+=⇔−−−=⇔−=⇔=−⇔=

− y y y y y y y y

y y

-an x x x == ;E

!adi, koordinat titik P9( x, y Q J)

d). ( ){ }, == y y xh

,( ){ },B, == x y x g

A = (O,?), dan A9 = M#Mg(A) = ("

>,?), berapa

Pen3erminan titik A ter#adap garis( ){ }B, == x y x g

: Mg(A) = A6);,;( y x

arena garis g merupakan sumbu AA6 (dari definisi pen3erminan),

se#ingga x = B merupakan titik tenga# O dan x6 sedangkan y6 = ? (tetap)&

?;K;OBB

;O−=⇔=+⇔=

+ x x

x

!adi, A6 = Mg(O,?) = ("?,?)

Pen3erminan titik A6 ter#adap garis( ){ }, == y y xh

: A9 = M#(A6) =

M#("?,?) = (">,?)

arena garis h merupakan sumbu A6A9 (dari definisi pen3erminan),

se#ingga x = merupakan titik tenga# "? dan "> sedangkan y9 = y = ?&

BB

)>(?−=⇔=

−+−

!adi, persamaan garis( ){ }B, == y y xh

?K)& -iketa#ui : dua garis, g h, * ,h g ∩= dan sebua# titik P , g ∉ dan P h∉

-itanyakan :e). 0ukisla# A = MgM#(P)

f)& 5elidiki apaka# * titik tenga# AP

g). 0ukisla# 1 = M#Mg(P)

!a/ab:

a). A = MgM#(P)

5

2 h

g

*

P

M#(P) A


21/22

b). Misalkan M#(P) = P6

Maka PP; memotong h di titik 2 dan AP; memotong g di titik 5

arena P6 adala# pen3erminan dari P maka P2 = 2P6 dan PP; h

arena A adala# pen3erminan dari P6 maka P65 = 5A dan AP; g

arena PP; h dan g h maka PP; 77 g se#ingga 2P6 = *5

arena AP; g dan g h maka AP; 77 h se#ingga P65 = 2*

Per#atikan P2* dan *5A

P2 = 2P6 dan 2P6 = *5 maka P2 = *5

m(P2*) = m(*5A) = D

2* = P65 dan P65 = 5A maka 2* = 5A

1erdasarkan sistem aksioma kekongruenan

Maka P2* ≅ *5A dengan aturan 5 5d 5

5e#ingga P* = *A

arena P* = *A dan P*∈ PA dan *A∈ PA maka * tenga#"tenga#PA

!adi, titik * pada pertenga#an PA

c). A = MgM#(P)

h

g 1

M g ( P ) P


22/22

15). -iketa#ui : h adala# sumbu"< dan g sumbu"@ sebua# sistem sumbu

ortogonal

A = (K,">) dan P = ( x, y)

4entukanla# :

a). oordinat"koordinat M#Mg(A) dan MgM#(A)

b). oordinat"koordinat M#Mg(P)

c). Apaka# M#Mg dan MgM#

!a/ab:

a). M#Mg(A) = M#[Mg(A)

= M#[Mg(K,">)

= M#("K,">)

= ("K,>)

MgM#(A) = Mg[M#(A)

= Mg[M#(K,">)

= M#(K,>)

= ("K,>)

b). M#Mg(P) = M#[Mg( x, y)

= M#(" x, y)

= (" x," y)

c). MgM#(P) = Mg[M#( x, y)

= Mg( x," y)

= (" x, " y)

4ernyata M#Mg(P) = (" x," y) = MgM#(P)

!adi, M#Mg(P) = MgM#(P)

Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan

Documents

Transcript of Fajar Arif Setyawan, Arif Budi Setyawan, Wegig Satyawada, Rahman Setiawan