Fungsi dua peubah

2/13/2019

Sistem Koordinat

y

x

P(x,y)

Kuadran IKuadran II

Kuadran III Kuadran IV

y

x

y

z

x

P(x,y,z)

Oktan 1

R3(Ruang) R2(Bidang)

2/13/2019

Permukaan di Ruang (R3)

Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan diruang dan cara membuat sketsa suatupermukaan di ruang (R3).

Berikut beberapa permukaan di ruang, antara lain :

• Bola, mempunyai bentuk umum :0a,azyx 2222 =++

222 ayx =+Jejak di bidang XOY, z = 0➔

Jejak di bidang XOZ, y = 0➔

, berupa lingkaran222 azx =+ , berupa lingkaran

Jejak di bidang YOZ, x = 0➔222 azy =+ , berupa lingkaran

2/13/2019

Bola

Z

x

y

0a,azyx 2222 =++a

-a

a

a-a

-a

jari-jari = a, pusat titik asal

( ) ( ) ( )2 2 2 2 , 0x r y s z t a a− + − + − =

jari-jari = a, pusat (r,s,t)

2/13/2019

• Elipsoida, mempunyai bentuk umum

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=++ , a, b, c > 0

1b

y

a

x2

2

2

2

=+Jejak di bidang XOY, z = 0➔ , berupa Ellips

1c

z

a

x2

2

2

2

=+Jejak di bidang XOZ, y = 0➔ , berupa Ellips

1b

y

c

z2

2

2

2

=+Jejak di bidang YOZ, x = 0➔ , berupa Ellips

2/13/2019

Gambar Elipsoida

Z

x

y

2 2 2

2 2 21, , , 0

x y za b c

a b c+ + =

c

-c

a

b-b

-a

2/13/2019

Permukaan di R3

• Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=−+ , a, b, c > 0

1b

y

a

x2

2

2

2

=+Jejak di bidang XOY, z = 0➔ , berupa Ellips

1c

z

a

x2

2

2

2

=−Jejak di bidang XOZ, y = 0➔ , berupa Hiperbolik

1c

z

b

y2

2

2

2

=−Jejak di bidang YOZ, x = 0➔ , berupa Hiperbolik

2/13/2019

Gambar Hiperbolik Berdaun Satuz

x

y

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=−+

c

-c

ab-b

-a

1. Bidang XOY, z = 0

Berupa elips

2. Bidang XOZ, y = 0

Berupa hiperbolik

3. Bidang YOZ, x = 0

Berupa hiperbolik

1c

z

a

x2

2

2

2

=−

1c

z

b

y2

2

2

2

=−

1b

y

a

x2

2

2

2

=+

2/13/2019

• Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentukumum:

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=−− , a, b, c > 0

1b

y

a

x2

2

2

2

=−Jejak di bidang XOY, z = 0➔ , berupa Hiperbolik

1c

z

a

x2

2

2

2

=−Jejak di bidang XOZ, y = 0➔ , berupa Hiperbolik

1c

z

b

y2

2

2

2

=−−Jejak di bidang YOZ, x = 0➔ , tidak ada jejak

1a

x

c

z

b

y2

2

2

2

2

2

−=+ , maka terdefinisi saat x - a atau x a

Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips

2/13/2019

Gambar Hiperbolik Berdaun Duaz

x

y

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=−−

1. Bidang XOY, z = 0

Berupa hiperbolik

1b

y

a

x2

2

2

2

=−

a

-a

2. Bidang XOZ, y = 0

Berupa hiperbolik

1c

z

a

x2

2

2

2

=−

3. Bidang YOZ, x = 0

Tidak ada jejak

1c

z

b

y2

2

2

2

=−−

2/13/2019

Z

x

y

Paraboloida eliptik, mempunyai bentuk umum:2 2

2 2

x yz

a b+ = , a, b > 0

Bidang XOZ (y =0)

Bidang YOZ (x =0)

Bidang ZOY (z =0)

b-ba

-a

2/13/2019

Z

x

y

Paraboloida hiperbolik, mempunyai bentuk umum:

2 2

2 2

y xz

b a− = , a, b > 0

Bidang XOZ (y =0)

Bidang YOZ (x =0)

Bidang ZOY (z =0)b-ba

-a

2/13/2019

Permukaan di R3

z

x

y

Bidang XOZ (y =0)

Bidang YOZ (x =0)

Bidang ZOY (z =0)

Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:

0c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

=−+

2/13/2019

Permukaan di R3

yx

z

Bidang, mempunyai bentuk umum:

DCzByxA =++

Bidang XOZ (y =0)

Bidang YOZ (x =0)

Bidang ZOY (z =0)

D/C

D/A

D/B

2/13/2019

LatihanSketsalah permukaan berikut:1. x2 + y2 = 42. y = x2

3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 14. 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 365. z =46. x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z = 3

2/13/2019

Fungsi Dua Peubah

• Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengantepat satu z =f(x,y)

Notasi : f : A → R ( A C R2)(x,y) → z = f(x,y)

Contoh:1. f(x,y) = x2 + 4 y2

2. f(x,y) = 22 4936

3

1yx −−

3. f(x,y) =( )22

2

2

2

−+

−

yx

xy

2/13/2019

Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)

R)y,x(fR)y,x(D 2

f =

Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari

ff D)y,x()y,x(fR =

1. f(x,y) = x2 + 4 y2

22 y4x9363

1)y,x(f.2 −−=

)y1(x)y,x(f.3 −=

2/13/2019

Contoh (Jawab)1. Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}

= {(x,y) R2}

x

y

2.

= {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2 0}

−−= RyxRyxDf222 4936

3

1),(

= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36}

2 22

2 2( , ) 1

2 3

x yx y R

= +

x

y

2

3

2/13/2019

Contoh (Jawab)

3.

= {(x,y) R2| x(1 – y) 0}

x

y

RyxRyxDf −= )1(),( 2

= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y) 0 atau x 0 dan (1–y) 0}

= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x 0 dan y 1}

2/13/2019

Latihan

Tentukan dan Gambarkan Df dari1. f(x,y) =

( )22

2

2yx

xy2

−+

−

5. f(x,y) =1

)1(ln

+−

+−

xy

yx2. f(x,y) =

y1

x

−

4. f(x,y) =)yxln(

yx16 22

+

−−

3. f(x,y) = 2x

y−

2/13/2019

Grafik Fungsi Dua Peubah

Grafiknya berupa permukaan di ruang

Z=f(x,y)

Df

x

y

z

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb zakan memotong grafik tepat di satu titik.

2/13/2019

Contoh

Gambarkan Grafik

1. f(x,y) = 2 x2 + 3y2

z = 2 x2 + 3y2

2. f(x,y) = 3 – x2 – y2

Paraboloida eliptik

31

21

22 yxz +=

Z

x

y

z = 3 – x2 – y2

z = 3 – (x2 +y2)

Z

x

y

3

3 3

-3

-3

2/13/2019

Contoh

3. f(x,y) =22 4936

3

1yx −−

4. f(x,y) = 22 yx16 −−

9z2 = 36 – 9x2 – 4y2

9x2 + 4y2 + 9z2 = 36

2 2 2

2 2 21

2 3 2

x y z+ + = Elipsoida z positif

z2 = 16 –x2 –y2

x2 + y2 + z2 = 16

Bola z positif

3

4

32

2

4

4

Z

x

y

4

Z

x

y

2/13/2019

Contoh grafikfungsi 2 peubah

menggunakanaplikasi/sofware

2/13/2019

Kurva Ketinggianz = f(x,y) → z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksiperpotongan grafik z = f(x,y) denganbidang z =k pada bidang XOY.

Contoh:

Contoh aplikasi kurva ketinggian

2/13/2019

2/13/2019

Contoh

1. Gambarkan kurva ketinggian z = k darif(x,y) = x2+ 2y2 dengan k = 0, 1, 2, 4

Untuk k = 0 x2 +2 y2 = 0

x = 0, y = 0 titik (0, 0)

Untuk k = 1 x2 +2 y2 = 1

elips

Untuk k = 2 x2 +2 y2 = 2

elips

Untuk k = 4 x2 +2 y2 = 4

elips

1

211

22

=+yx

12

22

=+ yx

124

22

=+yx

.k=0

k=1k=2

k=4

x

y

2/13/2019

Contoh

Untuk k = -2 x – y2 = -2

x = y2 – 2 parabola

Untuk k = 0 x – y2 = 0

parabola

Untuk k = 2 x – y2 = 2

parabola

Untuk k = 4 x - y2 = 4

parabola

k=0

k=-2 k=2

k=4

x

y

x = y2

x = y2 + 2

x = y2 + 4

2. Gambarkan kurva ketinggian z = k darif(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4

2/13/2019

Latihan

1. f(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4

2. f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9

3. f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4

4. f(x,y) = y2 – x2 , k = 1, 2, 3, 4

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari