Matematika

FUNGSI HIPERBOLIK

Matematika

FTP – UB

Matematika

Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Grafik dari fungsi hiperbolik

• Menentukan nilai fungsi hiperbolik

• Fungsi hiperbolik invers

• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

• Identitas hiperbolik

• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Grafik dari fungsi hiperbolik

• Menentukan nilai fungsi hiperbolik

• Fungsi hiperbolik invers

• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

• Identitas hiperbolik

• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Pendahuluan

• Diketahui

• Maka

• Jika

• Bagian real ini merupakan bagian genap dari fungsi

eksponensial yang disebut kosinus hiperbolik

cos sin and cos sinj jj e j e

cos2

j je e

cos2 2

jjx jjx x xe e e ejx

cosh2

x xe ex

jx

Matematika

Pendahuluan

• Bagian ganjil dari fungsi hiperbolik disebut

sinus hiperbolik

• Rasio sinus hiperbolik terhadap kosinus

hiperbolik disebut tangen hipebolik

sinh2

x xe ex

sinhtanh

cosh

x x

x x

x e exe ex

Matematika

Pendahuluan

• Deret pangkat fungsi eksponensial

• Sehingga diperoleh

2 3 4 2 3 41 ... and 1 ...

2! 3! 3! 2! 3! 3!x xx x x x x xe x e x

2 4 6 3 5 7cosh 1 ... and sinh ...

2! 3! 6! 3! 5! 7!x x x x x xx x x

Matematika

Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Grafik dari fungsi hiperbolik

• Menentukan nilai fungsi hiperbolik

• Fungsi hiperbolik invers

• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

• Identitas hiperbolik

• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Grafik dari Fungsi Hiperbolik

• Grafik sinus hiperbolik dan kosinus

hiperbolik

Matematika

Grafik dari Fungsi Hiperbolik

• Grafik tangen hiperbolik

Matematika

Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Grafik dari fungsi hiperbolik

• Menentukan nilai fungsi hiperbolik

• Fungsi hiperbolik invers

• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

• Identitas hiperbolik

• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Menentukan Nilai Fungsi Hiperbolik

• Nilai sinh x, cosh x dan tanh x dapat dicari

dengan menggunakan kalkulator atau

tombol eksponensial

• Sebagai contoh:

1.275 1.275 3.579 0.279sinh1.275 1.65 to 2dp

2 2

e e

Matematika

Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Grafik dari fungsi hiperbolik

• Menentukan nilai fungsi hiperbolik

• Fungsi hiperbolik invers

• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

• Identitas hiperbolik

• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Fungsi Hiperbolik Invers

• Untuk mencari sebuah fungsi hiperbolik invers mengunakan kalkulator tanpa fasilitas yang dibutuhkan untuk menggunakan fungsi eksponensial

• Sebagai contoh, untuk mencari nilai sinh-1 1.475 diperlukan terlebih dahulu mengetahui nilai x sehingga sinh x = 1.475. Dengan cara:

• Sehingga didapat:

212.950 so that 2.950 1 0x x x

xe e e

e

3.257 or 0.307 so 1.1808xe x

Matematika

Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Grafik dari fungsi hiperbolik

• Menentukan nilai fungsi hiperbolik

• Fungsi hiperbolik invers

• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

• Identitas hiperbolik

• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik

Invers

• Jika y = sinh-1x maka x = sinh y. maka:

• Sehingga:

• Oleh karena itu,

22 so that 2 1 0y y y ye e x e xe

2

2-1

1

sinh ln 1

ye x x

y x x x

Matematika

Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik

Invers

• Dengan cara yang sama

2-1

-1

cosh ln 1

11 tanh ln

12

y x x x

xy x

x

Matematika

Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Grafik dari fungsi hiperbolik

• Menentukan nilai fungsi hiperbolik

• Fungsi hiperbolik invers

• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

• Identitas hiperbolik

• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Identitas Hiperbolik

• Seperti rasio trigonometrik lainnya,

terdapat fungsi-fungsi hiperbolik kebalikan

1 cothtanh

1 sechcosh

1cosechsinh

xx

xx

xx

Matematika

Identitas Hiperbolik

• Dari definisi cosh x dan sinh x

2 2

2 2

2 2 2 2

cosh sinh2 2

2 2

4 4

1

x x x x

x x x x

e e e ex x

e e e e

2 2 cosh sinh 1x x

Matematika

Identitas Hiperbolik

• Dengan cara yang sama

2 2

2 2

sech 1 tanh

cosech coth 1

x x

x x

2 2

2

2

2

sinh2 2sinh cosh

cosh2 cosh sinh

1 2sinh

2cosh 1

2 tanhtanh2

1 tanh

x x x

x x x

x

x

xx

x

Matematika

Pokok Bahasan

• Pendahuluan

• Grafik dari fungsi hiperbolik

• Menentukan nilai fungsi hiperbolik

• Fungsi hiperbolik invers

• Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

• Identitas hiperbolik

• Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Hubungan antara Fungsi

Trigonometrik dan Hiperbolik

• Diketahui

• Maka untuk

cos and sin2 2

j j j je e e ej

cos cosh

sin sinh

jx x

j x jx

jx

Matematika

Hubungan antara Fungsi

Trigonometrik dan Hiperbolik

• Dengan cara yang sama

• Lebih lanjut

cosh cos

sin sinh

jx x

jx j x

tanh tan

tan tanh

jx j x

jx j x

Matematika

Hasil Pembelajaran

• Mendefinisikan fungsi hiperbolik dalam bentuk fungsi eksponensial

• Menyatakan fungsi hiperbolik sebagai deret pangkat

• Mengenal grafik fungsi hiperbolik

• Mencari nilai fungsi hiperbolik dan inversnya

• Menentukan bentuk logaritmik dari fungsi hiperbolik invers

• Membuktikan identitas trigonometrik hiperbolik

• Memahami hubungan antara fungsi trigonometrik melingkar dan hiperbolik