Fungsi pecah fungsi rasional

34
Ke Ke l l a a s s A A S S em em es es t t e e r r 4 4 Ma Ma tema tema tika tika Kita bahas bersama, yuk Kita bahas bersama, yuk . . . . . . 11310015 11310015 11310005 11310005 11310006 11310006 11310026 11310026 11310008 11310008 11310034 11310034

Transcript of Fungsi pecah fungsi rasional

KeKellaass A A – – SSememesestteerr 44MaMatematematikatika

Kita bahas bersama, yuk Kita bahas bersama, yuk . . . . . . !!!!!!

1131001511310015

1131000511310005

1131000611310006

1131002611310026

1131000811310008

1131003411310034

Pengertian Fungsi Pengertian Fungsi RasionalRasional

• Disebut juga dengan fungsi PecahDisebut juga dengan fungsi Pecah• Didefinisikan :Didefinisikan :

dengan dengan P(x)P(x) dan dan Q(x)Q(x) merupakan merupakan suku banyak dalam suku banyak dalam xx

ContohContoh

0)(,)(

)()( xQ

xQ

xPxf

14

32)(,

13

52)(

2

x

xxg

x

xxxf

Grafik Fungsi PecahGrafik Fungsi Pecah• BentukBentuk

Sketsa Grafik Fungsi Sketsa Grafik Fungsi PecahPecah

• Menentukan titik potong dengan sb. x (y=0) dan y Menentukan titik potong dengan sb. x (y=0) dan y (x=0)(x=0)

• Menentukan asymtot Menentukan asymtot

i. Datar, jika x i. Datar, jika x tak hingga tak hingga

ii. Tegak, jika y ii. Tegak, jika y tak hingga (penyebut bernilai nol) tak hingga (penyebut bernilai nol)

iii. Miring, untuk jenis fungsi rasional yang iii. Miring, untuk jenis fungsi rasional yang pembilangnya berderajat lebih tinggi satu daripada pembilangnya berderajat lebih tinggi satu daripada penyebutnyapenyebutnya

• Menentukan nilai ekstrim fungsi (titik puncak)Menentukan nilai ekstrim fungsi (titik puncak)• Membuat tabel titik-titik bantuMembuat tabel titik-titik bantu• Skestsa kurvaSkestsa kurva

Menggambar grafik Menggambar grafik Fungsi Rasional LinierFungsi Rasional Linier

Langkah-langkahnya:Langkah-langkahnya:

1.1.Menentukan koordinat titik potong Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu x,  y = 0dengan sumbu x,  y = 0

y y == 00

Koordinat titik potong adalah (-b/a, 0)Koordinat titik potong adalah (-b/a, 0)

2. Menentukan koordinat 2. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu titik potong dengan sumbu y, x = 0y, x = 0x=0 x=0

koordinat titik potong koordinat titik potong adalah (0, b/adalah (0, b/dd))

3. Menentukan asimtot, ada 2 yaitu asimtot 3. Menentukan asimtot, ada 2 yaitu asimtot datar dan tegakdatar dan tegak

Asimtot datar diperoleh apabila x→~, maka y Asimtot datar diperoleh apabila x→~, maka y = a/c= a/c

Asimtot tegak diperoleh apabila y→~, maka Asimtot tegak diperoleh apabila y→~, maka x = -x = -dd/c/c

4. Menentukan daerah grafik fungsi adalah 4. Menentukan daerah grafik fungsi adalah dengan mancari nilai positif dan negative dengan mancari nilai positif dan negative daridari fungsi  dengan batas-batas harga fungsi  dengan batas-batas harga nol pembilang atau penyebutnol pembilang atau penyebut

5. Menentukan beberapa titik bantu5. Menentukan beberapa titik bantu

Contoh SoalContoh Soal

1.1. Gambarlah grafik fungsi    Gambarlah grafik fungsi    

penyelesaian:penyelesaian:

# Titik potong dengan sumbu x dicapai # Titik potong dengan sumbu x dicapai untuk y = 0untuk y = 0

0 0 = = 2x – 4  , maka x = 22x – 4  , maka x = 2

Jadi koordinat titik potong dengan sumbu x Jadi koordinat titik potong dengan sumbu x yaitu (2yaitu (2 ,, 0)0)

22

4

a

bx

#  Titik potong dengan sumbu y, untuk x = #  Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 00

Jadi koordinat titik potong dengan sumbu Jadi koordinat titik potong dengan sumbu y yaitu (0y yaitu (0 ,, 4)4)

# – Asimtot datar # – Asimtot datar

#- Asimtot tegak #- Asimtot tegak

41

4

d

bx

# Beberapa titik Bantu# Beberapa titik Bantu

x -2 -1 ½ 3/2

3

y 8/3 3 6 -2 1

B. Fungsi rasional B. Fungsi rasional berbentuk berbentuk

1. Menentukan titik potong dengan sumbu 1. Menentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0x, y = 0

Jadi ax + b = 0  → Jadi ax + b = 0  →  makamaka

2. Menentukan titik potong dengan sumbu 2. Menentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0y, x = 0

3. Menentukan Asimtot3. Menentukan Asimtot

a. Asimtot datar, x → ~a. Asimtot datar, x → ~ berarti berarti y = 0y = 0

b. Asimtot tegak, y → ~b. Asimtot tegak, y → ~ berarti pxberarti px22 + qx + + qx + r = 0r = 0

4. Menentukan Nilai Ekstrim4. Menentukan Nilai Ekstrim

Nilai ekstrem y diperoleh jika x riil makaNilai ekstrem y diperoleh jika x riil maka

D D ≥ ≥ 00

Karena syarat Karena syarat makamaka

5. Menentukan titik bantu5. Menentukan titik bantu

baxyryqxypx 2

0)()(2 byrxayqypx

0D

0)(.4)( 2 byrypayq

Contoh Contoh Soal...Soal...

1.1. LukislaLukislahh grafik fungsi y = grafik fungsi y =

penyelesaian:penyelesaian: Titik potong pada sumbu xTitik potong pada sumbu x

Titik potong pada sumbu yTitik potong pada sumbu y

12

12

xx

x

12

10

2

xx

x

10 x

11

1

y

1x

1)0()0(2

1)0(2

y

)1,0(

)0,1(

11

)1(

a

bx

11

1

r

by

Asimtot datarAsimtot datar

xx ~ maka y = 0~ maka y = 0

Asimtot TegakAsimtot Tegak

yy ~ maka,~ maka,

x= ½ atau x= -1x= ½ atau x= -1

Jadi, asimtot tegaknya x = ½ dan x = -1Jadi, asimtot tegaknya x = ½ dan x = -1

02 rqxpx

012 2 xx0)1)(12( xx

Nilai ekstrimNilai ekstrim

yy = 1/9 atau y = 1/9 atau y = 1= 1

12

12

xx

xy

12 2 xyyxyx

042 acb

01109 2 yy

012 2 yxyxyx

0)1)(2(4)1( 2 yyy

0)1)(19( yy

0D

Untuk y = 1Untuk y = 1

(0,1)(0,1)

Untuk y = 1/9Untuk y = 1/9

(2, 1/9)(2, 1/9)

12

11

2

xx

x

12

1

9

12

xx

x

112 2 xxx02 2 x0x

9912 2 xxx

1)12(9

1 2 xxx

0442 xx0)2)(2( xx

2x

Titik bantuTitik bantu

x -3 -2 3/4 2

y -0,29

-0,6 -0,15

1/9

Langkah-langkahnya sama, hanya tidak mempunyai

asimtot datar tetapi mempunyai asimtot miring.

Sedangkan cara mancari asimtot miring dibagi

pembilang ax2 + bx + c dengan penyebut px + q,

sehingga didapat bentuk

untuk persamaan asimtot miring adalah y = mx + n

C. Fungsi rasional berbentuk

Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut ini :

y 2x - x - 6 2

x + 3=

Menentukan titik potong grafik terhadap sumbu-sumbukoordinat

a) Titik potong dengan sumbu x, y = 0

v

=02x - x - 6 2

x + 3

2x - x - 6 = 02

( 2 x + 3 ) ( x – 2 ) = 0

y2x - x - 6 2

x + 3=

2 x + 3 = 0

2 x = - 3

x = - 32

x – 2 = 0

x = 2

Titik-titik potong dengan sumbu x adalah dan 32

, 0

( 2 , 0 )

b) Titik potong dengan sumbu y, x = 0

y2x - x - 6 2

x + 3=

y2 ( 0 ) - x - 6 2

0 + 3=

y = - 63

= - 2

Titik potong dengan sumbu y adalah ( 0 , - 2 )

Menentukan asimtot tegak dan asimtot miring

b) Asimtot miring :

a ) Asimtot tegak : p x + q = 0 x + 3 = 0

x = - 3

y2x - x - 6 2

x + 3=

2x - x - 21 + 15

2

x + 3=

( 2x – 7 ) ( x + 3 )

x + 3=

x + 315

+

( 2x – 7 )x + 315

+=

Jadi asimtot miringnya 2x – 7 =y

agar persamaan kuadrat mempunyaiakar syaratnya adalah D positif atau nol.

Menentukan titik balik

y2x - x - 6 2

x + 3=

x y + 3 y = 2x - x - 62

2x - ( 1 + y ) x – 6 – 3 y = 02

676 - 1962=

-26 +-

480

2=

-26 +-

2=

-26 + 21,9y1 = -2,05 = -2,1=

-4,12 , 2

=-26 - 21,9y

2 = -23,95 = -24 = -47,9

2

D > 0 b - 4 a c > 02

- ( 1 + y ) - 4 ( 2 ) ( - 6 – 3 y ) > 02

y + 26 y + 49 > 022

1 + 2 y + y + 48 + 24 y > 02

y b - 4 a c2

2 a=- b +-

1,2

Pembuat nol :

y + 26 y + 49 = 022

Untuk y = -24

Mencari nilai x, dengan D = 0 maka x1 = x2

Jadi titik-titik baliknya ( -0,3 ; -2,1 ) dan ( -5,8 ; -24 )

Untuk y = -2,1

2x - ( 1 - 2,1 ) x – 6 – 3 ( -2,1 ) = 02

2x - ( 1 + y ) x – 6 – 3 y = 02

2x - 1,1 x – 0,3 = 02

X1 + X2 = - ba

2X1 = - ba

X1 = - b2a

- 1,1

4= = - 0,275 = -

0,3

2x - ( 1 + y ) x – 6 – 3 y = 02

2x - ( 1 -24 ) x – 6 – 3 ( -24 ) = 02

2x + 23 x + 66 = 02

X1 + X2 = - ba

2X1 = - ba

X1 = - b2a

- 23

4= = - 5,75 = - 5,8

x -7 -5 -4 -2 -1 1 3

y -24,75

-24,5

-30 4 -1,5 -1,25

1,5

Titik bantuTitik bantu

D. D. Fungsi Rasional dengan Fungsi Rasional dengan bentuk bentuk

dimana a, p, dandimana a, p, dan

;)(2

2

rqxpx

cbxaxxfy

02 rqxpx

Untuk menggambar grafik ini Untuk menggambar grafik ini diperlukan langkah-langkah sbb  ;diperlukan langkah-langkah sbb  ;

1. Titik potong dengan sumbu x, y = 0 1. Titik potong dengan sumbu x, y = 0

axax22 + bx + c = 0.  Akar-akar dari + bx + c = 0.  Akar-akar dari persamaan  tsb merupakan absis titik persamaan  tsb merupakan absis titik potong dengan sumbu xpotong dengan sumbu x

2. Titik potong dengan sumbu y, x = 0.  2. Titik potong dengan sumbu y, x = 0.  Didapat y = c/rDidapat y = c/r

3. Asimtot datar diperoleh  apabila  x → ~3. Asimtot datar diperoleh  apabila  x → ~

    ddan an dididapat  y = a/pdapat  y = a/p

4. Asimtot tegak diperoleh apabila y → ~4. Asimtot tegak diperoleh apabila y → ~

ddan didapat dari akar-akar persamaanan didapat dari akar-akar persamaan

pxpx2 2 + qx +  r  = 0+ qx +  r  = 0

5. Nilai Ekstrim5. Nilai Ekstrim0D

0D0))((4)( 2 cyrbyqayp

rqxpx

cbxaxy

2

2

cbxaxyryqxypx 22

0)()()( 2 cyrxbyqxayp

Contoh soal.....Contoh soal.....1. Gambar grafik fungsi1. Gambar grafik fungsi

Penyelesaian:Penyelesaian:

a.a.Titik potong dengan sumbu xTitik potong dengan sumbu x ((y=0y=0))

xx22 -- 5 5xx + 6 + 6 == 00

(x(x -- 2 2) (x) (x - 3 - 3)) = 0 = 0

x = x = 22 atau x = atau x = 33 ((2 2 , 0) dan (, 0) dan (3 3 , 0), 0)

b. Titik potong sumbu yb. Titik potong sumbu y ( (x = 0x = 0))

(0, 3(0, 3/2/2))

c. Asimtot Datarc. Asimtot Datar

x x ~ maka~ maka::

d. Asimtot tegakd. Asimtot tegak

yy ~ maka:~ maka:

xx22 - 5 - 5xx + 4 + 4 == 00

(x(x - 4 - 4) (x) (x -- 1)1) = 0 = 0

x = x = 4 atau4 atau x = 1 x = 1

45

652

2

xx

xxy

6545 22 xxyxyyx

e. Nilai ekstrim

0645522 yxyxxyx

0)64()55()1( 2 yxyxy

042 acb0)64)(1(4)55( 2 yyy

0D

0244016255025 22 yyyy01109 2 yy

0)19)(1( yy

y = 1 atau y = 1/9

Untuk y = 1

Untuk y = 1/9

(5/2, 1/9)

x -2 -1 1/2 5 6 7

y 1,1 1,2 2,1 1,5 1,2 1,1

Titik bantuTitik bantu